中考数学应用题各类应用题汇总练习 42页

中 考 应 用 题 列方程(组)解应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(组)解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多” 、“少” 、“增加” 、“减少” 、“快” 、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到．‎ 解应用题的一般步骤：‎ 解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答” ．‎ ‎1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．‎ ‎2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．‎ ‎3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．‎ ‎4、“解”就是解方程，求出未知数的值．‎ ‎5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．‎ ‎6、“答”就是写出答案(包括单位名称)．‎ 应用题类型：‎ 近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等．‎ 几种常见类型和等量关系如下：‎ ‎1、行程问题：‎ 基本量之间的关系：路程=速度×时间，即：．‎ 常见等量关系：‎ ‎(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程．‎ ‎(2)追及问题(设甲速度快)：‎ ①同时不同地：‎ 甲用的时间＝乙用的时间；‎ 甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．‎ ②同地不同时：‎ 甲用的时间＝乙用的时间－时间差；‎ 甲走的路程＝乙走的路程．‎ ‎2、工程问题：‎ 基本量之间的关系：工作量=工作效率×工作时间．‎ 常见等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．‎ ‎3、增长率问题：‎ 基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)．‎ ‎4、百分比浓度问题：‎ 基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度．‎ ‎5、水中航行问题：‎ 基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度；‎ ‎ 逆流速度＝船在静水中速度－水流速度．‎ ‎6、市场经济问题：‎ 基本量之间的关系：商品利润=售价－进价；‎ 商品利润率=利润÷进价；‎ 利息=本金×利率×期数；‎ 本息和=本金+本金×利率×期数．‎ 一元一次方程方程应用题归类分析 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助.‎ ‎1. 和、差、倍、分问题：‎ ‎ （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。‎ ‎ （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。‎ ‎  例1.根据‎2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到‎2000年11月1日0时，全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人，比‎1990年7月1日减少了3.66%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度？‎ ‎ 分析：等量关系为：‎ ‎ ‎ ‎ 解：设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：略.‎ ‎2. 等积变形问题：‎ ‎ “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：‎ ‎ ①形状面积变了，周长没变；‎ ‎ ②原料体积＝成品体积。‎ ‎ 例2. 用直径为‎90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为‎81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）‎ ‎ 分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积＝长方体铁盒的体积 ‎ 下降的高度就是倒出水的高度 ‎ 解：设玻璃杯中的水高下降xmm ‎ ‎ ‎ ‎ ‎  3. 劳力调配问题：‎ ‎ 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：‎ ‎ （1）既有调入又有调出；‎ ‎ （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；‎ ‎ （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。‎ ‎  例3. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？‎ ‎ 分析：列表法。‎ ‎ ‎ 每人每天 人数 数量 大齿轮 ‎16个 x人 ‎16x 小齿轮 ‎10个 人 ‎ 等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍 ‎ 解：设分别安排x名、名工人加工大、小齿轮 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4. 比例分配问题：‎ ‎ 这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。‎ ‎ 常用等量关系：各部分之和＝总量。‎ ‎  例4. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？‎ ‎ 解：设一份为x，则三个数分别为x，2x，4x ‎ 分析：等量关系：三个数的和是84‎ ‎ ‎ ‎  5. 数字问题 ‎ （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：‎100a+10b+c。‎ ‎（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。‎ 例5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数 等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 解：设十位上的数字X，则个位上的数是2x，‎ ‎10×2x+x=（10x+2x）+36解得x=4，2x=8.‎ 答：略.‎ ‎ 6. 工程问题： ‎ ‎ 　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间 ‎ 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。‎ ‎ 例6. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ ‎ 分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 ‎ ‎　　解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(+)×3+=1，　　解这个方程，++=1 　　　　　‎ ‎12+15+5x=60 5x=33　　　∴ x==6 ‎　　答：略.‎ ‎ 7. 行程问题： ‎ ‎　　（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。 ‎ ‎　　（2）基本类型有 ‎　　　　① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 ‎ ‎　　（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 ‎ ‎ 　　例7. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 ‎ ‎　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ ‎ ‎　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ ‎ ‎　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ ‎ ‎　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ ‎ ‎　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ ‎ ‎　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 ‎ ‎（1）分析：相遇问题，画图表示为： ‎ 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。　　‎ 解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 　　‎ 解这个方程，230x=390 　　　　　　　　‎ ‎∴ x=1 答：略.‎ 分析：相背而行，画图表示为：　　‎ 等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 ‎ ‎　　解：设x小时后两车相距600公里，‎ 由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 　　　　　　　　‎ ‎∴ x= ‎　　答：略.‎ ‎　　（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。 ‎ ‎　　解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 　　　　　　　　　 50x=120　　　　　　　‎ ‎∴ x=2.4 ‎ ‎　　答：略. ‎ ‎ 分析：追及问题，画图表示为：‎ 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 　　‎ 解：设x小时后快车追上慢车。 ‎ 由题意得，140x=90x+480 　　‎ 解这个方程，50x=480 　∴ x=9.6‎ 答：略.‎ ‎ 分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。‎ 解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 ‎ ‎　 50x=570 　解得， x=11.4 　　‎ 答：略. 8. 利润赢亏问题 ‎（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 ‎（2）有关关系式： ‎ 商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 ‎ 商品售价=商品标价×折扣率 例8. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？‎ 分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 x元 ‎8折 ‎（1+40%）x元 ‎80%（1+40%）x ‎ ‎15元 等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15‎ 解：设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125‎ 答：略.‎ ‎ 9. 储蓄问题 ‎⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 ‎⑵ 利息=本金×利率×期数 ‎ 本息和=本金+利息 ‎ 利息税=利息×税率（20%）‎ 例9. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）‎ 分析：等量关系：本息和=本金×（1+利率）‎ 解：设半年期的实际利率为x，‎ ‎250（1+x）=252.7，‎ x=0.0108‎ 所以年利率为0.0108×2=0.0216 ‎ ‎1．“今有鸡、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．题目大意：在现有鸡、兔在同一个笼子里，上边数有35个头，下边数有94只脚，求鸡、兔各有多少只．‎ 解：设有x只鸡，y只兔子，由题意得 ‎2．《希腊文集》中有一些用童话形式写成的数学题．比如驴和骡子驮货物这道题，就曾经被大数学家欧拉改编过，题目是这样的：驴和骡子驮着货物并排走在路上，驴不住地埋怨自己驮的货物太重，压得受不了．骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货物比你重，假若你的货物给我一口袋，我驮上的货就比你驮的重一倍，而我若给你一口袋，咱俩驮的才一样多．”那么驴和骡子各驮几口袋货物？你能用方程组来解这个问题吗？‎ 解：设驴子驮x袋，骡子驮y袋，‎ ‎ 根据题意，得 ‎◆规律方法应用 ‎3．戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生说：“我看到船上红、白两种帽子一样多．”一男生说：“我看到的红帽子是白帽子的2倍”．请问：该船上男、女生各几人？‎ 解：设女生x人，男生y人，由题意得 ‎4．有一头狮子和一只老虎在平原上决斗，争夺王位，最后一项是进行百米来回赛跑（合计‎200m），谁赢谁为王．已知每跨一步，老虎为‎3m，狮子为‎2m，这种步幅到最后不变，若狮子每跨3步，老虎只跨2步，那么这场比赛结果如何？‎ 解：∵老虎跨2步‎6m，狮子跨3步‎6m，在折返点老虎多跨一步，∴狮子胜．‎ ‎5．某公司的门票价格规定如下表所列，某校七年级（1），（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1‎ ‎ 240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱，则两班各有多少名学生？‎ 购票人数 ‎1~50人 ‎51~100人 ‎100人以上 票 价 ‎13元/人 ‎11元/人 ‎9元/人 解：设七年级（1）班有x名学生，七年级（2）班有y名学生，‎ 根据题意可列 ‎◆中考真题实战 ‎6．（吉林）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某地区2003年和2004年小学入学儿童人数之比为8：7，且2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍少1 500人，某人估计2005年入学儿童人数将超过2300人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势．‎ 解：设2003年入学儿童人数为x人，2004年入学儿童人数为y人，‎ 则可列 ‎ ∵2 300>2 100，‎ ‎∴他的估计不符合当前入学儿童逐渐减少的趋势 一元一次不等式组及其应用 ‎1．（2004，湖北省）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，分了多少个橘子？．‎ ‎1.设共有x个儿童，则共有（4x+9）个橘子，依题意，得0≤4x+9-6（x-1）<3‎ ‎ 解这个不等式组，得620时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点(20,200),(30,240)在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．‎ 评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．‎ 三、“数形结合”思想的综合运用 例3　某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水‎2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．‎ 请结合图象，回答下列问题：‎ ‎（1）根据图中信息，请你写出一个结论；‎ ‎（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？‎ ‎（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．‎ 分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水‎96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为‎80升 ‎；接水4分钟以后锅炉内的余水量为‎72升等等．‎ ‎（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，‎ 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b. ‎ 因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b上,‎ 所以函数关系式为y=-8x+96；‎ 当x>2时，它也是一个一次函数图象，‎ 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.‎ 因为点(2,80),(4,72)在函数y=kx+b上,‎ 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，‎ 当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．‎ ‎（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；‎ ‎②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t分钟开始接水，当02时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,‎ 所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．‎ 评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．‎ 分式应用题 ‎4．（2009年桂林市、百色市）（本题满分8分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．‎ ‎（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？‎ ‎（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？‎ 关键词】分式方程 ‎【答案】解：（1）设乙队单独完成需天 ‎ 根据题意，得 解这个方程，得=90‎ ‎ 经检验，=90是原方程的解 ∴乙队单独完成需90天 ‎（2）设甲、乙合作完成需天，则有 解得（天）‎ 甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．‎ 甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）‎ 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．‎ ‎5.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．‎ ‎（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？‎ ‎（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？‎ ‎（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？‎ ‎【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式（组）‎ ‎【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价元 解得: ‎ 经检验: 是原方程的根,‎ 所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元. ‎ ‎(2)设购进甲种电脑台, ‎ 解得 因为的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案 ‎(3) 设总获利为元, ‎ ‎ 当时, (2)中所有方案获利相同. ‎ ‎ 此时, 购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利. ‎ ‎7.(2009年达州)某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.‎ ‎（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？‎ ‎（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）.‎ ‎【关键词】分式方程的应用 ‎【答案】21.解：（1） 设改进设备后平均每天耗煤x吨，根据题意，得：‎ ‎45x+10=45－10xx+5 ‎ 解得x=15 ‎ 经检验，x=15符合题意且使分式方程有意义 答：改进设备后平均每天耗煤15吨 ‎（2）略（只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可得分）‎ ‎8.（2009年湖北十堰市）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：‎ ‎（1）a2b+ab2 （2）a2+b2‎ ‎【关键词】因式分解、简单的二元二次方程组的解法 ‎【答案】解法①：‎ ‎（1）‎ ‎（2） ∵‎ ‎∴‎ 解法②：‎ 由题意得 解得： ‎ 当时，‎ 当时，‎ 说明：（1）第二种解法只求出一种情形的给4分；‎ ‎（2）其它解法请参照上述评分说明给分．‎ ‎9.（2009年湖北十堰市）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？‎ ‎【关键词】分式方程及增根 ‎【答案】解：设该厂原来每天加工x个零件，‎ 由题意得： 　解得 x=50 经检验：x=50是原分式方程的解 答：该厂原来每天加工50个零件。‎ ‎10．（2009年山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．‎ ‎（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？‎ ‎（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率）‎ ‎【关键词】分式方程及增根、不等式（组）的简单应用 ‎【答案】解：（1）设商场第一次购进套运动服，由题意得：‎ ‎，解这个方程，得．经检验，是所列方程的根．‎ ‎． 所以商场两次共购进这种运动服600套．‎ ‎（2）设每套运动服的售价为元，由题意得：‎ ‎，‎ 解这个不等式，得，‎ 所以每套运动服的售价至少是200元．‎ ‎11.（2009年新疆乌鲁木齐市）解方程．‎ ‎【关键词】分式方程及增根 ‎【答案】解：方程两边同乘以，得，即，解得． 4分 检验：时，，‎ ‎∴原方程的解是．‎ 检验：x=1时，x－2≠0，所以1是原分式方程的解.‎ ‎18．（2009年哈尔滨）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．‎ ‎ （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？‎ ‎ （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．‎ ‎【答案】（1）可列分式方程求解，但要注意检验，否则扣分；（2）依据题意列出不等式组，注意不等号中是否有等于，根据未知数都为整数，再结合不等式组的解集，确定未知数的具体数值，有几个值，即有几种方案.‎ 解：（1）设每个乙种零件进价为元，则每个甲种零件进价为元．由题意得 ‎， 解得．检验：当时，，‎ 是原分式方程的解．（元）答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．‎ ‎（2）设购进乙种零件个，则购进甲种零件个 由题意得解得． 为整数，或．共有2种方案．‎ 分别是： 方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个； 方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．‎ ‎19．(2009年南充)在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？‎ ‎【关键词】列分式方程解决实际问题 ‎【答案】解：设甲工程队单独完成任务需天，则乙工程队单独完成任务需天，‎ 依题意得． 化为整式方程得 解得或．‎ 检验：当和时，， 和都是原分式方程的解．‎ 但不符合实际意义，故舍去； 乙单独完成任务需要（天）．‎ 答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．‎ ‎21.（2009年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从‎2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？‎ ‎（1）设购买电视机台，依题意填充下列表格：‎ 项目 家电种类 购买数量（台）‎ 原价购买总额（元）‎ 政府补贴返还比例 补贴返还总金额（元）‎ 每台补贴返还金额（元）‎ 冰箱 ‎40 000‎ ‎13%‎ 电视机 ‎15 000‎ ‎13%‎ ‎（2）列出方程（组）并解答．‎ ‎（1）每个空格填对得1分，满分5分．‎ ‎40 000‎ ‎13%‎ 或5200‎ 或或 ‎15 000‎ ‎13%‎ ‎15 000×13%或1950‎ 或 ‎（2）解:依题意得－‎ 解得 经检验是原分式方程的解 ‎ 答:冰箱、电视机分别购买20台、10台 10分 ‎23. (2009年甘肃定西)去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？‎ ‎【关键词】用分式方程解决实际问题 ‎【答案】‎ 解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，‎ 由题意列方程 = ． 解得 x =200． 检验：当x =200时，x（x+50）≠0， ∴ x =200是原方程的解．‎ ‎ 两天捐款人数x+（x+50）=450， 人均捐款=24（元）． 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．‎ 说明：只要求对两天捐款人数为450， 人均捐款为24元，不答不扣分．‎ 解法2：设人均捐款x元，‎ 由题意列方程 －＝50 ．‎ 解得 x =24．‎ ‎24.（2009年广西钦州）如图是近三年广西生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据区统计局初步核算，2009年一季度全区生产总值为155238亿元，与去年同一时期相比增长129%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）求2008年一季度全区生产总值是多少（精确到001亿元）？‎ ‎（2）能否推算出2007年一季度全区生产总值?若能，请算出结果（精确到001亿元）．‎ ‎（3）从这张统计图中，你有什么发现？用一句话表达你的看法．‎ ‎【关键词】用分式方程解决实际问题 ‎【答案】‎ 解：（1）根据题意，2009年一季度全区生产总值为155238亿元，‎ 设2008年一季度全区生产总值为x亿元，则＝129%．‎ 解之，得x≈137500（亿元）．‎ 答：2008年一季度全区生产总值约是137500亿元；‎ ‎（2）能推算出2007年一季度全区生产总值．‎ 设2007年一季度全区生产总值为y亿元，同理，由（1）得 ‎＝113%．‎ 解之，得y≈123540（亿元）．‎ 所以2007年一季度全区生产总值约是123540亿元；‎ ‎（3）近三年广西区生产总值均为正增长；2008年1季度增长率较2007年同期增长率有较大幅度下降；2009年1季度增长率较2008年同期增长率有所上升，经济发展有所回暖；2007年广西经济飞速发展；…．等等，只要能有自己的观点即可给分．‎ ‎25.（2009年广西梧州）由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．‎ ‎　（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?‎ ‎ （2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若 按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?‎ ‎【关键词】用分式方程解决实际问题 ‎【答案】‎ 解:（1）设甲队单独完成此项工程需x天，由题意得 ‎　　　 解之得 经检验，是原方程的解． ‎ 所以甲队单独完成此项工程需15天， 乙队单独完成此项工程需15×=10（天）‎ ‎ （2）甲队所得报酬:（元）‎ 乙队所得报酬:（元）‎ ‎27．（2009年长春）某工程队承接了‎3000米的修路任务，在修好‎600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？‎ ‎【答案】解：设引进新设备前平均每天修路x米，由题意的：‎ ‎ 解这个方程，得：x=60 经检验x=60是原方程的根。答：引进新设备前平均每天修路‎60米.‎ ‎28. （2009年锦州）根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长‎300米的盲道.铺设了‎60米后，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加‎10米，结果共用了8天完成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米？‎ 解：设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米，则改进技术前每天铺设(x－10)米.‎ ‎　　根据题意，得. 整理，得2x2－95x+600=0. 解得x1=40 ,x2=7.5. ‎ ‎　　经检验x1=40 ,x2=7.5都是原方程的根，但x2=7.5不符合实际意义，舍去，‎ ‎　　∴x=40. 　答：该工程队改进技术后每天铺设盲道‎40米. ‎ ‎30.（2009白银市）25.去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？‎ ‎【关键词】方式方程、验根 ‎【答案】设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人 由题意列方程 = 解得 x =200 检验：当x =200时，x（x+50）≠0，‎ ‎ ∴ x =200是原方程的解 两天捐款人数x+（x+50）=450， 人均捐款=24（元）．‎ 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元 ‎31.（2009年新疆）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？‎ 李明同学是这样解答的：‎ 设甲同学打印一篇3 000字的文章需要分钟，‎ 根据题意，得 （1）‎ 解得：．‎ 经检验是原方程的解． （2）‎ 答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个． （3）‎ ‎（1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来．‎ ‎（2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．‎ ‎【关键词】分式方程的应用 ‎【答案】（1）李明同学的解答过程中第③步不正确 ,应为：甲每分钟打字（个）,乙每分钟打字（个）.答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个.（2）设乙每分钟打字个，则甲每分钟打字个，根据题意得：,解得．经检验是原方程的解．甲每分钟打字（个）.答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个． ‎ ‎32．（2009年甘肃白银）（10分）去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？‎ ‎【关键词】分式方程；应用题 ‎【答案】本小题满分10分 解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，‎ 由题意列方程 = ． 解得 x =200． 检验：当x =200时，x（x+50）≠0， ∴ x =200是原方程的解．‎ ‎ 两天捐款人数x+（x+50）=450， 人均捐款=24（元）．‎ 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．‎ 说明：只要求对两天捐款人数为450， 人均捐款为24元，不答不扣分．‎ 解法2：设人均捐款x元，‎ 由题意列方程 －＝50 ． 解得 x =24． 以下略．‎ ‎33.（2009桂林百色）（本题满分8分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．‎ ‎（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？‎ ‎（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？‎ ‎【关键词】分式方程、方案 ‎【答案】24．解：（1）设乙队单独完成需天 ‎ 根据题意，得 解这个方程，得=90 经检验，=90是原方程的解 ‎∴乙队单独完成需90天 ‎（2）设甲、乙合作完成需天，则有 解得（天）‎ 甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．‎ 甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）‎ 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．‎ ‎34.（2009河池）23． (本小题满分10分) 铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．‎ ‎（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?‎ ‎（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的‎400千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？‎ ‎【关键词】分式方程 ‎【答案】解：(1)设试销时这种苹果的进货价是每千克元，依题意，得 ‎） 解之，得 5 经检验，5是原方程的解．‎ ‎(2)试销时进苹果的数量为： (千克) 第二次进苹果的数量为：2×10002000(千克)‎ 盈利为： 2600×7＋400×7×0.7－5000－110004160(元)‎ 答：试销时苹果的进货价是每千克5元，商场在两次苹果销售中共盈利4160元．‎ A B ‎0‎ ‎35.（2009年宁波市）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是，，且点A、B到原点的距离相等，求的值．‎ ‎【关键词】分式方程 ‎【答案】解：由题意得，‎ ‎，解得． 经检验，是原方程的解． 的值为．‎ ‎36．（2009年齐齐哈尔市）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．‎ ‎（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？‎ ‎（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？‎ ‎（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？‎ ‎【关键词】分式方程、不等式（组）的简单应用、一次函数的实际问题 ‎【答案】（1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价元 ‎ 解得： 经检验：是原方程的根，‎ 所以甲种电脑今年每台售价4000元．‎ ‎（2）设购进甲种电脑台，‎ ‎ 解得 ‎ 因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案 ‎（3）设总获利为元，‎ ‎ ‎ 当时，（2）中所有方案获利相同． ‎ 此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利 ‎38. (2009年四川省内江市)某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3200元，售价每套40元，服装厂向25名家庭贫困学生免费提供。经核算，这25套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润。问这批演出服生产了多少套？‎ ‎【关键词】分式方程的实际应用.‎ ‎【答案】解：设这批演出服装生产了x套 由题意得40x－3200=25× 整理得x2－80x－2000=0 解得x1=100,x2=－20‎ 检验知x2=－20不合题意，舍去，∴x=100 答：这批演出服装生产了100套.‎ ‎39．（2009年佳木斯）某市为了治理污水，需要铺设一条全长‎550米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10％，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？‎ ‎40.（2009厦门）22.供电局的电力维修工甲、乙两人要到‎45千米远的A地进行电力抢修.甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后，乙开抢修车载着所需材料出发.‎ (1) 若t=（小时），抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；‎ (2) 若摩托车的速度是‎45千米/时，抢修车的速度是‎60千米/时，且乙不能比甲晚到，则t的最大值是多少？‎ ‎【关键词】分式方程的应用 ‎【答案】（1）解：设摩托车的速度是x千米/时，则抢修车的速度是1.5x千米/时. ‎ ‎ 由题意得 －＝， 解得x＝40. 经检验，x＝40千米/时是原方程的解且符合题意.‎ ‎ 答：摩托车的速度为40千米/时. ‎ ‎（2）解：法1：由题意得t＋≤， 解得t≤. ∴ 0≤t≤. ‎ ‎ 法2：当甲、乙两人同时到达时，由题意得t＋＝， 解得t＝. ‎ ‎ ∵ 乙不能比甲晚到，∴ t≤. ∴ t最大值是 (时)；或：答：乙最多只能比甲迟 (时)出发. ‎ 函数应用题6.（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。‎ ‎（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。‎ ‎（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。‎ ‎【关键词】确定一次函数解析式 ‎【答案】解：（1） ‎ ‎（2） 即：y 因为提价前包房费总收入为100×100=10000。‎ 当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。‎ ‎ ‎ ‎7.（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）‎ 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；‎ ‎（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；‎ ‎（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）‎ ‎ ‎ ‎ 【关键词】一次函数的实际问题 ‎【答案】．解法一：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）．‎ 答：销售量为‎4万升时销售利润为4万元．‎ ‎（2）点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），‎ 所以销售量为（万升），所以点的坐标为．‎ 设线段所对应的函数关系式为，则解得 线段所对应的函数关系式为． ‎ 从15日到31日销售‎5万升，利润为（万元）．‎ 本月销售该油品的利润为（万元），所以点的坐标为．‎ 设线段所对应的函数关系式为，则解得 所以线段所对应的函数关系式为． ‎ ‎（3）线段． ‎ 解法二：（1）根据题意，线段所对应的函数关系式为，即．‎ 当时，．‎ 答：销售量为‎4万升时，销售利润为4万元． ‎ ‎（2）根据题意，线段对应的函数关系式为，‎ 即． ‎ 把代入，得，所以点的坐标为．‎ 截止到15日进油时的库存量为（万升）．‎ 当销售量大于‎5万升时，即线段所对应的销售关系中，‎ 每升油的成本价（元）．‎ 所以，线段所对应的函数关系为 ‎． ‎ ‎（3）线段．‎ ‎8．(2009年陕西省)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．‎ 根据图像信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；‎ ‎（2）求返程中y与x之间的函数表达式；‎ ‎（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．‎ ‎【关键词】一次函数图表信息题 ‎【答案】21．解：（1）不同，理由如下：‎ ‎ ∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时， ∴往、返速度不同．‎ ‎（2）设返程中y与x之间的表达式为y＝kx+b，‎ 则 解之，得 ‎∴y＝－48x+240．（2.5≤x≤5）（评卷时，自变量的取值范围不作要求）‎ ‎ （3）当x＝4时，汽车在返程中， ∴y＝－48×4+240＝48．∴这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为‎48km．‎ ‎49．（2009年广西南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价（元）与铺设面积的函数关系如图12所示；乙工程队铺设广场砖的造价（元）与铺设面积满足函数关系式：．‎ ‎（1）根据图12写出甲工程队铺设广场砖的造价（元）与铺设面积的函数关系式；‎ ‎（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？‎ 图12‎ y元 ‎48000‎ ‎48000‎ ‎28000‎ ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎【关键词】一次函数的实际问题 ‎【答案】解：（1）当时，设，把代入上式得：‎ ‎ ‎ 当时，设，把、代入上式得：‎ ‎ 解得： ‎ ‎（2）当时， ‎ 当时，即： 得：‎ 当时，即： 得：‎ 当时，即， ‎ 答：当时，选择甲工程队更合算，当时，选择乙工程队更合算，当时，选择两个工程队的花费一样．‎ ‎3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。‎ ‎ （1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；‎ ‎ （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？‎ ‎【关键词】二次函数极值 ‎【答案】【答案】（1）‎ ‎（2）设利润为 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件元.‎ ‎5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：‎ ‎（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；‎ ‎（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）请画出上述函数的大致图象．‎ ‎【关键词】二次函数的实际应用.‎ ‎【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-,0≤x≤20；‎ ‎（2）y=-20,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略.‎ ‎12、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12‎ ‎（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；‎ ‎（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？‎ ‎【关键词】待定系数法 函数的极值问题 ‎【答案】（1）当时，线段OA的函数关系式为;‎ 当时，‎ 由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为 在中，令x=10，得；∴B（10，320）‎ ‎∵B（10，320）在该抛物线上 ‎∴‎ 解得 ‎∴当时，=‎ ‎，‎ ‎，.‎ 综上可知，‎ ‎(2) 当时, 当时, 当时, ‎ ‎(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.‎ ‎13、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．‎ ‎（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？‎ ‎（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？‎ ‎【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题 ‎ ‎【答案】解：（1）（且为整数）；‎ ‎（2）．‎ ‎，当时，有最大值2402.5．‎ ‎，且为整数，‎ 当时，，（元），当时，，（元）‎ 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．‎ ‎（3）当时，，解得：．‎ 当时，，当时，．‎ 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．‎ 当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．‎ 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．‎ ‎47、（2009南宁市）26．如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为米．‎ ‎（1）用含的式子表示横向甬道的面积；‎ ‎（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；‎ ‎（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过‎6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？‎ ‎【关键词】二次函数的极值问题 ‎【答案】26．解：（1）横向甬道的面积为：‎ ‎（2）依题意：‎ 整理得：‎ ‎（不符合题意，舍去）‎ 甬道的宽为‎5米．‎ ‎（3）设建设花坛的总费用为万元．‎ 当时，的值最小．‎ 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过‎6米，‎ 米时，总费用最少．‎ 最少费用为：万元 解直角三角形 ‎2．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离．‎ ‎【关键词】解直角三角形 ‎【答案】解：如图，过B点作BD⊥AC于D ‎∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45° ‎ 设BD＝x 在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝ ‎ 在Rt△BDC中 BD＝DC＝x BC＝‎ 又AD＝5×2＝10 ∴得 ‎ ‎∴（海里）‎ 答：灯塔B距C处海里 ‎（2009威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在处的北偏西37°方向上，距B处‎20海里；C处在A处的北偏东65°方向上．‎ 求B,C之间的距离（结果精确到‎0.1海里）．‎ ‎65°‎ ‎37°‎ 北 北 A C B ‎65°‎ ‎37°‎ 北 北 A C B D 参考数据：‎ ‎【关键词】方位角问题 ‎【答案】过点A作，垂足为D 在中，，，‎ ‎∴．‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎∴‎ ‎（海里）‎ 答：之间的距离约为‎21.6海里．‎ ‎（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为‎30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）‎ ‎（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）‎ ‎【关键词】解直角三角形．三角函数 ‎【答案】‎ 解：方法一：过D点作DF⊥AB于F点 在Rt△DEF中，设EF=x，则DF=x 在Rt△ADF中，tan50°=≈1.204分 ‎30+x=x×1.20 ‎ x≈27.8  ‎∴DF=x≈48  答：张明同学站在离办公楼约‎48米处进行测量的 ‎ 方法二：过点D作DF⊥AB于F点  在Rt△DEF中，EF=FD·tan30° ‎ 在Rt△AFD中，AF=FD·tan30° ∵AE+EF=AF ∴30+FDtan30°=FD·tan50° ∴FD≈48 ‎ 答：张明同学站在离办公楼约‎48米处进行测量的 ‎ 应用题 ‎1. (2010年聊城冠县实验中学二模) ‎ 某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置喷灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元。若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益（扣除修建和种植成本后），工作组应建议他修建多少公顷大棚。（结果用分数表示即可）‎ 解：设建议他修建公项大棚，根据题意 得 ‎ 即 解得， ‎ 从投入、占地与当年收益三方面权衡应舍去 ‎ 所以，工作组应建议修建公顷大棚. ‎ ‎2.（2010年广西桂林适应训练）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元. ‎ ‎　（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？‎ ‎　（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400‎ 元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？‎ 解：（1）解法一：设书包的单价为元，则随身听的单价为元 根据题意，得 　　　　‎ ‎　　解这个方程，得 ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。‎ ‎　　解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元 ‎　　根据题意，得……1分 ；解这个方程组，得 ‎　　答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 ‎ ‎　　（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：（元）‎ 因为，所以可以选择超市A购买。 ‎ 在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购 买书包，总计共花费现金:360+2=362（元）　 ‎ ‎　　因为，所以也可以选择在超市B购买。 ‎ ‎　　因为，所以在超市A购买更省钱 ‎3.（2010年黑龙江一模）‎ 某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？‎ 设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品．‎ 答案：依题意有． ‎ 整理得．‎ 解得或． ‎ 时，，舍去．‎ ‎．‎ 答：改进操作方法后每天生产60件产品．‎ ‎4.（2010年江西南昌一模）现有一批设备需由景德镇运往相距‎300千米的南昌，甲、乙两车分别以‎80千米/时和‎60千米/时的速度同时出发，甲车在距南昌‎130千米的A处发现有部分设备丢在B处, 立即以原速返回到B处取回设备，为了还能比乙车提前到达南昌，开始加速以‎100千米/时的速度向南昌前进，设AB的距离为a千米.‎ ‎（1）写出甲车将设备从景德镇运到南昌所经过的路程(用含a的代数式表示)；‎ 景德镇 甲 乙 B A 南昌 ‎(2)若甲车还能比乙车提前到达南昌,求a的取值范围.(不考虑其它因素)‎ 答案：解：(1)； ‎ ‎ (2)由题意得:‎ ‎ ‎ 解得 又∵ 所以，a的取值范围为 .‎ ‎5.（2010广东省中考拟）A,B两地相距‎18km，甲工程队要在A，B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A，B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每周比乙工程队少铺设‎1km，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙工程队每周各铺设多少管道？‎ 解：设甲工程队铺设xkm/周，则乙工程队铺设（x+1）/周，依题意得：‎ ‎ ‎ 解这个方程，得 x1=2,x2= -3． ‎ ‎ 经检验，x1=2,x2= -3都是原方程的解，但．x2= -3不符合题意，应舍去。‎ ‎ 答：甲工程队铺设‎2km/周，则乙工程队铺设‎3km/周 A M ‎45°‎ ‎30°‎ B 北 第6题 ‎6.（2010年广东省中考拟）如图，是一个实际问题抽象的几何模型，已知A、B之间的距离为‎300m，求点M到直线AB的距离（精确到整数）．并能设计一种测量方案？‎ ‎（参考数据：，）‎ 答案： 过点M作AB的垂线MN，垂足为N . ‎ ‎∵M位于B的北偏东45°方向上，‎ ‎∴∠MBN = 45°，BN = MN. ‎ A M ‎45°‎ ‎30°‎ B 北 第6题答案图 N 又M位于A的北偏西30°方向上，‎ ‎∴∠MAN=60°，AN = .‎ ‎∵AB = 300，∴AN+NB = 300 .‎ ‎∴. ‎ MN .‎ 方案：利用三角函数知识或相似三角形或全等三角形知识，合理都可以给分（由于计算方式及取近似值时机不同有多个值，均不扣分）‎ ‎7.（2010年湖南模拟）某花木园,计划在园中栽96棵桂花树,开工后每天比原计划多栽2棵,结果提前4天完成任务,问原计划每天栽多少棵桂花树.‎ 解:设原计划每天栽树x棵 ‎ 根据题意,得=4 整理,得x2+2x-48=0 解得x1=6,x2=-8‎ ‎ 经检验x1=6,x2=-8都是原方程的根,但x2=-8不符合题意(舍去)‎ ‎ 答:原计划每天栽树6棵.‎ ‎8.(2010年厦门湖里模拟)某果品基地用汽车装运A、B、C三种不同品牌的水果到外地销售，按规定每辆汽车只能装同种水果，且必须装满，其中A、B、C三种水果的重量及利润按下表提供信息：‎ 水果品牌 A B C 每辆汽车载重量（吨）‎ ‎2．2‎ ‎2．1‎ ‎2‎ 每吨水果可获利润（百元）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎（1）若用7辆汽车装运A、C两种水果共15吨到甲地销售，如何安排汽车装运A、C两种水果？‎ ‎（2）计划用20辆汽车装运A、B、C三种不同水果共42吨到乙地销售（每种水果不少于2车），请你设计一种装运方案，可使果品基地获得最大利润，并求出最大利润.‎ 解：（1）设安排x辆汽车装运A种水果，则安排（7-x）辆汽车装运C种水果.‎ ‎ 根据题意得，2.2x +2（7-x）=15 ‎ ‎ 解得，x=5，∴7-x=2 ‎ ‎ 答：安排5辆汽车装运A种水果，安排2辆汽车装运C种水果。 ‎ ‎（2）设安排m辆汽车装运A种水果，安排n辆汽车装运B种水果，则安排（20-m-n）辆装运C种水果。根据题意得，‎2.2m+2.1n+2（20-m-n）= 42 ‎ ‎ ∴n =20‎-2m ‎ ‎ 又∵∴ ∴ （m是整数）‎ ‎ 设此次装运所获的利润为w，则w=6×‎2.2m +8×2.1n +5×2×（20-m-n）=－‎10.4m＋336…‎ ‎∵-10.4＜0， ∴W随m的增大而减小，‎ ‎∴当m=2时，W=315.2（百元）=31520（元）‎ 即，各用2辆车装运A、C种水果，用16辆车装运B种水果使果品基地获得最大利润，最大利润为31520元.‎ ‎9.（2010年杭州月考）某公司有型产品40件，型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：‎ 型利润 型利润 甲店 ‎200‎ ‎170‎ 乙店 ‎160‎ ‎150‎ ‎（1）设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元），求关于的函数关系式，并求出的取值范围；‎ ‎（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；‎ ‎（3）为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润．甲店的型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？‎ 答案：依题意，甲店型产品有件，乙店型有件，型有件，则（1）．‎ 由解得． ‎ ‎（2）由，‎ ‎． ，，39，40．‎ 有三种不同的分配方案．‎ ‎①时，甲店型38件，型32件，乙店型2件，型28件．‎ ‎②时，甲店型39件，型31件，乙店型1件，型29件．‎ ‎③时，甲店型40件，型30件，乙店型0件，型30件． ‎ ‎（3）依题意：‎ ‎．‎ ‎①当时，，即甲店型40件，型30件，乙店型0件，型30件，能使总利润达到最大．‎ ‎②当时，，符合题意的各种方案，使总利润都一样．‎ ‎③当时，，即甲店型10件，型60件，乙店型30件，型0件，能使总利润达到最大．‎ ‎10.（2010年河南中考模拟题1）某市一些村庄发生旱灾，市政府决定从甲、乙两水库向A、B两村调水，其中A村需水15万吨，B村需水13万吨，甲、乙两水库各可调出水14万吨。甲、乙两水库到A、B两村的路程和运费如下表：‎ 路程（千米）‎ 运费（元/万吨·千米）‎ 甲水库 乙水库 甲水库 乙水库 A村 ‎50‎ ‎30‎ ‎1200‎ ‎1200‎ B村 ‎60‎ ‎45‎ ‎1000‎ ‎900‎ ‎（1）如果设甲水库调往A村x万吨水，求所需总费用y（元）与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果经过精心组织实行最佳方案，那么市政府需要准备的调运费用最低为多少？‎ 解：（1）Y=4500X+1339500 ‎ ‎ （2）由题意得：∵14－X≥0 15－X≥0 X－1≥0 X≥0‎ ‎ ∴1≤X≤14 ‎ ‎ 在函数Y=4500X+1339500中Y随X的减小而减小，当X=1时 ‎ Y有最小值 ‎ ‎ Y=134400‎ ‎11.（2010年河南中考模拟题2）某批发市场欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为‎120千米，汽车和火车的速度分别是‎60千米/小时、‎100千米/小时，两货运公司的收费项目和收费标准如下表所示：‎ 运输工具 运输费单价 ‎（元/吨·千米）‎ 冷藏费单价 ‎（元/吨·小时）‎ 过路费（元）‎ 装卸及管理 费用（元）‎ 汽车 ‎2‎ ‎5‎ ‎200‎ ‎0‎ 火车 ‎1.8‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1600‎ ‎ （元/吨·千米表示每吨货物每千米的运费；元/吨·小时表示每吨货物每小时冷藏费）‎ （1） 设批发商待运的海产品有x吨，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），分别写出y1、y2与x的关系式.‎ （2） 若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省费用，他应该选哪个货运公司承担运输业务？‎ 解：(1) y1=200+2×120x+5×x=250x+200‎ y2=1600+1.8×120x+5×=222x+1600‎ ‎(2)当x＞50时， y1＞y2； 当x=50时， y1=y2； 当x＜50时，y1＜y2；‎ ‎∴所运海产品不少于30吨且不足50吨应选汽车货运公司；‎ 所运海产品刚好50吨，可任选一家； 所运海产品多于50吨，应选铁路货运公司 ‎12.（2010年河南中考模拟题3）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：‎ ‎（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成.‎ ‎（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天.‎ ‎（3）若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.‎ ‎ 试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由.‎ 解：设规定的日期为x 天m ，则1，‎ 解得x=6 ，经检验x=6是原方程的根 显然方案（2）不符合要求 方案（1）1.2×6=7.2（万元） 方案（3）1.2×3+0.5×6=6.6（万元）‎ 所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款 体积（m3／件）‎ 质量（吨／件）‎ A型商品 ‎0.8‎ ‎0.5‎ B型商品 ‎2‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎13.（2010年河南中考模拟题5）宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：‎ ‎ （1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是‎20 m3‎ ,质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？‎ ‎ （2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为‎6 m3‎,其收费方式有以下两种：‎ ‎ ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；‎ ‎ ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元.‎ ‎ 要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少?并求出该方式下的运费是多少元？‎ 解：（1）设A型商品x件，B型商品y件. ‎ 由题意可得： ‎ 解之得：答：A型商品5件，B型商品8件. ‎ ‎（2）① 若按车收费：10.5÷3.5=3（辆），‎ 但车辆的容积6×3=18<20，所以3辆汽车不够，需要4辆车 ‎4×600=2400.‎ ‎② 若按吨收费：200×10.5=2100（元）‎ ‎ ③ 先用3辆车运送‎18m3‎，剩余1件B型产品,付费3×600＝1800(元)‎ ‎ 再运送1件B型产品，付费200×1＝200(元)‎ ‎ 共需付1800＋210＝2000（元）‎ 答：先按车收费用3辆车运送‎18 m3‎，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元. ‎ ‎14.（2010年河南中考模拟题6）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：‎ 类别 冰箱 彩电 进价（元/台）‎ ‎2320‎ ‎1900‎ 售价（元/台）‎ ‎2420‎ ‎1980‎ （1） 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政府补贴。农民田大伯到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？‎ （2） 为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的。‎ ① 请你帮助该商场设计相应的进货方案；‎ ① 用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？‎ 解：（1）（2420+1980）×13℅=572，‎ ‎（2）①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，根据题意得 ‎ 解不等式组得， 因为x为整数，所以x=19、20、21，‎ 方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台， 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，‎ 方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台，‎ ② 设商场获得总利润为y元，则 Y=（2 420-2320）x+(1980-1900)（40-x） =20 x+3200‎ ‎∵20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=21时，y最大=20×21+3200=3620.‎ ‎15.(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)‎ 某企业信息部进行市场调研发现：‎ 信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yＡ(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：‎ x(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎5‎ yＡ(万元)‎ ‎0.4‎ ‎0.8‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎2‎ 信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yＢ(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yＢ＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．‎ ‎(1)求出yＢ与x的函数关系式．‎ ‎(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yＡ与x之间的关系，并求出yＡ与x的函数关系式．‎ ‎(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？‎ 答案：‎ 解：(1)yB=－0.2x2+1.6x, （2）一次函数,yA=0.4x,‎ ‎ （3）设投资B产品x万元，投资A产品（15－x）万元，投资两种产品共获利W万元， 则W=（－0.2x2+1.6x）+0.4（15－x）=－0.2x2+1.2x+6=－0.2(x－3)2+7.8, ‎ ‎∴当x=3时,W最大值=7.8,‎ 答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润5.8万元.‎ ‎16.（2010年广州中考数学模拟试题(四)）小明家想要在自己家的阳台上铺地砖，经测量后设计了如右图的图纸，黑色区域为宽度相等的一条“‎7”‎形的健身用鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域.‎ ‎（1）要使铺地砖的面积为‎14平方米，那么小路的宽度应为多少？‎ 第16题图 ‎（2）小明家决定在阳台上铺设规格为80×80的地砖（即边长为‎80厘米的正方形），为了美观起见，工人师傅常采用下面的方法来估算至少需要的地砖数量：尽量保证整块地砖的铺设，边上有多余空隙的，空隙宽度小于地砖边长一半的，可将一块割成两块来铺设空隙处，大于一半的只能铺设一处一边长80厘米的矩形空隙，请你帮助工人师傅估算一下小明家至少需要多少块地砖？‎ 答案：（1）设小路的宽度为X米，根据题意得，‎ ‎（4-x）（4.5-x）=14，∴x1=0.5 ‎ ‎，x2=8（不符合题意，应舍去）‎ 答：小路的宽度为‎0.5米. （2）23块.‎ ‎17.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）某市政府为响应党中央建设社会主义新农村和节约型社会的号召,决定资助部分农村地区修建一批沼气池,使农民用到经济、环保的沼气能源．红星村共有264户村民，村里得到34万元的政府资助款，不足部分由村民集资解决．修建A型、B型沼气池共20个.两种型号沼气池每个修建费用、可供使用的户数、修建用地情况见下表：‎ 沼气池 修建费用（万元/个）‎ ‎ 可供使用户数（户/个）‎ 占地面积（m2/个）‎ A型 ‎3‎ ‎20‎ ‎48‎ B型 ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ 政府土地部门只批给该村沼气池修建用地‎708m2‎．若修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）既不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种？‎ ‎（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案？‎ 答案：（1）；‎ ‎（2）由题意得 解得12≤x≤14．‎ ‎∵x是正整数，∴x的值为12，13，14．‎ 即有3种修建方案： A型12个，B型8个； A型13个，B型7个； A型14个，B 型6个.‎ ‎（3）在中，y随x的增大而增大，要使费用最少，x取12．‎ ‎∴最少费用为=52（万元）．‎ 每户村民集资700元和政府资助款合计为：‎ ‎．‎ ‎∴每户村民集资700元，能满足所需费用最少的修建方案.‎ ‎18.( 2010年山东菏泽全真模拟1)A、B两城铁路长240千米，为使行驶时间减少20分，需要提速10千米／时，但在现有条件下安全行驶限速100千米／时，问能否实现提速目标．‎ 解:设提提速后行驶为x千米/时,根据题意,得去分母.‎ 整理得. 解之得 经检验, 都是原方程的根. ‎ 但速度为负数不合题意,所以只取x=90. ‎ 由于x=90＜100.所以能实现提速目标.‎ 列方程（组）解应用题是我们感到困难的问题之一，下面通过一些例子来看怎样解答这类题目。(综合)‎ 一、列一次方程解应用题 ‎ 例1 天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”‎10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．‎ ‎（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）‎ 速度（千米／时）‎ 所用时间（时）‎ 所走的路程（千米）‎ 骑自行车 x ‎10‎ 乘汽车 ‎10‎ ‎（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．‎ 解： （Ⅰ）‎ 速度（千米／时）‎ 所用时间（时）‎ 所走的路程（千米）‎ 骑自行车 ‎10‎ 乘汽车 ‎10‎ ‎（Ⅱ）根据题意，得 ． ‎ 整理，得 2x=30 ‎ 解得 ． ‎ 经检验，是原方程的根． ‎ 答：骑车同学的速度为每小时15千米． ‎ ‎ 这是天津市2008年的一道中考数学试题，这道题给我们提供了一种列一元一次方程解应用题的方法，你能看懂这个题的解题过程并理解这种方法吗？如果看懂了，你可以知道这就是列方程（组）解应用问题的一般方法。如果看不懂，我们来一起分析。‎ ‎ 例2 京津城际铁路将于‎2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶‎40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？‎ 分析：‎ ‎（1）这个题目中说的是行程，在这个问题中有三个量：时间、速度、路程。‎ 我们知道这三个量之间有数量关系：路程=速度×时间（将这个式子变形，还可以得到：速度=路程÷时间， 时间=路程÷速度）‎ ‎（2）这个题目中说的是“由北京到天津”和“由天津返回北京”两个方面。‎ ‎（3）这个题目中问的是：“北京到天津的平均速度是每小时多少千米？”我们可以设北京到天津的平均速度是x千米/时 ‎ 我们分析题目时分析了三个问题，一是题目中的数量关系，二是题目涉及的两个方面，三是将题目中的未知量用字母x表示。‎ 在此之后，可以设计表格：‎ 速度（千米／时）‎ 时间（时）‎ 路程（千米）‎ 由北京到天津 由天津返回北京 我们根据题意，完成填表： ‎ 速度（千米／时）‎ 时间（时）‎ 路程（千米）‎ 由北京到天津 x s（为定值）‎ 由天津返回北京 x+40‎ s（为定值）‎ ‎ 思考：‎ ‎（1）在表中我们发现了哪个量没有发生变化？‎ 显然是北京与天津间城际列车行驶的路程。这样我们可以写出等量关系：‎ ‎ 列车由北京到天津行使的路程=列车由天津返回北京行使的路程 ‎（2）怎样表示上面的等量关系？‎ 利用时间、速度、路程三个量之间的数量关系：路程=速度×时间，可以将上面的等量关系表示为： x=（x+40）‎ ‎ x=（x+40）就是我们列出的方程,它是一元一次方程。‎ 解题时，只要下面的过程就可以了，上面的分析—列表---思考可以在草稿纸或脑子里完成。‎ ‎ 解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米．‎ 根据题意，得 ． ‎ 整理，得 =20 解得 ． ‎ 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时‎200千米． ‎ ‎ 例3 2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到‎30千米远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．‎ ‎ 分析：‎ ‎ （1）数量关系：路程=速度×时间（将这个式子变形，还可以得到：速度=路程÷时间， 时间=路程÷速度）‎ ‎ （2）两方：摩托车和抢修车（或维修工和维修队）‎ ‎ （3）未知量：设摩托车的速度为x千米/时，‎ 则抢修车的速度为1.5x千米/时 ‎ 列表：‎ 速度（千米／时）‎ 时间（时）‎ 路程（千米）‎ 摩托车 x ‎30‎ 抢修车 ‎1.5x ‎30‎ ‎ 思考：‎ ‎ （1）等量关系：摩托车行驶的时间=抢修车行驶的时间＋‎ ‎ （2）用代数式表示等量关系：=+ ，它是分式方程。 ‎ ‎ 解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时． ‎ 根据题意，得 =+ 即 ‎ 去分母，得 120－80= x 解得 ‎ ‎ 经检验，x = 40是原方程的根。 ∴ ‎ 答：摩托车的速度为‎40千米/时，抢修车的速度为‎60千米/时． ‎ ‎ 例4 为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．‎ ‎ 分析：‎ ‎（1）数量关系：人均捐款= （将这个式子变形，还可以得到：‎ 捐款总额=人均捐款×捐款人数， 捐款人数=）‎ ‎（2）两方：第一次捐款和第二次捐款 ‎（3）未知量：设第二次捐款x人，则第一次捐款（x－50）人 列表：‎ 人均捐款（元）‎ 捐款人数（人）‎ 捐款总数（元）‎ 第一次捐款 x－50‎ ‎9000‎ 第二次捐款 x ‎12000‎ 思考：‎ ‎（1）等量关系：第一次人均捐款数=第二次人均捐款数 ‎（2）用代数式表示等量关系：= ，它是分式方程。‎ 解法一：设第二次捐款人数为人，则第一次捐款人数为人． ‎ 根据题意，得 ． ‎ 去分母，得 9000x=12000x－600000 解得 ． ‎ 经检验，是所列方程的根． ‎ 答：该校第二次捐款人数为200人． ‎ 上面的方法，我们按照它的完成过程称作：“分析——列表——思考——解”的方法。我们发现用“分析——列表——思考——解”的方法，可以用来列一元一次方程（或可化为一元一次方程的分式方程）解应用题。还可以用这样的方法列二共计19元 共计18元 第三束 水仙花 康乃馨 元一次方程（组）解应用题。‎ 例5 群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，由康乃馨和水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求第三束鲜花的价格．‎ ‎ 分析：‎ ‎（1）数量关系：‎ 鲜花总价=鲜花单价×这种鲜花的支数 ‎ （2）两方：第一束花和第二束花 ‎ （3）未知量：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元 ‎ 列表：‎ 单价 支数 总价 第一束花 康乃馨每支x元，‎ 水仙花每支y元 康乃馨3支，‎ 水仙花1支 ‎19元 第二束花 康乃馨每支x元，‎ 水仙花每支y元 康乃馨2支，‎ 水仙花2支 ‎18元 ‎ 思考：‎ ‎ （1）等量关系：第一束鲜花的总价=19元 ‎ 第二束鲜花的总价=18元 ‎ （2）用代数式表示等量关系：‎ ‎ 3x+18y=19，2x+2y=18，可以联立成二元一次方程组。 ‎ 解：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元 ‎ 根据题意， 得 解得 ‎ 第三束花的价格为 ‎ 答：第三束花的价格是17元． ‎ 二、列二次方程解应用题 我们可以发现，可以列一次方程解决的问题有一个共同的特点，就是题目中经常出现两方。例如，前面题目例1中的“乘车和骑车”，例2中的“由北京到天津和由天津返回北京”，例3中的“摩托车和抢救车”，例4中的“第一次和第二次”，例5中的“第一束花和第二束花”等，而下面的例题则没有这样的特点，这样的题目可能会用列二次方程来解。‎ 例6 某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．‎ ‎（1）该公司2006年盈利多少万元？ ‎ ‎（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？‎ 分析：‎ ‎（1）数量关系：在这个问题中有三个量：基数（原有部分），增长部分、增长率，其中，增长率=‎ ‎（2）列表：设年盈利平均增长率为x 基数 增长部分 总数 ‎2005‎ ‎/‎ ‎/‎ ‎1500‎ ‎2006‎ ‎1500‎ ‎1500x ‎1500+1500x=1500（1+x）‎ ‎2007‎ ‎1500（1+x）‎ ‎1500（1+x）x ‎2160‎ ‎（3）2007年的盈利为：‎ ‎1500（1+x）+1500（1+x）x =1500（1+x）（1+x）=1500（1+x）2‎ ‎（4）等量关系：2007年的盈利=2160即1500（1+x）2=2160，它是一元二次方程。‎ 解：（1）设年盈利的平均增长率为x ， ‎ 根据题意，得 解得（不合题意，舍去） ‎ ‎ 答：2006年该公司盈利1800万元． ‎ ‎（2） 答：预计2008年该公司盈利2592万元． ‎ 想一想：如果我们不设“年盈利平均增长率为x”，直接设“2006年该公司盈利x万元”行不行？‎ ‎2005年，2006年，2007年该公司的盈利数分别为：1500，1500（1+x），1500（1+x）2。我们发现这三个数很有意思，=1+x，=1+x，即 ‎=。也就是说：‎ ‎2006年盈利数：2005年盈利数=2007年盈利数：2006年盈利数 这样我们可以直接设：2006年该公司盈利x万元。‎ 新解：设2006年该公司盈利x万元 根据题意，得 ‎ ‎（注意：这个方程我们没有见过，但是可以利用我们学过的“比例的基本性质”去解。）‎ 整理，得 x2=1500×2160， 解得 x=±1800（负值舍去）‎ 经检验，x=±1800都是原方程的解 答：2006年该公司盈利1800万元。‎ 例7 某商店购进一种商品，单价30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？‎ ‎（1）题目中有4个量：进价、销售价、利润、销售量，这些量中存在的数量关系有：（销售价-进价）×销售量=利润。‎ ‎（2）题目中还给出了销售量p（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系：（其中x为正整数）．‎ ‎（3）设每件的销售价为x元，每天出售商品p件 ‎（4）两个等量关系：（销售价-进价）×销售量=利润、‎ 解法一：设每件的销售价为x元，每天出售商品p件 ‎ 根据题意，得 ‎ ‎（注意：这个方程组我们没有见过，但是可以利用我们学过的“代入消元法”去解。）‎ ‎ 将（2）代入（1），得 （3）‎ ‎ 整理，得 解得 x=40‎ ‎ 把x=40代入（2），得 p=20‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件．‎ 解法二：设每件的销售价为x元，则每天出售商品（100-2x）件 根据题意，得 ‎ 整理，得 （元）（件） ‎ 答：每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件． ‎ ‎ 想一想：列方程解应用题时，一般问什么设什么，问几个设几个，这种方法叫做直接设元法。按照这个方法，我们列出的方程可能是没有见过和学过的，但是经过分析，有些是可以解的。我们也学过间接设未知数的方法，即间接设元法。使用间接设元法列出的方程一般是我们学过的方程。‎ 例8 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1．在温室内，沿前侧内墙保留‎3 m宽的空地，其它三侧内墙各保留‎1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是‎288 m2‎？‎ 前 侧 空 地 蔬 菜 种 植 区 域 分析：‎ 解法一：（直接设元）‎ ‎ 设矩形温室的长为x m，宽为y m 根据题意，得 ‎ 将（1）代入（2），得 （2y－4）（y－2）=288 （3）‎ 整理，得y2－4y－140=0‎ 解得 y1＝－10，y2＝14 将y1＝－10，y2＝14代入③，‎ 得 （不合题意，舍去），‎ 答：当矩形温室的长为‎28 m，宽为‎14 m时，蔬菜种植区域的面积是‎288 m2‎．‎ 解法二：（设一个未知数） 设矩形温室的宽为x m，则长为2 x m ‎ 根据题意，得 （x－2）（2x－4）＝288 整理，得x2－4x－140=0‎ 解得 x 1＝－10（不合题意，舍去），x2＝14． 所以x＝14，2x＝2×14＝28．‎ 答：当矩形温室的长为‎28 m，宽为‎14 m时，蔬菜种植区域的面积是‎288 m2‎． ‎ ‎ 在列方程（组）解应用题时，一般采用直接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的个数要与未知数的个数相同。‎ 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用学过的知识来判断是什么方程（组），然后，根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组）。‎ 解方程（组）时步骤可以少一些，但是应该有这类方程（组）的标准形式。‎ 对于这类方程（组）的解应该考虑它们是否符合题意。‎