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  • 2021-05-13 发布

山东省日照市中考数学试题及答案解析

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‎2015年山东省日照市中考数学试卷 一、选择题(1-8小题每小题3分,9-12小题每小题3分)‎ ‎1.(3分)(2015•日照)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 轴对称图形..‎ 分析:‎ 根据轴对称图形的概念求解.‎ 解答:‎ 解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;‎ B、不是轴对称图形,故本选项错误;‎ C、不是轴对称图形,故本选项错误;‎ D、是轴对称图形,故本选项正确.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•日照)的算术平方根是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎±2‎ C.‎ D.‎ ‎±‎ 考点:‎ 算术平方根..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 先求得的值,再继续求所求数的算术平方根即可.‎ 解答:‎ 解:∵=2,‎ 而2的算术平方根是,‎ ‎∴的算术平方根是,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了算术平方根的定义,解题时应先明确是求哪个数的算术平方根,否则容易出现选A的错误.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•日照)计算(﹣a3)2的结果是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a5‎ B.‎ ‎﹣a5‎ C.‎ a6‎ D.‎ ‎﹣a6‎ 考点:‎ 幂的乘方与积的乘方..‎ 分析:‎ 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解.‎ 解答:‎ 解:(﹣a3)2=a6.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了幂的乘方和积的乘方,掌握运算法则是解答本题关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•日照)某市测得一周PM2.5的日均值(单位:微克/立方米)如下:31,30,34,35,36,34,31,对这组数据下列说法正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 众数是35‎ B.‎ 中位数是34‎ C.‎ 平均数是35‎ D.‎ 方差是6‎ 考点:‎ 方差;加权平均数;中位数;众数..‎ 分析:‎ 根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:A、31和34出现了2次,出现的次数最多,则众数是31和34,故本选项错误;‎ B、把这组数据从小到大排列,最中间的数是34,则中位数是34,故本选项错正确;‎ C、这组数据的平均数是:(31+30+34+35+36+34+31)÷7=33,故本选项错误;‎ D、这组数据的方差是:[2(31﹣33)2+(30﹣33)2+2(34﹣33)2+(35﹣33)2+(36﹣33)2]=,故本选项错误;‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2].‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•日照)小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时,发现它的右视图、俯视图、左视图均为如图,则构成该几何体的小立方块的个数有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3个 B.‎ ‎4个 C.‎ ‎5个 D.‎ ‎6个 考点:‎ 由三视图判断几何体..‎ 分析:‎ 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.‎ 解答:‎ 解:从俯视图发现有3个立方体,从左视图发现第二层最多有1个立方块,‎ 则构成该几何体的小立方块的个数有4个;‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•日照)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①②‎ B.‎ ‎②③‎ C.‎ ‎①③‎ D.‎ ‎②④‎ 考点:‎ 正方形的判定..‎ 分析:‎ 利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别,结合正方形的判定方法分别判断得出即可.‎ 解答:‎ 解:A、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,‎ 当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项错误;‎ B、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,‎ 当AC=BD时,这是矩形的性质,无法得出四边形ABCD是正方形,故此选项正确;‎ C、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,‎ 当③AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项错误;‎ D、∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,‎ 当④AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项错误.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法,正确掌握正方形的判定方法是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•日照)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组..‎ 分析:‎ 分别求出各不等式的解集,并在数轴上表示出来即可.‎ 解答:‎ 解:,由①得,x≤﹣1,由②得,x>﹣5,‎ 故﹣5<x≤﹣1.‎ 在数轴上表示为:‎ ‎.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•日照)如图,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则阴影部分面积为(结果保留π)(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎24﹣4π B.‎ ‎32﹣4π C.‎ ‎32﹣8π D.‎ ‎16‎ 考点:‎ 扇形面积的计算..‎ 分析:‎ 连接AD,因为△ABC是等腰直角三角形,故∠ABD=45°,再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°,故△ABD也是等腰直角三角形,所以=,S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出结论.‎ 解答:‎ 解:连接AD,OD,‎ ‎∵等腰直角△ABC中,‎ ‎∴∠ABD=45°.‎ ‎∵AB是圆的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∴△ABD也是等腰直角三角形,‎ ‎∴=.‎ ‎∵AB=8,‎ ‎∴AD=BD=4,‎ ‎∴S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD=S△ABC﹣S△ABD﹣(S扇形AOD ‎﹣S△ABD)=×8×8﹣×4×4﹣+××4×4=16﹣4π+8=24﹣4π.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2015•日照)某县大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造,2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎20%‎ B.‎ ‎40%‎ C.‎ ‎﹣220%‎ D.‎ ‎30%‎ ‎[来源:学科网]‎ 考点:‎ 一元二次方程的应用..‎ 专题:‎ 增长率问题.‎ 分析:‎ 首先设每年投资的增长率为x.根据2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,列方程求解.‎ 解答:‎ 解:设每年投资的增长率为x,‎ 根据题意,得:5(1+x)2=7.2,‎ 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去),‎ 故每年投资的增长率为为20%.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n,其中n为共增长了几年,a为第一年的原始数据,x是增长率.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2015•日照)如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 解直角三角形..‎ 分析:‎ 延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,由tanB=,即=,设AD=5x,则AB=3x,然后可证明△CDE∽△BDA,然后相似三角形的对应边成比例可得:,进而可得CE=x,DE=,从而可求tan∠CAD==.‎ 解答:‎ 解:如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,‎ ‎∵tanB=,即=,‎ ‎∴设AD=5x,则AB=3x,‎ ‎∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,‎ ‎∴△CDE∽△BDA,‎ ‎∴,‎ ‎∴CE=x,DE=,‎ ‎∴AE=,‎ ‎∴tan∠CAD==.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,是基础知识要熟练掌握,解题的关键是:正确添加辅助线,将∠CAD放在直角三角形中.‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)(2015•日照)观察下列各式及其展开式:‎ ‎(a+b)2=a2+2ab+b2‎ ‎(a+b)3=a3+‎3a2b+3ab2+b3‎ ‎(a+b)4=a4+‎4a3b+‎6a2b2+4ab3+b4‎ ‎(a+b)5=a5+‎5a4b+‎10a3b2+‎10a2b3+5ab4+b5‎ ‎…‎ 请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎36‎ B.‎ ‎45‎ C.‎ ‎55‎ D.‎ ‎66‎ 考点:‎ 完全平方公式..‎ 专题:‎ 规律型.‎ 分析:‎ 归纳总结得到展开式中第三项系数即可.‎ 解答:‎ 解:解:(a+b)2=a22+2ab+b2;‎ ‎(a+b)3=a3+‎3a2b+3ab2+b3;‎ ‎(a+b)4=a4+‎4a3b+‎6a2b2+4ab3+b4;‎ ‎(a+b)5=a5+‎5a4b+‎10a3b2+‎10a2b3+5ab4+b5;‎ ‎(a+b)6=a6+‎6a5b+‎15a4b2+‎20a3b3+‎15a2b4+6ab5+b6;‎ ‎(a+b)7=a7+‎7a6b+‎21a5b2+‎35a4b3+‎35a3b4+‎21a2b5+7ab6+b7;‎ 第8个式子系数分别为:1,8,28,56,70,56,28,8,1;‎ 第9个式子系数分别为:1,9,36,84,126,126,84,36,9,1;‎ 第10个式子系数分别为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,‎ 则(a+b)10的展开式第三项的系数为45.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2015•日照)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:‎ ‎①‎2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,‎ 其中正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①②③‎ B.‎ ‎①③④‎ C.‎ ‎①③⑤‎ D.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎②④⑤‎ 考点:‎ 二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点..‎ 专题:‎ 数形结合.‎ 分析:‎ 根据抛物线对称轴方程对①进行判断;由抛物线开口方向得到a<0,由对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断;根据顶点坐标对③进行判断;根据抛物线的对称性对④进行判断;根据函数图象得当1<x<4时,一次函数图象在抛物线下方,则可对⑤进行判断.‎ 解答:‎ 解:∵抛物线的顶点坐标A(1,3),‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,‎ ‎∴‎2a+b=0,所以①正确;‎ ‎∵抛物线开口向下,‎ ‎∴a<0,‎ ‎∴b=﹣‎2a>0,‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,‎ ‎∴c>0,‎ ‎∴abc<0,所以②错误;‎ ‎∵抛物线的顶点坐标A(1,3),‎ ‎∴x=1时,二次函数有最大值,‎ ‎∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以③正确;‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)‎ 而抛物线的对称轴为直线x=1,‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2,0),所以④错误;‎ ‎∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B点(4,0)‎ ‎∴当1<x<4时,y2<y1,所以⑤正确.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了二次项系数与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣‎4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣‎4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣‎4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎13.(4分)(2015•日照)若=3﹣x,则x的取值范围是 x≤3 .‎ 考点:‎ 二次根式的性质与化简..‎ 分析:‎ 根据二次根式的性质得出3﹣x≥0,求出即可.‎ 解答:‎ 解:∵=3﹣x,‎ ‎∴3﹣x≥0,‎ 解得:x≤3,‎ 故答案为:x≤3.‎ 点评:‎ 本题考查了二次根式的性质的应用,注意:当a≥0时,=a,当a<0时,=﹣a.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2015•日照)边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC的面积为  .‎ 考点:‎ 正方形的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形..‎ 分析:‎ 过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长,再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长,进而得出△ABC的面积即可.‎ 解答:‎ 解:过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长,如图,‎ ‎∵一个正方形和一个等边三角形的摆放,‎ ‎∴四边形DBEC是矩形,‎ ‎∴CE=DB=,‎ ‎∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=,‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题考查正方形的性质,关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2015•日照)如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3,那么代数式2n2﹣mn+‎2m+2015= 2026 .‎ 考点:‎ 根与系数的关系..‎ 分析:‎ 由于m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3,可知m,n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根.则根据根与系数的关系可知:m+n=2,mn=﹣3,又n2=n+3,利用它们可以化简2n2﹣mn+‎2m+2015=2(n+3)﹣mn+‎2m+2015=2n+6﹣mn+‎2m+2015=2(m+n)﹣mn+2021,然后就可以求出所求的代数式的值.‎ 解答:‎ 解:由题意可知:m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3,‎ 所以m,n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根,‎ 则根据根与系数的关系可知:m+n=1,mn=﹣3,‎ 又n2=n+3,‎ 则2n2﹣mn+‎2m+2015‎ ‎=2(n+3)﹣mn+‎2m+2015‎ ‎=2n+6﹣mn+‎2m+2015‎ ‎=2(m+n)﹣mn+2021‎ ‎=2×1﹣(﹣3)+2021‎ ‎=2+3+2021‎ ‎=2026.‎ 故答案为:2026.‎ 点评:‎ 本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数,然后利用根与系数的关系式求值.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2015•日照)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形,点F在x轴的正半轴上,点C在边DE上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象过点B,E.若AB=2,则k的值为 6+2 .‎ 考点:‎ 反比例函数图象上点的坐标特征..‎ 分析:‎ 设E(x,x),则B(2,x+2),根据反比例函数系数的几何意义得出x2=x(x+2),求得E的坐标,从而求得k的值.‎ 解答:‎ 解:设E(x,x),‎ ‎∴B(2,x+2),‎ ‎∵反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象过点B、E.‎ ‎∴x2=x(x+2),‎ 解得x1=1+,x2=1﹣(舍去),‎ ‎∴k=x2=6+2,‎ 故答案为6+2.‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,关键是掌握反比例函数图象上点与反比例函数中系数k的关系.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(9分)(2015•日照)(1)先化简,再求值:(+1),其中a=;‎ ‎(2)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y=0,求实数m的值.‎ 考点:‎ 分式的化简求值;二元一次方程组的解..‎ 分析:‎ ‎(1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a的值代入进行计算即可;‎ ‎(2)先把m当作已知条件求出x、y的值,再根据足x+y=0求出m的值即可.‎ 解答:‎ 解:(1)原式=•‎ ‎=•‎ ‎=a﹣1,‎ 当a=时,原式=﹣1;‎ ‎(2)解关于x,y的二元一次方程组得,‎ ‎∵x+y=0,‎ ‎∴‎2m﹣11+7﹣m=0,解得m=4.‎ 点评:‎ 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(9分)(2015•日照)为进一步推广“阳光体育”大课间活动,某中学对已开设的A实心球,B立定跳远,C跑步,D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1,图2的统计图,请结合图中的信息解答下列问题:‎ ‎(1)请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整;‎ ‎(2)随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生,其中有3名女生,2名男生,现从这5名学生中任意抽取2名学生,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图..‎ 分析:‎ ‎(1)用A的人数除以所占的百分比,即可求出调查的学生数;用抽查的总人数减去A、B、D的人数,求出喜欢“跑步”的学生人数,再除以被调查的学生数,求出所占的百分比,再画图即可;‎ ‎(2)用A表示男生,B表示女生,画出树形图,再根据概率公式进行计算即可.‎ 解答:‎ 解:(1)根据题意得:‎ ‎15÷10%=150(名).‎ 本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是;150﹣15﹣45﹣30=60(人),‎ 所占百分比是:×100%=40%,‎ 画图如下:‎ ‎(2)用A表示男生,B表示女生,画图如下:‎ 共有20种情况,同性别学生的情况是8种,‎ 则刚好抽到同性别学生的概率是=.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎19.(10分)(2015•日照)如图1所示,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,列车匀速行驶,图2为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)时间的函数关系图象.‎ ‎(1)填空:甲、丙两地距离 900 千米.‎ ‎(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.‎ 考点:‎ 一次函数的应用..‎ 分析:‎ ‎(1)根据函数图形可得,甲、丙两地距离为:900+150=1050(千米);‎ ‎(2)分两种情况:当0≤x≤3时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=kx+b,把(0,900),(3,0)代入得到方程组,即可解答;根据确定高速列出的速度为300(千米/小时),从而确定点A的坐标为(3.5,150),当3<x≤3.5时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=k1x+b1,把(3,0),(3.5,150)代入得到方程组,即可解答.‎ 解答:‎ 解:(1)根据函数图形可得,甲、丙两地距离为:900+150=1050(千米),故答案为:900.‎ ‎(2)当0≤x≤3时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=kx+b,‎ 把(0,900),(3,0)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴y=﹣300x+900,‎ 高速列出的速度为:900÷3=300(千米/小时),‎ ‎150÷300=0.5(小时),3+0.5=3.5(小时)‎ 如图2,点A的坐标为(3.5,150)‎ 当3<x≤3.5时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=k1x+b1,‎ 把(3,0),(3.5,150)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴y=300x﹣900,‎ ‎∴y=.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是读懂图象,获取相关信息,用待定系数法求函数解析式.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)(2015•日照)如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN.‎ ‎(1)求证:AM=BN;‎ ‎(2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值.‎ 考点:‎ 旋转的性质;全等三角形的判定与性质..‎ 分析:‎ ‎(1)由CA=CB,E,F分别是CA,CB边的三等分点,得CE=CF,根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,证明△AMC≌△BNC即可;‎ ‎(2)当MA∥CN时,∠ACN=∠CAM,由∠ACN+∠ACM=90°,得到∠CAM+∠ACM=90°,所以cotα==.‎ 解答:‎ 解:(1)∵CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,‎ ‎∴CE=CF,‎ 根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,‎ 在△AMC和△BNC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AMC≌△BNC,‎ ‎∴AM=BN;‎ ‎(2)∵MA∥CN,‎ ‎∴∠ACN=∠CAM,‎ ‎∵∠ACN+∠ACM=90°,‎ ‎∴∠CAM+∠ACM=90°,‎ ‎∴∠AMC=90°,‎ ‎∴cosα===.‎ 点评:‎ 本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及锐角三角函数的综合运用,难度适中,掌握旋转的性质是关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2015•日照)阅读资料:‎ 如图1,在平面之间坐标系xOy中,A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2,所以A,B两点间的距离为AB=.‎ 我们知道,圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合,如图2,在平面直角坐标系xoy中,A(x,y)为圆上任意一点,则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2,当⊙O的半径为r时,⊙O的方程可写为:x2+y2=r2.‎ 问题拓展:如果圆心坐标为P(a,b),半径为r,那么⊙P的方程可以写为 (x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 .‎ 综合应用:‎ 如图3,⊙P与x轴相切于原点O,P点坐标为(0,6),A是⊙P上一点,连接OA,使tan∠POA=,作PD⊥OA,垂足为D,延长PD交x轴于点B,连接AB.‎ ‎①证明AB是⊙P的切点;‎ ‎②是否存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q?若存在,求Q点坐标,并写出以Q为圆心,以OQ为半径的⊙O的方程;若不存在,说明理由.‎ 考点:‎ 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理;切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..‎ 专题:‎ 阅读型.‎ 分析:‎ 问题拓展:设A(x,y)为⊙P上任意一点,则有AP=r,根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程;‎ 综合应用:①由PO=PA,PD⊥OA可得∠OPD=∠APD,从而可证到△POB≌△PAB,则有∠POB=∠PAB.由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°,即可得到∠PAB=90°,由此可得AB是⊙P的切线;‎ ‎②当点Q在线段BP中点时,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ.易证∠OBP=∠POA,则有tan∠OBP==.由P点坐标可求出OP、OB.过点Q作QH⊥OB于H,易证△BHQ∽△BOP,根据相似三角形的性质可求出QH、BH,进而求出OH,就可得到点Q的坐标,然后运用问题拓展中的结论就可解决问题.‎ 解答:‎ 解:问题拓展:设A(x,y)为⊙P上任意一点,‎ ‎∵P(a,b),半径为r,‎ ‎∴AP2=(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.‎ 故答案为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2;‎ 综合应用:‎ ‎①∵PO=PA,PD⊥OA,‎ ‎∴∠OPD=∠APD.‎ 在△POB和△PAB中,‎ ‎,‎ ‎∴△POB≌△PAB,‎ ‎∴∠POB=∠PAB.‎ ‎∵⊙P与x轴相切于原点O,‎ ‎∴∠POB=90°,‎ ‎∴∠PAB=90°,‎ ‎∴AB是⊙P的切线;‎ ‎②存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q.‎ 当点Q在线段BP中点时,‎ ‎∵∠POB=∠PAB=90°,‎ ‎∴QO=QP=BQ=AQ.‎ 此时点Q到四点O,P,A,B距离都相等.‎ ‎∵∠POB=90°,OA⊥PB,‎ ‎∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA,‎ ‎∴tan∠OBP==tan∠POA=.‎ ‎∵P点坐标为(0,6),‎ ‎∴OP=6,OB=OP=8.‎ 过点Q作QH⊥OB于H,如图3,‎ 则有∠QHB=∠POB=90°,‎ ‎∴QH∥PO,‎ ‎∴△BHQ∽△BOP,‎ ‎∴===,‎ ‎∴QH=OP=3,BH=OB=4,‎ ‎∴OH=8﹣4=4,‎ ‎∴点Q的坐标为(4,3),‎ ‎∴OQ==5,‎ ‎∴以Q为圆心,以OQ为半径的⊙O的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=25.[来源:学。科。网]‎ 点评:‎ 本题是一道阅读题,以考查阅读理解能力为主,在解决问题的过程中,用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识,有一定的综合性.‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2015•日照)如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:‎ ‎(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?‎ 考点:‎ 二次函数综合题;线段的性质:两点之间线段最短;矩形的判定与性质;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..‎ 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,过点B作BH⊥x轴于H,如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°,BC=,AC=3,从而得到∠ACB=90°,然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值;‎ ‎(Ⅱ)(1)过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方,①当∠PAQ=∠CAB时,△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA,根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有P(x,3﹣3x),然后把P(x,3﹣3x)代入抛物线的解析式,就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时,△PAQ∽△CBA,同理,可求出点P的坐标;若点G在点A的上方,同理,可求出点P的坐标;(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.易得AE=EN,则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN.作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,从而可得∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得:当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形,从而有ND′=OC=3,ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标,从而得到OD、ON、NE的值,即可得到点E的坐标.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得 ‎,‎ 解得:.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3.‎ 联立,‎ 解得:或,‎ ‎∴点B的坐标为(4,1).‎ 过点B作BH⊥x轴于H,如图1.‎ ‎∵C(3,0),B(4,1),‎ ‎∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1,‎ ‎∴BH=CH=1.‎ ‎∵∠BHC=90°,‎ ‎∴∠BCH=45°,BC=.‎ 同理:∠ACO=45°,AC=3,‎ ‎∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,‎ ‎∴tan∠BAC===;‎ ‎(Ⅱ)(1)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似.‎ 过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.‎ 设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x.‎ ‎∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠APQ=∠ACB=90°.‎ 若点G在点A的下方,‎ ‎①如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB.‎ ‎∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,‎ ‎∴△PGA∽△BCA,‎ ‎∴==.‎ ‎∴AG=3PG=3x.‎ 则P(x,3﹣3x).‎ 把P(x,3﹣3x)代入y=x2﹣x+3,得 x2﹣x+3=3﹣3x,‎ 整理得:x2+x=0‎ 解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).‎ ‎②如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.‎ 同理可得:AG=PG=x,则P(x,3﹣x),‎ 把P(x,3﹣x)代入y=x2﹣x+3,得 x2﹣x+3=3﹣x,‎ 整理得:x2﹣x=0‎ 解得:x1=0(舍去),x2=,‎ ‎∴P(,);‎ 若点G在点A的上方,‎ ‎①当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB,‎ 同理可得:点P的坐标为(11,36).‎ ‎②当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA.‎ 同理可得:点P的坐标为P(,).‎ 综上所述:满足条件的点P的坐标为(11,36)、(,)、(,);‎ ‎(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.‎ 在Rt△ANE中,EN=AE•sin45°=AE,即AE=EN,‎ ‎∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN.‎ 作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,‎ 则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,‎ ‎∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.‎ 根据两点之间线段最短可得:‎ 当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.‎ 此时,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°,‎ ‎∴四边形OCD′N是矩形,‎ ‎∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC.‎ 对于y=x2﹣x+3,‎ 当y=0时,有x2﹣x+3=0,‎ 解得:x1=2,x2=3.‎ ‎∴D(2,0),OD=2,‎ ‎∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1,‎ ‎∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2,‎ ‎∴点E的坐标为(2,1).‎ 点评:‎ 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,综合性强,难度大,准确分类是解决第(Ⅱ)(1)小题的关键,把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第(Ⅱ)(2)小题的关键.‎