中考数学试题分类汇编20 梯形 29页

‎20．梯形 一、选择题 ‎1．(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）‎ A、 B、 C、 D、3‎ ‎【关键词】轴对称在直角梯形中的应用 ‎【答案】C A B C D E F P ‎（第8题）‎ ‎2. （2009年淄博市）如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为（ C ）‎ A．9 ‎ B．10.5‎ C．12 ‎ D．15‎ ‎【关键词】梯形中位线 ‎【答案】C ‎3.（2009年齐齐哈尔市）梯形中，，，，，，则的长为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎【关键词】梯形 D B C L P A 圖(十)‎ ‎【答案】B ‎4. （2009年台湾）如图(十)，等腰梯形ABCD中，=5，==7，=13，且之中垂线L交于P点，连接。求四边形ABPD的周长为何？‎ ‎ A. 24 B‎.25 ‎‎ C. 26 D.27 ‎ ‎【关键词】等腰梯形性质 ‎ ‎【答案】B ‎5. （2009年重庆市江津区）在△ABC中，BC=10，B1 、C1分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，分别是AB,AC的三等分点，在图③中分别是AB、AC的10等分点，则的值是 （ ）‎ A. 30 B. ‎45 C.55 D.60‎ ‎ ‎ ‎① ② ③‎ ‎【关键词】中位线 ‎【答案】B ‎ 6.(2009武汉)在直角梯形中，，为边上一点，，且．连接交对角线于，连接．下列结论：‎ ‎①； ②为等边三角形； ③； ④．‎ 其中结论正确的是（ ）‎ A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④‎ D C B E A H ‎【关键词】直角梯形 等腰直角三角形的性质 全等三角形的判定 等边三角形的判定 ‎【答案】B ‎7.（2009威海）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6,则AB的长度为（　　）‎ A．9 B．‎12 ‎ C．18 D．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】C ‎8..（2009湖北省荆门市）等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是（ ）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：本题考查三角形中位线定理及等腰梯形的性质，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以对角线AC=BD，又因为E、F、G、H分别是各边的中点，所以四边形EFGH的形状是菱形，故选C．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质、三角形中位线定理、菱形的判定 ‎【答案】C ‎9.．（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ）B ‎ A．2对 B．3对 ‎ C．4对 D．5对 ‎【关键词】等腰梯形性质、全等三角形 ‎【答案】B ‎10．（2009临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，，对角线于点O，，垂足分别为E、F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ D C A B E F O ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】A D A C B ‎11．（2009年哈尔滨）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A 恰好落在DC边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD的度数为（ ）．‎ ‎（A）15° （B）20° （C） 25° （D）30°‎ ‎【关键词】梯形的性质 ‎【答案】C. 因为∠A´BC＝20°，则∠BA´C＝70°，∠DA´B＝110°，∠DAB＝110°，∠ABC＝70°，则∠A´BD=25°‎ ‎12.（2009年遂宁）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠D=90o，AD=DC=4，AB=1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是 ‎ A.2 B.4‎ C.8 D.1‎ ‎【关键词】梯形、距离 ‎【答案】A ‎13.（2009年茂名市）（2009年茂名）6．杨伯家小院子的四棵小树刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形种上小草，则这块草地的形状是（ ）‎ A．平行四边形　　　 　B．矩形 C．正方形　　　 D．菱形 Ａ Ｄ Ｈ Ｇ Ｃ Ｆ Ｂ Ｅ ‎【关键词】梯形 ‎【答案】A ‎14. (2009年达州)如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：①‎ ‎ ，②OA=OD ，③，④S=S，其中正确的是 A. ①② ‎ B.①④ ‎ ‎ C.②③④ ‎ D.①②④‎ ‎【关键词】梯形 ‎【答案】D 二、填空题 ‎1.（2009 黑龙江大兴安岭）梯形中，， ，，，， ‎ 则的长为 ． ‎ ‎【关键词】梯形、等腰梯形、直角梯形等概念 ‎【答案】3‎ ‎2.（2009年济宁市）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD＝‎3cm, AB＝‎4cm, ∠B＝60°, 则下底BC的长为 cm .‎ ‎【关键词】等腰梯形 ‎【答案】7‎ A D C B E ‎（14题图）‎ ‎3. (2009宁夏)14．如图，梯形的两条对角线交于点，图中面积相等的三角形共有　　　　　　对．‎ ‎【关键词】梯形 ‎【答案】3‎ ‎4.．(2009年南充)如图，等腰梯形ABCD中，，，则梯形ABCD 的周长是 ．‎ D C A B ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】17‎ ‎5．（2009年日照）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD. ‎ B C D A O ‎（第15题图）‎ ‎【关键词】全等三角形的性质与判定, 等腰梯形的判定 ‎【答案】∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；(任选其一) ‎ ‎6.（2009年泸州）如图4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=4，则梯形ABCD的面积是 ‎ ‎【关键词】直角梯形的面积.‎ ‎【答案】9‎ P A D B F C ‎7. (2009年四川省内江市)如图，梯形ABCD中，AD//BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PE⊥BC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=____________。‎ ‎【关键词】相似三角形的性质.‎ ‎【答案】5‎ ‎8.(2009年陕西省) 14．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DA＝CB，若AB＝10，DC＝4，tanA＝2，则这个梯形的面积是______．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质 三角函数 ‎ ‎【答案】42‎ ‎9.（2009山西省太原市）如图，在等腰梯形中，，=4=，=45°．直角三角板含45°角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角形，则的长等于 ． ‎ D B C A E F 解析：本题考查动点问题，由题意可知△ABE∽△ECF，则有，BC=4=，=45°，∴AB=3，若为等腰三角形分3种情况，①当BA=BE=3时，，CF=，②当AB=AE=3时，此时，BE=，，CF=2，③当EB=EA时，此时EB=，，CF=，综上的长等于，2，．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质、等腰三角形的性质 A B C D E ‎【答案】，2，。‎ ‎10.（2009年宁波市）如图，梯形ABCD中，，，作交于点E，若，，则CD的长是 ．‎ ‎【关键词】梯形的性质 ‎【答案】7‎ ‎11．（2009东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD. ‎ ‎ 【关键词】等腰梯形 B C D A O ‎（第15题图）‎ ‎【答案】∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；(任选其一) ‎ ‎12.（2009年济宁市）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD＝‎3cm, AB＝‎4cm, ∠B＝60°, 则下底BC的长为 cm .‎ ‎【关键词】等腰梯形 ‎【答案】7‎ 三、解答题 ‎1. （2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.‎ ‎(1)求证：AB⊥AC；‎ ‎(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .‎ ‎23题图 ‎【关键词】梯形的性质 ‎【答案】证明：（1）∵AD∥BC，AB=DC ∠B=60°∴∠DCB=∠B=60°‎ ‎∠DAC=∠ACB.又∵AD=DC ∴∠DAC=∠DCA ∴∠DCA=ACB==30°‎ ‎∴∠B+∠ACB=90°∴∠BAC=90°∴AB⊥AC ‎（2）过点A作AE⊥BC于E ∵∠B=60°∴∠BAE=30°又∵AB=DC=6 ∴BE=3‎ ‎∴ ‎ ‎∵∠ACB=30°，AB⊥AC ‎∴BC=2AB=12‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2. （2009年北京市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=,∠C=,‎ AD=1,BC=4,E为AB中点，EF∥DC交BC于点F,求EF的长. ‎ ‎【关键词】梯形 ‎【答案】解法一：‎ A D B E C F 图1‎ G 如图1，过点作于点．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 可得四边形为矩形．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又∵为中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 在中，．‎ ‎∴．‎ 解法二：‎ 如图2，延长交的延长线于点．‎ A D B E C F 图2‎ G ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形为平行四边形，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ 设，则，．‎ ‎∴．‎ 解得．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ ‎3.（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．‎ ‎(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；‎ ‎(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？‎ ‎(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？‎ ‎【关键词】直角梯形、平行四边形、等腰三角形.. ‎ ‎【答案】解：（1）在直角梯形ABCD中，‎ ‎∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。‎ ‎∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。‎ ‎∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。‎ ‎∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN∥AB，∴，‎ 即，∴.‎ ‎（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。‎ ‎∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。‎ ‎(3)∵MN∥AB，‎ ‎∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1：，∴，即，∴t=.∴CN=，MC=，∴CN+MC=，∵△ABC的周长的一半==6≠，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。‎ ‎（4）分3种情况：‎ ‎①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。‎ 则PN=NC，即3-t-t=t+1，‎ ‎∴，即时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。‎ 即，‎ ‎∴时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎∵PC=4－t，NC=t+1，‎ ‎∴PN=2t-3,‎ 又∵，‎ ‎∴MN=，‎ 由勾股定理可得[]2+（2t-3）2=（4－t）2，‎ 即当t=时，△PMC为等腰三角形。‎ ‎4.（2009年桂林市、百色市）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O．‎ A D O C B ‎ （1）图中共有 对全等三角形； ‎ ‎（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明． ‎ ‎【关键词】等腰梯形 ‎【答案】解：（1）3 （写1对、2对均不给分）‎ ‎ （2）△ABC≌△DCB 证明：∵四边形ABCD是等腰梯形 ‎∴AB=DC，∠ABC=∠DCB ‎ 又BC=CB ‎∴△ABC≌△DCB ‎ ‎（注：选其它两对证明的，按以上相应步骤给分，全等三角形对应点不对应不扣分）‎ ‎5. (2009年上海市)21．如图4，在梯形中， AD∥BC，AB=DC=8,∠B=60°，BC=12,联结．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若分别是的中点，联结，求线段的长．‎ A D C 图4‎ B ‎【关键词】等腰梯形 中位线 含一个30°角的直角三角形 ‎【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵∠B=60°，∠BAE=90°－∠B=30°‎ ‎∴BE=AB=4，AE=BE=4，CE=8‎ ‎∴=‎ ‎（2）∵AD=BC－2BE=4‎ ‎∴梯形的中位线MN==8。‎ ‎6.（2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．‎ ‎（1）求证：AF=BE；‎ D E F P B A ‎（第22题）‎ C ‎（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】（1）∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，‎ ‎∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF；‎ ‎（2）猜想∠BPF=120° .‎ ‎∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF .‎ ‎∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠BPF=120° .‎ ‎7.（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。‎ （1） 求证：BE=AD；‎ （2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；‎ （3） ‎△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。‎ ‎【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 ‎【答案】证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，‎ ‎∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1=∠2‎ ‎∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE∴AD=BE ‎（2）∵E是AB中点，∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD…∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。即，AC是线段ED的垂直平分线。‎ ‎（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分 理由如下由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD∴CD=BD∴△DBC是等腰三角形。‎ ‎8.（2009江西）如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.‎ ‎（1）求点到的距离；‎ ‎（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.‎ ‎①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.‎ A D E B F C 图4（备用）‎ A D E B F C 图5（备用）‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎（第25题）‎ ‎【关键词】等腰梯形、动态、等腰三角形 ‎【答案】（1）如图1，过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ 在中，∴‎ ‎∴‎ 即点到的距离为 ‎（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴，‎ 同理 图2‎ A D E B F C P N M G H 如图2，过点作于，∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 则 在中，‎ ‎∴的周长=‎ ‎②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．‎ 当时，如图3，作于，则 类似①，‎ ‎∴‎ ‎∵是等边三角形，∴‎ 此时，‎ 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F（P）‎ C M N G G R G ‎ 当时，如图4，这时 此时，‎ 当时，如图5，‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合，为直角三角形．‎ ‎∴‎ 此时，‎ 综上所述，当或4或时，为等腰三角形．‎ ‎9.（2009年烟台市）如图，直角梯形ABCD中，，，且 ‎，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．‎ 求证：CD垂直平分EG.‎ ‎（3）延长BE交CD于点P．‎ 求证：P是CD的中点．‎ A D G E C B ‎【关键词】直角梯形的性质 ‎【答案】证明：（1）延长交于．‎ A D G E C B F P ‎，，‎ ‎． ‎ 在中，，‎ ‎，即．‎ ‎，．‎ ‎，‎ 即．‎ ‎（2）平分，．‎ 由（1）知，，．‎ 由图形旋转的性质知．‎ 都在的垂直平分线上，垂直平分． ‎ ‎（3）连接．由（2）知，．‎ ‎．．． ‎ ‎，．‎ 由（1）知．，．‎ 又，，． ‎ ‎，．是的中点．‎ ‎10.【2009南宁市】如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为米．‎ ‎（1）用含的式子表示横向甬道的面积；‎ ‎（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；‎ ‎（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】26．解：（1）横向甬道的面积为：‎ ‎（2）依题意：‎ 整理得：‎ ‎（不符合题意，舍去）‎ 甬道的宽为‎5米．‎ ‎（3）设建设花坛的总费用为万元．‎ 当时，的值最小．‎ 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，‎ 米时，总费用最少．‎ 最少费用为：万元 ‎11.（2009年益阳市）如图9，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=‎2cm.‎ ‎(1)求∠CBD的度数；‎ ‎(2)求下底AB的长.‎ A B C 图9‎ D ‎60°‎ ‎【关键词】梯形 ‎【答案】.解：(1)∵∠A＝60°，BD⊥AD ‎∴∠ABD＝30°.‎ 又∵AB∥CD ‎∴∠CDB＝∠ABD＝30°.‎ ‎ ∵BC＝CD ‎∴∠CBD＝∠CDB＝30°.‎ ‎ 　 (2)∵∠ABD＝∠CBD＝30°‎ ‎∴∠ABC＝60°＝∠A.‎ ‎∴AD＝BC＝CD＝‎‎2cm 在Rt△ABD中，∴AB＝2AD＝4cm A D C B E ‎12．（2009年漳州）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、．求证：．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】证明：四边形是等腰梯形，‎ ‎．‎ 为的中点，‎ O B E C A D ‎（第22题图）‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎13.（2009年益阳市）如图9，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=‎2cm.‎ ‎(1)求∠CBD的度数；‎ ‎(2)求下底AB的长.‎ A B C 图9‎ D ‎60°‎ ‎【关键词】梯形 ‎【答案】.解：(1)∵∠A＝60°，BD⊥AD ‎∴∠ABD＝30°.‎ 又∵AB∥CD ‎∴∠CDB＝∠ABD＝30°.‎ ‎ ∵BC＝CD ‎∴∠CBD＝∠CDB＝30°.‎ ‎ 　 (2)∵∠ABD＝∠CBD＝30°‎ ‎∴∠ABC＝60°＝∠A.‎ ‎∴AD＝BC＝CD＝‎‎2cm 在Rt△ABD中，∴AB＝2AD＝4cm ‎14. （2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.‎ ‎(1)求证：AB⊥AC；‎ ‎(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .‎ ‎23题图 ‎【关键词】梯形的性质 ‎【答案】证明：（1）∵AD∥BC，AB=DC ∠B=60°∴∠DCB=∠B=60°‎ ‎∠DAC=∠ACB.又∵AD=DC ∴∠DAC=∠DCA ∴∠DCA=ACB==30°‎ ‎∴∠B+∠ACB=90°∴∠BAC=90°∴AB⊥AC ‎（2）过点A作AE⊥BC于E ∵∠B=60°∴∠BAE=30°又∵AB=DC=6 ∴BE=3‎ ‎∴ ‎ ‎∵∠ACB=30°，AB⊥AC ‎∴BC=2AB=12‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；‎ ‎（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；‎ ‎（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．‎ ‎【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 ‎【答案】解：（1）如图4，过B作 过Q作 则 要使四边形PABQ是等腰梯形，则，即 或（此时是平行四边形，不合题意，舍去）‎ ‎（2）当时，。‎ ‎（3）①当时，则 ‎②当时，‎ 即 ‎③当时， ‎ 综上，当时，△PQF是等腰三角形．‎ ‎16．（09湖南邵阳）如图（七），在梯形中，，，，将延长至点，使．‎D A F B C 图七 ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：为等腰三角形．‎ ‎【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质 ‎【答案】（1）‎ ‎．‎ 在中，‎ ‎；‎ ‎（2）连接．在梯形中，，，‎ 在四边形中，‎ 四边形是平行四边形，，‎ ‎，即为等腰三角形．‎ ‎17．（2009年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（3分）‎ ‎（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）‎ ‎（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）‎ O y x B E A D C F ‎【关键词】正方形的性质；待定系数法；相似三角形判定和性质；特殊平行四边形相关的面积问题；等腰梯形的判定；全等三角形的性质与判定 ‎【答案】解：（1）依条件有，．‎ 由知．‎ ‎∴由得．‎ ‎∴．‎ 将的坐标代入抛物线方程，‎ 得．‎ ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎（2）‎ O y x B E A D C F N M Q 设，，．‎ ‎∴‎ 设，则 ‎∴，（舍去）‎ 此时点与点重合，，，，‎ 则为等腰梯形． 3分 ‎（3）在射线上存在一点，在射线上存在一点．‎ 使得，且成立，证明如下：‎ 当点如图①所示位置时，不妨设，过点作，，，垂足分别为．‎ 若．由得：‎ B A N D M C Q H P ‎①‎ ‎ B A D M C Q H P ‎②‎ N ‎H N A D C B M P ‎③‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎18．（2009年山西省）有一水库大坝的横截面是梯形，为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为‎12米，迎水坡上的长为‎2米，求水深．（精确到‎0.1米，）‎ A B C D E F 水深 ‎【关键词】直角三角形的有关计算；梯形的性质 ‎【答案】解：分别过作于于过作于则四边形为矩形．‎ A B C D E F 水深 ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ 答：水深约为6.7米．‎ ‎（其它解法可参照给分）‎ ‎19.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎(N)‎ ‎（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）．‎ ‎（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．‎ ‎【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题 ‎【答案】图2：…………………………2分 ‎ 图3：…………………………2分 证明：如图2，取的中点，连结、…………1分 ‎∵是的中点，是的中点，‎ ‎∴，， ‎ ‎∴．………………….1分 同理，，，‎ ‎∴．…………………………. 1分 ‎∵，‎ ‎∴, ‎ 图3‎ ‎∴‎ ‎∴．………………… 1分 ‎ ‎ 证明图3的过程与证明图2过程给分相同. ‎ ‎20．（2009年邵阳市）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB＝AD＝DC,AC⊥AB,延长CB至F，使BF＝CD.‎ (1) 求∠ABC的度数 (2) 求证：△CAF为等腰三角形。‎ F D C B A ‎【关键词】等腰梯形的性质；等腰三角形；直角三角形性质 ‎【答案】‎ ‎22.（2009青海）如图9，梯形中，，，为梯形外一点，分别交线段于点，且．‎ ‎（1）图中除了 外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）．‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【关键词】等腰梯形的性质 ‎【答案】（1）；；．‎ D C F E A B P ‎（2）∵，， ‎ ‎∴梯形为等腰梯形．‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即．‎ 在和中，‎ ‎∴．‎ ‎23．（2009眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。。‎ ‎⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；‎ ‎⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。‎ ‎⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。‎ ‎【关键词】直角梯形 ‎【答案】（1）平行四边形……（2分）‎ ‎（2）△BEF≌△FDC……（3分）或（△AFB≌△EBC≌△EFC）‎ 证明：连结DE ∵AB＝2CD，E为AB中点 ∴DC＝EB ‎ ‎ 又∵ DC∥EB 四边形BCDE是平行四边形 ‎∵AB⊥BC ∴四边形BCDE为矩形 ‎ ‎∴∠AED＝90° Rt△ABE中，∠A＝60°，F为AD中点 ‎ ‎∴AE＝AD＝AF＝FD ∴△AEF为等边三角形 ‎ ‎∴∠BEF＝180°－60°＝120° 而∠FDC＝120° ‎ 得△BEF≌△FDC（S．A．S．）……（6分）（其他情况证明略）‎ （1） 若CD＝2，则AD＝4，DE＝BC＝2 ‎ ‎∵S△ECF＝SAECD＝CD·DE＝×2×2＝2‎ S△CBE＝BE·BC＝×2×2＝2 ‎ ‎∴S四边形BCFE＝S△ECF+S△EBC＝2+2＝4……（9分）‎