中考数学模拟卷含答案 27页

‎ 中考模拟题1‎ ‎ （ 总分120分120分钟）‎ 一．选择题（共8小题,每题3分）‎ ‎1．已知a＞b且a+b=0，则（　　）‎ A． a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D． a＞0‎ ‎2．下列几何体中，主视图与左视图完全相同的是（　　）‎ A． 长方体 B． 三棱锥 ‎ C． 三棱柱 D 圆柱 ‎3．下列计算正确的是（　　）‎ A． ﹣a（﹣a+b）=a2+ab B． x（﹣3x2+x﹣1）=﹣3x3+x2﹣1‎ C． 5m﹣2m（m﹣1）=3m2﹣3m D． （y﹣2y2+1）（﹣3y）=6y3﹣3y2﹣3y ‎4．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　）‎ A． 1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D． a=7‎ ‎5．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）‎ A． 35° B．45° C．55° D． 65°‎ ‎6．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，则∠OAC等于（　　）‎ A． 60° B．45° C．35° D． 30°‎ 7． 如图，⊙P与坐标轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），若点P的横坐标为﹣4，则⊙P的半径为（　　）‎ A． 5 B．4 C．3 D． 2‎ ‎8．如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC边在直线l上滑动，使A，B在函数的图象上．那么k的值是（　　）‎ A． 3 B．6 C．12 D． ‎ 二．填空题（共6小题，每题3分）‎ ‎9．计算：（2+）﹣的结果是　　　　　　．‎ ‎10．如图，圆中挖掉一个正方形，用r表示阴影部分面积为　　　　　　．‎ ‎11．如图，BD是∠ABC的平分线，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，BC=18cm，AB=12cm，则DF的长是　　　　　　．‎ ‎12．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点　　　　　　．‎ ‎13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，MN=，线段MN的两端在BC、CD上滑动，当CM=　　　　　　时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．‎ 14． 在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，﹣2），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y=x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是　　　　　　．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎15．（6分）先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．‎ ‎16．（6分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值．把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．‎ ‎（1）用列表或画树形图的方法写出点A（x，y）的所有情况；‎ ‎（2）求点A落在直线y=2x上的概率．‎ ‎17．（6分）甲乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度．‎ ‎18．（7分）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．吴江某居民小区有一 朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高为5米的小区超市，超市以上是居民住房，现计划在该楼前面24米处盖一栋新楼，已知吴江地区冬至正午的阳光与水平线夹角大约为30°．（参考数据在≈1.414，≈1.732）‎ ‎（1）中午时，若要使得超市采光不受影响，则新楼的高度不能超过多少米？（结果保留整数）‎ ‎（2）若新建的大楼高18米，则中午时，超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？‎ ‎19．（7分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．‎ ‎20．（7分）在2014年巴西世界杯足球赛开幕之前，某校团支部为了解本校学生对世界杯足球赛的关注情况，随机调查了部分学生对足球运动的喜欢程度，绘制成如下的两幅不完整的统计图．‎ 请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）随机抽查了　　　　　　名学生；‎ ‎（2）补全图中的条形图；‎ ‎（3）若全校共有500名学生，请你估计全校大约有多少名学生喜欢（含“较喜欢”和“很喜欢”）足球运动．‎ ‎21．（8分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车离乙地的距离为y1（km），快车离乙地的距离为y2（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图（1）所示，S与x的函数关系图象如图（2）所示：‎ ‎（1）图中的a=　　　　　　，b=　　　　　　．‎ ‎（2）求S关于x的函数关系式．‎ ‎（3）甲、乙两地间依次有E、F两个加油站，相距200km，若慢车进入E站加油时，快车恰好进入F站加油．求E加油站到甲地的距离．‎ ‎22．（9分）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．‎ ‎（1）求证：DP=DQ；‎ ‎（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；‎ ‎（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．‎ ‎23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求A、B、C的坐标；‎ ‎（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．‎ ‎24．（12分）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．‎ ‎（1）求点Q运动的速度；‎ ‎（2）求图2中线段FG的函数关系式；‎ ‎（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中考模拟题1答案 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．已知a＞b且a+b=0，则（　　）‎ A． a＜0 B．b＞0 C．b≤0 D． a＞0‎ 考点： 有理数的加法．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据互为相反数两数之和为0，得到a与b互为相反数，即可做出判断．‎ 解答： 解：∵a＞b且a+b=0，‎ ‎∴a＞0，b＜0，‎ 故选：D．‎ 点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键．‎ ‎2．下列几何体中，主视图与左视图完全相同的是（　　）‎ A． 长方体 B． 三棱锥 ‎ C． 三棱柱 圆柱 考点： 简单几何体的三视图．‎ 分析： 找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．‎ 解答： 解：A、长方体的主视图与左视图为两个不全等的长方形，不符合题意；‎ B、三棱锥的主视图与左视图是两个不全等的等腰三角形，不符合题意；‎ C、三棱柱的主视图与左视图是两个不全等的矩形，不符合题意；‎ D、圆柱的主视图与左视图分别为两个全等的长方形，符合题意；‎ 故选D．‎ 点评： 考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．‎ ‎3下列计算正确的是（　　）‎ A． ﹣a（﹣a+b）=a2+ab B． x（﹣3x2+x﹣1）=﹣3x3+x2﹣1‎ C． 5m﹣2m（m﹣1）=3m2﹣3m D． （y﹣2y2+1）（﹣3y）=6y3﹣3y2﹣3y 考点： 单项式乘多项式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 利用单项式乘以多项式法则计算各项中的算式，即可作出判断．‎ 解答： 解：A、﹣a（﹣a+b）=a2﹣ab，本选项错误；‎ B、x（﹣3x2+x﹣1）=﹣3x3+x2﹣x，本选项错误；‎ C、5m﹣2m（m﹣1）=5m﹣2m2+2m=﹣2m2+7m，本选项错误；‎ D、（y﹣2y2+1）（﹣3y）=6y3﹣3y2﹣3y，本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评： 此题考查了单项式乘以多项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键．‎ ‎4．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　）‎ A． 1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D． a=7‎ 考点： 解一元一次不等式组；不等式的性质．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的解集，得出关于a的不等式，求出a即可．‎ 解答： 解：解不等式2x＜4得：x＜2，‎ ‎∵不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，‎ ‎∴a﹣1＞0，‎ x，‎ ‎∴≥2，‎ ‎﹣2≥0，‎ ‎≥0，‎ ‎≥0，‎ 即①或②‎ ‎∴不等式组①的解集是1＜a≤7，不等式组②无解．‎ 故选A．‎ 点评： 本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．‎ ‎5．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）‎ A． 35° B．45° C．55° D． 65°‎ 考点： 平行线的性质；余角和补角．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据平行线的性质，可得∠2=∠3，又根据互为余角的定义，可得∠1+∠3=90°，解答出即可．‎ 解答： 解：如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，‎ ‎∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，‎ 又∵直尺的两边平行，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠2=55°．‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查了平行线的性质和余角，熟练掌握两直线平行，同位角相等．‎ ‎6．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，则∠OAC等于（　　）‎ A． 60° B．45° C．35° D． 30°‎ 考点： 圆周角定理．‎ 分析： 首先根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=60°，再根据OA=OC，∠AOC=60°，可得△AOC是等边三角形，即可得到答案•．‎ 解答： 解：∵∠ABC=30°，‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC=60°，‎ ‎∵OA=OC，∠AOC=60°，‎ ‎∴△AOC是等边三角形，‎ ‎∴∠OAC=60°，‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了圆周角定理，以及等边三角形的判定，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．‎ ‎7．如图，⊙P与坐标轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），若点P的横坐标为﹣4，则⊙P的半径为（　　）‎ A． 5 B．4 C．3 D． 2‎ 考点： 坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．‎ 分析： 过点P作PD⊥MN，连接PM，由垂径定理知，DM=MN=3，则在Rt△PMD中，由勾股定理可求得PM为5．‎ 解答： 解：过点P作PD⊥MN，连接PM，‎ ‎∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，‎ ‎∴OM=4，MN=6，OD=7，DM=3，‎ ‎∵点P的横坐标为﹣4，即PD=4，‎ ‎∴PM=5．‎ 即⊙P的半径为5．‎ 故选A．‎ 点评： 本题综合考查了圆形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度中等的综合题，关键是会灵活运用根据勾股定理和垂径定理求解．‎ ‎8如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC边在直线l上滑动，使A，B在函数的图象上．那么k的值是（　　）‎ A． 3 B．6 C．12 D． ‎ 考点： 反比例函数综合题．‎ 专题： 综合题；压轴题．‎ 分析： 过点B作BM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，延长AC交y轴于点D，设点C的坐标为（1，y），根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值是个定值作为相等关系求得y值后再求算k值．‎ 解答： 解：过点B作BM⊥y轴、于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，延长AC交y轴于点D，‎ 设点C的坐标为（1，y），则 ‎∵AC=4，BC=3‎ ‎∴OM=3+y，ON=5，‎ ‎∴B（1，3+y），A（5，y），‎ ‎∴，‎ ‎∴5y=3+y，‎ 解得，y=，‎ ‎∴OM=3+=，‎ ‎∴k=OM×1=．‎ 故选：D．‎ 点评： 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．‎ 二．填空题（共6小题)‎ ‎9．计算：（2+）﹣的结果是　2　．‎ 考点： 二次根式的混合运算．‎ 分析： 先乘后减，能合并的合并同类二次根式，结果化为最简形式．‎ 解答： 解：（2+）﹣=2．‎ 点评： 化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待 ‎10．如图，圆中挖掉一个正方形，用r表示阴影部分面积为　（π﹣2）r2　．‎ 考点： 列代数式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由圆的半径为r，得到直径为2r，即为正方形的对角线长，表示出正方形的边长，利用圆的面积﹣正方形的面积=阴影部分的面积，根据正方形与圆的面积公式列出阴影部分的面积即可．‎ 解答： 解：由圆的半径为r，即直径为2r，得到正方形的对角线长为2r，‎ 设正方形的边长为x，则有x2+x2=（2t）2，解得：x=r，‎ 则S阴影=S圆﹣S正方形=πr2﹣x2=πr2﹣2r2=（π﹣2）r2．‎ 故答案为：（π﹣2）r2‎ 点评： 此题考查了列代数式，涉及的知识有：正方形的性质，勾股定理，以及正方形与圆的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．‎ ‎11．如图，BD是∠ABC的平分线，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，BC=18cm，AB=12cm，则DF的长是　2.4cm　．‎ 考点： 角平分线的性质．‎ 分析： 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．‎ 解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，DF⊥BC，‎ ‎∴DE=DF，‎ S△ABC=S△ABD+S△BCD ‎=AB•DE+BC•DF ‎=×12•DF+×18•DF ‎=15DF，‎ ‎∵△ABC=36cm2，‎ ‎∴15DF=36，‎ 解得DF=2.4cm．‎ 故答案为：2.4cm．‎ 点评： 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．‎ ‎12．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点　C　．‎ 考点： 垂径定理．‎ 分析： 圆心在任意两个格点连线（弦）的中垂线上，是两条弦的中垂线的交点，据此即可判断．‎ 解答： 解：圆心是弦EF和弦FG的中垂线的交点，是C．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了垂径定理，理解圆心一定在弦的中垂线上是关键．‎ ‎13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，MN=，线段MN的两端在BC、CD上滑动，当CM=　1或2　时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．‎ 考点： 相似三角形的判定．‎ 分析： 根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两直角边MC、NC间的关系满足是或2倍．求得CM的长．‎ 解答： 解：如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，‎ ‎∴AE=AD=．‎ 设CM的长为x．‎ 在Rt△MNC中 ‎∵MN=，‎ ‎∴NC=，‎ ‎①当Rt△AED∽Rt△CMN时，‎ 则 =，‎ 即=，‎ 解得x=1或x=﹣1（不合题意，舍去），‎ ‎②当Rt△AED∽Rt△CNM时，‎ 则=，即=，‎ 解得x=2或﹣2（不合题意，舍去），‎ 综上所述，当CM=1或2时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．‎ 故答案为：1或2．‎ 点评： 本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①当Rt△AED∽Rt△CMN时②当Rt△AED∽Rt△CNM时这两种情况．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，﹣2），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y=x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是　﹣11≤x≤．　．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题；压轴题．‎ 分析： 先利用待定系数法得到直线AB的解析式为y=x﹣1，然后讨论：当直线AB与抛物线y=x2﹣2x+c相切时，抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点最高，即c的值最大，由两个解析式得关于x的一元二次方程，令△=0求出c；当抛物线y=x2﹣2x+c过B点时，抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点最低，即c的值最小，把B（5，4）代入y=x2﹣2x+c可求出c的值，最后确定c的范围．‎ 解答： 解：如图，‎ 抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点坐标为（0，c），‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣1，﹣2），B（5，4）代入得，﹣k+b=﹣2，5k+b，解得k=1，b=﹣1，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x﹣1，‎ 当直线AB与抛物线y=x2﹣2x+c相切时，抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点最高，即c的值最大，‎ 把y=x﹣1代入y=x2﹣2x+c得，x2﹣3x+c+1=0，则△=0，即9﹣4（c+1）=0，解得c=；‎ 当抛物线y=x2﹣2x+c过B点时，抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点最低，即c的值最小，‎ 把B（5，4）代入y=x2﹣2x+c得，25﹣10+c=4，解得c=﹣11．‎ ‎∴c的取值范围为﹣11≤x≤．‎ 故答案为﹣11≤x≤．‎ 点评： 本题考查了二次函数的综合题：抛物线与直线相切转化为一元二次方程有等根的问题，即△=0．也考查了数形结合的数学思想的运用．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎15．先简化，再求值：（1+）÷，其中x=3．‎ 考点： 分式的化简求值．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．‎ 解答： 解：原式=•‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当x=3时，原式==．‎ 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎16‎ ‎．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值．把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．‎ ‎（1）用列表或画树形图的方法写出点A（x，y）的所有情况；‎ ‎（2）求点A落在直线y=2x上的概率．‎ 考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）列表得出所有等可能的情况即可；‎ ‎（2）找出点A坐标落在y=2x上的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答： 解：（1）列表如下：‎ ‎ ﹣7 ﹣1 3‎ ‎﹣2 （﹣7，﹣2） （﹣1，﹣2） （3，﹣2）‎ ‎1 （﹣7，1） （﹣1，1） （3，1）‎ ‎6 （﹣7，6） （﹣1，6） （3，6）‎ 则所有等可能的情况有9种，分别为（﹣7，﹣2），（﹣7，1），（﹣7，6），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，6），（3，﹣2），（3，1），（3，6）；‎ ‎（2）落在y=2x的点A坐标为（﹣1，﹣2），（3，6）共2种，‎ 则P=．‎ 点评： 此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数点的特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎17．甲乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度．‎ 考点： 分式方程的应用．‎ 专题： 应用题．‎ 分析： 求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：甲走6千米用的时间+=乙走10千米用的时间．‎ 解答： 解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时．‎ 根据题意，得，‎ 解得x=1.5．‎ 经检验，x=1.5是原方程的根．‎ 所以甲的速度为3x=4.5千米/时，乙的速度为4x=6千米/时．‎ 答：甲的速度为4.5千米/时，乙的速度为6千米/时．‎ 点评： 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．当题中出现比值问题时，应设比中的每一份为x．‎ ‎18．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．吴江某居民小区有一 朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高为5米的小区超市，超市以上是居民住房，现计划在该楼前面24米处盖一栋新楼，已知吴江地区冬至正午的阳光与水平线夹角大约为30°．（参考数据在≈1.414，≈1.732）‎ ‎（1）中午时，若要使得超市采光不受影响，则新楼的高度不能超过多少米？（结果保留整数）‎ ‎（2）若新建的大楼高18米，则中午时，超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 分析： （1）连接AC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数表示出线段AB的长，然后保留整数即可求得楼高的范围．‎ ‎（2）首先过点E作BC平行线角AB与点F．在Rt△AFG中，利用正切函数求得GF的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．‎ 解答： 解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，‎ ‎∵tan30°=‎ ‎∴AB=24×=8=8×1.732=13.856‎ 当楼高AB超过13.856时，光线照到C点的上方，超市采光受影响，又结果需要保留整数，所以楼高不超过13米；‎ ‎（2）设居民楼底与超市顶端交界点为E，过点E作BC平行线角AB与点F，设过新楼顶的光线交直线EF与点G，则AF=18﹣5=13，‎ 在Rt△AFG中，FG==22.517，‎ ‎∵FG＜FE=24‎ ‎∴超市以上的居民住房采光不受影响．‎ 点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．‎ ‎19．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．‎ 考点： 切线的判定与性质；解直角三角形．‎ 分析： （1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；‎ ‎（2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4．‎ 解答： （1）证明：连接AO，AC（如图）．‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=∠CAD=90°．‎ ‎∵E是CD的中点，‎ ‎∴CE=DE=AE．‎ ‎∴∠ECA=∠EAC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA．‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴CD⊥OC．‎ ‎∴∠ECA+∠OCA=90°．‎ ‎∴∠EAC+∠OAC=90°．‎ ‎∴OA⊥AP．‎ ‎∵A是⊙O上一点，‎ ‎∴AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）知OA⊥AP．‎ 在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，‎ ‎∴sinP==，‎ ‎∴∠P=30°．‎ ‎∴∠AOP=60°．‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠ACO=60°．‎ 在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，‎ ‎∴AC==2，‎ 又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，‎ ‎∴CD===4．‎ 点评： 本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．‎ ‎20．在2014年巴西世界杯足球赛开幕之前，某校团支部为了解本校学生对世界杯足球赛的关注情况，随机调查了部分学生对足球运动的喜欢程度，绘制成如下的两幅不完整的统计图．‎ 请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）随机抽查了　50　名学生；‎ ‎（2）补全图中的条形图；‎ ‎（3）若全校共有500名学生，请你估计全校大约有多少名学生喜欢（含“较喜欢”和“很喜欢”）足球运动．‎ 考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ 专题： 图表型．‎ 分析： （1）用一般的人数除以它所占的百分比即可得抽查的学生总数；‎ ‎（2）用抽查的学生总数减去不喜欢、一般、很喜欢的学生人数，得到较喜欢的人数，再补全图中的条形图即可；‎ ‎（3）用全校的学生数乘以学生喜欢（含“较喜欢”和“很喜欢”）足球运动所占的百分比即可．‎ 解答： 解：（1）10÷20%=50（名），‎ 故答案为：50；‎ ‎（2）50﹣5﹣10﹣15=20（名），‎ 补全统计图如下：‎ ‎（3）500×（1﹣10%﹣20%）=350（名）．‎ 答：全校约有350名学生喜欢足球运动．‎ 点评： 本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体及扇形统计图，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图中的数据正确的结合起来求解．‎ ‎21．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车离乙地的距离为y1（km），快车离乙地的距离为y2（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图（1）所示，S与x的函数关系图象如图（2）所示：‎ ‎（1）图中的a=　6　，b=　　．‎ ‎（2）求S关于x的函数关系式．‎ ‎（3）甲、乙两地间依次有E、F两个加油站，相距200km，若慢车进入E站加油时，快车恰好进入F站加油．求E加油站到甲地的距离．‎ 考点： 一次函数的应用．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）根据S与x之间的函数关系式可以得到当位于C点时，两人之间的距离增加变缓，此时快车到站，指出此时a的值即可，求得a的值后求出两车相遇时的时间即为b的值；‎ ‎（2）根据函数的图象可以得到A、B、C、D的点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可．‎ ‎（3）分两车相遇前和两车相遇后两种情况讨论，当相遇前令s=200即可求得x的值．‎ 解答： 解：（1）由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，‎ ‎∴由此可以得到a=6，‎ ‎∴快车每小时行驶100千米，慢车每小时行驶60千米，两地之间的距离为600，‎ ‎∴b=600÷（100+60）=；‎ ‎（2）∵从函数的图象上可以得到A、B、C、D点的坐标分别为：（0，600）、（，0）、（6，360）、（10，600），‎ ‎∴设线段AB所在直线解析式为：S=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：k=﹣160，b=600，‎ 设线段BC所在的直线的解析式为：S=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：k=160，b=﹣600，‎ 设直线CD的解析式为：S=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：k=60，b=0‎ ‎∴；‎ ‎（3）当两车相遇前分别进入两个不同的加油站，‎ 此时：S=﹣160x+600=200，‎ 解得：x=，‎ 当两车相遇后分别进入两个不同的加油站，‎ 此时：S=160x﹣600=200，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴当或5时，此时E加油站到甲地的距离为450km或300km．‎ 点评： 此题考查了一次函数的综合知识，特别是本题中涉及到了分段函数的知识，解题时主要自变量的取值范围．‎ ‎22．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．‎ ‎（1）求证：DP=DQ；‎ ‎（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；‎ ‎（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．‎ 考点： 四边形综合题．‎ 分析： （1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP=DQ；‎ ‎（2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE=QE；‎ ‎（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得S△DEQ=，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ=．‎ 解答： （1）证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，‎ ‎∴∠ADP=∠CDQ．‎ 在△ADP与△CDQ中，‎ ‎∴△ADP≌△CDQ（ASA），‎ ‎∴DP=DQ．‎ ‎（2）猜测：PE=QE．‎ 证明：由（1）可知，DP=DQ．‎ 在△DEP与△DEQ中，‎ ‎∴△DEP≌△DEQ（SAS），‎ ‎∴PE=QE．‎ ‎（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，‎ ‎∴AP=8，BP=2．‎ 与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，‎ ‎∴CQ=AP=8．‎ 与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，‎ ‎∴PE=QE．‎ 设QE=PE=x，则BE=BC+CQ﹣QE=14﹣x．‎ 在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，‎ 即：22+（14﹣x）2=x2，‎ 解得：x=，即QE=．‎ ‎∴S△DEQ=QE•CD=××6=．‎ ‎∵△DEP≌△DEQ，‎ ‎∴S△DEP=S△DEQ=．‎ 点评： 本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．试题难度不大，但要注意认真计算，避免出错．‎ ‎23．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求A、B、C的坐标；‎ ‎（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析： （1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．‎ ‎（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2‎ ‎﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．‎ ‎（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得．‎ 解答： 解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），‎ 令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0）．‎ ‎（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，‎ 设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，‎ ‎∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，‎ ‎∴当m=﹣2时矩形的周长最大．‎ ‎∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，‎ 解得k=1，b=3，‎ ‎∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），‎ ‎∴EM=1，AM=1，‎ ‎∴S=•AM•EM=．‎ ‎（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，‎ ‎∴N应与原点重合，Q点与C点重合，‎ ‎∴DQ=DC，‎ 把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，‎ ‎∴D（﹣1，4）‎ ‎∴DQ=DC=，‎ ‎∵FG=2DQ，‎ ‎∴FG=4，‎ 设F（n，﹣n2﹣2n+3），‎ 则G（n，n+3），‎ ‎∵点G在点F的上方，‎ ‎∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，‎ 解得：n=﹣4或n=1．‎ ‎∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．‎ 点评： 本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．‎ ‎24．如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．‎ ‎（1）求点Q运动的速度；‎ ‎（2）求图2中线段FG的函数关系式；‎ ‎（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 相似形综合题；动点问题的函数图象．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： （1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S△APQ=，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；‎ ‎（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；‎ ‎（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值；‎ 当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值．‎ 解答： 解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．‎ 此时如答图1所示：‎ AQ边上的高h=AB•sin60°=6×=cm，‎ S=S△APQ=AQ•h=AQ×=，解得AQ=3cm，‎ ‎∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．‎ ‎（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：‎ 点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．‎ 因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．‎ 过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18﹣2t）×=t+．‎ S=S△APQ=AD•PE=×6×（t+）=t+，‎ ‎∴FG段的函数表达式为：S=t+（6≤t≤9）．‎ ‎（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=．‎ 当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．‎ 此时△APQ的面积S=AQ•AP•sin60°=t•2t×=t2，‎ 根据题意，得t2=×，‎ 解得t=s（舍去负值）；‎ 当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．‎ 此时，有S梯形ABPQ=S菱形ABCD，即（2t﹣6+t）×6×=×，‎ 解得t=s．‎ ‎∴存在t=和t=，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．‎ 点评： 本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．‎