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- 2021-05-13 发布
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2018年九年级数学 中考专题复习--圆 培优练习卷
如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C,BE⊥CD,垂足为E,连接AC、BC.
(1)求证:BC平分∠ABE;
(2)若∠A=60°OA=4,求CE的长.
如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中,画出△AB′C′;
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径作⊙O交AC于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F,且BD=BF.
(1)求证:AC与⊙O相切;
(2)若BC=6,DF=8,求⊙O的面积.
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点O在边AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A.
(1)判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积.
如图,在△ABC中,AB=AC,O在AB上,以O为圆心,OB为半径的圆与AC相切于点F,交BC于点D,交AB于点G,过D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)DE与⊙O有什么位置关系,请写出你的结论并证明;
(2)若⊙O的半径长为3,AF=4,求CE的长.
如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若OF∶OB=1∶3,⊙O的半径为3,求BD:AD的值.
已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,∠AOC的度数为60°,连接PB.
(1)求BC的长;(2)求证:PB是⊙O的切线.
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,DG⊥AC于点G,交AB的延长线于点F.
(1)求证:直线FG是⊙O的切线;
(2)若AC=10,cosA=0.4,求CG的长.
如图,在△ABC中,,半圆的圆心O在AB上,且与AC,BC分别相切于点D,E.
(1)求半圆O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
如图1,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)当BD是⊙O的直径时(如图2),求∠CAD的度数.
如图,在△ABC中,AB=AC,E是BC中点,点O在AB上,以OB为半径的⊙O经过点AE上的一点M,分别交AB,BC于点F,G,连BM,此时∠FBM=∠CBM.
(1)求证:AM是⊙O的切线;
(2)当BC=6,OB:OA=1:2 时,求弧FM,AM,AF围成的阴影部分面积.
如图,在⊙O中,弦AB=CD,且相交于点E,连接OE.
(1)如图1,求证:EO平分∠BEC;
(2)如图2,点F在半径OD的延长线上,连接AC、AF,当四边形ACDF是平行四边形时,求证:OE=DE;
(3)如图3,在(2)的条件下,AF切⊙O于点A,点H为弧BC上一点,连接AH、BH、DH,若BH=AH,AB=,求DH的长.
如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC边于点E.
(1) 求证:DE⊥AC;
(2) 连结OC交DE于点F,若sin∠ABC=0.75,求OF:CF的值.
如图,已知AB为⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:DE为⊙O的切线.(2)求证:DF2=BF•AF.
如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求cos∠E的值.
参考答案
1)证明:∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥DE,
而BE⊥DE,∴OC∥BE,∴∠OCB=∠CBE,
而OB=OC,∴∠OCB=∠CBO,∴∠OBC=∠CBE,即BC平分∠ABE;
(2)解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵sinA=,∴BC=8sin60°=4,
∵∠OBC=∠CBE=30°,在Rt△CBE中,CE=BC=2.
解:(1)如图所示:△AB′C′即为所求;
(2)∵AB==5,
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为: =π.
解:(1)MN是⊙O切线.
理由:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,∴∠BCM=∠BOC,
∵∠B=90°,∴∠BOC+∠BCO=90°,∴∠BCM+∠BCO=90°,
∴OC⊥MN,∴MN是⊙O切线.
(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,∴∠AOC=120°,
在RT△BCO中,OC=OA=4,∠BCO=30°,∴BO=OC=2,BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4.
解:(1)DE与⊙O相切;理由如下:连接OD,
∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB;∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC;
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE与⊙O相切.
(2)连接OD,OF;∵DE,AF是⊙O的切线,∴OF⊥AC,OD⊥DE,
又∵DE⊥AC,∴四边形ODEF为矩形,∴EF=OD=3;
在Rt△OFA中,AO2=OF2+AF2,∴,
∴AC=AB=AO+BO=8,CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1,∴CE=1.答:CE长度为1.
解:(1)连接OD,∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF,∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF,
∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°,而OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,
∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线
(2)∵OF∶OB=1∶3,∴OF=1,BF=2,设BE=x,则DE=EF=x+2,
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE,而∠ADO=∠A,∴∠BDE=∠A,
又∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴==,
即x=2,∴BD:AD=1:2.
(1)解:连结OD,OC,
∵半圆与AC,BC分别相切于点D,E.∴,且.
∵,∴且O是AB的中点.∴.
∵,∴.∴.
∴在中,.即半圆的半径为1.
(1)证明:连接AO,延长AO交⊙O于点E,则AE为⊙O的直径,连接DE,如图所示:
∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∠ADB=∠ACB+∠CAD,∴∠ABC=∠CAD,
∵AE为⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∴∠EAD=90°﹣∠AED,
∵∠AED=∠ABD,∴∠AED=∠ABC=∠CAD,
∴∠EAD=90°﹣∠CAD,即∠EAD+∠CAD=90°,∴EA⊥AC,∴AC是⊙O的切线;
(2)解:∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABC+∠ADB=90°,
∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∴4∠ABC=90°,∴∠ABC=22.5°,
由(1)知:∠ABC=∠CAD,∴∠CAD=22.5°.
(1)证明:过点O作OH⊥CD,OM⊥AB,垂足分别为H、M,如右图1所示,
∵AB=CD,∴OH=OM,∴EO平分∠BEC;
(2)连接OA、BD,如右图2所示,∵AB=CD∴,∴∴AC=BD,
又∵∠DBE=∠ACE,∠CEA=∠BED,∴△CEA≌△BED,∴AE=DE,
又∵OE平分∠CEB,∠BED=∠CEA,∴∠OEC=∠OEB,∴∠OEA=∠OED,
∵OE=OE,∴△AOE≌△DOE,∴∠DOE=∠DOA,
又∵四边形CAFD是平行四边形,∴∠F=∠C=∠ODE,
∴∠C=∠DOA=∠EOD=∠F=∠ODE,∴∠EOD=∠EDO,∴OE=DE;
(3)如图3所示,连接OA,则OA⊥AF,
∵四边形AFDC是平行四边形,∴CD∥AF,∴OA⊥CD,∴,∴OD⊥AB,
∵OE=DE,∴OG=OD=AO,∴∠AOD=60°,∴∠AHB=∠AOD=60°,
过点A作AM⊥BH,则HM=AH,AM=AH,∴BM=BH﹣HM=AH﹣AH=AH,
由勾股定理得,AB2=BM2+AM2,即21=,得AH=3,∴BH=2,
∵OA===BD,过点B作BQ⊥DH于点Q,∠BHQ=30°,
∴BQ=,HQ==3,∴DQ==2,
∴DH=HQ+DQ=3+2=5,即DH=5.
(1)证明:连接OD .
∵DE是⊙O的切线, ∴DE⊥OD,即∠ODE=90° .
∵AB是⊙O的直径, ∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点, ∴OD∥AC . ∴∠DEC=∠ODE= 90° .∴DE⊥AC .
(2)连接AD .
∵OD∥AC,∴. ∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB= ∠ADC =90° .
又∵D为BC的中点,∴AB=AC.
∵sin∠ABC=,故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x .
∵DE⊥AC,∴∠ADC= ∠AED= 90°.
∵∠DAC= ∠EAD,∴△ADC∽△AED.
∴.∴.∴.∴.∴.
(1)证明:连AD,OD,如图所示:
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵E是AC的中点,∴EA=ED,∴∠EDA=∠EAD,
∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,∴∠EDO=∠EAO,
∵AB⊥AC,∴∠EAO=90°,∴∠EDO=90°,∴DE为⊙O的切线;
(2)证明:∵DE为⊙O的切线,∴∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°,
∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠FDB=∠FAD,
又∵∠F为公共角,∴△FDB∽△FAD,∴=,∴DF2=BF•AF.
解:(1)证明:连结OD、CD,∵BC是直径,∴CD⊥AB,
∵AC=BC,∴D是AB的中点,又O为CB的中点,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥EF,∴EF是⊙O的切线;
(2)连结BG,∵BC为直径,∴∠BGC=90°,
在Rt△BCD中,CD=8,∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG,∴BG=9.6
在Rt△BCG中,CG=2.8,∵BG⊥AC,DF⊥AC,∴BG∥EF,
∴∠E=∠CBG,∴cos∠E=cos∠CBG=0.96.