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- 2021-05-13 发布
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第23章 等腰三角形
一、选择题
1. (2011浙江省舟山,7,3分)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为( )
(A) (B) (C) (D)
(第7题)
【答案】B
2. (2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【答案】D
3. (2011浙江义乌,10,3分)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
四边形ACDE是平行四边形,连结CE交AD于点F,连结BD交
CE于点G,连结BE. 下列结论中:
① CE=BD; ② △ADC是等腰直角三角形;
③ ∠ADB=∠AEB; ④ CD·AE=EF·CG;
一定正确的结论有
A
B
C
D
E
F
G
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
4. (2011台湾全区,30)如图(十三),ΔABC中,以B为圆心,长为半径画弧,分别交、
于D、E两点,并连接、.若∠A=30∘,=,则∠BDE的度数为何?
A. 45 B. 52.5 C. 67.5 D. 75
【答案】C
5. (2011台湾全区,34)如图(十六),有两全等的正三角形ABC、DEF,且D、A分别为△ABC、△DEF的重心.固定D点,将△DEF逆时针旋转,使得A落在上,如图(十七)所示.求图(十六)与图(十七)中,两个三角形重迭区域的面积比为何?
A.2:1 B. 3:2 C. 4:3 D. 5:4
【答案】C
6. (2011山东济宁,3,3分)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,那么此三角形的周长是
A.15cm B.16cm
C.17cm D.16cm或17cm
【答案】D
7. (2011四川凉山州,8,4分)如图,在中,,,点 为的中点,,垂足为点,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题
1. (2011山东滨州,15,4分)边长为6cm的等边三角形中,其一边上高的长度为________.
【答案】cm
2. (2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 .
【答案】4或6
3. (2011浙江杭州,16,4)在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为 .
【答案】
4. (2011浙江台州,14,5分)已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80º ,则∠EGC的度数为
【答案】80º
5. (2011浙江省嘉兴,14,5分)如图,在△ABC中,AB=AC,,则△ABC的外角∠BCD= °.
(第14题)
【答案】110
6. (2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。
【答案】80°。提示:∠A=180°-2×50°=80°。
7. (2011山东济宁,15,3分)如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则 .
第15题
D
【答案】
8. (2011湖南怀化,13,3分)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=__________________.
【答案】4
9. (2011四川乐山16,3分)如图,已知∠AOB=,在射线OA、OB上分别取点OA=OB,连结AB,在BA、BB上分别取点A、B,使B B= B A,连结A B…按此规律上去,记∠A B B=,∠,…,∠
则⑴= ; ⑵ = 。
【答案】⑴ ⑵
10.(2011湖南邵阳,11,3分)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。
【答案】80°。
11. (2011贵州贵阳,15,4分)如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______.
(第15题图)
【答案】
12. (2011广东茂名,14,3分)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.
【答案】15
三、解答题
1. (2011广东东莞,21,9分)如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A 顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2).
(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);
(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形?
【解】(1)△HGA及△HAB;
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB
∴,即,
所以,
(3)当CG<时,∠GAC=∠H<∠HAC,∴AC<CH
∵AG<AC,∴AG<GH
又AH>AG,AH>GH
此时,△AGH不可能是等腰三角形;
当CG=时,G为BC的中点,H与C重合,△AGH是等腰三角形;
此时,GC=,即x=
当CG>时,由(1)可知△AGC∽△HGA
所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH
若AG=AH,则AC=CG,此时x=9
综上,当x=9或时,△AGH是等腰三角形.
2. (2011山东德州19,8分)如图 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证AD=AE;(2) 连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
A
B
C
E
D
O
【答案】(1)证明:在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,
A
B
E
C
D
O
∴ △ACD≌△ABE.…………………… 3分
∴ AD=AE. ……………………4分
(2) 互相垂直 ……………………5分
在Rt△ADO与△AEO中,
∵OA=OA,AD=AE,
∴ △ADO≌△AEO. ……………………………………6分
∴ ∠DAO=∠EAO.
即OA是∠BAC的平分线. ………………………………………7分
又∵AB=AC,
∴ OA⊥BC. ………………………………………8分
3. (2011山东日照,23,10分)如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,
求证: ME=BD.
【答案】(1)在等腰直角△ABC中,
∵∠CAD=∠CBD=15o,
∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o,
∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC,
∴∠DCA=∠DCB=45o.
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o,
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o,
∴∠BDM=∠EDC,
∴DE平分∠BDC;
(2)如图,连接MC,
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM=15°,
∴△ADC≌△EMC,∴ME=AD=DB.
4. (2011湖北鄂州,18,7分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.
第18题图
B
A
E
D
F
C
【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5
5. (2011浙江衢州,23,10分)是一张等腰直角三角形纸板,.
要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.
(第23题)
(第23题图1)
图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为;按照甲种剪法,在余下的
中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为(如图2),则 ;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为(如图3);继续操作下去…则第10次剪取时, .
求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.
【答案】(1)解法1:如图甲,由题意得.如图乙,设,则由题意,得
又
甲种剪法所得的正方形的面积更大
说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为的中点,
解法2:如图甲,由题意得
如图乙,设
甲种剪法所得的正方形的面积更大
(2)
(3)
(3)解法1:探索规律可知:‘
剩余三角形的面积和为:
解法2:由题意可知,
第一次剪取后剩余三角形面积和为
第二次剪取后剩余三角形面积和为
第三次剪取后剩余三角形面积和为
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为
6. (2011浙江绍兴,23,12分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点为的中点时,如图1,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:
(填“>”,“<”或“=”).
第25题图2
第25题图1
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,与的大小关系是: (填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点作,交于点.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且.若的边长为1,,求的长(请你直接写出结果).
【答案】(1)= .
(2)=.
方法一:如图,等边三角形中,
是等边三角形,
又
.
方法二:在等边三角形中,
而由是正三角形可得
(3)1或3.
7. (2011浙江台州,23,12分)如图1,过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE,点D是垂足,点E是BC中点,规定。特别的,当点D重合时,规定。另外。对、作类似的规定。
(1)如图2,已知在Rt△ABC中,∠A=30º,求、;
(2)在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上,画一个△ABC,使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上,且,面积也为2;
(3)判断下列三个命题的真假。(真命题打√,假命题打×)
① 若△ABC中,,则△ABC为锐角三角形;( )
② 若△ABC中,,则△ABC为直角三角形;( )
③ 若△ABC中,,则△ABC为钝角三角形;( )
【答案】解:(1)如图,作CD⊥AB,垂足为D,作中线CE、AF。
∴=1
∵ Rt△ABC中,∠CAB=30º, ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60º,
∴△CEB是正三角形,
∵ CD⊥AB ∴ AE=2DE
∴=; ∴=1,=;
(2)如图所示:
(3)①×;②√;③√。
8. (2011浙江义乌,23,10分)如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,连结AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
(1) 如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;
(2)如图2,设∠ABP=β . 当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合. 已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面
积为S,求S关于x的函数关系
图1
图2
图3
P
B1
FM
A
DO
EC
C
B
A1
P
B1
FM
A
DO
EC
C
B
A1
P
B1
A
DO
C
B
A1
【答案】(1) 相似
由题意得:∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
(2)存在,理由如下:
易得:△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP,只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
(3)连结BD,交A1B1于点G,
过点A1作A1H⊥AC于点H.
P
B1
A
DO
C
B
A1
H
G
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得:AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等边三角形
∴A1H=在Rt△ABD中,BD=
∴BG=
∴ (0≤x<2)
9. (2011广东株洲,20,6分)如图, △ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连结EC.
(1)求∠ECD的度数;
(2)若CE=5,求BC长.
【答案】(1)解法一:∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∠ECD=∠A=36°.
解法二:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE=90°,
又∵DE =DE,∴△ADE≌△CDE,∠ECD=∠A=36°.
(2)解法一:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,
∵∠ECD=36°,
∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,
∠BEC=72°=∠B,
∴ BC=EC=5.
解法二:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°,
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°,
∴∠BEC=∠B,
∴BC=EC=5.
10.(2011重庆綦江,24,10分)如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.
(1) 求证:△ACD≌△BCE;
(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点,连结CP、CQ使CP=CQ=5, 若BC=8时,求PQ的长.
【答案】:(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形,
∴AC=BC , CD=CE
且∠ACB=∠DCE=60°
∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
(2)解:作CH⊥BQ交BQ于H, 则PQ=2HQ
在Rt△BHC中 ,由已知和(1)得∠CBH=∠CAO=30°,∴ CH=4
在Rt△CHQ中,HQ=
∴PQ=2HQ=6
11. (2011江苏扬州,23,10分)已知:如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC,
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上,并说明理由。
【答案】(1)证明:∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB
∵BD、CE是两条高 ∴∠BDC=∠CEB=90°
又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB(AAS)
∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形。
(2)点O是在∠BAC的角平分线上。连结AO.
∵ △BDC≌△CEB ∴DC=EB,
∵OB=OC ∴ OD=OE
又∵∠BDC=∠CEB=90° AO=AO
∴△ADO≌△AEO(HL)
∴∠DAO=∠EAO
∴点O是在∠BAC的角平分线上。
12. (2011广东省,21,9分)如图(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,将△EFD绕点A 顺时针旋转,当DF
边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点,如图(2).
(1)问:始终与△AGC相似的三角形有 及 ;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由);
(3)问:当x为何值时,△AGH是等腰三角形?
【解】(1)△HGA及△HAB;
(2)由(1)可知△AGC∽△HAB
∴,即,
所以,
(3)当CG<时,∠GAC=∠H<∠HAC,∴AC<CH
∵AG<AC,∴AG<GH
又AH>AG,AH>GH
此时,△AGH不可能是等腰三角形;
当CG=时,G为BC的中点,H与C重合,△AGH是等腰三角形;
此时,GC=,即x=
当CG>时,由(1)可知△AGC∽△HGA
所以,若△AGH必是等腰三角形,只可能存在AG=AH
若AG=AH,则AC=CG,此时x=9
综上,当x=9或时,△AGH是等腰三角形.
13. (2011湖北黄冈,18,7分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.
第18题图
B
A
E
D
F
C
【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5
14. (2011湖北襄阳,21,6分)
如图6,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②③;①③②;②③①.
(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ;
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).
图6
【答案】(1)①②③;①③②;②③①. 3分
(2)(略) 6分
15. (2011山东泰安,29 ,10分)已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,点D是AB的中点,点E是AB边上一点。
(1)直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G(如图①),求证:AE=CG;
(2)直线AH垂直于CE于,垂足为H,交CD的延长线于点M(如图②),找出图中与BE相等的线段,并说明。
【答案】(1)证明:∵点D是AB中点,AC=BC,∠ACB=900
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=450
∠CAD=∠CBD=450
∴∠CAE=∠BCG
又BF⊥CE
∴∠CBG+∠BCG=900
又∠ACE+∠BCF=900
∴∠ACE=∠CBG
∴△AEC≌△CGB
∴AE=CG
(2)BE=CM
证明:∵CH⊥HM,CD⊥ED
∴∠CMA+∠MCH=900
∠BEC+∠MCH=900
∴∠CMA=∠BEC
又,AC=BC,∠ACM=∠CBE=450
∴△BCE≌△CAM
∴BE=CM
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