2014山东省德州市中考数学试卷 15页

‎2014年山东省德州市中考数学试卷 ‎（满分120分，考试时间120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共36分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。‎ ‎1.（2014山东省德州市，1，3分）下列计算正确的是 A．(－3)2＝－9 B． C．－(－2)0＝1 D．‎ ‎【答案】B ‎2. （2014山东省德州市，2，3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是 A B C D ‎【答案】D ‎3. （2014山东省德州市，3，3分）图甲是某零件的直观图，则它的主视图为 ‎【答案】A ‎4. （2014山东省德州市，4，3分）第六次全国人口普查数据显示，德州市常住人口约为556.82万人，此数用科学记数法表示正确的是 A．556.82×104 B．5.5682×102 C．5.5682×106 D．5.5682×103‎ ‎【答案】C ‎5. （2014山东省德州市，5，3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为 A．30° B．60° C．80° D．120°‎ 第5题图 ‎【答案】A ‎6. （2014山东省德州市，6，3分）不等式组的解集在数轴上可表示为 A ‎ ‎B C ‎ ‎D ‎【答案】D ‎7. （2014山东省德州市，7，3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为 A．米 B．米 C．米 D．24米 第7题图 ‎【答案】B ‎8. jscm（2014山东省德州市，8，3分）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离。根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是 A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店4千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 第8题图 ‎【答案】C ‎9. jscm（2014山东省德州市，9，3分）雷霆队的杜兰特当选为2013-2014赛季NBA常规赛MVP，下表是他8场比赛的得分 场次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 得分 ‎30‎ ‎28‎ ‎28‎ ‎38‎ ‎23‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎42‎ 则这8场比赛得分的众数与中位数分别为 A．29 28 B．28 29 C．28 28 D．28 27‎ ‎【答案】B ‎10. jscm（2014山东省德州市，10，3分）下列命题中，真命题是 A．若a＞b，则c－a＜c－b B．某种彩票中奖的概率是1%，买00张该种彩票一定会中奖 C．点M(x1，y1)，点N(x2，y2)都在反比例函数的图象上，若x1＞x2，则y1＜y2‎ D．甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为，， 这一过程中乙发挥比甲更稳定 ‎【答案】A ‎11 jscm（2014山东省德州市，11，3分）分式方程的解是 A．x＝1 B． C．x＝2 D．无解 ‎【答案】D ‎12. jscm（2014山东省德州市，12，3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：‎ ①四边形CFHE是菱形；‎ ②EC平分∠DCH；‎ ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；‎ ④当点H与点A重合时，EF＝‎ 以上结论中，你认为正确的有（ ）个。‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第12题图 ‎【答案】C 非选择题（共36分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。‎ ‎13. （2014山东省德州市，13，4分）的相反数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎14. （2014山东省德州市，14，4分）若，则(x＋y)y＝ ．‎ ‎【答案】‎ ‎15. （2014山东省德州市，15，4分）如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别为BA，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，半径为1作圆，则图中阴影部分的面积是 ．‎ ‎【答案】‎ 第15题图 ‎16. （2014山东省德州市，16，4分）方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足，则k的值为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎17. jscm（2014山东省德州市，17，4分）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、比例坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…。将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：‎ ①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；‎ ②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…An，…。‎ 则顶点M2014的坐标为( ， )‎ ‎【答案】(4027，4027)‎ 第17题图 三、解答题：本大题共7小题，共64分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.jscm（2014山东省德州市，18，6分）先化简，再求值：，其中a＝2sin60°－tan45°，b＝1。‎ ‎【答案】解：原式 ……………………………………2分 ‎ ……………………………………3分 ‎ ……………………………………4分 当a＝2sin60°－tan45°，b＝1时， …………………………5分 原式＝ …………………………6分 ‎19. （2014山东省德州市，19，8分）2014年5月，我市某中学举行了“中国梦·校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图。‎ 第19题图 根据图中提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）参加演讲比赛的学生共有 人，并把条形图补充完整；‎ ‎（2）扇形统计图中，m＝ ，n＝ ；C等级对应的圆心角为 度；‎ ‎（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市比赛的概率。‎ ‎【答案】解：（1）40 …………………………………………………………1分 ‎……………………………………2分 ‎（2）10 40 144 …………………………………………………………5分 ‎（每空一分）‎ ‎（3）不妨用a代表小明，相应地，获得A等级的其他三名学生分别用b，c，d来表示。‎ 树形图：‎ ‎…………………………………………………………………………………………………7分 列表：‎ 学生2‎ 学生1‎ a b c d a ‎(a，a)‎ ‎(a，b)‎ ‎(a，c)‎ ‎(a，d)‎ b ‎(b，a)‎ ‎(b，b)‎ ‎(b，c)‎ ‎(b，d)‎ c ‎(c，a)‎ ‎(c，b)‎ ‎(c，c)‎ ‎(c，d)‎ d ‎(d，a)‎ ‎(d，b)‎ ‎(d，c)‎ ‎(d，d)‎ ‎…………………………………………………………………………………………………7分 由图可知，选取两人的情况共有12种，其中小明参加比赛的情况共有6种，所以小明参加市比赛的概率： …………………………………………………………………8分 ‎20. （2014山东省德州市，20，8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：‎ 进价（元/只）‎ 售价（元/只）‎ 甲型 ‎25‎ ‎30‎ 乙型 ‎45‎ ‎60‎ ‎（1）如何进货，进货款恰好为46000元？‎ ‎（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？‎ ‎【答案】解：（1）设商场应购进甲型节能灯x只，则乙型节能灯为（1200－x）只。‎ 根据题意得,25x＋45(1200－x)＝46000，…………………………………………1分 解得 x＝400，…………………………………………2分 所以乙型节能灯为：1200－400＝800，‎ 答：购进甲型节能灯400只，乙型节能灯800只时，进货款恰好为46000元。………3分 ‎（2）设商场应购进甲开型节能灯t只，商场销售完这批节能灯可获利y元。‎ 根据题意得，y＝(30－25)t＋(60－45)(1200－t)‎ ‎＝5t＋18000－15t ‎＝－10t＋18000 …………………………………………4分 因为商场规定在销售完节能灯时利润不得高于进货价的30%，‎ 所以－10t＋18000≤[25t＋45(1200－t)]×30%，…………………………………………5分 解得t≥450。………………………………………………………6分 又因为k＝－10＜0，y随t的增大而减小 所以t＝450时，y取得最大值，最大值为－10t＋18000＝13500（元）。……………7分 答：商场购进甲型节能灯450只，乙型节能灯750只，销售完节能灯时获利最多，此时利润为13500元。………………………8分 ‎21.（2014山东省德州市，21，10分）如图，双曲线经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3)。‎ ‎（1）确定k的值；‎ ‎（2）若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；‎ ‎（3）计算△OAB的面积。‎ 第21题图 ‎【答案】解：（1）将点A(2，3)代入解析式，得k＝6。………………………2分 ‎（2）将x＝3代入，得m＝＝2。‎ ‎∴点D的坐标为（3，2）。………………………3分 设直线AD的解析式为y＝k1x＋b，‎ 将点A(2，3)，D（3，2）分别代入y＝k1x＋b得………………………4分 解得 ‎∴直线AD的解析式为y＝－x＋5。………………………5分 ‎（3）过点C作CN垂直于y轴，垂足为N，延长BA交y轴于点M。‎ ‎∵AB∥y轴 ‎∴BM∥y轴 ‎∴BM∥CN ‎∴△OCN∽△OBM………………………6分 ‎∵点C是OB的中点，‎ ‎∴。………………………7分 ‎∵点A，C都在双曲线上，‎ ‎∴S△OCN＝S△OAM＝3。‎ 由 解得S△OAB＝9。 ………………………8分 所以△OAB的面积为9。………………………10分 ‎22. jscm（2014山东省德州市，22，10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，DE分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE。‎ ‎（1）求AC，AD的长；‎ ‎（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由。‎ 第22题图 ‎【答案】解：（1）连接BD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝90°。 ………………………1分 在RtABC中，‎ AC＝。………………………2分 ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴＝ ‎∴AD＝BD。………………………3分 在RtABD中，AD2＋BD2＝AB2，‎ ‎∴AC＝8cm，AD＝cm。………………………5分 ‎（2）直线PC与⊙O相切………………………6分 理由：连接OC，‎ ‎∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA。∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC。………………………7分 ‎∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，‎ ‎∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACE＝∠ECB。‎ ‎∴∠PCB＝∠CAE。………………………8分 ‎∴∠PCB＝∠ACO。‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，‎ ‎∴OC⊥PC，‎ ‎∴直线PC与⊙O相切。………………………10分 ‎23. （2014山东省德州市，23，10分）问题背景：‎ 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。‎ 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；‎ 第23题图1‎ 探索延伸：‎ 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；‎ 第23题图2‎ 第23题图3‎ 实际应用：‎ 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等。接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离。‎ ‎【答案】解：问题背景：EF＝BE＋FD。………………………2分 探索延伸：EF＝BE＋FD仍然成立。………………………3分 证明：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，‎ ‎∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，‎ ‎∴∠B＝∠ADG。‎ 又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG。………………………4分 ‎∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG。‎ 又∵∠EAF＝∠BAD，‎ ‎∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG ‎＝∠FAD＋∠BAE ‎＝∠BAD－∠EAF ‎＝∠BAD－∠BAD ‎＝∠BAD ‎ ‎∴∠EAF＝∠GAF。………………………5分 ‎∴△AEF≌△AGF。………………………6分 ‎∴EF＝FG。‎ 又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF。‎ ‎∴EF＝BE＋FD。………………………7分 实际应用：如图，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，‎ ‎∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FAG＝70°＝∠AOB，………………………8分 又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，‎ ‎∴结论EF＝AE＋FB成立。………………………9分 即，EF＝AE＋FB＝1.5×(60＋80)＝210(海里）‎ 答：此时两舰艇之间的距离为210海里。………………………10分 ‎24. （2014山东省德州市，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标。‎ 第24题图 ‎ ‎第24题备用图 ‎【答案】解：（1）由A(4，0)，可知OA＝4。‎ ‎∵OA＝OC＝4OB，‎ ‎∴OC＝4，OB＝1，‎ ‎∴C(0，4)，B(－1，0)，………………………1分 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)‎ 从而得方程组………………………2分 解之得 ‎∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4。………………………3分 ‎（2）存在。………………………3分 第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M。‎ ‎∵∠ACP1＝90°，‎ ‎∴∠MCP1＋∠ACO＝90°。‎ ‎∵∠OAC＋∠ACO＝90°。‎ ‎∴∠MCP1＝∠ACO＝90°。‎ ‎∴∠MCP1＝∠OAC。‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，‎ ‎∴∠MCP1＝∠MP1C，‎ ‎∴MC＝MP1。………………………5分 设P1(m，－m2＋3m＋4)，则m＝－m2＋3m＋4－4。‎ 解得m1＝0（舍），m2＝2，‎ ‎∴－m2＋3m＋4＝－4＋6＋4＝6。‎ 即P1(2，6)………………………6分 第二种情况，‎ 当以点A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足为N。交y轴于F。‎ ‎∴P2N∥x轴 由∠OAC＝45°，‎ ‎∴∠OAP2＝45°，‎ ‎∴∠FP2N＝45°，OA＝OF，‎ ‎∴P2N＝NF。………………………7分 设P2(n，－n2＋3n＋4)，则－n＝－(－n2＋3m＋4)－4。‎ 解得n1＝－2，n2＝4（舍），‎ ‎∴P2(－2，－6)。‎ 综上所述，存在点P使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，点P的坐标为(2，6)或(－2，－6)。………………………8分 ‎（3）连接OD，由题意知，四边形OFDE为矩形，则OD＝EF，根据点到直线的距离垂线段最短。‎ 当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短。………………………9分 由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，‎ 则AC＝。‎ 根据等腰三角形性质，D为AC中点，‎ 又∵DF∥OC，∴DF＝OC＝2，‎ ‎∴点P的纵坐标为2。………………………10分 从而得－x2＋3x＋4＝2，‎ 解之得：。‎ ‎∴当EF最短时，点P的坐标分别为(，2)或(，2)………………………12分