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  • 2021-05-13 发布

全国名校中考数学模拟试卷分类汇编32_直线与圆的位置关系

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直线与圆的位置关系 一、选择题 1、(2013·湖州市中考模拟试卷 3)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限, ⊙A 与 x 轴交于 B(2,0)、C(8,0)两点,与 y 轴相切于点 D,则点 A 的坐标是( ). A. (5,4) B. (4,5) C. (5,3) D. (3,5) 答案:A 2、(2013·湖州市中考模拟试卷 8)如图,在 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA,CB 分别相交于点 P,Q,则线段 PQ 长度的最小值是( ) A. 4.8 B.4.75 C.5 D. 4 2 答案:A 3、(2013·湖州市中考模拟试卷 8)同学们玩过滚铁环吗?当铁环的半径是 30cm,手柄长 40cm.当手柄的一端勾在环上,另一端到铁环的圆心的距离为 50cm 时,铁环所在的圆与手柄 所在的直线的位置关系为( ) A、相离 B、相交 C、相切 D、不能确定 答案:C 4、(2013 年深圳育才二中一摸)如图,已知 AD 是△ ABC 的外接圆的直径, AD =13 cm, 13 5cos B , 则 AC 的长等于( ) A.5 cm B.6 cm C.12 cm D. 10 cm A D C B (第 1 题) 图8 答案:C 5、(2013 年河南西华县王营中学一摸)如图 PA、PB 分别切圆 O 于 A、B 两点,C 为劣弧 AB 上一点,∠APB=30°,则∠ACB=( ). A.60° B.75° C.105° D.120° 答案:C 6、(2013 年广西南丹中学一摸)如图,PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 是切点,点 C 是劣弧 AB 上的一个动点, 若∠P=40°,则∠ACB 的度数是 A.80° B.110° C.120° D.140° 答案:B 7、(2013 年河北省一摸)|如图 4,在直径 AB=12 的⊙O 中,弦 CD⊥AB 于 M,且 M 是半径 OB 的中点,]则弦 CD 的长是 A.3 B.3 3 C.6 D. 6 3 答案:D 8、.(2013 年河北三摸)如图:⊙O 与 AB 相切于点 A,BO 与⊙O 交于点 C,∠BAC=30°,则 ∠B 等于 A.20° B.50° C.30° D. 60° 答案:C 二、填空题 1、 (2013 年河北省一摸)|如图 8,OA 是⊙B 的直径,OA=4,CD 是⊙B 的切线,D 为切点, ∠DOC=30°,则点 C 的坐标为 . 答案:(6,0) O PA B 第10题图 C D 三、解答题 1、(2013 江苏东台实中)已知⊙O 中,AC 为直径,MA、MB 分别切⊙O 于点 A、B. (1)如图①,若∠BAC=25°,求∠AMB 的大小; (2)如图②,过点 B 作 BD⊥AC 于 E,交⊙O 于点 D,若 BD=MA,求∠AMB 的大小. 答案: (1)∠AMB=50° (4 分)(2)连结 AB,AD,∵BD∥AM,BD=AM∴四边形 AMBD 为平行 四边形, ∵AM=BM,AM=DB, ∴BD=BM 则证明四边形 AMBD 为菱形,∵AB=AD,则∠AMB=60°(4 分) 2、(2013 江苏东台实中)如图,抛物线 21 2y x mx n   交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C, 点 P 是它的顶点,点 A 的横坐标是 3,点 B 的横坐标是 1. (1) 求 m 、 n 的值; (2) 求直线 PC 的解析式; (3)请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系,并说明理由. (参考数据 414.12  , 732.13  , 236.25  ) 答案: (1) 2 3,1  nm (4 分)(2) 2 3 2 1  xy (3 分) (3)⊙A 与直线 PC 相交(可 用相似知识,也可三角函数,求得圆心 A 到 PC 的距离 d 与 r 大小比较,从而确定直线 和圆的位置关系。)(3 分) 3、(2013·吉林中考模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦,AD 平分∠BAC,交⊙O 于点 D,DE⊥AC,交 AC 的延长线于点 E. (1)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 AE=8,⊙O 的半径为 5,求 DE 的长. 答案:解:(1)直线 DE 与⊙O 相切.……………………………………1 分 理由如下: 连接 OD. ∵AD 平分∠BAC, ∴∠EAD=∠OAD. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD. ∴∠ODA=EAD.…………………………………………2 分 ∴EA∥OD. …………………3 分 ∵DE⊥EA, ∴DE⊥OD. 又∵点 D 在⊙O 上,∴直线 DE 与⊙O 相切.…………4 分 (2)方法一: 如图 1,作 DF⊥AB,垂足为 F. ∴∠DFA=∠DEA=90°. ∵∠EAD=∠FAD,AD=AD, ∴△EAD≌△FAD. …………………………5 分 ∴AF=AE=8,DF=DE.……………………6 分 ∵OA=OD=5,∴OF=3. 在 Rt△DOF 中,DF==4. ……7 分 ∴DE=DF=4. …………………………………8 分 方法二: 如图 2,连接 DB. ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°.………………………………5 分 ∴∠ADB=∠AED. ∵∠EAD=∠DAB, ∴△EAD∽△DAB.…………………………6 分 ∴EADA=DABA . 即 8DA=DA10 .解得 DA=4.……………7 分 在 Rt△ADE 中,DE==4. ………8 分 方法三: 如图 3,作 OF⊥AD,垂足为 F. ∴AF=12AD,∠AFO=∠AED.……………………5 分 ∵∠EAD=∠FAO, ∴△EAD∽△FAO.……………………6 分 ∴EAFA=DAOA . 即12 1DA=DA5 .解得 DA=4.……………………7 分 在 Rt△ADE 中,DE==4.…………8 分 4、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图, AB 为⊙O 的直径,弦CD AB⊥ 于点 M ,过 B 点作 BE CD∥ ,交 AC 的延长线于点 E ,连接 BC 。 A B EC MO D 第 20 题图 A BO C D E M (1)求证: BE 为⊙O 的切线; (2)如果 16 tan 2CD BCD  , ,求⊙O 的直径。 答案:证明: BE CD∥ , AB CD , AB BE  . 又 AB 为直径, BE 为⊙O 的切线.·······················································································3 分 (2) AB 为直径, AB CD , 1 1 6 32 2CM CD     .············································································· 4 分 弧 BC=弧 BD. BAC BCD   . 1tan 2BCD  , 1 2 BM CM   . 1 3 2 2BM CM   . 1tan tan 2 CM BAC BCDAM       , 6AM  .·································································································· 7 分 ⊙O 的直径 3 156 2 2AB AM BM     .·························································8 分 5、(2013·温州市中考模拟)已知:如图,在△ABC 中,AB=BC,D 是 AC 中点,BE 平分∠ ABD 交 AC 于点 E,点 O 是 AB 上一点,⊙O 过 B、E 两点, 交 BD 于点 G,交 AB 于点 F. A F D O E B G C (1)求证:AC 与⊙O 相切; (2)当 BD=6,sinC= 5 3 时,求⊙O 的半径. 答案:(1)证明:连接 OE, ∵AB=BC 且 D 是 BC 中点, ∴BD⊥AC, ∵BE 平分∠ABD, ∴∠ABE=∠DBE, ∵OB=OE, ∴∠OBE=∠OEB, ∴∠OEB=∠DBE, ∴OE∥BD , ∴OE⊥AC, ∴AC 与⊙O 相切 (2)∵BD=6,sinC= 5 3 ,BD⊥AC, ∴BC=10, ∴AB=10, 设⊙O 的半径为 r,则 AO=10-r, ∵AB=BC ∴∠C=∠A, ∴sinA=sinC= 5 3 , ∵AC 与⊙O 相切于点 E, ∴OE⊥AC, ∴sinA= OA OE = r r 10 = 5 3 ∴r= 4 15 . 6、(2013·湖州市中考模拟试卷 1)如图, AB 为⊙O 的直径, D、T 是圆上的两点,且 AT 平分∠BAD,过点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ,垂足为 C. (1)求证:PQ 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 2, 3TC  ,求弦 AD 的长 答案:证明:(1)连接OT , OT OA …………………………‥1 分 ∴ ATO OAT   TAC BAT  又 ∴ ATO TAC   ‥‥‥3 分 ∴OT AC∥ AC PQ ∴OT⊥PQ ∴ PQ 是⊙O 的切线 ……………………‥6 分 (2)解:过点作OM AC 于 M ,则 AM MD ‥…… ……………‥‥7 分 又 90OTC ACT OMC       ∴四边形OTCM 为矩形 ∴ 3OM TC  ………………………‥10 分 ∴在 Rt AOM△ 中, 2 2 4 3 1AM OA OM     . ∴弦 AD 的长为 2 ………………………‥12 分 7、(2013·湖州市中考模拟试卷 3)已知:如图,在⊿ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE AC 于点 E. (1)请说明 DE 是⊙O 的切线; (2)若 30B   ,AB=8,求 DE 的长. 答案:解:(1)解法一: 连接 OD,则 OD=OB. ∴ B ODB  ,……………………………………………1 分 ∵AB=AC,∴ B C   . ……………………………2 分 ∴ ODB C   ,∴OD//AC …………………………4 分 ∴ 90ODE DEC     . ……………………………5 分 ∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………6 分 解法二: 连接 OD,AD. ∵AB 是⊙O 的直径,∴ 90ADB   . ……………………1 分 又∵AB=AC,∴BD=CD. ……………………………2 分 ∵OA=OB,∴OD 是△ABC 的中位线. ……………………4 分 ∴OD//AC,∴ 90ODE DEC     . …………………5 分 ∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………6 分 (2)连接 AD(对应(1)的解法一) ∵AB 是⊙O 的直径,∴ 90ADB   . ………………7 分 ∴ 3cos 8 4 32BD AB B     . ………………9 分 又∵AB=AC,∴CD=BD= 4 3 , 30C B     . ……11 分 ∴ 1 2 32DE CD  ……………………………12 分 解法二: 连接 AD. AB 是⊙O 的直径,∴ 90ADB   . ………………7 分 ∴ 60BAD   . ………………………………8 分 又∵OA=OD,∴ 1 4, 602AD OA AB ODA      .………10 分 ∴ 30ADE ODE ODA       . …………………………11 分 ∴ cos 2 3DE AD ADE    . ……………………………12 分 解法三: 连接 AD. AB 是⊙O 的直径,∴ 90ADB   . ………………7 分 又∵ ,AB AC BAD CAD    . 90 ,ADB AED     ∴⊿ADB∽⊿AED. ………………9 分 ∴ DE AD BD AB  . ………………10 分 而 1 4, cos 4 32AD AB BD AB B     . ………………11 分 ∴ 4 4 3 2 38 AD BDDE AB     . ………………12 分 8、(2013·湖州市中考模拟试卷 7)如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D. (1)尺规作图:过 A,D,C 三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法); (2)求证:BC 是过 A,D,C 三点的圆的切线; 答案:解:(1)作出圆心 O, …………………………………………2 分 以点 O 为圆心,OA 长为半径作圆.……………………………………1 分 (2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD 是⊙O 的直径……………1 分 连结 OC,∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30°,…………1 分 ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC 是⊙O 的切线. ……………………………………1 分 9、(2013·湖州市中考模拟试卷10)图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,将这个游戏 抽象为数学问题如图②,已知铁环的半径为25cm,设铁环中心为O ,铁环与地面接触点为 F , 铁环钩与铁环的接触点为 A ,铁环钩与手的接触点是 B ,铁环钩 AB 长75cm, BG 表示点 B 距离地面的高度. (1)当铁环钩 AB 与铁环相切时(如图③),切点 A 离地面的高度 AM 为5cm,求水平距 离 FG 的长; (2)当点 A 与点O 同一水平高度时(如图④),铁环容易向前滚动,现将如图③铁环钩的一端 从 A 点提升到与O 点同一水平高度的C 点,铁环钩的另一端点从点 B 上升到点 D ,且水平 距离 FG 保持不变,求 BD 的长(精确到1cm).解:(1)如图四边形 HFGI , HFMA 是矩 形, 20525  AMOFHFOFOH OHARt 中, 1522  OHOAHA 2分 方 法一 ∵ AB 是圆的切线,∴ 090OAB ∴ 090 AOHOAHBAIOAH , 得 AOHBAI  ,又 90 AIBOHA , ∴ OHA ∽△AIB,得 AI AB OH OA  即 AI 75 20 25  得 60AI 2 分 756015  AIHAHIFG (cm) 1 分 (2)如图 3,四边形OFGP 是矩形, 502575  OCFGOCOPCP 1 分 CPDRt 中 90.555255075 2222  CPCDDP ; AIBRt 中, 455 375sin  BAIABIB 2 分 50545  AMBIBG , 90.802590.55  OFDPDG E O F D C B A 90.305090.80  BGDGBD 31 (cm ) 2 分 10、(2013 年深圳育才二中一摸)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为点 E,CF⊥AF, 且 CF=CE. (1)求证:CF 是⊙O 的切线; (2)若 sin∠BAC=,求 ABC CBD S S   的值. 答案: (1)证明:连接 OC. ∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF, ∴AC 平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC …………1 分 ∵∠BOC=2∠BAC …………………………2 分 ∴∠BOC=∠BAF ∴OC∥AF …………………………………………3 分 ∴CF⊥OC. ∴CF 是⊙O 的切线 …………………………4 分 (2)解:∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB, ∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°.…………………………5 分 ∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE, ∴△ABC∽△CBE ………………………………………6 分 ∴ = =(sin∠BAC) 2= = .…………………………7 分 ∴ = …………………………8 分 11、(2013 年广西南丹中学一摸)如图,已知△ABC,且∠ACB=90°。 (1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,不写作法和证明); ①以点 B 为圆心,AC 边的长为半径作⊙B; ②以点 A 为顶点,在 AB 边的下方作∠BAD=∠ABC. (2)请判断直线 AD 与⊙B 的位置关系,并写出证明过程. 【解答】(1)如右图所示;………4 分 (2)直线 BD 与⊙A 相切.………………5 分 ∵∠ABD=∠BAC, ∴AC∥BD, ∵∠ACB=90°,⊙A 的半径等于 BC,…7 分 ∴点 A 到直线 BD 的距离等于 BC, ∴直线 BD 与⊙A 相切.………………8 分 12、(2013 年河北二摸)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的直线与 AB 的 延长线交于点 P,AC=PC,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)求证: 1 2BC AB ; (3)点 M 是弧 AB 的中点,CM 交 AB 于点 N,若 AB=4,求 MN·MC 的值. 解: (1) OA OC A ACO    , , 又 2 2COB A COB PCB      , , A ACO PCB     .…………………………2 分 又 AB 是 O⊙ 的直径, 90ACO OCB    °, 90PCB OCB    °,即OC CP⊥ ,…………3 分 而OC 是 O⊙ 的半径,  PC 是 O⊙ 的切线.………………………………………………4 分 (2) AC PC A P    , , A ACO PCB P       , 又 COB A ACO CBO P PCB          , , ∴∠AOB=∠CBO ……………………………………………………6 分 AB C 第 21 题图 A B C PO N M A F D O E B G C ∴BC=OC ∴BC= 2 1 AB……………………………………………………7 分 (3)连接 MA MB, ,……………………………………………………………………8 分  点 M 是弧 AB 的中点,∴⌒AM=⌒BM, ACM BCM   , ∵ ACM ABM   , BCM ABM   ,…………………………9 分 又∵ BMN BMC   , MBN MCB△ ∽△ , BM MN MC BM   , ∴BM=MN·MC,…………………………………10 分 又 AB 是 O⊙ 的直径,⌒AM=⌒BM, 90AMB AM BM  °, . 4 2 2AB BM   , …………………………………………………………11 分 ∴ MN·MC= BM=( 22 )=8……………………………………………………12 分 13、(2013 年温州一摸)已知:如图,在△ABC 中,AB=BC,D 是 AC 中点,BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E,点 O 是 AB 上一点,⊙O 过 B、E 两点, 交 BD 于点 G,交 AB 于点 F. (1)求证:AC 与⊙O 相切; (2)当 BD=6,sinC= 5 3 时,求⊙O 的半径. 答案: (1)证明:连接 OE, ∵AB=BC 且 D 是 BC 中点 ∴BD⊥AC ∵BE 平分∠ABD ∴∠ABE=∠DBE ∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB ∴∠OEB=∠DBE ∴OE∥BD ∴OE⊥AC ∴AC 与⊙O 相切 (2)∵BD=6,sinC= 5 3 ,BD⊥AC ∴BC=10 ∴AB=10 设⊙O 的半径为 r,则 AO=10-r ∵AB=BC ∴∠C=∠A ∴sinA=sinC= 5 3 ∵AC 与⊙O 相切于点 E, ∴OE⊥AC ∴sinA= OA OE = r r 10 = 5 3 ∴r= 4 15