中考数学一模试卷含解析17 13页

‎2016年广东省中山市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在下列实数中，无理数是（　　）‎ A． B．π C． D．‎ ‎2．下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎3．必然事件的概率是（　　）‎ A．0 B．0.5 C．1 D．不能确定 ‎4．下列几组线段能组成三角形的是（　　）‎ A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm C．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，4cm，8cm ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A． B．x5+x5=x10 C．x8÷x2=x4 D．（﹣a3）2=a6‎ ‎6．若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（　　）‎ A．正八边形 B．正六边形 C．正五边形 D．正方形 ‎7．如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则的长为（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎8．在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图所示的三角形相似的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某市为了加快城市建设力度.2014年市政府共投资2亿元人民币，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为x，可列方程（　　）‎ A．2x2=9.5 B．2+2（x+1）+2（x+1）2=9.5‎ C．2（x+1）2=9.5 D．2+（x+1）+（x+1）2=9‎ ‎10．在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．不等式4﹣x＞1的正整数解为　　　　　　．‎ ‎12．我市约有495万人口，用科学记数法表示为　　　　　　人．‎ ‎13．因式分解：﹣3a=　　　　　　．‎ ‎14．某商品利润是32元，利润率为16%，则此商品的进价是　　　　　　．‎ ‎15．如图所示，反比例函数的图象经过点A，那么k的值是　　　　　　．‎ ‎16．如图，如图，M、N分别是△ABC的边AC和AB的中点，D为BC上任意一点，连接AD，将△AMN沿AD方向平移到△A1M1N1的位置，且M1N1在BC边上，已知△AMN的面积为7，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共66分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算：﹣12﹣|2﹣|+2cos60°+．‎ ‎18．化简分式：，并选择一个你喜欢的x的值求分式的值．‎ ‎19．如图，已知钝角△ABC ‎（1）过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）‎ ‎（2）在（1）的条件下，若∠ABC=122°，BC=5，AD=4，求CD的长．（结果保留到0.1，参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62．）‎ ‎20．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．‎ ‎（1）求∠AOD的度数；‎ ‎（2）求证：PD是半圆O的切线．‎ ‎21．已知：一次函数y=x﹣2与反比例函数y=（m≠0）．‎ ‎（1）求证：这两个函数的图象一定有两个不同的交点；‎ ‎（2）若他们的一个交点是（1，m），求反比例函数的解析式．‎ ‎22．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．‎ ‎（1）求证：△ABF∽△DFE；‎ ‎（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．‎ ‎23．某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；‎ ‎（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；‎ ‎（3）求这20名学生每人植树量的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．‎ ‎24．请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；‎ ‎（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，8），抛物线y=ax2+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，△AGC的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省中山市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在下列实数中，无理数是（　　）‎ A． B．π C． D．‎ ‎【考点】无理数．‎ ‎【分析】初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．‎ ‎【解答】解：∵π是无限不循环小数，‎ ‎∴π是无理数，其它的数都是有理数．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】分别找到四个立体图形的左视图即可，左视图是从左面看所得到的平面图形．‎ ‎【解答】解：①正方体的左视图是正方形；‎ ‎②圆锥体的左视图是等腰三角形；‎ ‎③球体的左视图是圆；‎ ‎④圆柱体的左视图是长方形；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．必然事件的概率是（　　）‎ A．0 B．0.5 C．1 D．不能确定 ‎【考点】概率的意义．‎ ‎【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件即可解答．‎ ‎【解答】解：∵必然事件就是一定发生的事件，‎ ‎∴必然事件发生的概率是1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．下列几组线段能组成三角形的是（　　）‎ A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm C．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，4cm，8cm ‎【考点】三角形三边关系．‎ ‎【分析】利用三角形的三边关系：三角形的任意两边之和＞第三边即可判断．‎ ‎【解答】解：A、3+5=8，不能组成三角形；‎ B、8+8=16＜18，不能组成三角形；‎ C、是等边三角形；‎ D、3+4=7＜8，不能组成三角形；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．下列计算正确的是（　　）‎ A． B．x5+x5=x10 C．x8÷x2=x4 D．（﹣a3）2=a6‎ ‎【考点】负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；零指数幂．‎ ‎【分析】根据负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、同底数幂的除法、合并同类项等知识点进行解答．‎ ‎【解答】解：A、（﹣）0×3﹣1=1×=；故不对；‎ B、x5+x5=2x5；故不对；‎ C、x8÷x2=x6；故不对；‎ D、（﹣a3）2=a6，正确；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（　　）‎ A．正八边形 B．正六边形 C．正五边形 D．正方形 ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】利用多边形内角和公式，根据性质列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设此多边形变数为x，根据题意，得 ‎（x﹣2）×180=120•x，‎ 解之，得x=6，所以此图形是正六边形．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则的长为（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【考点】弧长的计算；圆周角定理．‎ ‎【分析】首先连接CO，再利用圆周角定理计算出圆心角∠COB的度数，然后利用弧长公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：连接CO，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴OB=1，‎ ‎∵AB是半圆的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴∠COB=120°，‎ ‎∴==π，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图所示的三角形相似的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定；勾股定理．‎ ‎【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形是两直角边分别为、2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．‎ ‎【解答】解：根据勾股定理，所给图形的两直角边为=，‎ ‎=2，‎ 所以，夹直角的两边的比为=，‎ 纵观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．某市为了加快城市建设力度.2014年市政府共投资2亿元人民币，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币，若在这两年内每年投资的增长率都为x，可列方程（　　）‎ A．2x2=9.5 B．2+2（x+1）+2（x+1）2=9.5‎ C．2（x+1）2=9.5 D．2+（x+1）+（x+1）2=9‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】设每年市政府投资的增长率为x．根据到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解．‎ ‎【解答】解：设每年市政府投资的增长率为x，‎ 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据x轴上的点到原点的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．‎ ‎【解答】解：x＜0时，y=﹣x，x＞0时，y=x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．不等式4﹣x＞1的正整数解为　1，2　．‎ ‎【考点】一元一次不等式的整数解．‎ ‎【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．‎ ‎【解答】解：不等式的解集是x＜3，‎ 故不等式4﹣x＞1的正整数解为1，2．‎ 故答案为1，2．‎ ‎　‎ ‎12．我市约有495万人口，用科学记数法表示为　4.95×106　人．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题495万=4 950 000有7位整数，n=7﹣1=6．‎ ‎【解答】解：495万=4 950 000=4.95×106人．‎ 故填4.95×106．‎ ‎　‎ ‎13．因式分解：﹣3a=　a（a+3）（a﹣3）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=a（a2﹣1）‎ ‎=a（a+3）（a﹣3）．‎ 故答案为： a（a+3）（a﹣3）．‎ ‎　‎ ‎14．某商品利润是32元，利润率为16%，则此商品的进价是　200元　．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】根据利润=进价×利润率．根据此等量关系列方程得出结果．‎ ‎【解答】解：设商品的进价是x元，‎ 则16%x=32，‎ x=200元，‎ 答：此商品的进价是200元．‎ 故答案为：200元．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，反比例函数的图象经过点A，那么k的值是　2　．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据图示知A（1，2），所以把点A的坐标代入反比例函数解析式，通过方程来求k的值．‎ ‎【解答】解：如图所示，A（1，2）．则 ‎2=，‎ 解得，k=2．‎ 故答案是：2．‎ ‎　‎ ‎16．如图，如图，M、N分别是△ABC的边AC和AB的中点，D为BC上任意一点，连接AD，将△AMN沿AD方向平移到△A1M1N1的位置，且M1N1在BC边上，已知△AMN的面积为7，则图中阴影部分的面积为　14　．‎ ‎【考点】平移的性质．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN=BC，得到△AMN∽△ACB，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵M、N分别是△ABC的边AC和AB的中点，‎ ‎∴MN∥BC，MN=BC，‎ ‎∴△AMN∽△ACB，相似比为1：4，‎ ‎∵△AMN的面积为7，‎ ‎∴△ABC的面积为28，‎ 由平移的性质可知，△AMN的面积=△A1M1N1的面积=7，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为28﹣7﹣7=14，‎ 故答案为：14．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共66分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算：﹣12﹣|2﹣|+2cos60°+．‎ ‎【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣1﹣2++2×+2‎ ‎=﹣2+3．‎ ‎　‎ ‎18．化简分式：，并选择一个你喜欢的x的值求分式的值．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．x取不为±1、0的任何数．‎ ‎【解答】解： =×=2x+4，取x=2，原式=8．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知钝角△ABC ‎（1）过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）‎ ‎（2）在（1）的条件下，若∠ABC=122°，BC=5，AD=4，求CD的长．（结果保留到0.1，参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62．）‎ ‎【考点】作图—基本作图；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD即可；‎ ‎（2）根据三角形外角的性质求出∠DAB的度数，在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出DB的长，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示；‎ ‎（2）∵∠ABC=122°，∠D=90°，‎ ‎∴∠DAB=32°．‎ 在Rt△ADB中，‎ ‎∵tan∠DAB=，即0.62=，‎ ‎∴DB=2.48，‎ ‎∴DC=2.48+5=7.48≈7.5．‎ ‎　‎ ‎20．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．‎ ‎（1）求∠AOD的度数；‎ ‎（2）求证：PD是半圆O的切线．‎ ‎【考点】垂径定理；平行线的性质；圆周角定理；切线的判定．‎ ‎【分析】（1）根据CO与DO的数量关系，即可得出∠CDO的度数，进而求出∠AOD的度数；‎ ‎（2）利用点E是的中点，进而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）解：∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，‎ ‎∴2CO=DO，∠DCO=90°，‎ ‎∴∠CDO=30°，‎ ‎∴∠AOD=60°；‎ ‎（2）证明：如图，连接OE，‎ ‎∵点E是的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∵由（1）得∠AOD=60°，‎ ‎∴∠DOB=120°，‎ ‎∴∠BOE=60°，‎ ‎∴∠EAB=30°，‎ ‎∴∠AFO=90°，‎ ‎∵DP∥AE，‎ ‎∴PD⊥OD，‎ ‎∴直线PD为⊙O的切线．‎ ‎　‎ ‎21．已知：一次函数y=x﹣2与反比例函数y=（m≠0）．‎ ‎（1）求证：这两个函数的图象一定有两个不同的交点；‎ ‎（2）若他们的一个交点是（1，m），求反比例函数的解析式．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）将两个函数解析式联立后，通过方程x2﹣2x﹣m2=0的判别式判断方程总有两个不相等的实数根，再进行证明；‎ ‎（2）将点A分别代入两个函数解析式，继而即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：把y=x﹣2代入y=得x﹣2=，‎ 整理得：x2﹣2x﹣m2=0，‎ ‎∵△=4+4m2，且m≠0，‎ ‎∴4+4m2＞0，‎ ‎∴方程x2﹣2x﹣m2=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴这两个函数的图象一定有两个不同的交点；‎ ‎（2）把x=1，y=m代入y=x﹣2得，m=﹣1，‎ 故反比例函数的解析式为y=．‎ ‎　‎ ‎22．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．‎ ‎（1）求证：△ABF∽△DFE；‎ ‎（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，‎ ‎（2）已知sin∠DFE=，设DE=a，EF=3a，DF==2a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF==．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ‎∴∠A=∠D=∠C=90°，‎ ‎∵△BCE沿BE折叠为△BFE，‎ ‎∴∠BFE=∠C=90°，‎ ‎∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，‎ 又∵∠AFB+∠ABF=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠DFE，‎ ‎∴△ABF∽△DFE，‎ ‎（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE==，‎ ‎∴设DE=a，EF=3a，DF==2a，‎ ‎∵△BCE沿BE折叠为△BFE，‎ ‎∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，‎ 又由（1）△ABF∽△DFE，‎ ‎∴===，‎ ‎∴tan∠EBF==，‎ tan∠EBC=tan∠EBF=．‎ ‎　‎ ‎23．某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；‎ ‎（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；‎ ‎（3）求这20名学生每人植树量的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．‎ ‎【考点】众数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数．‎ ‎【分析】（1）利用总人数20乘以对应的百分比即可求得D类的人数解答；‎ ‎（2）根据众数、中位数的定义即可直接求解；‎ ‎（3）首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260即可．‎ ‎【解答】解（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3（人）．‎ ‎（2）众数为5棵，中位数为5棵 ‎（3）==5.3（棵）．‎ 估计260名学生共植树5.3×260=1378（棵）．‎ ‎　‎ ‎24．请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；‎ ‎（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．‎ ‎【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；‎ ‎（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．‎ ‎（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）．‎ ‎【解答】解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，‎ ‎∴△DPH≌△FGP，‎ ‎∴PH=PG，DH=GF，‎ ‎∵CD=BC，GF=GB=DH，‎ ‎∴CH=CG，‎ ‎∴CP⊥HG，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠DCG=120°，‎ ‎∴∠PCG=60°，‎ ‎∴PG：PC=tan60°=，‎ ‎∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC， =；‎ ‎（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．‎ 证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，‎ ‎∵P是线段DF的中点，‎ ‎∴FP=DP，‎ ‎∵AD∥GF，‎ ‎∴∠HDP=∠GFP，‎ ‎∵∠GPF=∠HPD，‎ ‎∴△GFP≌△HDP（ASA），‎ ‎∴GP=HP，GF=HD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，‎ ‎∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，‎ ‎∴∠GBF=60°，‎ ‎∴∠HDC=∠GBF，‎ ‎∵四边形BEFG是菱形，‎ ‎∴GF=GB，‎ ‎∴HD=GB，‎ ‎∴△HDC≌△GBC，‎ ‎∴CH=CG，∠HCD=∠GCB ‎∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）‎ ‎∵∠ABC=60°‎ ‎∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°‎ ‎∵∠HCG=∠HCB+∠GCB ‎∴∠HCG=120°‎ ‎∴∠GCP=60°‎ ‎∴=tan∠GCP=tan60°=；‎ ‎（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），‎ ‎∴∠PCG=90°﹣α，‎ 由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α），‎ ‎∴=tan（90°﹣α）．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，8），抛物线y=ax2+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，△AGC的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；‎ ‎（2）根据相似三角形的性质，可得PE、PB的长，可得E点坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得GE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；‎ ‎（3）若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．‎ 将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得，‎ 解得．‎ 故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；‎ ‎（2）∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC， =，即=，PE=AP=t，PB=8﹣t，‎ E（4+t，8﹣t），G点的坐标为（4+t，﹣t2+8），‎ GE=（﹣t2+8）﹣（8﹣t）=﹣t2+t，‎ S△AGC=GE•（xC﹣xA）=（﹣t2+t）（8﹣4）=﹣（t﹣4）2+4，‎ 当t=4时，△AGC的面积最大，最大值为4；‎ ‎（3）①当EQ=QC时，∵Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t，‎ 所以根据两点间距离公式，得：‎ ‎（t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2．‎ 整理得13t2﹣144t+320=0，‎ 解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．‎ ‎②当EC=CQ时，‎ 因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t，‎ 所以根据两点间距离公式，得：‎ ‎（4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．‎ 整理得t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．‎ ‎③当EQ=EC时，‎ 因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），‎ 所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+t﹣8）2+（8﹣t）2，‎ 解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=．‎ 于是t1=，t2=，t3=40﹣16．‎