中考数学综合题专题动点综合型问题二专题解析 43页

中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析 23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从 A（1， 3）、B（6，0）两点同时出发，点 O 为 坐标原点．甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行走，t h 后，甲到达 M 点，乙 到达 N 点． （1）请说明甲、乙两人到达 O 点前，MN 与 AB 不可能平行． （2）当 t 为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长，设 s＝MN 2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、 乙两人之间距离的最小值． 解：（1）∵A（1， 3），∴OA＝2，∠AOB＝60° 假设 MN∥AB，则有 OM OA ＝ ON OB ∵OM＝2－4t，ON＝6－4t，∴2－4t 2 ＝6－4t 6 解得 t＝0 即在甲、乙两人到达 O 点前，只有当 t＝0 时，△OMN∽△OAB ∴MN 与 AB 不可能平行 （2）∵甲达到 O 点时间为 t＝ 2 4 ＝ 1 2 ，乙达到 O 点时间为 t＝ 6 4 ＝ 3 2 ∴甲先到达 O 点，∴t＝ 1 2 或 t＝ 3 2 时，O、M、N 三点不能构成三角形 ①当 t＜ 1 2 时，若△OMN∽△OBA，则有 2－4t 6 ＝ 6－4t 2 解得 t＝2＞ 1 2 ，∴△OMN 与△OBA 不相似 ②当 1 2 ＜t＜ 3 2 时，∠MON＞∠OAB，显然△OMN 与△OBA 不相似 ③当 t＞ 3 2 时，4t－2 6 ＝ 4t－6 2 ，解得 t＝2＞ 3 2 ∴当 t＝2 时，△OMN∽△OBA （3）①当 t≤ 1 2 时，如图 1，过点 M 作 MH⊥x 轴，垂足为 H 在 Rt△MOH 中，∵∠AOB＝60° ∴MH＝OM·sin60°＝(2－4t)× 3 2 ＝ 3(1－2t) O B y x A O B y x A M H 图 1 N ∴NH＝ 1 2 (4t－2)＋(6－4t)＝5－2t ∴s＝[ 3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t 2－32t＋28 ②当 1 2 ＜t≤ 3 2 时，如图 2，作 MH⊥x 轴，垂足为 H 在 Rt△MNH 中，MH＝ 3 2 (4t－2)＝ 3(2t－1) NH＝ 1 2 (4t－2)＋(6－4t)＝5－2t ∴s＝[ 3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t 2－32t＋28 ③当 t＞ 3 2 时，同理可得 s＝[ 3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t 2－32t＋28 综上所述，s＝16t 2－32t＋28 ∵s＝16t 2－32t＋28＝16(t－1)2＋12 ∴当 t＝1 时，s 有最小值为 12 ∴甲、乙两人距离的最小值为 2 3km 24．（江苏南通）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10 厘米，BC＝12 厘米，D 是 BC 的中点．点 P 从 B 出发，以 a 厘米/秒（a＞0）的速度沿 BA 匀速向点 A 运动，点 Q 同时以 1 厘米/秒的 速度从 D 出发，沿 DB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止 运动，设它们运动的时间为 t 秒． （1）若 a＝2，△BPQ∽△BDA，求 t 的值； （2）设点 M 在 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形． ①若 a＝ 5 2 ，求 PQ 的长； ②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在， 请说明理由． 解：（1）∵BC＝12，D 是 BC 的中点 ∴BD＝CD＝6 ∵a＝2，∴BP＝2t，DQ＝t，BQ＝6－t ∵△BPQ∽△BDA，∴ BP BD ＝ BQ BA ∴ 2t 6 ＝ 6－t 10 ，∴t＝ 18 13 CB D A Q P O B y x A M H 图 2 N （2）①∵a＝ 5 2 ，∴BP＝ 5 2 t ∵四边形 PQCM 为平行四边形，∴PQ∥AC ∴△BPQ∽△BAC，∴ BP BA ＝ BQ BC ∴ 5 2 t 10 ＝ 6－t 12 ，∴t＝ 3 2 ，∴BP＝15 4 ∵AB＝AC，∴PQ＝BP＝15 4 ②不存在 理由：假设存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的角平分线上 则四边形 PQCM 为菱形，∴BP＝PQ＝CQ＝6＋t 由①知， BP BA ＝ BQ BC ，∴6＋t 10 ＝ 6－t 12 ∴t＝－ 6 11 ＜0 ∴不存在实数 a，使得点 P 在 ACB 的角平分线上 25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：y＝ 1 2 x 与直线 l2：y＝－x ＋6 相交于点 M，直线 l2 与 x 轴相交于点 N． （1）求 M、N 的坐标； （2）在矩形 ABCD 中，已知 AB＝1，BC＝2，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以 每秒 1 个单位长度的速度移动．设矩形 ABCD 与△OMN 的重合部分的面积为 S，移动的时间 为 t（从点 B 与点 O 重合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结束）．直接写出 S 与自变 量 t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值． 解：（1）对于 y＝－x＋6，令 y＝0，得 x＝6 ∴点 N 的坐标为（6，0） 由题意，得 y＝ 1 2 x y＝－x＋6 解得 x＝4 y＝2 A B l1 N M x l2 CD y O CB D A Q P M A B l1 N M x l2 CD y O A l1 N M x l2 CD y O B ∴点 M 的坐标为（4，2） （2）当 0≤t ≤1 时，S＝ 1 4 t 2 当 1＜t≤4 时，S＝ 1 2 t－ 1 4 当 4＜t＜5 时，S＝－ 3 4 t 2＋13 2 t－49 4 当 5≤t＜6 时，S＝－t＋13 2 当 6≤t≤7 时，S＝ 1 2 (7－t)2 （3）解法一：当 0≤t ≤1 时，S 最大＝ 1 4 当 1＜t≤4 时，S 最大＝ 7 4 当 4＜t＜5 时，S＝－ 3 4 (t－13 3 )2＋11 6 ∴当 t＝13 3 时，S 最大＝11 6 当 5≤t＜6 时，S 最大＝ 3 2 当 6≤t≤7 时，S 最大＝ 1 2 综上可知，当 t＝13 3 时，S 的值最大，且最大值是 11 6 解法二：由（2）中的函数关系式可知，S 的最大值一定在 4＜t ＜5 时取得 当 4＜t＜5 时，S＝－ 3 4 (t－13 3 )2＋11 6 ∴当 t＝13 3 时，S 的值最大，且最大值是 11 6 26．（江苏模拟）已知抛物线与 x 轴交于 B、C（1，0）两点，与 y 轴交于点 A，顶点坐标为 （ 5 2 ，－ 27 16 ）．P、Q 分别是线段 AB、OB 上的动点，它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运 动，速度均为每秒 1 个单位，设 P、Q 运动时间为 t（0≤t≤4）． （1）求此抛物线的解析式，并求出 P 点的坐标（用 t 表示）； （2）当△OPQ 面积最大时求△OBP 的面积； （3）当 t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？ （4）△OPQ 是否可能为等边三角形？若可能请求出 t 的值；若不可能请说明理由，并改变 Q 点的运动速度，使△OPQ 为等边三角形，求出 Q 点运动的速度和此时 t 的值． y O x A BC Q P A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B 解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a(x－ 5 2 )2－ 27 16 ∵抛物线过点 C（1，0） ∴0＝a(1－ 5 2 )2－ 27 16 ，∴a＝ 3 4 ∴y＝ 3 4 (x－ 5 2 )2－ 27 16 令 y＝0，得 x1＝1，x2＝4，∴B（4，0） 令 x＝0，得 y＝3，∴A（0，3） ∴AB＝ 32＋42 ＝5 过点 P 作 PM⊥y 轴于 M 则△AMP∽△AOB，∴AM AO ＝ PM OB ＝ AP AB 即 AM 3 ＝ PM 4 ＝ t 5 ，∴AM＝ 3 5 t，PM＝ 4 5 t ∴P（ 4 5 t，3－ 3 5 t） （2）过点 P 作 PN⊥x 轴于 N ∴S△OPQ ＝ 1 2 OQ·PN＝ 1 2 ·t·(3－ 3 5 t) ＝－ 3 10 t2＋ 3 2 t＝－ 3 10 (t－ 5 2 )2＋15 8 ∴当 t＝ 5 2 时，△OPQ 面积最大 此时 OP 为 AB 边上的中线 ∴S△OBP ＝ 1 2 S△AOB ＝ 1 2 × 1 2 ×3×4＝3 （3）若∠OPQ＝90°，则 OP 2＋PQ 2＝OQ 2 ∴( 4 5 t)2＋(3－ 3 5 t)2＋(t－ 4 5 t)2＋(3－ 3 5 t)2＝t2 解得 t1＝3，t2＝15（舍去） 若∠OQP＝90°，则 PM＝OQ ∴ 4 5 t＝t，∴t＝0（舍去） ∴当 t＝3 时，△OPQ 为直角三角形 O x A BC Q P y M N （4）∵OP 2＝( 4 5 t)2＋(3－ 3 5 t)2，PQ 2＝(t－ 4 5 t)2＋(3－ 3 5 t)2 ∴OP≠PQ，∴△OPQ 不可能是等边三角形 设 Q 的速度为每秒 k 个单位时，△OPQ 为等边三角形 则 OQ＝2PM，∴kt＝2· 4 5 t，得 k＝ 8 5 PN＝ 3 2 OP＝ 3 2 OQ，∴3－ 3 5 t＝ 3 2 · 8 5 t ∴t＝20 3－15 13 27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片 ABCD 中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H，BC＝BH＝2．动点 F 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DH 运动到点 H 停止，在运动过程中，过点 F 作 FE⊥AD 交折线 D－C－B 于点 E，将纸片沿直线 EF 折叠，点 C、D 的对应点分别是点 C1、D1．设 F 点运动的时间是 t（秒）． （1）当点 E 和点 C 重合时，求 t 的值； （2）在整个运动过程中，设△EFD1 或四边形 EFD1C1 与梯形 ABCD 重叠部分面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式和相应自变量 t 的取值范围； （3）平移线段 CD，交线段 BH 于点 G，交线段 AD 于点 P．在直线 BC 上是否存在点 Q，使 △PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段 BQ 的长；若不存在，说明理由． 解：（1）过点 C 作 CK⊥AD 于 K 则四边形 BHKC 是矩形，∴HK＝BC＝2，CK＝BH＝2 在 Rt△CKD 中，∠DCK＋∠D＝90° ∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DCK＝∠A ∴tan∠DCK＝tanA＝2，即 DK CK ＝2 ∴DK＝4，即 t＝4 （2）∵ BH AH ＝tanA＝2，BH＝2，∴AH＝1 ∴AD＝AH＋HK＋DK＝1＋2＋4＝7 ①当 0＜t ≤3.5 时，重叠部分为△EFD1 由题意，D1F＝DF＝t 在 Rt△EFD 中，∠DEF＋∠D＝90° ∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DEF＝∠A ∴tan∠DEF＝tanA＝2，即 DF EF ＝2，∴EF＝ 1 2 t ∴S＝S△EFD1 ＝ 1 2 D1F·EF＝ 1 2 t· 1 2 t＝ 1 4 t2 D1A B C F E DH A B C DH 备用图 A B C DH K D1A B C F E DH D1 A B C F E DHN M ②当 3.5＜t ≤4 时，重叠部分为四边形 AFEM 过点 M 作 MN⊥AD 于 N 则 tanA＝D1A＝2t－7， MN AN ＝tanA＝2，得 AN＝ 1 2 MN MN D1A＋AN ＝tanD1＝tanD＝cotA＝ 1 2 即 MN 2t－7＋ 1 2 MN ＝ 1 2 ，得 MN＝ 2 3 (2t－7) ∴S＝S△EFD1 － S△MD1A ＝ 1 4 t2－ 1 2 (2t－7)· 2 3 (2t－7) ＝－ 13 12 t2＋28 3 t－49 3 ③当 4＜t ≤5 时，重叠部分为五边形 AFEC1M S＝S△C1D1FE － S△MD1A ＝ 1 2 (t－4＋t)·2－ 1 2 (2t－7)· 2 3 (2t－7) ＝－ 4 3 t2＋34 3 t－61 3 ④当 5＜t ≤6 时，重叠部分为梯形 AFEB S＝S 梯形 AFEB ＝ 1 2 (6－t＋7－t)·2＝－2t＋13 （3）①当点 P 为直角顶点时 作 QO⊥AD 于 O，则∠GPH＋∠QPO＝90° ∵∠GPH＋∠PGH＝90°，∴∠PGH＝∠QPO 又∵PG＝PQ，∠GHP＝∠POQ＝90° ∴△GHP≌△POQ，∴HP＝OQ＝2，PO＝ 1 2 OQ＝1 ∴BQ＝HO＝3 ②当点 Q 为直角顶点时 同①可证△BQG≌△OQP，∴BQ＝OQ＝2 ③当点 G 为直角顶点时 同①可证△BQG≌△HGP，∴BG＝HP＝2GH＝2BQ ∵BG＋GH＝BH，∴2BQ＋BQ＝2，∴BQ＝ 2 3 ∴在直线 BC 上存在点 Q，使△PGQ 为等腰直角三角形，线段 BQ 的长为 3，2， 2 3 28．（江苏模拟）如图 1，直线 l：y＝－ 3 4 x＋3 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，等腰 Rt△CDE 的斜边 C D 在 x 轴上，且 C D＝6．若直线 l 以每秒 3 个单位的速度向上匀速运动，同时点 C 从（6，0）开始以每秒 2 个单位的速度向右匀速运动（如图 2），设运动后直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 N、M 两点，以 OM、ON 为边作如图所示的矩形 OMPN．设运动时间为 t 秒． （1）运动 t 秒后点 E 坐标为______________，点 N 坐标为______________（用含 t 的代数 式表示）； （2）设矩形 OMPN 与运动后的△CDE 的重叠部分面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 D1 A B C F E DHN M C1 D1 A B C F E DH C1 A B C DH P O Q G A B C DH PO G (Q) A B C DH P G Q 相应的 t 的取值范围； （3）若直线 l 和△CDE 运动后，直线 l 上存在点 Q 使∠OQC＝90 °，则当在线段 MN 上符合 条件的点 Q 有且只有两个时，求 t 的取值范围； （4）连接 PC、PE，当△PCE 是等腰三角形时，直接写出 t 的值． 解：（1）E（9＋2t，3），N（4＋4t，0） （2）运动 t 秒时，ON＝4＋4t，OC＝6＋2t，OD＝12＋2t 当点 N 与点 C 重合时，4＋4t＝6＋2t，得 t＝1 当点 E 在边 PN 上时，4＋4t＝9＋2t，得 t＝2.5 当点 N 与点 D 重合时，4＋4t＝12＋2t，得 t＝4 ①当 1＜t≤2.5 时，重叠部分为等腰 Rt△CFN CN＝FN＝4＋4t－(6＋2t)＝2t－2 ∴S＝ 1 2 (2t－2)2＝2t 2－4t＋2 ②当 2.5＜t＜4 时，重叠部分为四边形 CEGN ND＝12＋2t－(4＋4t)＝8－2t ∴S＝S△CDE － S△NGD ＝ 1 2 ×6×3－ 1 2 (8－2t)2＝－2t 2＋16t－23 ③当 t≥4 时，重叠部分为△CDE ∴S＝ 1 2 ×6×3＝9 （3）①当直线 l 过点 C，即 C、N 重合时，则线段 MN 上只存在一点 Q 使∠OQC＝90 ° 由（2）知，此时 t＝1 A B xC D y O E l 图 1 N M xC y O P Dl E 图 2 xC D y O E lN M F P N M xC y O P D l E G ②以 OC 为直径作⊙O′，当直线 l 切⊙O′ 于点 Q 时，则线段 MN 上只存在一点 Q 使∠OQC＝ 90° OO′＝O′Q＝ 1 2 OC＝3＋t O′N＝ON－OO′＝4＋4t－(3＋t)＝1＋3t 由 O′Q O′N ＝sin∠O′NQ＝sin∠MNO＝ 3 5 得 3＋t 1＋3t ＝ 3 5 ，解得 t＝3 所以当在线段 MN 上符合条件的点 Q 有且只有两个时，t 的取值范围是 1＜t＜3 （4）t＝3 10－5 13 ，t＝ 2 5 ，t＝ 7 13 ，t＝1 提示：∵P（4＋4t，3＋3t），C（6＋2t，0），E（9＋2t，3） ∴PC 2＝(2t－2)2＋(3＋3t)2 PE2＝(2t－5)2＋(3t)2，CE 2＝18 若 PC＝PE，则(2t－2)2＋(3＋3t)2＝(2t－5)2＋(3t)2 解得 t＝ 2 5 若 PC＝CE，则(2t－2)2＋(3＋3t)2＝18 解得 t＝3 10－5 13 （舍去负值） 若 PE＝CE，则(2t－5)2＋(3t)2＝18 解得 t＝1 或 t＝ 7 13 29．（江苏模拟）如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点为 C（0，－ 3），与 x 轴交于点 A、B （A 在 B 的左侧），连接 AC、BC，得等边△ABC．点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度 向点 A 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度向 y 轴负方向运动，连接 PQ 交射线 BC 于点 D，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动．设运动时间为 t 秒． （1）求抛物线的解析式； （2）设△PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； （3）以点 P 为圆心，PB 为半径的圆与射线 BC 交于点 E，试说明：在点 P 运动的过程中， 线段 DE 的长是一定值，并求出该定值． A C O B x y 备用图 A C O B Q x y P C xD y O E l M Q NO′ N xD y O E l M (C) Q 解：（1）∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点为 C（0，－ 3） ∴抛物线的对称轴是 y 轴，∴b＝0 可设抛物线的解析式为 y＝ax2－ 3 ∵△ABC 是等边三角形，且 CO⊥AB，CO＝ 3 ∴AO＝1，∴A（－1，0） 把 A（－1，0）代入 y＝ax2－ 3，得 a＝ 3 ∴抛物线的解析式为 y＝ 3x2－ 3 （2）当 0＜t＜1 时，OP＝1－t，CQ＝ 3t ∴S＝ 1 2 CQ·OP＝ 1 2 · 3t·(1－t)＝－ 3 2 t 2＋ 3 2 t 当 1＜t＜2，OP＝t－1，CQ＝ 3t ∴S＝ 1 2 CQ·OP＝ 1 2 · 3t·(t－1)＝ 3 2 t 2－ 3 2 t （3）连接 PE，过 D 作 DH⊥y 轴于 H，设 DH＝a ①当 0＜t＜1 时 ∵PB＝PE，∠PBE＝60° ∴△PBE 为等边三角形 ∴BE＝PB＝t ∵△QDH∽△QPO ∴ DH PO ＝ QH QO ，即 a 1－t ＝ 3a＋ 3t 3t＋ 3 ∴a＝1－t 2 ，∴DC＝1－t ∴DE＝CB－EB－DC＝2－t－(1－t)＝1 ②当 1＜t＜2 时 同理，△QDH∽△QPO，得 DH PO ＝ QH QO ∴ a t－1 ＝ 3t－ 3a 3t＋ 3 ∴a＝t－1 2 ，∴DC＝t－1 ∴DE＝DC＋CE＝t－1＋(2－t)＝1 综上所述，在点 P 运动的过程中，线段 DE 的长是定值 2 30．（河北）如图，点 A（－5，0），B（－3，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB， ∠CDA＝90°．点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时 间为 t 秒． （1）求点 C 的坐标； （2）当∠BCP＝15°，求 t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点 P 的运动而变化，当⊙P 与四边形 ABCD 的边（或 边所在的直线）相切时，求 t 的值． BA Q xP O y CD A C O B D x H Q P E y A C O B H x D Q P E y 解：（1）∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC＝OB＝3 又∵点 C 在 y 轴的正半轴上，∴点 C 的坐标为（0，3） （2）当点 P 在点 B 右侧时，如图 2 若∠BCP＝15°，得∠PCO＝30° 故 OP＝OC·tan30°＝ 3 此时 t＝4＋ 3 当点 P 在点 B 左侧时，如图 3 由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60° 故 OP＝OC·tan60°＝3 3 此时 t＝4＋3 3 ∴t 的值为 4＋ 3 或 4＋3 3 （3）由题意知，若⊙P 与四边形 ABCD 的边相切，有以下三种情况： ①当⊙P 与 BC 相切于点 C 时，有∠BCP＝90° 从而∠OCP＝45°，得到 OP＝3，此时 t＝1 ②当⊙P 与 CD 相切于点 C 时，有 PC⊥CD 即点 P 与点 O 重合，此时 t＝4 ③当⊙P 与 AD 相切时，由题意，∠DAO＝90° ∴点 A 为切点，如图 4 PC 2＝PA2＝(9－t)2，PO 2＝(t－4)2 于是(9－t)2＝(t－4)2＋32，解得：t=5.6 ∴t 的值为 1 或 4 或 5.6 31．（河北模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度 向点 A 匀速运动．运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 PB－BC 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 P 到达点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒． （1）当 t＝______________秒，直线 DE 经过点 B；当 t＝______________秒，直线 DE 经过点 A； （2）四边形 DPBE 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时，点 E 是 BC 的中点？ BA Q xP O y CD 图 2 BA Q xP O y CD 图 4 BA Q xP O y CD 图 3 （4）以 E 为圆心，EC 长为半径的圆能否与 AB、AC、PQ 同时相切？若能，直接写出 t 的值； 若不能，请说明理由． 解：（1）20－2 73 3 ；2 提示：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6 ∴BC＝ AB 2－AC2 ＝ 102－62 ＝8 当直线 DE 经过点 B 时，连接 QB，则 PB＝QB ∴(10－2t)2＝t2＋82，解得 t＝20＋2 73 3 （舍去）或 t＝20－2 73 3 当直线 DE 经过点 A 时，AP＝AQ ∴2t＝6－t，即 t＝2 （2）①当 DE∥PB 时，四边形 DPBE 是直角梯形 此时∠APQ＝90°，由△AQP∽△ABC，得 AP AC ＝ AQ AB 即 2t 6 ＝ 6－t 10 ，解得 t＝ 18 13 ②当 PQ∥BC 时，四边形 DPBE 是直角梯形 此时∠AQP＝90°，由△APQ∽△ABC，得 AQ AC ＝ AP AB 即 6－t 6 ＝ 2t 10 ，解得 t＝ 30 11 （3）连接 QE、PE，作 EG⊥PB 于 G，则 QE＝PE ∵QE 2＝t2＋42 PE2＝PG 2＋EG 2＝(10－2t－ 4 5 ×4)2＋( 3 5 ×4)2 ∴t2＋42＝(10－2t－ 4 5 ×4)2＋( 3 5 ×4)2 解得 t＝68＋2 481 15 （舍去）或 t＝68－2 481 15 （4）不能 设⊙E 与 AB 相切于 F 点，连接 EF、EP、EQ 则 EC＝EF，EQ＝EP，∠ECQ＝∠EFP＝90° ∴△ECQ≌△EFP，∴QC＝PF ∵∠C＝90°，∴⊙E 与 AC 相切于 C 点 ∴AC＝AF，∴AQ＝AP 又 AD＝AD，DQ＝DP B Q A D C E P B Q A D C P E B Q A D C P E B Q A D C P E B Q A D C E P G B Q A D C P (E) ∴△ADQ≌△ADP，∴∠ADQ＝∠ADP＝90° 又∠QDE＝90°，∴A、D、E 三点在同一直线上 由（1）知，此时 t＝2，AQ＝6－t＝4 ∵AB＝10，AC＝6，∴sinB＝ AC AB ＝ 6 10 ＝ 3 5 设 EC＝EF＝x，则 EB＝ EF sinB ＝ 5 3 x ∵EC＋EB＝BC，∴x＋ 5 3 x＝8 ∴x＝3，∴EC＝EF＝3 ∴AE＝ AC2＋EC2 ＝ 62＋32 ＝3 5 易知△ADQ∽△ACE，∴ AD AC ＝ AQ AE ∴ AD 6 ＝ 4 3 5 ，∴AD＝ 8 5 5 ∴ED＝AE－AD＝3 5－ 8 5 5＝ 7 5 5＝ 49 5 而 EC＝3＝ 45 5 ，∴ED＞EC ∴此时⊙E 与 PQ 相离 ∴⊙E 不能与 AB、AC、PQ 同时相切 32．（山东青岛）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E 分别是 AC、 AB 的中点，连接 DE．点 P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连 接 PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ⊥AB？ （2）当点 Q 在 B、E 之间运动时，设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函 数关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 S△PQE :S 五边形 PQBCD ＝1:29？若存在，求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在，请 说明理由． 解：（1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝ 62＋82 ＝10 ∵D、E 分别是 AC、AB 的中点 A BC 备用图 ED A P Q BC ED B Q A D C P E F A P Q BC ED AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE∥BC 且 DE＝ 1 2 BC＝4 ∵PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠C＝90° 又∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B ∴△PQE∽△ACB，∴ PE AB ＝ QE BC 由题意得：PE＝4－t，QE＝2t－5 ∴ 4－t 10 ＝ 2t－5 8 ，解得 t＝ 41 14 （2）如图②，过点 P 作 PM⊥AB 于 M 由△PME∽△ACB，得 PM AC ＝ PE AB ∴ PM 6 ＝ 4－t 10 ，得 PM＝ 3 5 (4－t) ∴S△PQE ＝ 1 2 EQ·PM＝ 1 2 (2t－5)· 3 5 (4－t)＝ 3 5 t2－ 39 10 t＋6 S 梯形 DCBE ＝ 1 2 ×(4＋8)×3＝18 ∴y＝18－( 3 5 t2－ 39 10 t＋6)＝－ 3 5 t2＋ 39 10 t＋12 （3）假设存在时刻 t，使 S△PQE :S 五边形 PQBCD ＝1 :29 此时 S△PQE ＝ 1 30 S 梯形 DCBE ∴ 3 5 t2－ 39 10 t＋6＝ 1 30 ×18，解得 t1＝2，t2＝ 9 2 （舍去） 当 t＝2 时，PM＝ 3 5 (4－2)＝ 6 5 ，ME＝ 4 5 (4－2)＝ 8 5 EQ＝5－2×2＝1，MQ＝ME＋EQ＝ 8 5 ＋1＝13 5 PQ＝ PM 2＋MQ 2 ＝ 205 5 ∵ 1 2 PQ·h＝ 3 5 ，∴h＝ 6 5 × 5 205 ＝6 205 205 33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0），C（3， 0），D（3，4），以 A 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P，Q 的运动速度均为每 秒 1 个单位，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EF⊥AD 于 F，交抛物线于点 G．当 t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值 为多少？ （3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H， 使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值． y A D C F G EP Q A P Q BC ED ② M 解：（1）A（1，4） 由题意，可设抛物线解析式为 y＝a(x－1)2＋4 ∵抛物线过点 C（3，0） ∴0＝a(3－1)2＋4，∴a＝－1 ∴抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4 即 y＝－x2＋2x＋3 （2）∵A（1，4），C（3，0） ∴可求直线 AC 的解析式为 y＝－2x＋6 P（1，4－t） 将 y＝4－t 代入 y＝－2x＋6 中，解得点 E 的横坐标为 x＝1＋ t 2 ∴点 G 的横坐标为 1＋ t 2 ，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为 4－ t2 4 ∴GE＝(4－ t2 4 )－(4－t)＝t－ t2 4 又点 A 到 GE 的距离为 t 2 ，C 到 GE 的距离为 2－ t 2 即 S△ACG ＝S△AEG ＋S△CEG ＝ 1 2 EG· t 2 ＋ 1 2 EG(2－ t 2 )＝ 1 2 ·2(t－ t2 4 )＝－ 1 4 (t－2)2＋1 当 t＝2 时，S△ACG 的最大值为 1 （3）t＝ 20 13 或 t＝20－8 5 提示：∵A（1，4），C（3，0），∴AB＝4，BC＝2 ∴AC＝ 22＋42 ＝2 5，∴cos∠BAC＝ AB AC ＝ 4 2 5 ＝2 5 5 ∵PE⊥AB，AP＝t，∴AE＝ AP cos∠BAC ＝ 5 2 t ∴CE＝2 5－ 5 2 t 若 EQ＝CQ，则在矩形 ABCD 内存在点 H，使四边形 CQEH 为菱形 过点 Q 作 QN⊥EC 于 N，则 CE＝2CN 在 Rt△QNC 中，CN＝CQ·cos∠ACD＝CQ·cos∠BAC＝2 5 5 t ∴2 5－ 5 2 t＝4 5 5 t，解得 t＝ 20 13 若 CE＝CQ，则在矩形 ABCD 的 AD 边上存在点 H，使四边形 CQHE 为菱形 xO y A D C B F G EP Q xO y A D C B EP Q H N xO y A D C B EP Q H ∴2 5－ 5 2 t＝t，解得 t＝20－8 5 34．（山东模拟）把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按图 1 摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直线上．∠BAC＝∠DEF＝90°，∠ABC＝45°，BC＝9，DE＝6，EF＝8．如图 2，△DEF 从图 1 的位置出发，以 1 个单位/秒的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时， 点 P 从△DEF 的顶点 F 出发，以 3 个单位/秒的速度沿 FD 向点 D 匀速移动．当点 P 移动到点 D 时，P 点停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与 AC 相交于点 Q，连接 BQ、PQ，设移动 时间为 t（s）． （1）设△BQE 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，三角形 DPQ 为等腰三角形？ （3）是否存在某一时刻 t，使 P、Q、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，说明理由． 解：（1）∵∠ACB＝45°，∠DEF＝90°，∴∠EQC＝45° ∴EC＝EQ＝t，∴BE＝9－t ∴y＝ 1 2 BE·EQ＝ 1 2 (9－t)t 即 y＝－ 1 2 t2＋ 9 2 t（0＜t ≤10 3 ） （2）在 Rt△DEF 中，∵∠DEF＝90°，DE＝6，EF＝8 ∴DF＝ DE2＋EF 2 ＝ 62＋82 ＝10 ①当 DQ＝DP 时，则 6－t＝10－3t，解得 t＝2 ②当 PQ＝PD 时，过 P 作 PG⊥DQ 于 G 则 DH＝HQ＝ 1 2 (6－t) ∵HP∥EF，∴△DHP∽△DEF ∴ DH DE ＝ DP DF ，即 1 2 (6－t) 6 ＝ 10－3t 10 ，解得 t＝ 30 13 ③当 QP＝QD 时，过 Q 作 QH⊥DP 于 H 则 DH＝HP＝ 1 2 (10－3t) 可得△DHQ∽△DEF，∴DH DE ＝ DQ DF 即 1 2 (10－3t) 6 ＝ 6－t 10 ，解得 t＝14 9 (E) A B D C F 图 1 A B D E F 图 2 P Q C A B D E F P Q C G A B D E F H Q C P A B D E F P Q C （3）假设存在某一时刻 t，使 P、Q、B 三点在同一条直线上 过 P 作 PK⊥BF 于 K，则△PKF∽△DEF ∴ PK DE ＝ KF EF ＝ PF DF ，即 PK 6 ＝ KF 8 ＝ 3t 10 ∴PK＝ 9 5 t，KF＝12 5 t ∵P、Q、B 三点共线，∴△BQE∽△BPK ∴ BE QE ＝ BK PK ，即 9－t t ＝ 9－t＋8－12 5 t 9 5 t ，解得 t＝ 1 2 即当 t＝ 1 2 秒时，P、Q、B 三点在同一条直线上 35．（山东模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC 于 D，且 BD＝8cm．点 M 从 点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发沿 BA 方向匀速运 动，速度为 1cm/s，运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于 P，交 BC 于 Q，连接 PM，设运动时间为 t（s）． （1）当四边形 PQCM 是等腰梯形时，求 t 的值； （2）当点 M 在线段 PC 的垂直平分线上时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，①△PQM 是等腰三角形；②△PQM 是直角三角形； （4）是否存在时刻 t，使以 PM 为直径的圆与 BC 相切？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由． 解：（1）作 PE⊥AC 于 E，作 QF⊥AC 于 F 若四边形 PQCM 是等腰梯形，则 ME＝CF 易知四边形 PQFE 是矩形，∴EF＝PQ ∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC ∵AB＝AC，∴PQ＝PB＝t，∴EF＝t ∵AB＝10，BD＝8，∴AD＝ 102－82 ＝6 易证△APE∽△ABD，∴ AE AD ＝ AP AB 即 AE 6 ＝ 10－t 10 ，∴AE＝6－ 3 5 t ∴ME＝AE－AM＝6－ 3 5 t－2t＝6－13 5 t CF＝AC－(AE＋EF)＝10－(6－ 3 5 t＋t)＝4－ 2 5 t A B D E F PQ C K E A C F B D P Q M A CB D P Q M 由 ME＝CF，得 6－13 5 t＝4－ 2 5 t，解得 t＝ 10 11 ∴当 t＝ 10 11 s 时，四边形 PQCM 是等腰梯形 （2）若点 M 在线段 PC 的垂直平分线上，则 MP＝MC 作 MG⊥AB 于 G，则△AMG∽△ABD ∴ AG AD ＝ MG BD ＝ AM AB ，∴ AG 6 ＝ MG 8 ＝ 2t 10 ∴AG＝ 6 5 t，MG＝ 8 5 t ∴PG＝10－t－ 6 5 t＝10－11 5 t 在 Rt△GPM 中，MP 2＝( 8 5 t)2＋(10－11 5 t)2＝37 5 t2－44t＋100 又∵MC 2＝(10－2t)2＝4t2－40t＋100 由 MP＝MC，得 37 5 t2－44t＋100＝4t2－40t＋100 解得 t1＝ 20 17 ，t2＝0（舍去） ∴当 t＝ 20 17 s 时，点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 （3）①若 PQ＝PM，则 t2＝37 5 t2－44t＋100 即 8t2－55t＋125＝0 △＝(－55) 2－4×8×125＝－975＜0，方程无实数解 若 MP＝MQ，则点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上 作 PE⊥AC 于 E，∴EM＝ 1 2 PQ＝ 1 2 t 由（1）知，AE＝6－ 3 5 t ∵AE＋EM＝AM，∴6－ 3 5 t＋ 1 2 t＝2t 解得 t＝20 7 若 PQ＝MQ，作 PE⊥AC 于 E，作 QF⊥AC 于 F 由（1）知，QF＝PE ∵△APE∽△ABD，∴ PE BD ＝ AP AB 即 PE 8 ＝ 10－t 10 ，∴QF＝PE＝8－ 4 5 t 又 FM＝AM－(AE＋EF)＝2t－(6－ 3 5 t＋t)＝ 8 5 t－6 ∴MQ 2＝(8－ 4 5 t)2＋( 8 5 t－6)2＝16 5 t2－32t＋100 由 PQ＝MQ，得 t2＝16 5 t2－32t＋100 A CB D P Q MG E A CB D P Q M E A CB DP Q M F 解得 t1＝ 50 11 ，t2＝10（舍去） ∴当 t＝20 7 s 或 t＝ 50 11 s 时，△PQM 是等腰三角形 ②若∠MPQ＝90°，则 AM＝6－ 3 5 t ∴2t＝6－ 3 5 t，∴t＝ 30 13 若∠PMQ＝90°，则 PM 2＋QM 2＝PQ 2 ∴37 5 t2－44t＋100＋16 5 t2－32t＋100＝t2 即 12t2－95t＋250＝0 △＝(－55) 2－4×8×125＝－2975＜0，方程无实数解 若∠PQM＝90°，作 PE⊥AC 于 E 则 AE＝6－ 3 5 t，EM＝PQ＝t ∵AE＋EM＝AM，∴6－ 3 5 t＋t＝2t ∴t＝15 4 ∴当 t＝ 30 13 s 或 t＝15 4 s 时，△PQM 是直角三角形 （4）设 PM 的中点为 N，分别过 P、N、M 作 BC 的垂线，垂足为 G、K、H 易证△PBG∽△BCD，△MCH∽△BCD ∴ PG BD ＝ PB BC ，MH BD ＝ MC BC ∵AC＝10，AD＝6，∴DC＝4 ∴BC＝ 82＋42 ＝4 5 ∴ PG 8 ＝ t 4 5 ， MH 8 ＝ 10－2t 4 5 ∴PG＝ 2 5 t，MH＝ 2 5 (10－2t) ∴NK＝ 1 2 (PG＋MH)＝ 1 5 (10－t) 若以 PM 为直径的圆与 BC 相切，则 PM＝2NK ∴PM 2＝4NK 2 ∴37 5 t2－44t＋100＝ 4 5 (10－t)2 解得 t1＝ 10 11 ，t2＝10 3 ∴当 t＝ 10 11 s 或 t＝10 3 s 时，以 PM 为直径的圆与 BC 相切 36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点 D A CB D P Q M E A CB DP Q M A CB D P Q M G HK N 在 BC 上，且 CD＝3cm．现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 lcm/ 秒的速度沿 AC 向终点 C 运动；点 Q 以 1.25cm/秒的速度沿 BC 向终点 C 运动．过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E，连接 EQ．设动点运动时间为 t 秒（t＞0）． （1）连接 DP，经过 1 秒后，四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接 PQ，在运动过程中，不论 t 取何值时，总有线段 PQ 与线段 AB 平行，为什么？ （3）当 t 为何值时，△EDQ 为直角三角形． 解：（1）能． ∵点 P 的速度为 lcm/秒，点 Q 的速度为 1.25cm/秒，t＝1 秒 ∴AP＝1，BQ＝1.25 ∴QD＝BC－CD－BQ＝5－3－1.25＝0.75 ∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD ∴ PE CD ＝ AP AC ，即 PE 3 ＝ 1 4 ∴PE＝0.75，∴PE＝QD ∴四边形 EQDP 是平行四边形 （2）∵AC＝4，BC＝5，AP＝t，BQ＝1.25t ∴CP＝4－t，CQ＝5－1.25t ∴ CP CA ＝ 4－t 4 ，CQ CB ＝ 5－1.25t 5 ＝ 4－t 4 ∴ CP CA ＝ CQ CB ，∴PQ∥AB （3）①当∠EQD＝90°时 易证△EDQ∽△ADC，∴ DQ DC ＝ EQ AC 显然点 Q 在点 D 右侧，DQ＝1.25t－2，EQ＝PC＝4－t ∴ 1.25t－2 3 ＝ 4－t 4 ，解得 t＝2.5 ②当∠DEQ＝90°时 易证△DEQ∽△DCA，∴ DE DC ＝ DQ DA ∵PE∥BC，∴△APE∽△ACD，∴ AE AD ＝ AP AC ∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝5 ∴ AE 5 ＝ t 4 ，∴AE＝1.25t，DE＝5－1.25t 显然点 Q 在点 D 右侧，DQ＝1.25t－2 A DQ C P B E A DQ C P B E A D Q C P B E A D Q C P B E ∴ 5－1.25t 3 ＝ 1.25t－2 5 ，解得 t＝3.1 ∴当 t＝2.5 秒或 t＝3.1 秒时，△EDQ 为直角三角形 37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt△ABC≌Rt△FED，点 C、D 与原 点 O 重合，点 A、F 在 y 轴上重合，∠B＝∠E＝30°，AC＝FD＝ 3．△FED 不动，△ABC 沿 直线 BE 以每秒 1 个单位的速度向右平移，直到点 B 与点 E 重合为止．设平移时间为 x（秒）， 平移过程中 AB 与 EF 的交点为 M． （1）求出图①中点 B 的坐标； （2）如图②，当 x＝4 秒时，求出过 F、M、A 三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动 点 P，以点 P 为圆心，以 2 为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与 y 轴相切的情况，若存在， 直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设移动 x 秒后两个三角形重叠部分的面积为 S，求出整个运动过程中 S 与 x 的函数关系 式． 解：（1）如图①，在 Rt△ABC 中，AC＝ 3，∠B＝30° ∴BC＝ 3AC＝3，∴B（－3，0） （2）如图②，∵x＝4，∴A（4， 3），B（1，0） 过 M 作 MH⊥BE 于 H 由题意，OE＝BC＝3，∴BE＝2 ∵∠B＝∠E，∴MB＝ME ∴BH＝ 1 2 BE＝1，∴OH＝2，MH＝ 3 3 ∴M（2， 3 3 ） 设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，把 F、M、A 三点坐标代入 c＝ 3 4a＋2b＋c＝ 3 3 16a＋4b＋c＝ 3 解得 a＝ 3 6 b＝－2 3 3 c＝ 3 ∴抛物线的解析式为 y＝ 3 6 x2－2 3 3 x＋ 3 A B C E (F) (D)O x y 图① F BD EO x y 图② C A M A B C E (F) (D)O x y 图① F BD EO x y 图② C A M H P1（2， 3 3 ）或 P2（－2，3 3） 提示：若半径为 2 的⊙P 与 y 轴相切，那么点 P 的横坐标为 2 或－2 当 x＝2 时，y＝ 3 6 x2－2 3 3 x＋ 3＝ 3 3 当 x＝－2 时，y＝ 3 6 x2－2 3 3 x＋ 3＝3 3 ∴存在符合条件的点 P，坐 标为 P1（2，3 3 ）或 P2（－2，3 3） （3）当点 B、O 重合时，x＝3，所以整个运动过程可分为两个阶段： ①当 0≤x＜3 时，如图③ BO＝3－x，CD＝x，OG＝CH＝ 3 3 BO＝ 3 3 (3－x) FG＝ 3－ 3 3 (3－x)＝ 3 3 x ∴S＝S 梯形 FDCH －S△FGM ＝ 1 2 [ 3＋ 3 3 (3－x)]·x－ 1 2 · 3 3 x· 3 2 · 3 3 x ＝－ 3 4 x2＋ 3x ②当 3≤x≤6 时，如图④，BE＝3－(x－3)＝6－x ∴S＝S△BME ＝ 1 2 (6－x)· 1 2 (6－x)· 3 3 ＝ 3 12 x2－ 3x＋3 3 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： S＝ － 3 4 x2＋ 3x（0≤x＜3） 3 12 x2－ 3x＋3 3（3≤x≤6） 38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt△OAB 的直角边 OA 在 x 轴正半轴上，且 OA＝4，AB＝2，将△OAB 沿某条直线翻折，使 OA 与 y 轴正半轴的 OC 重合．点 B 的对应点为点 D，连接 AD 交 OB 于点 E． （1）求 AD 所在直线的解析式： （2）连接 BD，若动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 AO 运动，线段 AM 的 垂直平分线交直线 AD 于点 N，交直线 BD 于点 Q．设线段 QN 的长为 y（y≠0），点 M 的运 动时间为 t 秒，求 y 与 t 之问的函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 MN，当 t 为何值时，直线 MN 与过 D、E、O 三点的圆相切， 并求出此时切点的坐标． AO C x E B D y 备用图 AO C x E B D y F B D EO x y 图③ C AM HG F BD EO x y 图④ C A M 解：（1）由题意，△OAB≌△OCD ∴OC＝OA＝4，CD＝AB＝2 ∴D（2，4） 设直线 AD 的解析式为 y＝kx＋b，把 A（4，0），D（2，4）代入 0＝4k＋b 4＝2k＋b 解得 k＝－2 b＝8 ∴y＝－2x＋8 （2）由 B（4，2），D（2，4），可得直线 BD 的解析式为 y＝－x＋6 ∵直线 NQ 垂直平分线段 AM ∴NH⊥AM，AH＝MH＝ 1 2 AM＝ 1 2 ×2t＝t ∴OH＝4－t，∴H（4－t，0） ∴点 Q、N 的横坐标为为 4－t ∴QH＝－(4－t)＋6＝t＋2，NH＝－2(4－t)＋8＝2t 当 0＜t＜2 时，点 Q 在点 N 上方 y＝QN＝t＋2－2t＝－t＋2 当 t＞2 时，点 Q 在点 N 下方 y＝QN＝2t－(t＋2)＝t－2 （3）过点 D 作 DF⊥OA 于 F，则 CD∥OF，CD＝OF＝2 ∵OA＝4，∴AF＝OF＝2 ∵DF⊥OA，∴OD＝AD，∠ODC＝∠DOF＝∠DAF ∵△OAB≌△OCD，∴∠COD＝∠AOB ∵∠COD＋∠AOD＝90°，∴∠OED＝∠AOB＋∠OAD＝90° ∴OD 为经过 D、E、O 三点的圆的直径，OD 的中点 O′ 为圆心 在 Rt△OCD 中，OD＝ OC 2＋CD 2 ＝2 5 tan∠COD＝ CD OC ＝ 1 2 ，tan∠ODC＝ OC CD ＝2 ∵NH 垂直平分线段 AM，∴∠NMA＝∠NAM ∵∠DOA＝∠NAM，∠NMA＝∠DOA，∴MN∥OD 设直线 MN 与⊙O′ 相切于 G 点，连接 O′G，作 GK⊥OA 于 K，MI⊥OD 于 I 则∠OO′G＝∠O′GM＝90° ∵MI⊥OD，∴四边形 O′IMG 为矩形 ∴IM＝O′G＝ 5，MG＝O′I ∴OI＝ 5 2 ，OM＝ 5 2 ，∴MG＝O′I＝ 5 2 ∴KG＝1，MK＝ 1 2 ，∴OK＝3，∴G（3，1） ∵OM＋AM＝OA，∴ 5 2 ＋2t＝4，∴t＝ 3 4 AO C x N B D y E Q HM AO C x N B D y E Q HM AO C x E B D y F K GI M O′ N AO C x E B D y FK G I M O′ N 同理可求当 t＝13 4 时，切点 G（－1，3） ∴当 t＝ 3 4 或 t＝13 4 时，直线 MN 与过 D、E、O 三点的圆相切，切点分别为 G（3，1）或 G （－1，3） 39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x＋b 与 x 轴交于点 A，与正比例函 数 y＝－ 4 3 x 的图象交于点 B，过 B 点作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，C（0，8）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）动点 M 从点 A 出发沿线段 AO 以每秒 1 个单位的速度向终点 O 匀速移动，过点 M 作 x 轴的垂线交折线 A－B－O 于点 P．设 M 点移动的时间为 t 秒，线段 BP 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点 Q 同时从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 O－C－ B 向点 B 移动，当动点 M 停止移动时，点 Q 同时停止移动．当 t 为何值时，△BPQ 是等腰 三角形？ 解：（1）∵BC⊥y 轴，点 C 为垂足，C（0，8） ∴点 B 的纵坐标为 8 ∵y＝－ 4 3 x，当 y＝8 时，x＝－6，∴B（－6，8） 把（－6，8）代入 y＝x＋b，得 8＝－6＋b，∴b＝14 ∴直线 AB 的解析式为 y＝x＋14 （2）由题意得 AM＝t ∵直线 AB：y＝x＋14 交 x 轴于点 A ∴A（－14，0），∴OA＝14 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D ∵B（－6，8），∴BD＝8，OD＝6 ∴AD＝14－6＝8，∴AB＝ 82＋82 ＝8 2 OB＝ 82＋62 ＝10，∴∠BAD＝45°，cos∠DOB＝ 3 5 ①当点 M 在 AD 上时 ∵PM⊥x 轴，∴∠PMA＝90°，∴AP＝ 2t A O CB y x A O CB y x 备用图 A O CB y x 备用图 CB y P A O CB y x P M D ∴d＝BP＝AB－AP＝8 2－ 2t（0≤t＜8） ②当点 M 在 OD 上时，OM＝14－t ∵∠PMO＝90°，cos∠DOB＝ 3 5 ，∴OP＝ 5 3 (14－t) ∴d＝BP＝OB－OP＝10－ 5 3 (14－t)＝ 5 3 t－40 3 （8＜t≤14） 综上，d＝ 8 2－ 2t（0≤t＜8） 5 3 t－40 3 （8＜t≤14） （3）①当点 P 在 AB 上时（0≤t＜8），Q 在 OC 上 BQ 2＝BC 2＋CQ 2＝62＋(8－t)2 ∵PM＝OQ＝t，∠PMO＝∠MOQ＝90° ∴四边形 PMOQ 为矩形，∴PQ＝OM＝14－t ∵PM＝OQ＝t，∴PQ∥AO ∴∠BPQ＝∠BAO＝∠ABD ∵∠PBQ＞∠ABD，∴∠PBQ＞∠BPQ，∴PQ≠BQ 当 BP＝BQ 时，(8 2－ 2t)2＝62＋(8－t)2 解得 t1＝2 或 t2＝14 ∵0≤t＜8，∴t2＝2 当 PB＝PQ 时，(8 2－ 2t)2＝(14－t)2，解得 t＝2±6 2 ∵0≤t＜8，∴t＝2±6 2 不合题意，舍去 ②当点 P 在 BO 上时（8＜t≤14），Q 在 BC 上 BQ＝6＋8－t＝14－t 当 BP＝BQ 时， 5 3 t－40 3 ＝14－t，解得 t＝41 4 当 PB＝PQ 时，过点 P 作 PH⊥BC 于 H ∴BQ＝2BH ∵BH＝DM＝t－8，∴14－t＝2(t－8)，解得 t＝10 当 QB＝QP 时，过点 Q 作 QK⊥BC 于 K ∴BP＝2BK ∵BP＝ 5 3 (t－8)，BK＝ 3 5 (14－t) ∴ 5 3 (t－8)＝ 6 5 (14－t)，解得 t＝452 43 综上，当 t＝2 或 t＝10 或 t＝41 4 或 t＝452 43 时，△BPQ 是等腰三角形 40．（哈尔滨模拟）如图，直线 y＝ 4 3 x＋12 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，直线 BC 交 x 轴 于点 C，且 AB＝AC． （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 P 从点 C 出发沿线段 CO 以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动，过点 P 作 y 轴的平行 线，分别交直线 BC、直线 AB 于点 Q、M，过点 Q 作 QN⊥AB 于点 N．设点 P 的运动时间为 t（秒），线段 MN 的长为 d，求 d 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； A O CB y x P M D Q A O CB y x P MD QH A O CB y x P MD Q K （3）若经过 A、N、Q 三点的圆与直线 BC 交于另一点 K，当 t 为何值时，KQ:AQ＝ 10 :10？ 解：（1）∵直线 y＝ 4 3 x＋12 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B ∴A（－9，0），B（0，12），∴OA＝9，OB＝12 ∴AB＝ 92＋122 ＝15，∴sin∠BAO＝ OB AB ＝ 4 5 ∵AB＝AC，∴AC＝15，∴C（6，0） 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b ∴ c＝12 6k＋b＝0 解得 k＝－2 b＝12 ∴直线 BC 的解析式为 y＝－2x＋12 （2）由题意，PC＝t，∴OP＝6－t ∴点 P 的横坐标为 6－t ∴PM＝ 4 3 (6－t)＋12，PQ＝－2(6－t)＋12 ∴MQ＝PM－PQ＝20－10 3 t ∵∠AMP＋∠MAP＝∠AMP＋∠MQN＝90° ∴∠MQN＝∠MAP＝∠BAO ∴sin∠MQN＝sin∠BAO＝ 4 5 ∴MN＝MQ·sin∠MQN＝ 4 5 (20－10 3 t)＝16－ 8 3 t ∴d＝16－ 8 3 t（0≤t＜6） （3）连接 AK、AQ ∵∠ANQ＝90°，∴AQ 为经过 A、N、Q 三点的圆的直径 ∴∠AKQ＝90° ∵OB＝12，OC＝6，∴BC＝ 62＋122 ＝6 5 由 S△ABC ＝ 1 2 AC·OB＝ 1 2 BC·AK，得 AK＝6 5 ∵KQ:AQ＝ 10 :10，∴设 KQ＝m，则 AQ＝ 10m 在 Rt△AKQ 中，AK 2＋KQ2＝AQ2 A O C N y xP Q B M K A O C N y xP Q B M K ∴(6 5)2＋m2＝( 10m)2，m＝2 5 ∴AQ＝ 10m＝10 2 ∵tan∠BCO＝ OB OC ＝2，∴PQ＝PC·tan∠BCO＝2t 在 Rt△AQP 中，AP 2＋PQ 2＝AQ2 ∴(15－t)2＋(2t)2＝(10 2)2 解得 t1＝1，t2＝5 ∴当 t＝1 或 t＝5 时，KQ:AQ＝ 10 :10 41．（哈尔滨模拟）如图，直线 y＝－kx＋6k（k ＞0）与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，且△ AOB 的面积是 24． （1）求直线 AB 的解析式； （2）点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 OA－AB 运动；同时点 E 从点 O 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正半轴运动，过点 E 作与 x 轴平行的直线 l，与线段 AB 相交于 点 F，当点 P 与点 F 重合时，点 P、E 均停止运动．连接 PE、PF，设△PEF 的面积为 S，点 P 运动的时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，过 P 作 x 轴的垂线，与直线 l 相交于点 M，连接 AM，当 tan∠MAB ＝ 1 2 时，求 t 的值． 解：（1）∵y＝－kx＋6k，当 x＝0 时，y＝6k；当 y＝0 时，x＝6 ∴OA＝6，OB＝6k ∵S△AOB ＝24，∴1 2 ×6×6k＝24，∴k＝ 4 3 ∴直线 AB 的解析式为 y＝－ 4 3 x＋8 （2）根据题意，OE＝t，EF∥OA，∴△BEF∽△BOA ∴ EF OA ＝ BE BO ，即 EF 6 ＝ 8－t 8 ，∴EF＝ 3 4 (8－t) ①当 0＜t ≤3 时，点 P 在 OA 上运动 过点 P 作 PH⊥EF 于 H，则 PH＝OE＝t ∴S＝ 1 2 EF·PH＝ 1 2 · 3 4 (8－t)·t＝－ 3 8 t2＋3t ②当点 P 在 AB 上运动时 过点 P 作 PG⊥OA 于 G，设直线 PG 与 EF 相交于点 M，则 MG＝OE＝t B O y xA 备用图 B O y x E A F P l B O y x E A F P lH 易知△APG∽△ABO，∴ PG BO ＝ AP AB ∵OA＝6，OB＝8，∴AB＝ 62＋82 ＝10 ∴ PG 8 ＝ 2t－6 10 ，∴PG＝ 4 5 (2t－6) 当点 P 与点 F 重合时，有 PG＝OE ∴ 4 5 (2t－6)＝t，解得 t＝8，即 PG＝8 点 P 与点 F 重合前，MP＝MG－PG＝t－ 4 5 (2t－6)＝－ 3 5 t＋24 5 ∴S＝ 1 2 EF·MP＝ 1 2 · 3 4 (8－t)(－ 3 5 t＋24 5 )＝ 9 40 t2－18 5 t＋72 5 综上，S＝ － 3 8 t2＋3t（0＜t ≤3） 9 40 t2－18 5 t＋72 5 （3＜t＜8） （3）①当点 P 在 OA 上，点 M 在点 F 左侧时 作 MC⊥AB 于 C，FD⊥OA 于 D 则 FD＝OE＝t，EM＝OP＝2t，MF＝EF－EM＝ 3 4 (8－t)－2t 在 Rt△CMF 中， CM CF ＝tan∠MFC＝tan∠BAO＝ OB OA ＝ 4 3 设 CM＝4k，则 CF＝3k，MF＝ (4k)2＋(3k)2 ＝5k 在 Rt△MAC 中， CM AC ＝tan∠MAC＝tan∠MAB＝ 1 2 ∴AC＝2CM＝8k，∴AF＝5k，∴MF＝AF 在 Rt△AFD 中， FD AF ＝ t AF ＝sin∠FAD＝sin∠BAO＝ 4 5 ∴AF＝ 5 4 t，∴ 3 4 (8－t)－2t＝ 5 4 t，解得 t＝ 3 2 当点 P 在 OA 上，点 M 在点 F 右侧时，可求得 t＝11 4 ②当点 P 在 AB 上时，过点 M 作 MK⊥AB 于 K 在 Rt△PMK 中， MK PK ＝tan∠MPK＝tan∠ABO＝ 3 4 设 MK＝3m，则 PK＝4m，MP＝5m，AK＝6m ∴AP＝AK－PK＝2m，∴2t－6＝2m ∵MP＝t－ 4 5 (2t－6)，∴t－ 4 5 (2t－6)＝5m ∴t－ 4 5 (2t－6)＝ 5 2 (2t－6)，解得 t＝ 99 28 综上所述，满足条件的 t 值是 3 2 或 11 4 或 99 28 B O y x E A F P l G M B O y x E A F P l CM D B O y x E A F P l G M K 42．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上， △AOB 为等腰三角形，且 OA＝OB＝10，过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 D，直线 AB 的解析 式为 y＝－3x＋30，点 C 在线段 BD 上，点 D 关于直线 OC 的对称点在腰 OB 上． （1）求点 B 坐标； （2）点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 BC－CO 运动；同时点 Q 从点 O 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿对角线 OB 向终点 B 运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止 运动．设△PQC 的面积为 S，运动时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值 范围； （3）在（2）的条件下，连接 PQ，设 PQ 与 OB 所成的锐角为α，当α＝90°－∠AOB 时，求 t 的值． 解：（1）过点 B 作 BF⊥OA 于 F，设 B（a，－3a＋30） 在 Rt△OBF 中，a 2＋(－3a＋30)2＝10 2 解得 a1＝10（舍去），a2＝8 当 a＝8 时，－3a＋30＝6 ∴B（8，6） （2）设点 D 关于直线 OC 的对称点为 D′，连接 CD′ ∵D′ 在腰 OB 上，∴OD＝OD′，∠DOC＝∠D′OC 又 OC＝OC，∴△DOC≌△D′OC ∴CD′＝CD，∠CDO′＝∠CDO＝90° ∴S△POQ ＝ 1 2 OD·BD ＝ 1 2 OD·CD ＋ 1 2 OB·CD′ ∴CD＝ OD·BD OD＋OB ＝ 6×8 6＋10 ＝3，∴BC＝5 ①当 0≤t＜5 时，点 P 在线段 BC 上 过点 Q 作 QE⊥BD 于 E，则△BQE∽△BOD ∴ QE OD ＝ BQ BO ，即 QE 6 ＝ 10－t 10 ，∴QE＝6－ 3 5 t ∴S＝ 1 2 PC·QE＝ 1 2 (5－t)(6－ 3 5 t) 即 S＝ 3 10 t2－ 9 2 t＋15 ②当 5＜t≤10 时，点 P 在线段 CO 上 过点 Q 作 QF⊥OC 于 F ∵COQ＝∠COD，∠QFO＝∠CDO＝90° C O y x D A B C O y x D A B 备用图 C O y x D A BE P Q C O y x D A B F D′ C O y x D A B QP F ∴△QFO∽△CDO，∴ QF CD ＝ OQ OC 即 QF 3 ＝ t 3 5 ，∴QF＝ 5 5 t ∴S＝ 1 2 PC·QF＝ 1 2 (t－5)· 5 5 t 即 S＝ 5 10 t2－ 5 2 t （3）①当 0≤t＜5 时 ∵α＝90°－∠AOB＝∠BOD，即∠PQB＝∠DOB ∴PQ∥DO，∴△BPQ∽△BDO ∴ BP BD ＝ BQ BO ，即 t 8 ＝ 10－t 10 ，∴t＝40 9 ②当 5＜t≤10 时，过点 P 作 PH⊥OB 于 H ∵∠PQO＝∠BOD，∴tan∠PQO＝∠BOD＝ 4 3 设 PH＝4k，则 QH＝3k，OH＝8k，OP＝4 5k ∴OQ＝11k，∴11k＝t，∴k＝ t 11 ∴OP＝4 5k＝4 5 11 t 又∵OP＝3 5－(t－5)＝3 5＋5－t ∴4 5 11 t＝3 5＋5－t，∴t＝143 5－55 41 ∴当α＝90°－∠AOB 时，t 的值为 40 9 或 143 5－55 41 43．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A（25 6 ，0），点 B（3，4），将△OAB 沿 直线 OB 翻折，点 A 落在第二象限内的点 C 处． （1）求点 C 的坐标； （2）动点 P 从点 O 出发，以每秒 5 个单位的速度沿 OB 向终点 B 运动，连接 AP，将射线 AP 绕着点 A 逆时针旋转与 y 轴交于一点 Q，且旋转角α＝ 1 2 ∠OAB．设线段 OQ 的长为 d， 点 P 运动的时间为 t 秒，求 d 与 t 的函数关系式（直接写出时间 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 CP．点 P 在运动的过程中，是否存在 CP∥AQ，若存在，求此 时 t 的值，并辨断点 B 与以点 P 为圆心，OQ 长为半径的⊙P 的位置关系；若不存在，请说 明理由． B O C xA y 备用图 B O C xA y C O y x D A B P Q H C O y x D A BP Q 解：（1）过点 B 作 BG⊥x 轴于 G，过点 C 作 CH⊥x 轴于 H ∵A（25 6 ，0），B（3，4），∴OA＝ 25 6 ，OG＝3，BG＝4 ∴AG＝ 7 6 ，∴AB＝ AG 2＋BG 2 ＝ 25 6 ，∴AB＝OA ∵△OAB 沿直线 OB 翻折得到△OCB ∴△OAB≌△OCB，∴AB＝OA＝BC＝CO ∴四边形 ABCO 是菱形 ∴CO∥AB，∴∠COH＝∠BAG ∴Rt△CHO≌Rt△BGA，∴CH＝BG＝4，OH＝AG＝ 7 6 ∴C（－ 7 6 ，4） （2）连接 AC 交 BO 于点 E ∵菱形 ABCO，∴AC⊥BO，∠OAE＝ 1 2 ∠OAB ∵α＝ 1 2 ∠OAB，∴∠OAP＝∠OAE，∴∠OAQ＝∠EAP ∵∠AOQ＝∠AEP＝90°，∴△AOQ≌△AEP ∴ PE OQ ＝ AE AO 由（1）知，CH＝4，AH＝ 16 3 ∴AC＝ AH 2＋CH 2 ＝ 20 3 ，∴AE＝ 10 3 ，同理 OE＝ 5 2 ①当 0≤t ＜ 1 2 时 ∵OP＝5t，∴PE＝ 5 2 －5t，∴ 5 2 －5t d ＝ 10 3 25 6 ∴d＝－25 4 t＋25 8 ②当 1 2 ＜t≤1 时，同理可求 d＝25 4 t－25 8 （3）过点 P 作 PK⊥AB 于 K ∵AQ∥CP，∴∠PCE＝∠QAE ∵AE＝CE，AC⊥BO，∴PC＝PA ∴∠PAE＝∠PCE＝∠QAE＝ 1 2 ∠PAQ B O C xA y E P Q B O C xA y GH B O C xA y E P Q F K ∴∠PAB＝∠QAE，∴∠PAE＝∠PAB，∴PE＝PK ∵菱形 ABCO，∴∠PBK＝∠OBF ∴sin∠PBK＝sin∠OBF＝ OF OB ＝ PK PB ＝ 4 5 ∵OP＝5t，OB＝5，∴PE＝5t－ 5 2 ，PB＝5－5t ∴ 5t－ 5 2 5－5t ＝ 4 5 ，解得 t＝ 13 18 ∴存在 CP∥AQ，此时 t＝ 13 18 ∵ 1 2 ＜ 13 18 ＜1，∴当 t＝ 13 18 时，OQ＝d＝25 4 t－25 8 ＝ 25 18 BP＝OB－OP＝5－5t＝ 25 18 ∴BP＝OQ，即点 B 与圆心 P 的距离等于⊙P 的半径，点 B 在⊙P 上 ∴存在 CP∥AQ，此时 t＝ 13 18 ，且点 B 在⊙P 上 44．（黑龙江大庆）已知等边△ABC 的边长为 3 个单位，若点 P 由 A 出发，以每秒 1 个单位 的速度在三角形的边上沿 A→B→C→A 方向运动，第一次回到点 A 处停止运动，设 AP＝S， 用 t 表示运动时间． （1）当点 P 由 B 到 C 运动的过程中，用 t 表示 S； （2）当 t 取何值时，S 等于 7（求出所有的 t 值）； （3）根据（2）中 t 的取值，直接写出在哪些时段 AP＜ 7？ 解：（1）当点 P 在 BC 上时，有 3≤t ≤6 作 PM⊥AB，垂足为 M 由 PB＝t－3，∠B＝60°，得 PM＝ 3 2 (t－3)，BM＝ 1 2 (t－3) ∴AM＝3－ 1 2 (t－3) 于是 S＝AP＝ AM 2＋BM 2 ＝ (t－3)2－3(t－3)＋9 （3≤t≤6） （2）当 S＝ 7 时 （i）当点 P 在 AB 上时，有 t＝ 7 （ii）当点 P 在 CA 上时，有 t＝9－ 7 （iii）当点 P 在 BC 上时，S＝ (t－3)2－3(t－3)＋9 ＝ 7 解得 t＝4 或 t＝5 综上 t＝ 7 或 t＝9－ 7 或 t＝4 或 t＝5 （3）根据（2）可知 0＜t＜ 7，4＜t＜5，9－ 7＜t≤9 这三个时间段内 AP＜ 7 A C B 45．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）如图，在平面直角坐标系中，已 知 Rt△AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA、OB 的长分别是方程 x2 －7x＋12＝0 的两根（OA＜OB），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速 度向点 O 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒． （1）求 A、B 两点的坐标． （2）求当 t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标． （3）当 t＝2 时，在坐标平面内找一点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求 M 点的坐标； （4）在 P、Q 运动过程中，在坐标平面内是否存在点 N，使以 A、P、Q、N 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程 x2－7x＋12＝0，得 x1＝3，x2＝4 ∵OA＜OB，∴OA＝3，OB＝4 ∴A（0，3），B（4，0） （2）由题意得，AP＝t，AQ＝5－2t 可分两种情况讨论： ①当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB 如图 1， t 3 ＝ 5－2t 5 ，解得 t＝ 15 11 ∴Q（ 20 11 ，18 11 ） ②当∠AQP＝∠AOB 时，△APQ∽△ABO 如图 2， t 5 ＝ 5－2t 3 ，解得 t＝ 25 13 ∴Q（ 12 13 ，30 13 ） （3）当 t＝2 时，AP＝2，AQ＝5－2t＝1 ∴PO＝1，∴P（0，1）， 点 Q 的横坐标为：1×cos∠ABO＝ 4 5 ，纵坐标为：3－1×sin∠ABO＝ 12 5 ∴Q（ 4 5 ，12 5 ） 若 AP 是平行四边形的边，则 MQ∥AP，MQ＝AP＝2，如图 3、图 4 B Q x P O y A 图 1 B Q x P O y A 图 2 B Q x P O y A 图 3 M B Q x P O y A ∴点 M 的横坐标为 4 5 ，纵坐标为：12 5 ＋2＝ 22 5 或 12 5 － 2＝ 2 5 ∴M1（4 5 ，22 5 ），M2（ 4 5 ，2 5 ） 若 AP 是平行四边形的对角线，则△AMP≌PQA，如图 5 ∵点 Q 的横坐标为 4 5 ，∴点 M 的横坐标为－ 4 5 ∵点 A 的纵坐标比点 Q 的纵坐标大 3 5 ∴点 M 的纵坐标比点 P 的纵坐标大 3 5 即点 M 的纵坐标为：1＋ 3 5 ＝ 8 5 ∴M3（－ 4 5 ，8 5 ） （4）存在．N1（ 4 3 ，1 3 ），N2（ 3 2 ，55 16 ），N3（－ 20 17 ，36 17 ） 提示：有三种情况 若 AP＝AQ，则在坐标平面内存在点 N， 使四边形 APNQ 是菱形，如图 6 ∴t＝5－2t，解得 t＝ 5 3 ，∴AQ＝ 5 3 ∴Q（ 4 3 ，2），∴N1（4 3 ，1 3 ） 若 AP＝PQ，则在坐标平面内存在点 N， 使四边形 APQN 是菱形，如图 7 由题意，P（0，3－t），Q（4－ 8 5 t，6 5 t） ∴PQ 2＝(4－ 8 5 t)2＋(3－t－ 6 5 t)2 ∴t 2＝(4－ 8 5 t)2＋(3－t－ 6 5 t)2，解得 t＝ 25 16 或 t＝ 5 2 当 t＝ 5 2 时，点 Q 与点 A 重合，不合题意，舍去 ∴t＝ 25 16 ，∴Q（3 2 ，15 8 ） ∴N2（ 3 2 ，55 16 ） 若 AQ＝PQ，则在坐标平面内存在点 N， 使四边形 ANPQ 是菱形，如图 8 连接 NQ 交 AP 于 O′，则 NQ⊥AP，AO′＝O′P ∴AP＝2AO′，∴t＝ 6 5 (5－2t) B Q x P O y A 图 4 M B Q x P O y A 图 5 M B Q x P O y A 图 6 N B Q x P O y A 图 7 N B Q x P O y A 图 8 N O′ 解得 t＝ 30 17 ，∴Q（ 20 17 ，36 17 ） ∴N3（－ 20 17 ，36 17 ） 46．（吉林）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．动点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 同时出发，沿 BA 方向以 1cm/s 的速度 向点 A 运动．当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动．以 AP 为一边向上作正方形 APDE， 过点 Q 作 QF∥BC，交 AC 于点 F．设点 P 的运动时间为 t s，正方形 APDE 和梯形 BCFQ 重合 部分的面积为 S cm2． （1）当 t＝_________s 时，点 P 与点 Q 重合； （2）当 t＝_________s 时，点 D 在 QF 上； （3）当点 P 在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，求 S 与 t 之间的函数关系式． 解：（1）1 （2） 4 5 提示：点 D 在 QF 上时 ∵QF∥BC，∠DPQ＝CAB＝90° ∴△PQD∽△ABC，∴ PD PQ ＝ AC AB 即 t 2－2t ＝ 4 2 ，解得 t＝ 4 5 （3）如图①，当点 D 在 BC 上时 由四边形 APDE 是正方形，得 DP∥AC ∴△BDP∽△BCA，∴ PB DP ＝ AB CA ＝ 2 4 ＝ 1 2 ∴PB＝ 1 2 DP＝ 1 2 t 由 AP＋PB＝AB，得 t＋ 1 2 t＝2，解得 t＝ 4 3 此时点 E 与点 F 重合 BQ D P C A E F B C A （备用图） BQ D P C A E 图① (F) 当 1＜t≤ 4 3 时 解法 1： 如图②，设 DE 交 FQ 于点 H，则重合部分为梯形 DHQP PQ＝AP＋QB－AB＝t＋t－2＝2t－2 过点 Q 作 QG⊥DE 于点 G，则 DG＝PQ＝2t－2 由△HGQ∽△BAC，得 HG＝ 1 2 ∴HD＝HG＋GD＝ 1 2 t＋2t－2＝ 5 2 t－2 ∴S＝ 1 2 (PQ＋HD)·DP＝ 1 2 (2t－2＋ 5 2 t－2)·t＝ 9 4 t 2－2t 解法 2： 如图②，设 DE 交 FQ 于点 H 由△FAQ∽△CAB，得 AF＝2AQ＝2(2－t)＝4－2t ∴EF＝AF－AE＝4－2t－t＝4－3t 由△FEH∽△CAB，得 EH＝ 1 2 EF＝2－ 3 2 t ∴S 梯形 AQHE ＝ 1 2 (AQ＋EH)·AE＝ 1 2 (2－t＋2－ 3 2 t)·t＝－ 5 4 t 2＋2t ∴S＝S 正方形 APDE － S 梯形 AQHE ＝t 2－(－ 5 4 t 2＋2t)＝ 9 4 t 2－2t 由题意，当 t＝2 时，点 P 到达点 B 当 4 3 ＜t＜2 时 如图③，设 DE 交 BC 于点 M，DP 交 BC 于点 N 则重合部分为六边形 EFQPNM 由△FAQ∽△CAB，得 AF＝4－2t ∴S△FAQ ＝ 1 2 AQ·AF＝ 1 2 (2－t)(4－2t)＝(2－t)2 由△NPB∽△CAB，得 PN＝4－2t ∴DN＝DP－NP＝t－(4－2t)＝3t－4 由△DMN∽△ABC，得 DM＝ 1 2 (3t－4) ∴S△DMN ＝ 1 2 DM·DN＝ 1 2 · 1 2 (3t－4)(3t－4)＝ 1 4 (3t－4)2 ∴S＝S 正方形 APDE － S△DMN － S△FAQ ＝t 2－ 1 4 (3t－4)2－(2－t)2＝－ 9 4 t 2＋10t－8 综上所述，S＝ 9 4 t 2－2t（1＜t≤ 4 3 ） － 9 4 t 2＋10t－8（ 4 3 ＜t＜2） BQ D P C A E F 图② GH BQ D P C A E 图③ F M N 47．（吉林模拟）如图，梯形 OABC 中，OA 在 x 轴上，CB∥OA，∠OAB＝90°，B（4，4）， BC＝2．动点 E 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 OA 运动，到点 A 停止，过点 E 作 ED⊥x 轴交折线 O－C－B 于点 D，以 DE 为一边向右作正方形 DEFG．设运动时间为 t（秒）， 正方形 DEFG 与梯形 OABC 重叠面积为 S（平方单位）． （1）求 tan∠AOC 的值； （2）求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）连接 AC，AC 的中点为 M，t 为何值时，△DMG 为等腰三角形？ 解：（1）过 C 作 CD⊥x 轴于 H ∵B（4，4），BC＝2，∴OH＝2，CH＝4 ∴tan∠AOC＝ CH OH ＝ 4 2 ＝2， （2）当点F 与点A 重合时，OE＝t，AE＝DE＝4－t ∴tan∠AOC＝ DE OE ＝ 4－t t ＝2，解得 t＝ 4 3 当0＜t≤ 4 3 时，S＝DE 2＝(2OE)2＝(2t)2＝4t 2 当 4 3 ≤t≤2 时，S＝DE·AE＝2t·(4－t)＝－2t 2＋8t 当2≤t≤4 时，S＝4AE＝4(4－t)＝－4t＋16 当0＜t≤ 4 3 时，t＝ 4 3 时，S 最大＝ 64 9 当 4 3 ≤t≤2 时，t＝2 时，S 最大＝8 当2≤t≤4 时，t＝2 时，S 最大＝8 综上，t＝2 时，S 的最大值为 8 （3）t1＝13－2 13 9 ，t2＝ 3 2 ，t3＝2 3－1 提示：由题意，A（4，0），C（2，4） ∴M（3，2） 当0＜t≤2 时，D（t，2t），G（3t，2t） ∴DM 2＝(t－3)2＋(2t－2)2，DG 2＝4t 2 MG 2＝(3t－3)2＋(2t－2)2 若 DG＝MG，则 4t 2＝(3t－3)2＋(2t－2)2 解得 t＝13＋2 13 9 ＞2（舍去）或 t＝13－2 13 9 若 MD＝MG，则(t－3)2＋(2t－2)2＝(3t－3)2＋(2t－2)2 D A BC G O E F xH y D A BC G O E x(F) y D A BC G O E F x y D A BC O E y D A BC G O E F x M y D A BC G O E F x M y D A BC G O E F x y D A BC G O E F x 备用图 y 解得 t＝0（舍去）或 t＝ 3 2 若 DM＝DG，则(t－3)2＋(2t－2)2＝4t 2，无实数解 当 2＜t≤4 时，D（t，4），G（t＋4，4） ∴DM 2＝(t－3)2＋22，DG 2＝42 MG 2＝(t＋1)2＋22 若 DG＝MG，则 42＝(t＋1)2＋22 解得 t＝2 3－1 或 t＝－2 3－1（舍去） 若 MD＝MG，则(t－3)2＋22＝(t＋1)2＋22 解得 t＝1（舍去） 若 DM＝DG，则(t－3)2＋22＝42 解得 t＝3±2 3（舍去） 48．（吉林长春）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E 分别为边 AB、BC 的中点，连接 DE．点 P 从点 A 出发，沿折线 AD－DE－EB 运动，到点 B 停止．点 P 在线段 AD 上以 5cm/s 的速度运动，在折线 DE－EB 上以 1cm/s 的速度运动．当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 AQ 上．设 点 P 的运动时间为 t（s）． （1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为______________cm（用含 t 的代数式表示）． （2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值． （3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式． （4）连接 CD．当点 N 与点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 2.5cm/s 的 速度沿 M－N－M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当点 P 在 线段 EB 上运动时，点 H 始终在线段 MN 的中心处．直接写出在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围． （1）(t－2) （2）①当点 P 在线段 DE 上时，如图① PD＝PN＝PQ＝2，∴t－2＝2 ∴t＝4 ②当点 P 在线段 EB 上时，如图② PN＝2PB ∵PN＝PC＝(t－6)＋2＝t－4 PB＝2－(t－6)＝8－t ∴t－4＝2(8－t)，解得 t＝20 3 M CA B Q PN D E D A BC G O E F x M M CA B Q PD E 图① (N) M CA B N D E 图② P (Q) ∴当点 N 落在 AB 边上时，t 的值为 4 或 20 3 （3）①当 2＜t＜4 时，如图③ S＝22－ 1 4 (4－t)2 即 S＝－ 1 4 t 2＋2t ②当 20 3 ＜t＜8 时，如图④ S＝(t－4)2－ 1 4 (3t－20)2 即 S＝－ 5 4 t 2＋22t－84 （4）t＝14 3 或 t＝5 或 6≤t≤8 提示：当点 H 第一次落在线段 CD 上时 2.5(t－4)＋ 1 2 (t－4)＝2，解得t＝14 3 当点 H 第二次落在线段 CD 上时 2.5(t－4)－2＝ 1 2 (t－4)，解得t＝5 当点 H 第三次落在线段 CD 上时 6－2.5(t－4)＝ 1 2 (t－4)，解得t＝6 当 6≤t≤8 时，点 H 恒在线段 CD 上 49．（长春模拟）如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，C 为 OB 上一点，射线 CD ⊥OB 交 AB 于点 D，OC＝2．点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动， 点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止．过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，得到矩 形 PEOF，以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN，斜边 MN∥OB，且 MN＝QC．设 运动时间为 t（秒）． （1）求 t＝1 时 FC 的长度． （2）求 MN＝PF 时 t 的值． （3）当△QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形 面积 S 与 t 的函数关系式． （4）直接写出△QMN 和矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值． 解：（1）根据题意，△AOB、△AEP 都是等腰直角三角形 ∵AP＝ 2t，∴OF＝EP＝t ∵OC＝2，∴FC＝|2－t| M CA B N D E 图③ P Q M CA B N D E 图④ P (Q) P A BC M O F DE N Q P A C M O F DE N Q B G H ∴当 t＝1 时，FC＝1 （2）∵AP＝ 2t，∴AE＝t，PF＝OE＝6－t ∵MN＝QC＝2t，MN＝PF ∴2t＝6－t，∴t＝2 （3）当点 F 在点 C 左侧时，设 MQ、MN 分别与 PF 交于点 G、H 当△QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时 则 MH＝GH＝t－(2－t)＝2t－2≥0，得 t ≥1 当点 F 与点 C 重合时，t＝2 当 1≤t≤2 时，重叠部分为△MGH，如图① ∵MH＝GH＝t－(2－t)＝2t－2 ∴S ＝ 1 2 (2t－2)2＝2t 2－4t＋2 当点 E 落在 MQ 上时，如图② ∵AE＝t，EK＝MK＝t－2，AK＝6－t，AE＋EK＝AK ∴t＋(t－2)＝6－t，∴t＝ 8 3 当 2＜t≤ 8 3 时，重叠部分为五边形 IJKLP，如图③ ∵JK＝MK＝t－2，AK＝6－t，∴AJ＝6－t－(t－2)＝8－2t ∴EK＝6－t－t＝6－2t，EI＝EJ＝8－2t－t＝8－3t ∴S ＝S 矩形 EKLP － S△EJI＝t(6－2t)－ 1 2 (8－3t)2＝－ 13 2 t 2＋30t－32 当 MN 与 EP 重合时，t＝3 当 8 3 ＜t≤3 时，重叠部分为矩形 EKLP，如图④ ∴S ＝t(6－2t)＝－2t 2＋6t （4）t＝2 或 t＝ 8 3 提示：如图⑤、图② 50．（长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，梯形 ABCD 的顶点 A、B、D 的坐标分别为 A （－3，0），B（15，0），D（0，4），且 CD＝10．一条抛物线经过 C、D 两点，其顶点 M 在 x 轴上．点 P 从点 A 出发以每秒 5 个单位的速度沿 AD 向点 D 运动，到点 D 后又以每秒 3 个 单位的速度沿 DC 向点 C 运动，到点 C 停止；同时，点 E 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度 沿 BO 运动，到点 O 停止．过点 E 作 y 轴的平行线，交边 BC 或 CD 于点 Q，交抛物线于点 R．设 P、E 两点运动的时间为 t（秒）． （1）写出点 M 的坐标，并求这条抛物线的解析式； （2）当点 Q 和点 R 之间的距离为 8 时，求 t 的值； （3）直接写出使△MPQ 成为直角三角形时 t 值的个数； （4）设 P、Q 两点直径的距离为 d，当 2≤d≤7 时，求 t 的取值范围． A B R xE C Q D P MO y P A F M O C D E N Q B 图③ I J K L P A F M O C D E N Q B 图④ K L P A C M O F D E N Q B 图② K A C M O DE N Q B 图⑤ (F) (P) (F) 解：（1）M（5，0） 设抛物线的解析式为 y＝a(x－5)2 ∵抛物线经过点 D（0，4），∴25a＝4，∴a＝ 4 25 ∴抛物线的解析式为 y＝ 4 25 (x－5)2 或 y＝ 4 25 x 2－ 8 5 x＋4 （2）作 CN⊥AB 于 N，则 CN＝4，BN＝5 ①当 0≤t≤1 时，由△BQE∽△BCN 得： BE QE ＝ BN CN ＝ 5 4 ∵BE＝5t，∴QE＝4t ∵RQ＝8，∴RE＝4t＋8 ∴R（15－5t，4t＋8） ∵点 R 在抛物线 y＝ 4 25 (x－5)2 上，∴ 4 25 (15－5t－5)2＝4t＋8 解得 t1＝5＋ 17 2 ＞1（舍去），t2＝5－ 17 2 ②当 1≤t≤3 时，QR≤CN＝4 ∴当 t＝5－ 17 2 时，点 Q 和点 R 之间的距离为 8 （3）4 提示： 当 0≤t≤1 时，P 在线段 AD 上，Q 在线段 BC 上，∠PMQ≥∠DMC＞90° 当 1＜t≤13 3 时（P 到达 C 时，t＝1＋10 3 ＝13 3 ），P、Q 均在 CD 上 若∠PMQ＝90°，则由射影定理得：(8－3t)(10－5t)＝4 2 解得 t1＝35－ 265 15 ，t2＝35＋ 265 15 若∠PQM＝90°，则 Q 到达 M 的正上方，t＝10 5 ＝2 若∠QPM＝90°，则 P 到达 M 的正上方，t＝1＋ 5 3 ＝ 8 3 所以使△MPQ 成为直角三角形时的 t 值有 4 个 （4）∵当 t＝1 时，P、Q 分别到达 D、C 两点，CD＝10 ∴当 2≤d≤7 时，P、Q 均在 CD 上 当点 P 和点 Q 相遇前，d＝PQ＝3＋15－(3t＋5t)＝18－8t ∴2≤18－8t≤7，解得 11 8 ≤t≤2 当点 P 和点 Q 相遇后，d＝PQ＝8t－18 ∴2≤8t－18≤7，解得 5 2 ≤t≤25 8 ∵25 8 ＞3，而 3t－3＝7 时，t＝10 3 ∴ 5 2 ≤t≤10 3 综上所述，当 2≤d≤7 时，t 的取值范围为 11 8 ≤t≤2 或 5 2 ≤t≤10 3 51．（辽宁大连）如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点 P、Q 同时从点 C 出 A B R xE C Q D P MO y N 发，以 1cm/s 的速度分别沿 CA、CB 匀速运动，当点 Q 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．过 点 P 作 AC 的垂线 l 交 AB 于点 R，连接 PQ、RQ，并作△PQR 关于直线 l 对称的图形，得到 △PQ′R．设点 Q 的运动时间为 t（s），△PQ′R 与△PAR 重叠部分的面积为 S（cm2）． （1）t 为何值时，点 Q′ 恰好落在 AB 上？ （2）求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）S 能否为 9 8 cm2？若能，求出此时的 t 值，若不能，说明理由． 解：（1）过点 Q′ 作 Q′H⊥AC，垂足为 H（如图 1） ∴∠Q′HA＝90°＝∠C，Q′H∥BC ∴AQ′H△∽△ABC，∴ Q′H BC ＝ AH AC 由题意知 QC＝CP＝PH＝Q′H＝t ∴ t 6 ＝ AH 8 ，即 AH＝ 4 3 t ∵CP＋PH＋HA＝CA，即 t＋t＋ 4 3 t＝8 ∴t＝12 5 ，即 t 为 12 5 s 时，点 Q′ 恰好落在 AB 上 （2）①当 0＜t≤12 5 时（如图 2） 同理 RP BC ＝ AP AC ，即 RP 6 ＝ 8－t 8 ∴RP＝ 3 4 (8－t) ∴S＝S△PQ′R ＝S△PQR ＝ 1 2 RP·CP＝ 1 2 × 3 4 (8－t)×t＝－ 3 8 t 2＋3t ②当 12 5 ＜t≤6 时（如图 3） 设 PQ′ 与 AB 相交于点 M，过点 M 作 MH⊥AC，垂足为 H 设 MH＝a，由对称性知，∠MPH＝∠QPC＝45°，则 PH＝MH＝a 同理 MH BC ＝ AH AC ，即 a 6 ＝ AH 8 ，∴AH＝ 4 3 a ∵CP＋PH＋HA＝CA，即 t＋a＋ 4 3 a＝8 ∴a＝ 3 7 (8－t) ∴S＝ 1 2 RP·PH＝ 1 2 × 3 4 (8－t)× 3 7 (8－t)＝ 9 56 (8－t)2＝－ 9 56 t 2－ 18 7 t＋ 72 7 B l AC Q P R Q′ B A 备用图 C B A 备用图 C B l AC Q P R Q′ 图 1 H B l AC Q P R Q′ 图 2 B l AC Q P R Q′ 图 3 M H 综上，S＝ － 3 8 t 2＋3t（0＜t≤12 5 ） － 9 56 t 2－ 18 7 t＋ 72 7 （12 5 ＜t≤6） （3）若 S＝ 9 8 ，则 ①当 0＜t≤12 5 时，－ 3 8 t 2＋3t＝ 9 8 ，解得 t1＝4＋ 13（舍去），t2＝4－ 13 ②当 12 5 ＜t≤6 时， 9 56 (8－t)2＝ 9 8 ，解得 t1＝8＋ 7（舍去），t2＝8－ 7 即 S 能为 9 8 cm2，此时 t 为(4－ 13 )s 或(8－ 7 )s