全国名校中考数学模拟试卷分类汇编32_直线与圆的位置关系 15页

直线与圆的位置关系 一、选择题 1、（2013·湖州市中考模拟试卷 3）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限， ⊙A 与 x 轴交于 B（2，0）、C（8，0）两点，与 y 轴相切于点 D，则点 A 的坐标是( ). A. （5，4） B. （4，5） C. （5，3） D. （3，5） 答案：A 2、（2013·湖州市中考模拟试卷 8）如图，在 ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA，CB 分别相交于点 P,Q，则线段 PQ 长度的最小值是（ ） A． 4.8 B．4.75 C．5 D． 4 2 答案：A 3、（2013·湖州市中考模拟试卷 8）同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是 30cm，手柄长 40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为 50cm 时，铁环所在的圆与手柄 所在的直线的位置关系为( ) A、相离 B、相交 C、相切 D、不能确定 答案：C 4、(2013 年深圳育才二中一摸)如图，已知 AD 是△ ABC 的外接圆的直径， AD =13 cm， 13 5cos B ， 则 AC 的长等于（ ） A．5 cm B．6 cm C．12 cm D． 10 cm A D C B （第 1 题） 图8 答案：C 5、(2013 年河南西华县王营中学一摸)如图 PA、PB 分别切圆 O 于 A、B 两点，C 为劣弧 AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）． A．60° B．75° C．105° D．120° 答案：C 6、(2013 年广西南丹中学一摸)如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点， 若∠P＝40°，则∠ACB 的度数是 A．80° B．110° C．120° D．140° 答案：B 7、(2013 年河北省一摸)|如图 4，在直径 AB＝12 的⊙O 中，弦 CD⊥AB 于 M，且 M 是半径 OB 的中点，]则弦 CD 的长是 A．3 B．3 3 C．6 D． 6 3 答案：D 8、．(2013 年河北三摸)如图：⊙O 与 AB 相切于点 A，BO 与⊙O 交于点 C，∠BAC=30°，则 ∠B 等于 A.20° B.50° C.30° D. 60° 答案：C 二、填空题 1、 (2013 年河北省一摸)|如图 8，OA 是⊙B 的直径，OA=4，CD 是⊙B 的切线，D 为切点， ∠DOC=30°，则点 C 的坐标为 ． 答案：(6,0) O PA B 第10题图 C D 三、解答题 1、（2013 江苏东台实中）已知⊙O 中，AC 为直径，MA、MB 分别切⊙O 于点 A、B． （1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB 的大小； （2）如图②，过点 B 作 BD⊥AC 于 E，交⊙O 于点 D，若 BD=MA，求∠AMB 的大小． 答案： （1）∠AMB=50° （4 分）（2）连结 AB，AD，∵BD∥AM,BD=AM∴四边形 AMBD 为平行 四边形, ∵AM=BM,AM=DB, ∴BD=BM 则证明四边形 AMBD 为菱形，∵AB=AD,则∠AMB=60°（4 分） 2、（2013 江苏东台实中）如图，抛物线 21 2y x mx n   交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C， 点 P 是它的顶点，点 A 的横坐标是 3，点 B 的横坐标是 1． （1） 求 m 、 n 的值； （2） 求直线 PC 的解析式； （3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系，并说明理由． （参考数据 414.12  ， 732.13  ， 236.25  ） 答案： （1） 2 3,1  nm （4 分）（2） 2 3 2 1  xy （3 分） (3)⊙A 与直线 PC 相交(可 用相似知识，也可三角函数，求得圆心 A 到 PC 的距离 d 与 r 大小比较，从而确定直线 和圆的位置关系。)（3 分） 3、(2013·吉林中考模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC，交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE＝8，⊙O 的半径为 5，求 DE 的长． 答案：解：（1）直线 DE 与⊙O 相切．……………………………………1 分 理由如下： 连接 OD． ∵AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∴∠ODA＝EAD．…………………………………………2 分 ∴EA∥OD． …………………3 分 ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD． 又∵点 D 在⊙O 上，∴直线 DE 与⊙O 相切．…………4 分 （2）方法一： 如图 1，作 DF⊥AB，垂足为 F． ∴∠DFA＝∠DEA＝90°． ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△EAD≌△FAD． …………………………5 分 ∴AF＝AE＝8，DF＝DE．……………………6 分 ∵OA＝OD＝5，∴OF＝3． 在 Rt△DOF 中，DF＝＝4． ……7 分 ∴DE＝DF＝4． …………………………………8 分 方法二： 如图 2，连接 DB． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°．………………………………5 分 ∴∠ADB＝∠AED． ∵∠EAD＝∠DAB， ∴△EAD∽△DAB．…………………………6 分 ∴EADA＝DABA ． 即 8DA＝DA10 ．解得 DA＝4．……………7 分 在 Rt△ADE 中，DE＝＝4． ………8 分 方法三： 如图 3，作 OF⊥AD，垂足为 F． ∴AF＝12AD，∠AFO＝∠AED．……………………5 分 ∵∠EAD＝∠FAO， ∴△EAD∽△FAO．……………………6 分 ∴EAFA＝DAOA ． 即12 1DA＝DA5 ．解得 DA＝4．……………………7 分 在 Rt△ADE 中，DE＝＝4．…………8 分 4、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图， AB 为⊙O 的直径，弦CD AB⊥ 于点 M ，过 B 点作 BE CD∥ ，交 AC 的延长线于点 E ，连接 BC 。 A B EC MO D 第 20 题图 A BO C D E M （1）求证： BE 为⊙O 的切线； （2）如果 16 tan 2CD BCD  ， ，求⊙O 的直径。 答案：证明： BE CD∥ ， AB CD ， AB BE  ． 又 AB 为直径， BE 为⊙O 的切线．·······················································································3 分 （2） AB 为直径， AB CD ， 1 1 6 32 2CM CD     ．············································································· 4 分 弧 BC=弧 BD． BAC BCD   ． 1tan 2BCD  ， 1 2 BM CM   ． 1 3 2 2BM CM   ． 1tan tan 2 CM BAC BCDAM       ， 6AM  ．·································································································· 7 分 ⊙O 的直径 3 156 2 2AB AM BM     ．·························································8 分 5、（2013·温州市中考模拟）已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，BE 平分∠ ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙O 过 B、E 两点, 交 BD 于点 G，交 AB 于点 F． A F D O E B G C （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当 BD=6，sinC= 5 3 时，求⊙O 的半径． 答案：（1）证明：连接 OE， ∵AB=BC 且 D 是 BC 中点， ∴BD⊥AC， ∵BE 平分∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BD ， ∴OE⊥AC， ∴AC 与⊙O 相切 （2）∵BD=6，sinC= 5 3 ，BD⊥AC， ∴BC=10， ∴AB=10， 设⊙O 的半径为 r，则 AO=10-r， ∵AB=BC ∴∠C=∠A， ∴sinA=sinC= 5 3 ， ∵AC 与⊙O 相切于点 E， ∴OE⊥AC， ∴sinA= OA OE = r r 10 = 5 3 ∴r= 4 15 ． 6、（2013·湖州市中考模拟试卷 1）如图， AB 为⊙O 的直径， D、T 是圆上的两点，且 AT 平分∠BAD，过点 T 作 AD 延长线的垂线 PQ，垂足为 C． （1）求证：PQ 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 2， 3TC  ，求弦 AD 的长 答案：证明：（1）连接OT ， OT OA …………………………‥1 分 ∴ ATO OAT   TAC BAT  又 ∴ ATO TAC   ‥‥‥3 分 ∴OT AC∥ AC PQ ∴OT⊥PQ ∴ PQ 是⊙O 的切线 ……………………‥6 分 （2）解：过点作OM AC 于 M ，则 AM MD ‥…… ……………‥‥7 分 又 90OTC ACT OMC       ∴四边形OTCM 为矩形 ∴ 3OM TC  ………………………‥10 分 ∴在 Rt AOM△ 中， 2 2 4 3 1AM OA OM     ． ∴弦 AD 的长为 2 ………………………‥12 分 7、（2013·湖州市中考模拟试卷 3）已知：如图，在⊿ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE AC 于点 E． （1）请说明 DE 是⊙O 的切线； （2）若 30B   ，AB＝8，求 DE 的长． 答案：解:(1)解法一： 连接 OD，则 OD=OB. ∴ B ODB  ，……………………………………………1 分 ∵AB=AC，∴ B C   . ……………………………2 分 ∴ ODB C   ，∴OD//AC …………………………4 分 ∴ 90ODE DEC     . ……………………………5 分 ∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………6 分 解法二： 连接 OD，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴ 90ADB   . ……………………1 分 又∵AB=AC，∴BD=CD. ……………………………2 分 ∵OA=OB，∴OD 是△ABC 的中位线. ……………………4 分 ∴OD//AC，∴ 90ODE DEC     . …………………5 分 ∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………6 分 （2）连接 AD（对应（1）的解法一） ∵AB 是⊙O 的直径，∴ 90ADB   . ………………7 分 ∴ 3cos 8 4 32BD AB B     . ………………9 分 又∵AB=AC，∴CD=BD= 4 3 ， 30C B     . ……11 分 ∴ 1 2 32DE CD  ……………………………12 分 解法二： 连接 AD. AB 是⊙O 的直径，∴ 90ADB   . ………………7 分 ∴ 60BAD   . ………………………………8 分 又∵OA=OD，∴ 1 4, 602AD OA AB ODA      .………10 分 ∴ 30ADE ODE ODA       . …………………………11 分 ∴ cos 2 3DE AD ADE    . ……………………………12 分 解法三： 连接 AD. AB 是⊙O 的直径，∴ 90ADB   . ………………7 分 又∵ ,AB AC BAD CAD    . 90 ,ADB AED     ∴⊿ADB∽⊿AED. ………………9 分 ∴ DE AD BD AB  . ………………10 分 而 1 4, cos 4 32AD AB BD AB B     . ………………11 分 ∴ 4 4 3 2 38 AD BDDE AB     . ………………12 分 8、（2013·湖州市中考模拟试卷 7）如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D. (1)尺规作图：过 A，D，C 三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (2)求证：BC 是过 A，D，C 三点的圆的切线； 答案：解：（1）作出圆心 O， …………………………………………2 分 以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆.……………………………………1 分 （2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD 是⊙O 的直径……………1 分 连结 OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30°,…………1 分 ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC 是⊙O 的切线. ……………………………………1 分 9、（2013·湖州市中考模拟试卷10）图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，将这个游戏 抽象为数学问题如图②，已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O ，铁环与地面接触点为 F ， 铁环钩与铁环的接触点为 A ，铁环钩与手的接触点是 B ，铁环钩 AB 长75cm, BG 表示点 B 距离地面的高度. (1)当铁环钩 AB 与铁环相切时(如图③)，切点 A 离地面的高度 AM 为5cm，求水平距 离 FG 的长； (2)当点 A 与点O 同一水平高度时(如图④)，铁环容易向前滚动，现将如图③铁环钩的一端 从 A 点提升到与O 点同一水平高度的C 点，铁环钩的另一端点从点 B 上升到点 D ，且水平 距离 FG 保持不变，求 BD 的长（精确到1cm）.解:（1）如图四边形 HFGI ， HFMA 是矩 形， 20525  AMOFHFOFOH OHARt 中， 1522  OHOAHA 2分 方 法一 ∵ AB 是圆的切线，∴ 090OAB ∴ 090 AOHOAHBAIOAH , 得 AOHBAI  ,又 90 AIBOHA , ∴ OHA ∽△AIB,得 AI AB OH OA  即 AI 75 20 25  得 60AI 2 分 756015  AIHAHIFG (cm) 1 分 (2)如图 3，四边形OFGP 是矩形， 502575  OCFGOCOPCP 1 分 CPDRt 中 90.555255075 2222  CPCDDP ; AIBRt 中, 455 375sin  BAIABIB 2 分 50545  AMBIBG , 90.802590.55  OFDPDG E O F D C B A 90.305090.80  BGDGBD 31 (cm ) 2 分 10、(2013 年深圳育才二中一摸)如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E，CF⊥AF， 且 CF=CE． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若 sin∠BAC=，求 ABC CBD S S   的值． 答案： （1）证明：连接 OC． ∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF， ∴AC 平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC …………1 分 ∵∠BOC=2∠BAC …………………………2 分 ∴∠BOC=∠BAF ∴OC∥AF …………………………………………3 分 ∴CF⊥OC． ∴CF 是⊙O 的切线 …………………………4 分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB， ∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．…………………………5 分 ∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE， ∴△ABC∽△CBE ………………………………………6 分 ∴ = =（sin∠BAC） 2= = ．…………………………7 分 ∴ = …………………………8 分 11、(2013 年广西南丹中学一摸)如图，已知△ABC，且∠ACB＝90°。 （1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）； ①以点 B 为圆心，AC 边的长为半径作⊙B； ②以点 A 为顶点，在 AB 边的下方作∠BAD=∠ABC． （2）请判断直线 AD 与⊙B 的位置关系，并写出证明过程． 【解答】（1）如右图所示；………4 分 （2）直线 BD 与⊙A 相切．………………5 分 ∵∠ABD＝∠BAC， ∴AC∥BD， ∵∠ACB＝90°，⊙A 的半径等于 BC，…7 分 ∴点 A 到直线 BD 的距离等于 BC， ∴直线 BD 与⊙A 相切．………………8 分 12、(2013 年河北二摸)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的 延长线交于点 P，AC=PC，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证： 1 2BC AB ； （3）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=4，求 MN·MC 的值． 解： （1） OA OC A ACO    ， ， 又 2 2COB A COB PCB      ， ， A ACO PCB     ．…………………………2 分 又 AB 是 O⊙ 的直径， 90ACO OCB    °， 90PCB OCB    °，即OC CP⊥ ，…………3 分 而OC 是 O⊙ 的半径，  PC 是 O⊙ 的切线．………………………………………………4 分 （2） AC PC A P    ， ， A ACO PCB P       ， 又 COB A ACO CBO P PCB          ， ， ∴∠AOB=∠CBO ……………………………………………………6 分 AB C 第 21 题图 A B C PO N M A F D O E B G C ∴BC=OC ∴BC= 2 1 AB……………………………………………………7 分 （3）连接 MA MB， ，……………………………………………………………………8 分  点 M 是弧 AB 的中点，∴⌒AM=⌒BM， ACM BCM   ， ∵ ACM ABM   ， BCM ABM   ，…………………………9 分 又∵ BMN BMC   ， MBN MCB△ ∽△ ， BM MN MC BM   ， ∴BM=MN·MC，…………………………………10 分 又 AB 是 O⊙ 的直径，⌒AM=⌒BM， 90AMB AM BM  °， ． 4 2 2AB BM   ， …………………………………………………………11 分 ∴ MN·MC= BM=( 22 )=8……………………………………………………12 分 13、（2013 年温州一摸）已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙O 过 B、E 两点, 交 BD 于点 G，交 AB 于点 F． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当 BD=6，sinC= 5 3 时，求⊙O 的半径． 答案： （1）证明：连接 OE， ∵AB=BC 且 D 是 BC 中点 ∴BD⊥AC ∵BE 平分∠ABD ∴∠ABE=∠DBE ∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB ∴∠OEB=∠DBE ∴OE∥BD ∴OE⊥AC ∴AC 与⊙O 相切 （2）∵BD=6，sinC= 5 3 ，BD⊥AC ∴BC=10 ∴AB=10 设⊙O 的半径为 r，则 AO=10-r ∵AB=BC ∴∠C=∠A ∴sinA=sinC= 5 3 ∵AC 与⊙O 相切于点 E， ∴OE⊥AC ∴sinA= OA OE = r r 10 = 5 3 ∴r= 4 15