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- 2021-05-13 发布
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旋转
一、选择题
1. (广东)如图,把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
A.π B. C. D.
2. (湖北)如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④;⑤.其中正确的结论是【 】
A.①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③
3. (四川)如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A:P′C=1:3,则P′A:PB=【 】。
A.1: B.1:2 C.:2 D.1:
4. (贵州)点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于【 】
A.75° B.60° C.45° D.30°
5. (广西)如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于
点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相
切于点D的位置,则⊙O自转了:【 】
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
二、填空题
6. (四川)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.
7. (江西南昌)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是 ▲ .
8. (吉林省)如图,在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED的周长是_ ▲____.
三、解答题
9. (北京市)在中,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。
(1) 若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,
并写出∠CDB的度数;
(2) 在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的
大小(用含的代数式表示),并加以证明;
(3) 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得
线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围。
10. (福建)在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示放置,点A在x轴上,点B的坐标为(m,1)(m>0),将此矩形绕O点逆时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.
(1)写出点A、A′、C′的坐标;
(2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,求此抛物线的解析式;(a、b、c可用含m的式子表示)
(3)试探究:当m的值改变时,点B关于点O的对称点D是否可能落在(2)中的抛物线上?若能,求出此时m的值.
11. (江苏)(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<∠ABC)。以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC,得到△BE’A(点C与点A重合,点E到点E’处),连接DE’。求证:DE’=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC边上的两点,
且满足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<45°).求证:DE2=AD2+EC2.
12. (四川德阳)在平面直角坐标xOy中,(如图)正方形OABC的边长为4,边OA在x轴的正半轴上,边OC在y轴的正半轴上,点D是OC的中点,BE⊥DB交x轴于点E.
⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式;
⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后,边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G,交⑴中的抛
物线于M(不与点B重合),如果点M的横坐标为,那么结论OF=DG能成立吗?请说明理由.
⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P,交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q,且使△PFE为等腰三角形,求Q点的坐标.
13. (辽宁)(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.
甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°; 乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;
丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.
14. (辽宁本溪)已知,在△ABC中,AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN。
(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,
①如图a,当=45°时,∠ANC的度数为_______;
②如图b,当≠45°时,①中的结论是否发生变化?说明理由;
(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明。
16、(襄阳)如图1,点A是线段BC上一点,△ABD和△ACE都是等边三角形.
(1)连结BE,CD,求证:BE=CD;
(2)如图2,将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为 60 度时,边AD′落在AE上;
②在①的条件下,延长DD’交CE于点P,连接BD′,CD′.当线段AB、AC满足什么数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?并给予证明.
15.(山东德州)
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
F
B
A
C
E
第15题图③
F
B
A
D
C
E
G
第15题图②
F
B
A
D
C
E
G
第15题图①
D
17. (鸡西)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN
(1)如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN= ∠ABC,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.
1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,∴BC=AB=1,∠B=90°-∠BAC=60°。∴。
∴。设点B扫过的路线与AB的交点为D,连接CD,∵BC=DC,∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1。
∴点D是AB的中点。∴S。
∴
故选D。
2【分析】∵正△ABC,∴AB=CB,∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,∴BO=BO′,∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600-∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。
连接OO′,∵BO=BO′,∠O′AO=600,∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。
∵在△AOO′中,三边长为O′A=OC=5,OO′=OB=4,OA=3,是一组勾股数,
∴△AOO′是直角三角形。∴∠AOB=∠AOO′+∠O′OB =900+600=150°。故结论③正确。。故结论④错误。
如图所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,
点O旋转至O″点.易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5直角三角形。
则。
故结论⑤正确。综上所述,正确的结论为:①②③⑤。故选A。
3、【分析】如图,连接AP,∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°。
又∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°,∴∠ABP=∠CBP′。
在△ABP和△CBP′中,∵ BP=BP′,∠ABP=∠CBP′,AB=BC ,∴△ABP≌△CBP′(SAS)。
∴AP=P′C。∵P′A:P′C=1:3,∴AP=3P′A。
连接PP′,则△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°,PP′= 2 PB。
∵∠AP′B=135°,∴∠AP′P=135°-45°=90°,∴△APP′是直角三角形。设P′A=x,则AP=3x,
在Rt△APP′中,。在Rt△APP′中,。
∴,解得PB=2x。∴P′A:PB=x:2x=1:2。 故选B。
4【分析】过点E作EF⊥AF,交AB的延长线于点F,则∠F=90°,
∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠A=∠ABC=90°。∴∠ADP+∠APD=90°。
由旋转可得:PD=PE,∠DPE=90°,∴∠APD+∠EPF=90°。
∴∠ADP=∠EPF。在△APD和△FEP中,∵∠ADP=∠EPF,∠A=∠F,PD=PE,
∴△APD≌△FEP(AAS)。∴AP=EF,AD=PF。
又∵AD=AB,∴PF=AB,即AP+PB=PB+BF。∴AP=BF。∴BF=EF
又∵∠F=90°,∴△BEF为等腰直角三角形。∴∠EBF=45°。
又∵∠CBF=90°,∴∠CBE=45°。故选C。【答案】C。
5【分析】该圆运动可分为两部分:在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角,分别计算即可得到圆的自传周数:⊙O在三边运动时自转周数:6π÷2π =3:⊙O绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数:360°,即一周。∴⊙O自转了3+1=4周。故选C。
6【分析】如图,将△ADC旋转至△ABE处,则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2,,这时三角形△AEC为等腰直角三角形,作边EC上的高AF,则AF=EC=FC, ∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。∴AC2=2AF2=48 AC=4。
7【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部,所以要分两种情况分别求解:
①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时,如图1,
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,∴AB=AD,AE=AF。
∵当BE=DF时,在△ABE和△ADF中,AB=AD,BE=DF,AE=AF,
∴△ABE≌△ADF(SSS)。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°,∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部,顺时针旋转小于1800时,如图2,
同上可得△ABE≌△ADF(SSS)。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°,∴∠BAF=∠DAE。
∵900+600+∠BAF+∠DAE=3600,∴∠BAF=∠DAE=105°。
∴∠BAE=∠FAD=165°。
③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部,顺时针旋转大于1800时,如图3,
同上可得△ABE≌△ADF(SSS)。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°,∠BAE=90°,
∴90°+∠DAE=60°+∠DAE,这是不可能的。
∴此时不存在BE=DF的情况。综上所述,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是15°或165°。
8【分析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE, ∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质,得,CD= AE,BD=BE。∵△ABC是等边三角形,BC=10,∴AC= BC=10。∴AE+AD=AC=10。又∵旋转角∠DBE=600,∴△DBE是等边三角形。∴DE=BD=9。∴△AED的周长=DE+AE+AD=9+10=19。
9【答案】解:(1)补全图形如下:∠CDB=30°。
(2)作线段CQ的延长线交射线BM于点D,连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,∴BM⊥AC。∴AD=CD,AP=PC,PD=PD。
在△APD与△CPD中,∵AD=CD, PD=PD, PA=PC∴△APD≌△CPD(SSS)。
∴AP=PC,∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD。
又∵PQ=PA,∴PQ=PC,∠ADC=2∠CDB,∠PQC=∠PCD=∠PAD。
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°。∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,即2∠CDB=180°-2α。
∴∠CDB=90°-α。(3)45°<α<60°。
【分析】(1)利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形,即可得出答案:∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,∴BM⊥AC,AM=AC。
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,∴AM=MQ,∠AMQ=120°。 ∴CM=MQ,∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。
(2)首先由已知得出△APD≌△CPD,从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°,即可求出。
(3)由(2)得出∠CDB=90°-α,且PQ=QD,∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α。
∵点P不与点B,M重合,∴∠BAD>∠PAD>∠MAD。∴2α>180°-2α>α,∴45°<α<60°。
10【答案】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,点B的坐标为(m,1)(m>0),∴A(m,0),C(0,1)。
∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转90°而成,∴A′(0,m),C′(-1,0)。(2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,∵A(m,0),A′(0,m),C′(-1,0),
∴,解得。∴此抛物线的解析式为:y=-x2+(m-1)x+m。
(3)∵点B与点D关于原点对称,B(m,1),∴点D的坐标为:(-m,-1),
假设点D(-m,-1)在(2)中的抛物线上,∴0=-(-m)2+(m-1)×(-m)+m=1,即2m2-2m+1=0,
∵△=(-2)2-4×2×2=-4<0,∴此方程无解。∴点D不在(2)中的抛物线上。
【分析】(1)先根据四边形ABCD是矩形,点B的坐标为(m,1)(m>0),求出点A、C的坐标,再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标即可。
(2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出abc的值,进而得出其抛物线的解析式。
(3)根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标,把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。
11【答案】证明:(1)∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到,
∴BE’=BE,∠E’BA=∠EBC。∵∠DBE=∠ABC,∴∠ABD+∠EBC =∠ABC。
∴∠ABD+∠E’BA =∠ABC,即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。在△E’BD和△EBD中,∵BE’=BE,∠E’BD=∠DBE,BD=BD,∴△E’BD≌△EBD(SAS)。∴DE’=DE。
(2)以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°,得到△BE’A(点C与点A重合,点E到点E’处),连接DE’ 由(1)知DE’=DE。由旋转的性质,知E’A=EC,∠E’ AB=∠ECB。又∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°。
∴∠E’ AD=∠E’ AB+∠BAC=90°。 在Rt△DE’A中,DE’2=AD2+E’A2,∴DE2=AD2+EC2。
【分析】(1)由旋转的性质易得BE’=BE,∠E’BA=∠EBC,由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得
∠E’BD=∠DBE,从而可由SAS得△E’BD≌△EBD,得到DE’=DE。
(2)由(1)的启示,作如(1)的辅助图形,即可得到直角三角形DE’A,根据勾股定理即可证得结论。
12【答案】解:(1)∵BE⊥DB交x轴于点E,OABC是正方形,∴∠DBC=EBA。
在△BCD与△BAE中,∵∠BCD=∠BAE=90°, BC=BA ,∠DBC=∠EBA ,
∴△BCD≌△BAE(ASA)。∴AE=CD。∵OABC是正方形,OA=4,D是OC的中点,
∴A(4,0),B(4,4),C(0,4),D(0,2),∴E(6,0).
设过点D(0,2),B(4,4),E(6,0)的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有:
,解得 。
∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为:。
(2)结论OF=DG能成立.理由如下:由题意,当∠DBE绕点B旋转一定的角度后,同理可证得△BCG≌△BAF,∴AF=CG。∵xM=,∴。∴M()。
设直线MB的解析式为yMB=kx+b,∵M(),B(4,4),
∴,解得。∴yMB=x+6。∴G(0,6)。
∴CG=2,DG=4。∴AF=CG=2,OF=OA﹣AF=2,F(2,0)。∵OF=2,DG=4,∴结论OF=DG成立。
(3)如图,△PFE为等腰三角形,可能有三种情况,分类讨论如下:
①若PF=FE。∵FE=4,BC与OA平行线之间距离为4,
∴此时P点位于射线CB上。∵F(2,0),∴P(2,4)。
此时直线FP⊥x轴。来]∴xQ=2。∴,
∴Q1(2,)。②若PF=PE。
如图所示,∵AF=AE=2,BA⊥FE,∴△BEF为等腰三角形。
∴此时点P、Q与点B重合。∴Q2(4,4)。
③若PE=EF。∵FE=4,BC与OA平行线之间距离为4,∴此时P点位于射线CB上。∵E(6,0),∴P(6,4)。
设直线yPF的解析式为yPF=kx+b,∵F(2,0),P(6,4),∴,解得。∴yPF=x﹣2。
∵Q点既在直线PF上,也在抛物线上,∴,化简得5x2﹣14x﹣48=0,
解得x1= ,x2=﹣2(不合题意,舍去)。∴xQ=2。∴yQ=xQ﹣2=。∴Q3()。
综上所述,Q点的坐标为Q1(2,)或Q2(4,4)或Q3()。
【分析】(1)由正方形的性质和△BCD≌△BAE求得E点坐标,然后利用待定系数法求抛物线解析式。
(2)求出M点坐标,然后利用待定系数法求直线MB的解析式,令x=0,求得G点坐标,从而得到线段CG、DG的长度;由△BCG≌△BAF,可得AF=CG,从而求得OF的长度.比较OF与DG的长度,它们满足OF=DG的关系,所以结论成立;(3)分PF=FE、PF=PE和PE=EF三种情况,逐一讨论并求解。
13【答案】解:(1)①结论:BD=CE,BD⊥CE。②结论:BD=CE,BD⊥CE。理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。
在Rt△ABD与Rt△ACE中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAE ,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)。∴BD=CE。延长BD交AC于F,交CE于H。
在△ABF与△HCF中,∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC,
∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。
(2)结论:乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°。
【考点】全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,旋转的性质。
【分析】(1)①BD=CE,BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中,由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF。
②BD=CE,BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF,再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。
(2)根据结论①、②的证明过程知,∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)时,该结论成立了,所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。
14【答案】解:(1)①450。②不变。理由如下过B、C分别作BD⊥AP于点D,CE⊥AP于点E。∵∠BAC =90°,∴∠BAD+∠EAC=90°。∵BD⊥AP,∴∠ADB =90°。∴∠ABD+∠BAD=90°。∴∠ABD=∠EAC。又∵AB=AC,∠ADB =∠CEA=90°,∴△ADB≌△CEA(AAS)。∴AD=EC,BD=AE。∵BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高,∴BD=DN,∠BND=45°。∴BN=BD=AE。∴DN-DE=AE-DE,即NE=AD=EC。
∵∠NEC =90°,∴∠ANC =45°。(3)∠ANC =90°-∠BAC。
【分析】(1)①∵BM=BN,∠MBN=90°,∴∠BMN=∠BNM=45°。
又∵∠CAN=45°,∴∠BMN=∠CAN。又∵AB=AC,AN=AN,∴△BMN≌△CAN(SAS)。∴∠ANC=∠BNM=45°。
②过B、C分别作BD⊥AP于点D,CE⊥AP于点E。通过证明△ADB≌△CEA从而证明△CEN是等腰直角三角形即可。
(2)如图,由已知得:
∠θ=1800-2∠ABC-∠1(∵AB=AC)
=1800-∠2-∠6-∠1(∵∠BAC=∠MBN,BM=BN)
=(1800-∠2-∠1)-∠6
=∠3+∠4+∠5-∠6(三角形内角和定理)
=∠6+∠5-∠6=∠5(∠3+∠4=∠ABC=∠6)。
∴点A、B、N、C四点共圆。
∴∠ANC =∠ABC ==90°-∠BAC。
15 解:(1)证明:在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,∴ CG=FD.………… 1分同理,在Rt△DEF中, EG=FD. ………………2分
∴ CG=EG.…………………3分(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
F
B
A
D
C
E
G
M
N
N
图 ②(一)
在△DAG与△DCG中,
∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴ △DAG≌△DCG.
∴ AG=CG.………………………5分
在△DMG与△FNG中,
∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴ △DMG≌△FNG.
∴ MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分
F
B
A
D
C
E
G
M
图 ②(二)
在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵ AM=EN, MG=NG,∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.
∴ EG=CG. ……………………………8分
证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC, ……………………4分
在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.
∴MF∥CD∥AB.………………………5分∴.
在Rt△MFE 与Rt△CBE中,∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.
∴.…………………………………………………6分
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7分
∴ △MEC为直角三角形.∵ MG = CG,F
B
A
D
C
E
图③
G
∴ EG=MC.
∴ .………………………………8分
(3)(1)中的结论仍然成立,
即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分
16、解答:
(1)证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形.
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即∠BAE=∠DAC,
在△BAE和△DAC中,
,∴△BAE≌△DAC(SAS),∴BE=CD;
(2)解:①∵∠BAD=∠CAE=60°,∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°,∵边AD′落在AE上,
∴旋转角=∠DAE=60°;
②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.
理由如下:由旋转可知,AB′与AD重合,∴AB=BD=DD′=AD′,∴四边形ABDD′是菱形,
∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°,DP∥BC,
∵△ACE是等边三角形,∴AC=AE,∠ACE=60°,∵AC=2AB,∴AE=2AD′,
∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°,又∵DP∥BC,
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°,
在△BDD′与△CPD′中,
,∴△BDD′≌△CPD′(ASA).
故答案为:60.
17 解答:解:(1)MN=AM+CN.
理由如下:
如图,∵BC∥AD,AB=BC=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠A+∠BCD=180°,
把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′,则△ABM≌△CBM′,
∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°,
∴点M′、C、M三点共线,
∵∠MBN=∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△BMN和△BM′N中,∵,
∴△BMN≌△BM′N(SAS),∴MN=M′N,
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,∴MN=AM+CN;
(2)MN=CN-AM.
理由如下:如图,作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°,
又∵∠BAD+∠BAM=180°,
∴∠C=∠BAM,
在△ABM和△CBM′中,∵,
∴△ABM≌△CBM′(ASA),
∴AM=CM′,BM=BM′,∵∠MBN=∠ABC,
∴∠M′BN=∠ABC-(∠ABN+∠CBM′)=∠ABC-(∠ABN+∠ABM)=∠ABC-∠MBN=∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,在△MBN和△M′BN ∵,
∴△MBN≌△M′BN(SAS),
∴MN=M′N,
∵M′N=CN-CM′=CN-AM,
∴MN=CN-AM.
点评:本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰梯形的两底角互补,利用旋转变换作辅助线,构造出全等三角形,把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键,本题灵活性较强,对同学们的能力要求较高.
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