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  • 2021-05-13 发布

中考数学综合题专题动点综合型问题二专题解析

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中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析 23.(江苏连云港)如图,甲、乙两人分别从 A(1, 3)、B(6,0)两点同时出发,点 O 为 坐标原点.甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行走,t h 后,甲到达 M 点,乙 到达 N 点. (1)请说明甲、乙两人到达 O 点前,MN 与 AB 不可能平行. (2)当 t 为何值时,△OMN∽△OBA? (3)甲、乙两人之间的距离为 MN 的长,设 s=MN 2,求 s 与 t 之间的函数关系式,并求甲、 乙两人之间距离的最小值. 解:(1)∵A(1, 3),∴OA=2,∠AOB=60° 假设 MN∥AB,则有 OM OA = ON OB ∵OM=2-4t,ON=6-4t,∴2-4t 2 =6-4t 6 解得 t=0 即在甲、乙两人到达 O 点前,只有当 t=0 时,△OMN∽△OAB ∴MN 与 AB 不可能平行 (2)∵甲达到 O 点时间为 t= 2 4 = 1 2 ,乙达到 O 点时间为 t= 6 4 = 3 2 ∴甲先到达 O 点,∴t= 1 2 或 t= 3 2 时,O、M、N 三点不能构成三角形 ①当 t< 1 2 时,若△OMN∽△OBA,则有 2-4t 6 = 6-4t 2 解得 t=2> 1 2 ,∴△OMN 与△OBA 不相似 ②当 1 2 <t< 3 2 时,∠MON>∠OAB,显然△OMN 与△OBA 不相似 ③当 t> 3 2 时,4t-2 6 = 4t-6 2 ,解得 t=2> 3 2 ∴当 t=2 时,△OMN∽△OBA (3)①当 t≤ 1 2 时,如图 1,过点 M 作 MH⊥x 轴,垂足为 H 在 Rt△MOH 中,∵∠AOB=60° ∴MH=OM·sin60°=(2-4t)× 3 2 = 3(1-2t) O B y x A O B y x A M H 图 1 N ∴NH= 1 2 (4t-2)+(6-4t)=5-2t ∴s=[ 3(1-2t)]2+(5-2t)2=16t 2-32t+28 ②当 1 2 <t≤ 3 2 时,如图 2,作 MH⊥x 轴,垂足为 H 在 Rt△MNH 中,MH= 3 2 (4t-2)= 3(2t-1) NH= 1 2 (4t-2)+(6-4t)=5-2t ∴s=[ 3(1-2t)]2+(5-2t)2=16t 2-32t+28 ③当 t> 3 2 时,同理可得 s=[ 3(1-2t)]2+(5-2t)2=16t 2-32t+28 综上所述,s=16t 2-32t+28 ∵s=16t 2-32t+28=16(t-1)2+12 ∴当 t=1 时,s 有最小值为 12 ∴甲、乙两人距离的最小值为 2 3km 24.(江苏南通)如图,在△ABC 中,AB=AC=10 厘米,BC=12 厘米,D 是 BC 的中点.点 P 从 B 出发,以 a 厘米/秒(a>0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动,点 Q 同时以 1 厘米/秒的 速度从 D 出发,沿 DB 匀速向点 B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止 运动,设它们运动的时间为 t 秒. (1)若 a=2,△BPQ∽△BDA,求 t 的值; (2)设点 M 在 AC 上,四边形 PQCM 为平行四边形. ①若 a= 5 2 ,求 PQ 的长; ②是否存在实数 a,使得点 P 在∠ACB 的平分线上?若存在,请求出 a 的值;若不存在, 请说明理由. 解:(1)∵BC=12,D 是 BC 的中点 ∴BD=CD=6 ∵a=2,∴BP=2t,DQ=t,BQ=6-t ∵△BPQ∽△BDA,∴ BP BD = BQ BA ∴ 2t 6 = 6-t 10 ,∴t= 18 13 CB D A Q P O B y x A M H 图 2 N (2)①∵a= 5 2 ,∴BP= 5 2 t ∵四边形 PQCM 为平行四边形,∴PQ∥AC ∴△BPQ∽△BAC,∴ BP BA = BQ BC ∴ 5 2 t 10 = 6-t 12 ,∴t= 3 2 ,∴BP=15 4 ∵AB=AC,∴PQ=BP=15 4 ②不存在 理由:假设存在实数 a,使得点 P 在∠ACB 的角平分线上 则四边形 PQCM 为菱形,∴BP=PQ=CQ=6+t 由①知, BP BA = BQ BC ,∴6+t 10 = 6-t 12 ∴t=- 6 11 <0 ∴不存在实数 a,使得点 P 在 ACB 的角平分线上 25.(江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1:y= 1 2 x 与直线 l2:y=-x +6 相交于点 M,直线 l2 与 x 轴相交于点 N. (1)求 M、N 的坐标; (2)在矩形 ABCD 中,已知 AB=1,BC=2,边 AB 在 x 轴上,矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以 每秒 1 个单位长度的速度移动.设矩形 ABCD 与△OMN 的重合部分的面积为 S,移动的时间 为 t(从点 B 与点 O 重合时开始计时,到点 A 与点 N 重合时计时结束).直接写出 S 与自变 量 t 之间的函数关系式(不需要给出解答过程); (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,S 的值最大?并求出最大值. 解:(1)对于 y=-x+6,令 y=0,得 x=6 ∴点 N 的坐标为(6,0) 由题意,得 y= 1 2 x y=-x+6 解得 x=4 y=2 A B l1 N M x l2 CD y O CB D A Q P M A B l1 N M x l2 CD y O A l1 N M x l2 CD y O B ∴点 M 的坐标为(4,2) (2)当 0≤t ≤1 时,S= 1 4 t 2 当 1<t≤4 时,S= 1 2 t- 1 4 当 4<t<5 时,S=- 3 4 t 2+13 2 t-49 4 当 5≤t<6 时,S=-t+13 2 当 6≤t≤7 时,S= 1 2 (7-t)2 (3)解法一:当 0≤t ≤1 时,S 最大= 1 4 当 1<t≤4 时,S 最大= 7 4 当 4<t<5 时,S=- 3 4 (t-13 3 )2+11 6 ∴当 t=13 3 时,S 最大=11 6 当 5≤t<6 时,S 最大= 3 2 当 6≤t≤7 时,S 最大= 1 2 综上可知,当 t=13 3 时,S 的值最大,且最大值是 11 6 解法二:由(2)中的函数关系式可知,S 的最大值一定在 4<t <5 时取得 当 4<t<5 时,S=- 3 4 (t-13 3 )2+11 6 ∴当 t=13 3 时,S 的值最大,且最大值是 11 6 26.(江苏模拟)已知抛物线与 x 轴交于 B、C(1,0)两点,与 y 轴交于点 A,顶点坐标为 ( 5 2 ,- 27 16 ).P、Q 分别是线段 AB、OB 上的动点,它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运 动,速度均为每秒 1 个单位,设 P、Q 运动时间为 t(0≤t≤4). (1)求此抛物线的解析式,并求出 P 点的坐标(用 t 表示); (2)当△OPQ 面积最大时求△OBP 的面积; (3)当 t 为何值时,△OPQ 为直角三角形? (4)△OPQ 是否可能为等边三角形?若可能请求出 t 的值;若不可能请说明理由,并改变 Q 点的运动速度,使△OPQ 为等边三角形,求出 Q 点运动的速度和此时 t 的值. y O x A BC Q P A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B A l1 N M x l2 CD y O B 解:(1)设抛物线的解析式为 y=a(x- 5 2 )2- 27 16 ∵抛物线过点 C(1,0) ∴0=a(1- 5 2 )2- 27 16 ,∴a= 3 4 ∴y= 3 4 (x- 5 2 )2- 27 16 令 y=0,得 x1=1,x2=4,∴B(4,0) 令 x=0,得 y=3,∴A(0,3) ∴AB= 32+42 =5 过点 P 作 PM⊥y 轴于 M 则△AMP∽△AOB,∴AM AO = PM OB = AP AB 即 AM 3 = PM 4 = t 5 ,∴AM= 3 5 t,PM= 4 5 t ∴P( 4 5 t,3- 3 5 t) (2)过点 P 作 PN⊥x 轴于 N ∴S△OPQ = 1 2 OQ·PN= 1 2 ·t·(3- 3 5 t) =- 3 10 t2+ 3 2 t=- 3 10 (t- 5 2 )2+15 8 ∴当 t= 5 2 时,△OPQ 面积最大 此时 OP 为 AB 边上的中线 ∴S△OBP = 1 2 S△AOB = 1 2 × 1 2 ×3×4=3 (3)若∠OPQ=90°,则 OP 2+PQ 2=OQ 2 ∴( 4 5 t)2+(3- 3 5 t)2+(t- 4 5 t)2+(3- 3 5 t)2=t2 解得 t1=3,t2=15(舍去) 若∠OQP=90°,则 PM=OQ ∴ 4 5 t=t,∴t=0(舍去) ∴当 t=3 时,△OPQ 为直角三角形 O x A BC Q P y M N (4)∵OP 2=( 4 5 t)2+(3- 3 5 t)2,PQ 2=(t- 4 5 t)2+(3- 3 5 t)2 ∴OP≠PQ,∴△OPQ 不可能是等边三角形 设 Q 的速度为每秒 k 个单位时,△OPQ 为等边三角形 则 OQ=2PM,∴kt=2· 4 5 t,得 k= 8 5 PN= 3 2 OP= 3 2 OQ,∴3- 3 5 t= 3 2 · 8 5 t ∴t=20 3-15 13 27.(江苏模拟)如图,在梯形纸片 ABCD 中,BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2,过点 B 作 BH⊥AD 于 H,BC=BH=2.动点 F 从点 D 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 DH 运动到点 H 停止,在运动过程中,过点 F 作 FE⊥AD 交折线 D-C-B 于点 E,将纸片沿直线 EF 折叠,点 C、D 的对应点分别是点 C1、D1.设 F 点运动的时间是 t(秒). (1)当点 E 和点 C 重合时,求 t 的值; (2)在整个运动过程中,设△EFD1 或四边形 EFD1C1 与梯形 ABCD 重叠部分面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式和相应自变量 t 的取值范围; (3)平移线段 CD,交线段 BH 于点 G,交线段 AD 于点 P.在直线 BC 上是否存在点 Q,使 △PGQ 为等腰直角三角形?若存在,求出线段 BQ 的长;若不存在,说明理由. 解:(1)过点 C 作 CK⊥AD 于 K 则四边形 BHKC 是矩形,∴HK=BC=2,CK=BH=2 在 Rt△CKD 中,∠DCK+∠D=90° ∵∠A+∠D=90°,∴∠DCK=∠A ∴tan∠DCK=tanA=2,即 DK CK =2 ∴DK=4,即 t=4 (2)∵ BH AH =tanA=2,BH=2,∴AH=1 ∴AD=AH+HK+DK=1+2+4=7 ①当 0<t ≤3.5 时,重叠部分为△EFD1 由题意,D1F=DF=t 在 Rt△EFD 中,∠DEF+∠D=90° ∵∠A+∠D=90°,∴∠DEF=∠A ∴tan∠DEF=tanA=2,即 DF EF =2,∴EF= 1 2 t ∴S=S△EFD1 = 1 2 D1F·EF= 1 2 t· 1 2 t= 1 4 t2 D1A B C F E DH A B C DH 备用图 A B C DH K D1A B C F E DH D1 A B C F E DHN M ②当 3.5<t ≤4 时,重叠部分为四边形 AFEM 过点 M 作 MN⊥AD 于 N 则 tanA=D1A=2t-7, MN AN =tanA=2,得 AN= 1 2 MN MN D1A+AN =tanD1=tanD=cotA= 1 2 即 MN 2t-7+ 1 2 MN = 1 2 ,得 MN= 2 3 (2t-7) ∴S=S△EFD1 - S△MD1A = 1 4 t2- 1 2 (2t-7)· 2 3 (2t-7) =- 13 12 t2+28 3 t-49 3 ③当 4<t ≤5 时,重叠部分为五边形 AFEC1M S=S△C1D1FE - S△MD1A = 1 2 (t-4+t)·2- 1 2 (2t-7)· 2 3 (2t-7) =- 4 3 t2+34 3 t-61 3 ④当 5<t ≤6 时,重叠部分为梯形 AFEB S=S 梯形 AFEB = 1 2 (6-t+7-t)·2=-2t+13 (3)①当点 P 为直角顶点时 作 QO⊥AD 于 O,则∠GPH+∠QPO=90° ∵∠GPH+∠PGH=90°,∴∠PGH=∠QPO 又∵PG=PQ,∠GHP=∠POQ=90° ∴△GHP≌△POQ,∴HP=OQ=2,PO= 1 2 OQ=1 ∴BQ=HO=3 ②当点 Q 为直角顶点时 同①可证△BQG≌△OQP,∴BQ=OQ=2 ③当点 G 为直角顶点时 同①可证△BQG≌△HGP,∴BG=HP=2GH=2BQ ∵BG+GH=BH,∴2BQ+BQ=2,∴BQ= 2 3 ∴在直线 BC 上存在点 Q,使△PGQ 为等腰直角三角形,线段 BQ 的长为 3,2, 2 3 28.(江苏模拟)如图 1,直线 l:y=- 3 4 x+3 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点,等腰 Rt△CDE 的斜边 C D 在 x 轴上,且 C D=6.若直线 l 以每秒 3 个单位的速度向上匀速运动,同时点 C 从(6,0)开始以每秒 2 个单位的速度向右匀速运动(如图 2),设运动后直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 N、M 两点,以 OM、ON 为边作如图所示的矩形 OMPN.设运动时间为 t 秒. (1)运动 t 秒后点 E 坐标为______________,点 N 坐标为______________(用含 t 的代数 式表示); (2)设矩形 OMPN 与运动后的△CDE 的重叠部分面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 D1 A B C F E DHN M C1 D1 A B C F E DH C1 A B C DH P O Q G A B C DH PO G (Q) A B C DH P G Q 相应的 t 的取值范围; (3)若直线 l 和△CDE 运动后,直线 l 上存在点 Q 使∠OQC=90 °,则当在线段 MN 上符合 条件的点 Q 有且只有两个时,求 t 的取值范围; (4)连接 PC、PE,当△PCE 是等腰三角形时,直接写出 t 的值. 解:(1)E(9+2t,3),N(4+4t,0) (2)运动 t 秒时,ON=4+4t,OC=6+2t,OD=12+2t 当点 N 与点 C 重合时,4+4t=6+2t,得 t=1 当点 E 在边 PN 上时,4+4t=9+2t,得 t=2.5 当点 N 与点 D 重合时,4+4t=12+2t,得 t=4 ①当 1<t≤2.5 时,重叠部分为等腰 Rt△CFN CN=FN=4+4t-(6+2t)=2t-2 ∴S= 1 2 (2t-2)2=2t 2-4t+2 ②当 2.5<t<4 时,重叠部分为四边形 CEGN ND=12+2t-(4+4t)=8-2t ∴S=S△CDE - S△NGD = 1 2 ×6×3- 1 2 (8-2t)2=-2t 2+16t-23 ③当 t≥4 时,重叠部分为△CDE ∴S= 1 2 ×6×3=9 (3)①当直线 l 过点 C,即 C、N 重合时,则线段 MN 上只存在一点 Q 使∠OQC=90 ° 由(2)知,此时 t=1 A B xC D y O E l 图 1 N M xC y O P Dl E 图 2 xC D y O E lN M F P N M xC y O P D l E G ②以 OC 为直径作⊙O′,当直线 l 切⊙O′ 于点 Q 时,则线段 MN 上只存在一点 Q 使∠OQC= 90° OO′=O′Q= 1 2 OC=3+t O′N=ON-OO′=4+4t-(3+t)=1+3t 由 O′Q O′N =sin∠O′NQ=sin∠MNO= 3 5 得 3+t 1+3t = 3 5 ,解得 t=3 所以当在线段 MN 上符合条件的点 Q 有且只有两个时,t 的取值范围是 1<t<3 (4)t=3 10-5 13 ,t= 2 5 ,t= 7 13 ,t=1 提示:∵P(4+4t,3+3t),C(6+2t,0),E(9+2t,3) ∴PC 2=(2t-2)2+(3+3t)2 PE2=(2t-5)2+(3t)2,CE 2=18 若 PC=PE,则(2t-2)2+(3+3t)2=(2t-5)2+(3t)2 解得 t= 2 5 若 PC=CE,则(2t-2)2+(3+3t)2=18 解得 t=3 10-5 13 (舍去负值) 若 PE=CE,则(2t-5)2+(3t)2=18 解得 t=1 或 t= 7 13 29.(江苏模拟)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 C(0,- 3),与 x 轴交于点 A、B (A 在 B 的左侧),连接 AC、BC,得等边△ABC.点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位的速度 向点 A 运动,同时点 Q 从点 C 出发,以每秒 3 个单位的速度向 y 轴负方向运动,连接 PQ 交射线 BC 于点 D,当点 P 到达点 A 时,点 Q 停止运动.设运动时间为 t 秒. (1)求抛物线的解析式; (2)设△PQC 的面积为 S,求 S 关于 t 的函数关系式; (3)以点 P 为圆心,PB 为半径的圆与射线 BC 交于点 E,试说明:在点 P 运动的过程中, 线段 DE 的长是一定值,并求出该定值. A C O B x y 备用图 A C O B Q x y P C xD y O E l M Q NO′ N xD y O E l M (C) Q 解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 C(0,- 3) ∴抛物线的对称轴是 y 轴,∴b=0 可设抛物线的解析式为 y=ax2- 3 ∵△ABC 是等边三角形,且 CO⊥AB,CO= 3 ∴AO=1,∴A(-1,0) 把 A(-1,0)代入 y=ax2- 3,得 a= 3 ∴抛物线的解析式为 y= 3x2- 3 (2)当 0<t<1 时,OP=1-t,CQ= 3t ∴S= 1 2 CQ·OP= 1 2 · 3t·(1-t)=- 3 2 t 2+ 3 2 t 当 1<t<2,OP=t-1,CQ= 3t ∴S= 1 2 CQ·OP= 1 2 · 3t·(t-1)= 3 2 t 2- 3 2 t (3)连接 PE,过 D 作 DH⊥y 轴于 H,设 DH=a ①当 0<t<1 时 ∵PB=PE,∠PBE=60° ∴△PBE 为等边三角形 ∴BE=PB=t ∵△QDH∽△QPO ∴ DH PO = QH QO ,即 a 1-t = 3a+ 3t 3t+ 3 ∴a=1-t 2 ,∴DC=1-t ∴DE=CB-EB-DC=2-t-(1-t)=1 ②当 1<t<2 时 同理,△QDH∽△QPO,得 DH PO = QH QO ∴ a t-1 = 3t- 3a 3t+ 3 ∴a=t-1 2 ,∴DC=t-1 ∴DE=DC+CE=t-1+(2-t)=1 综上所述,在点 P 运动的过程中,线段 DE 的长是定值 2 30.(河北)如图,点 A(-5,0),B(-3,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB, ∠CDA=90°.点 P 从点 Q(4,0)出发,沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动,运动时 间为 t 秒. (1)求点 C 的坐标; (2)当∠BCP=15°,求 t 的值; (3)以点 P 为圆心,PC 为半径的⊙P 随点 P 的运动而变化,当⊙P 与四边形 ABCD 的边(或 边所在的直线)相切时,求 t 的值. BA Q xP O y CD A C O B D x H Q P E y A C O B H x D Q P E y 解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,∴OC=OB=3 又∵点 C 在 y 轴的正半轴上,∴点 C 的坐标为(0,3) (2)当点 P 在点 B 右侧时,如图 2 若∠BCP=15°,得∠PCO=30° 故 OP=OC·tan30°= 3 此时 t=4+ 3 当点 P 在点 B 左侧时,如图 3 由∠BCP=15°,得∠PCO=60° 故 OP=OC·tan60°=3 3 此时 t=4+3 3 ∴t 的值为 4+ 3 或 4+3 3 (3)由题意知,若⊙P 与四边形 ABCD 的边相切,有以下三种情况: ①当⊙P 与 BC 相切于点 C 时,有∠BCP=90° 从而∠OCP=45°,得到 OP=3,此时 t=1 ②当⊙P 与 CD 相切于点 C 时,有 PC⊥CD 即点 P 与点 O 重合,此时 t=4 ③当⊙P 与 AD 相切时,由题意,∠DAO=90° ∴点 A 为切点,如图 4 PC 2=PA2=(9-t)2,PO 2=(t-4)2 于是(9-t)2=(t-4)2+32,解得:t=5.6 ∴t 的值为 1 或 4 或 5.6 31.(河北模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6.点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 匀速运动;点 Q 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度 向点 A 匀速运动.运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 PB-BC 于点 E.点 P、Q 同时出发,当点 P 到达点 B 时停止运动,点 Q 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒. (1)当 t=______________秒,直线 DE 经过点 B;当 t=______________秒,直线 DE 经过点 A; (2)四边形 DPBE 能否成为直角梯形?若能,求 t 的值;若不能,请说明理由; (3)当 t 为何值时,点 E 是 BC 的中点? BA Q xP O y CD 图 2 BA Q xP O y CD 图 4 BA Q xP O y CD 图 3 (4)以 E 为圆心,EC 长为半径的圆能否与 AB、AC、PQ 同时相切?若能,直接写出 t 的值; 若不能,请说明理由. 解:(1)20-2 73 3 ;2 提示:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6 ∴BC= AB 2-AC2 = 102-62 =8 当直线 DE 经过点 B 时,连接 QB,则 PB=QB ∴(10-2t)2=t2+82,解得 t=20+2 73 3 (舍去)或 t=20-2 73 3 当直线 DE 经过点 A 时,AP=AQ ∴2t=6-t,即 t=2 (2)①当 DE∥PB 时,四边形 DPBE 是直角梯形 此时∠APQ=90°,由△AQP∽△ABC,得 AP AC = AQ AB 即 2t 6 = 6-t 10 ,解得 t= 18 13 ②当 PQ∥BC 时,四边形 DPBE 是直角梯形 此时∠AQP=90°,由△APQ∽△ABC,得 AQ AC = AP AB 即 6-t 6 = 2t 10 ,解得 t= 30 11 (3)连接 QE、PE,作 EG⊥PB 于 G,则 QE=PE ∵QE 2=t2+42 PE2=PG 2+EG 2=(10-2t- 4 5 ×4)2+( 3 5 ×4)2 ∴t2+42=(10-2t- 4 5 ×4)2+( 3 5 ×4)2 解得 t=68+2 481 15 (舍去)或 t=68-2 481 15 (4)不能 设⊙E 与 AB 相切于 F 点,连接 EF、EP、EQ 则 EC=EF,EQ=EP,∠ECQ=∠EFP=90° ∴△ECQ≌△EFP,∴QC=PF ∵∠C=90°,∴⊙E 与 AC 相切于 C 点 ∴AC=AF,∴AQ=AP 又 AD=AD,DQ=DP B Q A D C E P B Q A D C P E B Q A D C P E B Q A D C P E B Q A D C E P G B Q A D C P (E) ∴△ADQ≌△ADP,∴∠ADQ=∠ADP=90° 又∠QDE=90°,∴A、D、E 三点在同一直线上 由(1)知,此时 t=2,AQ=6-t=4 ∵AB=10,AC=6,∴sinB= AC AB = 6 10 = 3 5 设 EC=EF=x,则 EB= EF sinB = 5 3 x ∵EC+EB=BC,∴x+ 5 3 x=8 ∴x=3,∴EC=EF=3 ∴AE= AC2+EC2 = 62+32 =3 5 易知△ADQ∽△ACE,∴ AD AC = AQ AE ∴ AD 6 = 4 3 5 ,∴AD= 8 5 5 ∴ED=AE-AD=3 5- 8 5 5= 7 5 5= 49 5 而 EC=3= 45 5 ,∴ED>EC ∴此时⊙E 与 PQ 相离 ∴⊙E 不能与 AB、AC、PQ 同时相切 32.(山东青岛)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,D、E 分别是 AC、 AB 的中点,连接 DE.点 P 从点 D 出发,沿 DE 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 2cm/s,当点 P 停止运动时,点 Q 也停止运动.连 接 PQ,设运动时间为 t(s)(0<t<4).解答下列问题: (1)当 t 为何值时,PQ⊥AB? (2)当点 Q 在 B、E 之间运动时,设五边形 PQBCD 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 之间的函 数关系式; (3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻 t,使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 S△PQE :S 五边形 PQBCD =1:29?若存在,求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h;若不存在,请 说明理由. 解:(1)如图①,在 Rt△ABC 中,∠C=90º,AC=6,BC=8 ∴AB= 62+82 =10 ∵D、E 分别是 AC、AB 的中点 A BC 备用图 ED A P Q BC ED B Q A D C P E F A P Q BC ED AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC 且 DE= 1 2 BC=4 ∵PQ⊥AB,∴∠PQB=∠C=90° 又∵DE∥BC,∴∠AED=∠B ∴△PQE∽△ACB,∴ PE AB = QE BC 由题意得:PE=4-t,QE=2t-5 ∴ 4-t 10 = 2t-5 8 ,解得 t= 41 14 (2)如图②,过点 P 作 PM⊥AB 于 M 由△PME∽△ACB,得 PM AC = PE AB ∴ PM 6 = 4-t 10 ,得 PM= 3 5 (4-t) ∴S△PQE = 1 2 EQ·PM= 1 2 (2t-5)· 3 5 (4-t)= 3 5 t2- 39 10 t+6 S 梯形 DCBE = 1 2 ×(4+8)×3=18 ∴y=18-( 3 5 t2- 39 10 t+6)=- 3 5 t2+ 39 10 t+12 (3)假设存在时刻 t,使 S△PQE :S 五边形 PQBCD =1 :29 此时 S△PQE = 1 30 S 梯形 DCBE ∴ 3 5 t2- 39 10 t+6= 1 30 ×18,解得 t1=2,t2= 9 2 (舍去) 当 t=2 时,PM= 3 5 (4-2)= 6 5 ,ME= 4 5 (4-2)= 8 5 EQ=5-2×2=1,MQ=ME+EQ= 8 5 +1=13 5 PQ= PM 2+MQ 2 = 205 5 ∵ 1 2 PQ·h= 3 5 ,∴h= 6 5 × 5 205 =6 205 205 33.(山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1,0),C(3, 0),D(3,4),以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C.动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动,同时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动.点 P,Q 的运动速度均为每 秒 1 个单位,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点 E 作 EF⊥AD 于 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时,△ACG 的面积最大?最大值 为多少? (3)在动点 P,Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点 H, 使以 C,Q,E,H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值. y A D C F G EP Q A P Q BC ED ② M 解:(1)A(1,4) 由题意,可设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点 C(3,0) ∴0=a(3-1)2+4,∴a=-1 ∴抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+4 即 y=-x2+2x+3 (2)∵A(1,4),C(3,0) ∴可求直线 AC 的解析式为 y=-2x+6 P(1,4-t) 将 y=4-t 代入 y=-2x+6 中,解得点 E 的横坐标为 x=1+ t 2 ∴点 G 的横坐标为 1+ t 2 ,代入抛物线的解析式中,可求点 G 的纵坐标为 4- t2 4 ∴GE=(4- t2 4 )-(4-t)=t- t2 4 又点 A 到 GE 的距离为 t 2 ,C 到 GE 的距离为 2- t 2 即 S△ACG =S△AEG +S△CEG = 1 2 EG· t 2 + 1 2 EG(2- t 2 )= 1 2 ·2(t- t2 4 )=- 1 4 (t-2)2+1 当 t=2 时,S△ACG 的最大值为 1 (3)t= 20 13 或 t=20-8 5 提示:∵A(1,4),C(3,0),∴AB=4,BC=2 ∴AC= 22+42 =2 5,∴cos∠BAC= AB AC = 4 2 5 =2 5 5 ∵PE⊥AB,AP=t,∴AE= AP cos∠BAC = 5 2 t ∴CE=2 5- 5 2 t 若 EQ=CQ,则在矩形 ABCD 内存在点 H,使四边形 CQEH 为菱形 过点 Q 作 QN⊥EC 于 N,则 CE=2CN 在 Rt△QNC 中,CN=CQ·cos∠ACD=CQ·cos∠BAC=2 5 5 t ∴2 5- 5 2 t=4 5 5 t,解得 t= 20 13 若 CE=CQ,则在矩形 ABCD 的 AD 边上存在点 H,使四边形 CQHE 为菱形 xO y A D C B F G EP Q xO y A D C B EP Q H N xO y A D C B EP Q H ∴2 5- 5 2 t=t,解得 t=20-8 5 34.(山东模拟)把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按图 1 摆放(点 C 与点 E 重合),点 B、C(E)、F 在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°,∠ABC=45°,BC=9,DE=6,EF=8.如图 2,△DEF 从图 1 的位置出发,以 1 个单位/秒的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动,在△DEF 移动的同时, 点 P 从△DEF 的顶点 F 出发,以 3 个单位/秒的速度沿 FD 向点 D 匀速移动.当点 P 移动到点 D 时,P 点停止移动,△DEF 也随之停止移动.DE 与 AC 相交于点 Q,连接 BQ、PQ,设移动 时间为 t(s). (1)设△BQE 的面积为 y,求 y 与 t 之间的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围; (2)当 t 为何值时,三角形 DPQ 为等腰三角形? (3)是否存在某一时刻 t,使 P、Q、B 三点在同一条直线上?若存在,求出此时 t 的值; 若不存在,说明理由. 解:(1)∵∠ACB=45°,∠DEF=90°,∴∠EQC=45° ∴EC=EQ=t,∴BE=9-t ∴y= 1 2 BE·EQ= 1 2 (9-t)t 即 y=- 1 2 t2+ 9 2 t(0<t ≤10 3 ) (2)在 Rt△DEF 中,∵∠DEF=90°,DE=6,EF=8 ∴DF= DE2+EF 2 = 62+82 =10 ①当 DQ=DP 时,则 6-t=10-3t,解得 t=2 ②当 PQ=PD 时,过 P 作 PG⊥DQ 于 G 则 DH=HQ= 1 2 (6-t) ∵HP∥EF,∴△DHP∽△DEF ∴ DH DE = DP DF ,即 1 2 (6-t) 6 = 10-3t 10 ,解得 t= 30 13 ③当 QP=QD 时,过 Q 作 QH⊥DP 于 H 则 DH=HP= 1 2 (10-3t) 可得△DHQ∽△DEF,∴DH DE = DQ DF 即 1 2 (10-3t) 6 = 6-t 10 ,解得 t=14 9 (E) A B D C F 图 1 A B D E F 图 2 P Q C A B D E F P Q C G A B D E F H Q C P A B D E F P Q C (3)假设存在某一时刻 t,使 P、Q、B 三点在同一条直线上 过 P 作 PK⊥BF 于 K,则△PKF∽△DEF ∴ PK DE = KF EF = PF DF ,即 PK 6 = KF 8 = 3t 10 ∴PK= 9 5 t,KF=12 5 t ∵P、Q、B 三点共线,∴△BQE∽△BPK ∴ BE QE = BK PK ,即 9-t t = 9-t+8-12 5 t 9 5 t ,解得 t= 1 2 即当 t= 1 2 秒时,P、Q、B 三点在同一条直线上 35.(山东模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC=10cm,BD⊥AC 于 D,且 BD=8cm.点 M 从 点 A 出发,沿 AC 方向匀速运动,速度为 2cm/s;同时直线 PQ 由点 B 出发沿 BA 方向匀速运 动,速度为 1cm/s,运动过程中始终保持 PQ∥AC,直线 PQ 交 AB 于 P,交 BC 于 Q,连接 PM,设运动时间为 t(s). (1)当四边形 PQCM 是等腰梯形时,求 t 的值; (2)当点 M 在线段 PC 的垂直平分线上时,求 t 的值; (3)当 t 为何值时,①△PQM 是等腰三角形;②△PQM 是直角三角形; (4)是否存在时刻 t,使以 PM 为直径的圆与 BC 相切?若存在,求出 t 的值;若不存在, 请说明理由. 解:(1)作 PE⊥AC 于 E,作 QF⊥AC 于 F 若四边形 PQCM 是等腰梯形,则 ME=CF 易知四边形 PQFE 是矩形,∴EF=PQ ∵PQ∥AC,∴△PBQ∽△ABC ∵AB=AC,∴PQ=PB=t,∴EF=t ∵AB=10,BD=8,∴AD= 102-82 =6 易证△APE∽△ABD,∴ AE AD = AP AB 即 AE 6 = 10-t 10 ,∴AE=6- 3 5 t ∴ME=AE-AM=6- 3 5 t-2t=6-13 5 t CF=AC-(AE+EF)=10-(6- 3 5 t+t)=4- 2 5 t A B D E F PQ C K E A C F B D P Q M A CB D P Q M 由 ME=CF,得 6-13 5 t=4- 2 5 t,解得 t= 10 11 ∴当 t= 10 11 s 时,四边形 PQCM 是等腰梯形 (2)若点 M 在线段 PC 的垂直平分线上,则 MP=MC 作 MG⊥AB 于 G,则△AMG∽△ABD ∴ AG AD = MG BD = AM AB ,∴ AG 6 = MG 8 = 2t 10 ∴AG= 6 5 t,MG= 8 5 t ∴PG=10-t- 6 5 t=10-11 5 t 在 Rt△GPM 中,MP 2=( 8 5 t)2+(10-11 5 t)2=37 5 t2-44t+100 又∵MC 2=(10-2t)2=4t2-40t+100 由 MP=MC,得 37 5 t2-44t+100=4t2-40t+100 解得 t1= 20 17 ,t2=0(舍去) ∴当 t= 20 17 s 时,点 M 在线段 PC 的垂直平分线上 (3)①若 PQ=PM,则 t2=37 5 t2-44t+100 即 8t2-55t+125=0 △=(-55) 2-4×8×125=-975<0,方程无实数解 若 MP=MQ,则点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上 作 PE⊥AC 于 E,∴EM= 1 2 PQ= 1 2 t 由(1)知,AE=6- 3 5 t ∵AE+EM=AM,∴6- 3 5 t+ 1 2 t=2t 解得 t=20 7 若 PQ=MQ,作 PE⊥AC 于 E,作 QF⊥AC 于 F 由(1)知,QF=PE ∵△APE∽△ABD,∴ PE BD = AP AB 即 PE 8 = 10-t 10 ,∴QF=PE=8- 4 5 t 又 FM=AM-(AE+EF)=2t-(6- 3 5 t+t)= 8 5 t-6 ∴MQ 2=(8- 4 5 t)2+( 8 5 t-6)2=16 5 t2-32t+100 由 PQ=MQ,得 t2=16 5 t2-32t+100 A CB D P Q MG E A CB D P Q M E A CB DP Q M F 解得 t1= 50 11 ,t2=10(舍去) ∴当 t=20 7 s 或 t= 50 11 s 时,△PQM 是等腰三角形 ②若∠MPQ=90°,则 AM=6- 3 5 t ∴2t=6- 3 5 t,∴t= 30 13 若∠PMQ=90°,则 PM 2+QM 2=PQ 2 ∴37 5 t2-44t+100+16 5 t2-32t+100=t2 即 12t2-95t+250=0 △=(-55) 2-4×8×125=-2975<0,方程无实数解 若∠PQM=90°,作 PE⊥AC 于 E 则 AE=6- 3 5 t,EM=PQ=t ∵AE+EM=AM,∴6- 3 5 t+t=2t ∴t=15 4 ∴当 t= 30 13 s 或 t=15 4 s 时,△PQM 是直角三角形 (4)设 PM 的中点为 N,分别过 P、N、M 作 BC 的垂线,垂足为 G、K、H 易证△PBG∽△BCD,△MCH∽△BCD ∴ PG BD = PB BC ,MH BD = MC BC ∵AC=10,AD=6,∴DC=4 ∴BC= 82+42 =4 5 ∴ PG 8 = t 4 5 , MH 8 = 10-2t 4 5 ∴PG= 2 5 t,MH= 2 5 (10-2t) ∴NK= 1 2 (PG+MH)= 1 5 (10-t) 若以 PM 为直径的圆与 BC 相切,则 PM=2NK ∴PM 2=4NK 2 ∴37 5 t2-44t+100= 4 5 (10-t)2 解得 t1= 10 11 ,t2=10 3 ∴当 t= 10 11 s 或 t=10 3 s 时,以 PM 为直径的圆与 BC 相切 36.(内蒙古包头、乌兰察布)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点 D A CB D P Q M E A CB DP Q M A CB D P Q M G HK N 在 BC 上,且 CD=3cm.现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发,其中点 P 以 lcm/ 秒的速度沿 AC 向终点 C 运动;点 Q 以 1.25cm/秒的速度沿 BC 向终点 C 运动.过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E,连接 EQ.设动点运动时间为 t 秒(t>0). (1)连接 DP,经过 1 秒后,四边形 EQDP 能够成为平行四边形吗?请说明理由; (2)连接 PQ,在运动过程中,不论 t 取何值时,总有线段 PQ 与线段 AB 平行,为什么? (3)当 t 为何值时,△EDQ 为直角三角形. 解:(1)能. ∵点 P 的速度为 lcm/秒,点 Q 的速度为 1.25cm/秒,t=1 秒 ∴AP=1,BQ=1.25 ∴QD=BC-CD-BQ=5-3-1.25=0.75 ∵PE∥BC,∴△APE∽△ACD ∴ PE CD = AP AC ,即 PE 3 = 1 4 ∴PE=0.75,∴PE=QD ∴四边形 EQDP 是平行四边形 (2)∵AC=4,BC=5,AP=t,BQ=1.25t ∴CP=4-t,CQ=5-1.25t ∴ CP CA = 4-t 4 ,CQ CB = 5-1.25t 5 = 4-t 4 ∴ CP CA = CQ CB ,∴PQ∥AB (3)①当∠EQD=90°时 易证△EDQ∽△ADC,∴ DQ DC = EQ AC 显然点 Q 在点 D 右侧,DQ=1.25t-2,EQ=PC=4-t ∴ 1.25t-2 3 = 4-t 4 ,解得 t=2.5 ②当∠DEQ=90°时 易证△DEQ∽△DCA,∴ DE DC = DQ DA ∵PE∥BC,∴△APE∽△ACD,∴ AE AD = AP AC ∵AC=4,CD=3,∴AD=5 ∴ AE 5 = t 4 ,∴AE=1.25t,DE=5-1.25t 显然点 Q 在点 D 右侧,DQ=1.25t-2 A DQ C P B E A DQ C P B E A D Q C P B E A D Q C P B E ∴ 5-1.25t 3 = 1.25t-2 5 ,解得 t=3.1 ∴当 t=2.5 秒或 t=3.1 秒时,△EDQ 为直角三角形 37.(内蒙古呼伦贝尔)如图①,在平面直角坐标系内,Rt△ABC≌Rt△FED,点 C、D 与原 点 O 重合,点 A、F 在 y 轴上重合,∠B=∠E=30°,AC=FD= 3.△FED 不动,△ABC 沿 直线 BE 以每秒 1 个单位的速度向右平移,直到点 B 与点 E 重合为止.设平移时间为 x(秒), 平移过程中 AB 与 EF 的交点为 M. (1)求出图①中点 B 的坐标; (2)如图②,当 x=4 秒时,求出过 F、M、A 三点的抛物线的解析式;此抛物线上有一动 点 P,以点 P 为圆心,以 2 为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与 y 轴相切的情况,若存在, 直接写出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设移动 x 秒后两个三角形重叠部分的面积为 S,求出整个运动过程中 S 与 x 的函数关系 式. 解:(1)如图①,在 Rt△ABC 中,AC= 3,∠B=30° ∴BC= 3AC=3,∴B(-3,0) (2)如图②,∵x=4,∴A(4, 3),B(1,0) 过 M 作 MH⊥BE 于 H 由题意,OE=BC=3,∴BE=2 ∵∠B=∠E,∴MB=ME ∴BH= 1 2 BE=1,∴OH=2,MH= 3 3 ∴M(2, 3 3 ) 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,把 F、M、A 三点坐标代入 c= 3 4a+2b+c= 3 3 16a+4b+c= 3 解得 a= 3 6 b=-2 3 3 c= 3 ∴抛物线的解析式为 y= 3 6 x2-2 3 3 x+ 3 A B C E (F) (D)O x y 图① F BD EO x y 图② C A M A B C E (F) (D)O x y 图① F BD EO x y 图② C A M H P1(2, 3 3 )或 P2(-2,3 3) 提示:若半径为 2 的⊙P 与 y 轴相切,那么点 P 的横坐标为 2 或-2 当 x=2 时,y= 3 6 x2-2 3 3 x+ 3= 3 3 当 x=-2 时,y= 3 6 x2-2 3 3 x+ 3=3 3 ∴存在符合条件的点 P,坐 标为 P1(2,3 3 )或 P2(-2,3 3) (3)当点 B、O 重合时,x=3,所以整个运动过程可分为两个阶段: ①当 0≤x<3 时,如图③ BO=3-x,CD=x,OG=CH= 3 3 BO= 3 3 (3-x) FG= 3- 3 3 (3-x)= 3 3 x ∴S=S 梯形 FDCH -S△FGM = 1 2 [ 3+ 3 3 (3-x)]·x- 1 2 · 3 3 x· 3 2 · 3 3 x =- 3 4 x2+ 3x ②当 3≤x≤6 时,如图④,BE=3-(x-3)=6-x ∴S=S△BME = 1 2 (6-x)· 1 2 (6-x)· 3 3 = 3 12 x2- 3x+3 3 综上所述,S 与 x 的函数关系式为: S= - 3 4 x2+ 3x(0≤x<3) 3 12 x2- 3x+3 3(3≤x≤6) 38.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,Rt△OAB 的直角边 OA 在 x 轴正半轴上,且 OA=4,AB=2,将△OAB 沿某条直线翻折,使 OA 与 y 轴正半轴的 OC 重合.点 B 的对应点为点 D,连接 AD 交 OB 于点 E. (1)求 AD 所在直线的解析式: (2)连接 BD,若动点 M 从点 A 出发,以每秒 2 个单位的速度沿射线 AO 运动,线段 AM 的 垂直平分线交直线 AD 于点 N,交直线 BD 于点 Q.设线段 QN 的长为 y(y≠0),点 M 的运 动时间为 t 秒,求 y 与 t 之问的函数关系式(直接写出自变量 t 的取值范围); (3)在(2)的条件下,连接 MN,当 t 为何值时,直线 MN 与过 D、E、O 三点的圆相切, 并求出此时切点的坐标. AO C x E B D y 备用图 AO C x E B D y F B D EO x y 图③ C AM HG F BD EO x y 图④ C A M 解:(1)由题意,△OAB≌△OCD ∴OC=OA=4,CD=AB=2 ∴D(2,4) 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,把 A(4,0),D(2,4)代入 0=4k+b 4=2k+b 解得 k=-2 b=8 ∴y=-2x+8 (2)由 B(4,2),D(2,4),可得直线 BD 的解析式为 y=-x+6 ∵直线 NQ 垂直平分线段 AM ∴NH⊥AM,AH=MH= 1 2 AM= 1 2 ×2t=t ∴OH=4-t,∴H(4-t,0) ∴点 Q、N 的横坐标为为 4-t ∴QH=-(4-t)+6=t+2,NH=-2(4-t)+8=2t 当 0<t<2 时,点 Q 在点 N 上方 y=QN=t+2-2t=-t+2 当 t>2 时,点 Q 在点 N 下方 y=QN=2t-(t+2)=t-2 (3)过点 D 作 DF⊥OA 于 F,则 CD∥OF,CD=OF=2 ∵OA=4,∴AF=OF=2 ∵DF⊥OA,∴OD=AD,∠ODC=∠DOF=∠DAF ∵△OAB≌△OCD,∴∠COD=∠AOB ∵∠COD+∠AOD=90°,∴∠OED=∠AOB+∠OAD=90° ∴OD 为经过 D、E、O 三点的圆的直径,OD 的中点 O′ 为圆心 在 Rt△OCD 中,OD= OC 2+CD 2 =2 5 tan∠COD= CD OC = 1 2 ,tan∠ODC= OC CD =2 ∵NH 垂直平分线段 AM,∴∠NMA=∠NAM ∵∠DOA=∠NAM,∠NMA=∠DOA,∴MN∥OD 设直线 MN 与⊙O′ 相切于 G 点,连接 O′G,作 GK⊥OA 于 K,MI⊥OD 于 I 则∠OO′G=∠O′GM=90° ∵MI⊥OD,∴四边形 O′IMG 为矩形 ∴IM=O′G= 5,MG=O′I ∴OI= 5 2 ,OM= 5 2 ,∴MG=O′I= 5 2 ∴KG=1,MK= 1 2 ,∴OK=3,∴G(3,1) ∵OM+AM=OA,∴ 5 2 +2t=4,∴t= 3 4 AO C x N B D y E Q HM AO C x N B D y E Q HM AO C x E B D y F K GI M O′ N AO C x E B D y FK G I M O′ N 同理可求当 t=13 4 时,切点 G(-1,3) ∴当 t= 3 4 或 t=13 4 时,直线 MN 与过 D、E、O 三点的圆相切,切点分别为 G(3,1)或 G (-1,3) 39.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=x+b 与 x 轴交于点 A,与正比例函 数 y=- 4 3 x 的图象交于点 B,过 B 点作 BC⊥y 轴,点 C 为垂足,C(0,8). (1)求直线 AB 的解析式; (2)动点 M 从点 A 出发沿线段 AO 以每秒 1 个单位的速度向终点 O 匀速移动,过点 M 作 x 轴的垂线交折线 A-B-O 于点 P.设 M 点移动的时间为 t 秒,线段 BP 的长为 d,求 d 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围; (3)在(2)的条件下,动点 Q 同时从原点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿折线 O-C- B 向点 B 移动,当动点 M 停止移动时,点 Q 同时停止移动.当 t 为何值时,△BPQ 是等腰 三角形? 解:(1)∵BC⊥y 轴,点 C 为垂足,C(0,8) ∴点 B 的纵坐标为 8 ∵y=- 4 3 x,当 y=8 时,x=-6,∴B(-6,8) 把(-6,8)代入 y=x+b,得 8=-6+b,∴b=14 ∴直线 AB 的解析式为 y=x+14 (2)由题意得 AM=t ∵直线 AB:y=x+14 交 x 轴于点 A ∴A(-14,0),∴OA=14 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D ∵B(-6,8),∴BD=8,OD=6 ∴AD=14-6=8,∴AB= 82+82 =8 2 OB= 82+62 =10,∴∠BAD=45°,cos∠DOB= 3 5 ①当点 M 在 AD 上时 ∵PM⊥x 轴,∴∠PMA=90°,∴AP= 2t A O CB y x A O CB y x 备用图 A O CB y x 备用图 CB y P A O CB y x P M D ∴d=BP=AB-AP=8 2- 2t(0≤t<8) ②当点 M 在 OD 上时,OM=14-t ∵∠PMO=90°,cos∠DOB= 3 5 ,∴OP= 5 3 (14-t) ∴d=BP=OB-OP=10- 5 3 (14-t)= 5 3 t-40 3 (8<t≤14) 综上,d= 8 2- 2t(0≤t<8) 5 3 t-40 3 (8<t≤14) (3)①当点 P 在 AB 上时(0≤t<8),Q 在 OC 上 BQ 2=BC 2+CQ 2=62+(8-t)2 ∵PM=OQ=t,∠PMO=∠MOQ=90° ∴四边形 PMOQ 为矩形,∴PQ=OM=14-t ∵PM=OQ=t,∴PQ∥AO ∴∠BPQ=∠BAO=∠ABD ∵∠PBQ>∠ABD,∴∠PBQ>∠BPQ,∴PQ≠BQ 当 BP=BQ 时,(8 2- 2t)2=62+(8-t)2 解得 t1=2 或 t2=14 ∵0≤t<8,∴t2=2 当 PB=PQ 时,(8 2- 2t)2=(14-t)2,解得 t=2±6 2 ∵0≤t<8,∴t=2±6 2 不合题意,舍去 ②当点 P 在 BO 上时(8<t≤14),Q 在 BC 上 BQ=6+8-t=14-t 当 BP=BQ 时, 5 3 t-40 3 =14-t,解得 t=41 4 当 PB=PQ 时,过点 P 作 PH⊥BC 于 H ∴BQ=2BH ∵BH=DM=t-8,∴14-t=2(t-8),解得 t=10 当 QB=QP 时,过点 Q 作 QK⊥BC 于 K ∴BP=2BK ∵BP= 5 3 (t-8),BK= 3 5 (14-t) ∴ 5 3 (t-8)= 6 5 (14-t),解得 t=452 43 综上,当 t=2 或 t=10 或 t=41 4 或 t=452 43 时,△BPQ 是等腰三角形 40.(哈尔滨模拟)如图,直线 y= 4 3 x+12 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,直线 BC 交 x 轴 于点 C,且 AB=AC. (1)求直线 BC 的解析式; (2)点 P 从点 C 出发沿线段 CO 以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动,过点 P 作 y 轴的平行 线,分别交直线 BC、直线 AB 于点 Q、M,过点 Q 作 QN⊥AB 于点 N.设点 P 的运动时间为 t(秒),线段 MN 的长为 d,求 d 与 t 的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围; A O CB y x P M D Q A O CB y x P MD QH A O CB y x P MD Q K (3)若经过 A、N、Q 三点的圆与直线 BC 交于另一点 K,当 t 为何值时,KQ:AQ= 10 :10? 解:(1)∵直线 y= 4 3 x+12 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B ∴A(-9,0),B(0,12),∴OA=9,OB=12 ∴AB= 92+122 =15,∴sin∠BAO= OB AB = 4 5 ∵AB=AC,∴AC=15,∴C(6,0) 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ∴ c=12 6k+b=0 解得 k=-2 b=12 ∴直线 BC 的解析式为 y=-2x+12 (2)由题意,PC=t,∴OP=6-t ∴点 P 的横坐标为 6-t ∴PM= 4 3 (6-t)+12,PQ=-2(6-t)+12 ∴MQ=PM-PQ=20-10 3 t ∵∠AMP+∠MAP=∠AMP+∠MQN=90° ∴∠MQN=∠MAP=∠BAO ∴sin∠MQN=sin∠BAO= 4 5 ∴MN=MQ·sin∠MQN= 4 5 (20-10 3 t)=16- 8 3 t ∴d=16- 8 3 t(0≤t<6) (3)连接 AK、AQ ∵∠ANQ=90°,∴AQ 为经过 A、N、Q 三点的圆的直径 ∴∠AKQ=90° ∵OB=12,OC=6,∴BC= 62+122 =6 5 由 S△ABC = 1 2 AC·OB= 1 2 BC·AK,得 AK=6 5 ∵KQ:AQ= 10 :10,∴设 KQ=m,则 AQ= 10m 在 Rt△AKQ 中,AK 2+KQ2=AQ2 A O C N y xP Q B M K A O C N y xP Q B M K ∴(6 5)2+m2=( 10m)2,m=2 5 ∴AQ= 10m=10 2 ∵tan∠BCO= OB OC =2,∴PQ=PC·tan∠BCO=2t 在 Rt△AQP 中,AP 2+PQ 2=AQ2 ∴(15-t)2+(2t)2=(10 2)2 解得 t1=1,t2=5 ∴当 t=1 或 t=5 时,KQ:AQ= 10 :10 41.(哈尔滨模拟)如图,直线 y=-kx+6k(k >0)与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B,且△ AOB 的面积是 24. (1)求直线 AB 的解析式; (2)点 P 从点 O 出发,以每秒 2 个单位的速度沿折线 OA-AB 运动;同时点 E 从点 O 出发, 以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正半轴运动,过点 E 作与 x 轴平行的直线 l,与线段 AB 相交于 点 F,当点 P 与点 F 重合时,点 P、E 均停止运动.连接 PE、PF,设△PEF 的面积为 S,点 P 运动的时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过 P 作 x 轴的垂线,与直线 l 相交于点 M,连接 AM,当 tan∠MAB = 1 2 时,求 t 的值. 解:(1)∵y=-kx+6k,当 x=0 时,y=6k;当 y=0 时,x=6 ∴OA=6,OB=6k ∵S△AOB =24,∴1 2 ×6×6k=24,∴k= 4 3 ∴直线 AB 的解析式为 y=- 4 3 x+8 (2)根据题意,OE=t,EF∥OA,∴△BEF∽△BOA ∴ EF OA = BE BO ,即 EF 6 = 8-t 8 ,∴EF= 3 4 (8-t) ①当 0<t ≤3 时,点 P 在 OA 上运动 过点 P 作 PH⊥EF 于 H,则 PH=OE=t ∴S= 1 2 EF·PH= 1 2 · 3 4 (8-t)·t=- 3 8 t2+3t ②当点 P 在 AB 上运动时 过点 P 作 PG⊥OA 于 G,设直线 PG 与 EF 相交于点 M,则 MG=OE=t B O y xA 备用图 B O y x E A F P l B O y x E A F P lH 易知△APG∽△ABO,∴ PG BO = AP AB ∵OA=6,OB=8,∴AB= 62+82 =10 ∴ PG 8 = 2t-6 10 ,∴PG= 4 5 (2t-6) 当点 P 与点 F 重合时,有 PG=OE ∴ 4 5 (2t-6)=t,解得 t=8,即 PG=8 点 P 与点 F 重合前,MP=MG-PG=t- 4 5 (2t-6)=- 3 5 t+24 5 ∴S= 1 2 EF·MP= 1 2 · 3 4 (8-t)(- 3 5 t+24 5 )= 9 40 t2-18 5 t+72 5 综上,S= - 3 8 t2+3t(0<t ≤3) 9 40 t2-18 5 t+72 5 (3<t<8) (3)①当点 P 在 OA 上,点 M 在点 F 左侧时 作 MC⊥AB 于 C,FD⊥OA 于 D 则 FD=OE=t,EM=OP=2t,MF=EF-EM= 3 4 (8-t)-2t 在 Rt△CMF 中, CM CF =tan∠MFC=tan∠BAO= OB OA = 4 3 设 CM=4k,则 CF=3k,MF= (4k)2+(3k)2 =5k 在 Rt△MAC 中, CM AC =tan∠MAC=tan∠MAB= 1 2 ∴AC=2CM=8k,∴AF=5k,∴MF=AF 在 Rt△AFD 中, FD AF = t AF =sin∠FAD=sin∠BAO= 4 5 ∴AF= 5 4 t,∴ 3 4 (8-t)-2t= 5 4 t,解得 t= 3 2 当点 P 在 OA 上,点 M 在点 F 右侧时,可求得 t=11 4 ②当点 P 在 AB 上时,过点 M 作 MK⊥AB 于 K 在 Rt△PMK 中, MK PK =tan∠MPK=tan∠ABO= 3 4 设 MK=3m,则 PK=4m,MP=5m,AK=6m ∴AP=AK-PK=2m,∴2t-6=2m ∵MP=t- 4 5 (2t-6),∴t- 4 5 (2t-6)=5m ∴t- 4 5 (2t-6)= 5 2 (2t-6),解得 t= 99 28 综上所述,满足条件的 t 值是 3 2 或 11 4 或 99 28 B O y x E A F P l G M B O y x E A F P l CM D B O y x E A F P l G M K 42.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 在 x 轴的正半轴上, △AOB 为等腰三角形,且 OA=OB=10,过点 B 作 y 轴的垂线,垂足为 D,直线 AB 的解析 式为 y=-3x+30,点 C 在线段 BD 上,点 D 关于直线 OC 的对称点在腰 OB 上. (1)求点 B 坐标; (2)点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位的速度沿折线 BC-CO 运动;同时点 Q 从点 O 出发, 以每秒 1 个单位的速度沿对角线 OB 向终点 B 运动,当一点停止运动时,另一点也随之停止 运动.设△PQC 的面积为 S,运动时间为 t,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值 范围; (3)在(2)的条件下,连接 PQ,设 PQ 与 OB 所成的锐角为α,当α=90°-∠AOB 时,求 t 的值. 解:(1)过点 B 作 BF⊥OA 于 F,设 B(a,-3a+30) 在 Rt△OBF 中,a 2+(-3a+30)2=10 2 解得 a1=10(舍去),a2=8 当 a=8 时,-3a+30=6 ∴B(8,6) (2)设点 D 关于直线 OC 的对称点为 D′,连接 CD′ ∵D′ 在腰 OB 上,∴OD=OD′,∠DOC=∠D′OC 又 OC=OC,∴△DOC≌△D′OC ∴CD′=CD,∠CDO′=∠CDO=90° ∴S△POQ = 1 2 OD·BD = 1 2 OD·CD + 1 2 OB·CD′ ∴CD= OD·BD OD+OB = 6×8 6+10 =3,∴BC=5 ①当 0≤t<5 时,点 P 在线段 BC 上 过点 Q 作 QE⊥BD 于 E,则△BQE∽△BOD ∴ QE OD = BQ BO ,即 QE 6 = 10-t 10 ,∴QE=6- 3 5 t ∴S= 1 2 PC·QE= 1 2 (5-t)(6- 3 5 t) 即 S= 3 10 t2- 9 2 t+15 ②当 5<t≤10 时,点 P 在线段 CO 上 过点 Q 作 QF⊥OC 于 F ∵COQ=∠COD,∠QFO=∠CDO=90° C O y x D A B C O y x D A B 备用图 C O y x D A BE P Q C O y x D A B F D′ C O y x D A B QP F ∴△QFO∽△CDO,∴ QF CD = OQ OC 即 QF 3 = t 3 5 ,∴QF= 5 5 t ∴S= 1 2 PC·QF= 1 2 (t-5)· 5 5 t 即 S= 5 10 t2- 5 2 t (3)①当 0≤t<5 时 ∵α=90°-∠AOB=∠BOD,即∠PQB=∠DOB ∴PQ∥DO,∴△BPQ∽△BDO ∴ BP BD = BQ BO ,即 t 8 = 10-t 10 ,∴t=40 9 ②当 5<t≤10 时,过点 P 作 PH⊥OB 于 H ∵∠PQO=∠BOD,∴tan∠PQO=∠BOD= 4 3 设 PH=4k,则 QH=3k,OH=8k,OP=4 5k ∴OQ=11k,∴11k=t,∴k= t 11 ∴OP=4 5k=4 5 11 t 又∵OP=3 5-(t-5)=3 5+5-t ∴4 5 11 t=3 5+5-t,∴t=143 5-55 41 ∴当α=90°-∠AOB 时,t 的值为 40 9 或 143 5-55 41 43.(哈尔滨模拟)如图,在平面直角坐标系中,点 A(25 6 ,0),点 B(3,4),将△OAB 沿 直线 OB 翻折,点 A 落在第二象限内的点 C 处. (1)求点 C 的坐标; (2)动点 P 从点 O 出发,以每秒 5 个单位的速度沿 OB 向终点 B 运动,连接 AP,将射线 AP 绕着点 A 逆时针旋转与 y 轴交于一点 Q,且旋转角α= 1 2 ∠OAB.设线段 OQ 的长为 d, 点 P 运动的时间为 t 秒,求 d 与 t 的函数关系式(直接写出时间 t 的取值范围); (3)在(2)的条件下,连接 CP.点 P 在运动的过程中,是否存在 CP∥AQ,若存在,求此 时 t 的值,并辨断点 B 与以点 P 为圆心,OQ 长为半径的⊙P 的位置关系;若不存在,请说 明理由. B O C xA y 备用图 B O C xA y C O y x D A B P Q H C O y x D A BP Q 解:(1)过点 B 作 BG⊥x 轴于 G,过点 C 作 CH⊥x 轴于 H ∵A(25 6 ,0),B(3,4),∴OA= 25 6 ,OG=3,BG=4 ∴AG= 7 6 ,∴AB= AG 2+BG 2 = 25 6 ,∴AB=OA ∵△OAB 沿直线 OB 翻折得到△OCB ∴△OAB≌△OCB,∴AB=OA=BC=CO ∴四边形 ABCO 是菱形 ∴CO∥AB,∴∠COH=∠BAG ∴Rt△CHO≌Rt△BGA,∴CH=BG=4,OH=AG= 7 6 ∴C(- 7 6 ,4) (2)连接 AC 交 BO 于点 E ∵菱形 ABCO,∴AC⊥BO,∠OAE= 1 2 ∠OAB ∵α= 1 2 ∠OAB,∴∠OAP=∠OAE,∴∠OAQ=∠EAP ∵∠AOQ=∠AEP=90°,∴△AOQ≌△AEP ∴ PE OQ = AE AO 由(1)知,CH=4,AH= 16 3 ∴AC= AH 2+CH 2 = 20 3 ,∴AE= 10 3 ,同理 OE= 5 2 ①当 0≤t < 1 2 时 ∵OP=5t,∴PE= 5 2 -5t,∴ 5 2 -5t d = 10 3 25 6 ∴d=-25 4 t+25 8 ②当 1 2 <t≤1 时,同理可求 d=25 4 t-25 8 (3)过点 P 作 PK⊥AB 于 K ∵AQ∥CP,∴∠PCE=∠QAE ∵AE=CE,AC⊥BO,∴PC=PA ∴∠PAE=∠PCE=∠QAE= 1 2 ∠PAQ B O C xA y E P Q B O C xA y GH B O C xA y E P Q F K ∴∠PAB=∠QAE,∴∠PAE=∠PAB,∴PE=PK ∵菱形 ABCO,∴∠PBK=∠OBF ∴sin∠PBK=sin∠OBF= OF OB = PK PB = 4 5 ∵OP=5t,OB=5,∴PE=5t- 5 2 ,PB=5-5t ∴ 5t- 5 2 5-5t = 4 5 ,解得 t= 13 18 ∴存在 CP∥AQ,此时 t= 13 18 ∵ 1 2 < 13 18 <1,∴当 t= 13 18 时,OQ=d=25 4 t-25 8 = 25 18 BP=OB-OP=5-5t= 25 18 ∴BP=OQ,即点 B 与圆心 P 的距离等于⊙P 的半径,点 B 在⊙P 上 ∴存在 CP∥AQ,此时 t= 13 18 ,且点 B 在⊙P 上 44.(黑龙江大庆)已知等边△ABC 的边长为 3 个单位,若点 P 由 A 出发,以每秒 1 个单位 的速度在三角形的边上沿 A→B→C→A 方向运动,第一次回到点 A 处停止运动,设 AP=S, 用 t 表示运动时间. (1)当点 P 由 B 到 C 运动的过程中,用 t 表示 S; (2)当 t 取何值时,S 等于 7(求出所有的 t 值); (3)根据(2)中 t 的取值,直接写出在哪些时段 AP< 7? 解:(1)当点 P 在 BC 上时,有 3≤t ≤6 作 PM⊥AB,垂足为 M 由 PB=t-3,∠B=60°,得 PM= 3 2 (t-3),BM= 1 2 (t-3) ∴AM=3- 1 2 (t-3) 于是 S=AP= AM 2+BM 2 = (t-3)2-3(t-3)+9 (3≤t≤6) (2)当 S= 7 时 (i)当点 P 在 AB 上时,有 t= 7 (ii)当点 P 在 CA 上时,有 t=9- 7 (iii)当点 P 在 BC 上时,S= (t-3)2-3(t-3)+9 = 7 解得 t=4 或 t=5 综上 t= 7 或 t=9- 7 或 t=4 或 t=5 (3)根据(2)可知 0<t< 7,4<t<5,9- 7<t≤9 这三个时间段内 AP< 7 A C B 45.(黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河)如图,在平面直角坐标系中,已 知 Rt△AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上,并且 OA、OB 的长分别是方程 x2 -7x+12=0 的两根(OA<OB),动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速 度向点 O 运动;同时,动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动,设点 P、Q 运动的时间为 t 秒. (1)求 A、B 两点的坐标. (2)求当 t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似,并直接写出此时点 Q 的坐标. (3)当 t=2 时,在坐标平面内找一点 M,使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形, 求 M 点的坐标; (4)在 P、Q 运动过程中,在坐标平面内是否存在点 N,使以 A、P、Q、N 为顶点的四边形 是菱形?若存在,请直接写出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)解方程 x2-7x+12=0,得 x1=3,x2=4 ∵OA<OB,∴OA=3,OB=4 ∴A(0,3),B(4,0) (2)由题意得,AP=t,AQ=5-2t 可分两种情况讨论: ①当∠APQ=∠AOB 时,△APQ∽△AOB 如图 1, t 3 = 5-2t 5 ,解得 t= 15 11 ∴Q( 20 11 ,18 11 ) ②当∠AQP=∠AOB 时,△APQ∽△ABO 如图 2, t 5 = 5-2t 3 ,解得 t= 25 13 ∴Q( 12 13 ,30 13 ) (3)当 t=2 时,AP=2,AQ=5-2t=1 ∴PO=1,∴P(0,1), 点 Q 的横坐标为:1×cos∠ABO= 4 5 ,纵坐标为:3-1×sin∠ABO= 12 5 ∴Q( 4 5 ,12 5 ) 若 AP 是平行四边形的边,则 MQ∥AP,MQ=AP=2,如图 3、图 4 B Q x P O y A 图 1 B Q x P O y A 图 2 B Q x P O y A 图 3 M B Q x P O y A ∴点 M 的横坐标为 4 5 ,纵坐标为:12 5 +2= 22 5 或 12 5 - 2= 2 5 ∴M1(4 5 ,22 5 ),M2( 4 5 ,2 5 ) 若 AP 是平行四边形的对角线,则△AMP≌PQA,如图 5 ∵点 Q 的横坐标为 4 5 ,∴点 M 的横坐标为- 4 5 ∵点 A 的纵坐标比点 Q 的纵坐标大 3 5 ∴点 M 的纵坐标比点 P 的纵坐标大 3 5 即点 M 的纵坐标为:1+ 3 5 = 8 5 ∴M3(- 4 5 ,8 5 ) (4)存在.N1( 4 3 ,1 3 ),N2( 3 2 ,55 16 ),N3(- 20 17 ,36 17 ) 提示:有三种情况 若 AP=AQ,则在坐标平面内存在点 N, 使四边形 APNQ 是菱形,如图 6 ∴t=5-2t,解得 t= 5 3 ,∴AQ= 5 3 ∴Q( 4 3 ,2),∴N1(4 3 ,1 3 ) 若 AP=PQ,则在坐标平面内存在点 N, 使四边形 APQN 是菱形,如图 7 由题意,P(0,3-t),Q(4- 8 5 t,6 5 t) ∴PQ 2=(4- 8 5 t)2+(3-t- 6 5 t)2 ∴t 2=(4- 8 5 t)2+(3-t- 6 5 t)2,解得 t= 25 16 或 t= 5 2 当 t= 5 2 时,点 Q 与点 A 重合,不合题意,舍去 ∴t= 25 16 ,∴Q(3 2 ,15 8 ) ∴N2( 3 2 ,55 16 ) 若 AQ=PQ,则在坐标平面内存在点 N, 使四边形 ANPQ 是菱形,如图 8 连接 NQ 交 AP 于 O′,则 NQ⊥AP,AO′=O′P ∴AP=2AO′,∴t= 6 5 (5-2t) B Q x P O y A 图 4 M B Q x P O y A 图 5 M B Q x P O y A 图 6 N B Q x P O y A 图 7 N B Q x P O y A 图 8 N O′ 解得 t= 30 17 ,∴Q( 20 17 ,36 17 ) ∴N3(- 20 17 ,36 17 ) 46.(吉林)如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点 P 从点 A 出发,沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动,动点 Q 从点 B 同时出发,沿 BA 方向以 1cm/s 的速度 向点 A 运动.当点 P 到达点 B 时,P,Q 两点同时停止运动.以 AP 为一边向上作正方形 APDE, 过点 Q 作 QF∥BC,交 AC 于点 F.设点 P 的运动时间为 t s,正方形 APDE 和梯形 BCFQ 重合 部分的面积为 S cm2. (1)当 t=_________s 时,点 P 与点 Q 重合; (2)当 t=_________s 时,点 D 在 QF 上; (3)当点 P 在 Q,B 两点之间(不包括 Q,B 两点)时,求 S 与 t 之间的函数关系式. 解:(1)1 (2) 4 5 提示:点 D 在 QF 上时 ∵QF∥BC,∠DPQ=CAB=90° ∴△PQD∽△ABC,∴ PD PQ = AC AB 即 t 2-2t = 4 2 ,解得 t= 4 5 (3)如图①,当点 D 在 BC 上时 由四边形 APDE 是正方形,得 DP∥AC ∴△BDP∽△BCA,∴ PB DP = AB CA = 2 4 = 1 2 ∴PB= 1 2 DP= 1 2 t 由 AP+PB=AB,得 t+ 1 2 t=2,解得 t= 4 3 此时点 E 与点 F 重合 BQ D P C A E F B C A (备用图) BQ D P C A E 图① (F) 当 1<t≤ 4 3 时 解法 1: 如图②,设 DE 交 FQ 于点 H,则重合部分为梯形 DHQP PQ=AP+QB-AB=t+t-2=2t-2 过点 Q 作 QG⊥DE 于点 G,则 DG=PQ=2t-2 由△HGQ∽△BAC,得 HG= 1 2 ∴HD=HG+GD= 1 2 t+2t-2= 5 2 t-2 ∴S= 1 2 (PQ+HD)·DP= 1 2 (2t-2+ 5 2 t-2)·t= 9 4 t 2-2t 解法 2: 如图②,设 DE 交 FQ 于点 H 由△FAQ∽△CAB,得 AF=2AQ=2(2-t)=4-2t ∴EF=AF-AE=4-2t-t=4-3t 由△FEH∽△CAB,得 EH= 1 2 EF=2- 3 2 t ∴S 梯形 AQHE = 1 2 (AQ+EH)·AE= 1 2 (2-t+2- 3 2 t)·t=- 5 4 t 2+2t ∴S=S 正方形 APDE - S 梯形 AQHE =t 2-(- 5 4 t 2+2t)= 9 4 t 2-2t 由题意,当 t=2 时,点 P 到达点 B 当 4 3 <t<2 时 如图③,设 DE 交 BC 于点 M,DP 交 BC 于点 N 则重合部分为六边形 EFQPNM 由△FAQ∽△CAB,得 AF=4-2t ∴S△FAQ = 1 2 AQ·AF= 1 2 (2-t)(4-2t)=(2-t)2 由△NPB∽△CAB,得 PN=4-2t ∴DN=DP-NP=t-(4-2t)=3t-4 由△DMN∽△ABC,得 DM= 1 2 (3t-4) ∴S△DMN = 1 2 DM·DN= 1 2 · 1 2 (3t-4)(3t-4)= 1 4 (3t-4)2 ∴S=S 正方形 APDE - S△DMN - S△FAQ =t 2- 1 4 (3t-4)2-(2-t)2=- 9 4 t 2+10t-8 综上所述,S= 9 4 t 2-2t(1<t≤ 4 3 ) - 9 4 t 2+10t-8( 4 3 <t<2) BQ D P C A E F 图② GH BQ D P C A E 图③ F M N 47.(吉林模拟)如图,梯形 OABC 中,OA 在 x 轴上,CB∥OA,∠OAB=90°,B(4,4), BC=2.动点 E 从点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿线段 OA 运动,到点 A 停止,过点 E 作 ED⊥x 轴交折线 O-C-B 于点 D,以 DE 为一边向右作正方形 DEFG.设运动时间为 t(秒), 正方形 DEFG 与梯形 OABC 重叠面积为 S(平方单位). (1)求 tan∠AOC 的值; (2)求 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值; (3)连接 AC,AC 的中点为 M,t 为何值时,△DMG 为等腰三角形? 解:(1)过 C 作 CD⊥x 轴于 H ∵B(4,4),BC=2,∴OH=2,CH=4 ∴tan∠AOC= CH OH = 4 2 =2, (2)当点F 与点A 重合时,OE=t,AE=DE=4-t ∴tan∠AOC= DE OE = 4-t t =2,解得 t= 4 3 当0<t≤ 4 3 时,S=DE 2=(2OE)2=(2t)2=4t 2 当 4 3 ≤t≤2 时,S=DE·AE=2t·(4-t)=-2t 2+8t 当2≤t≤4 时,S=4AE=4(4-t)=-4t+16 当0<t≤ 4 3 时,t= 4 3 时,S 最大= 64 9 当 4 3 ≤t≤2 时,t=2 时,S 最大=8 当2≤t≤4 时,t=2 时,S 最大=8 综上,t=2 时,S 的最大值为 8 (3)t1=13-2 13 9 ,t2= 3 2 ,t3=2 3-1 提示:由题意,A(4,0),C(2,4) ∴M(3,2) 当0<t≤2 时,D(t,2t),G(3t,2t) ∴DM 2=(t-3)2+(2t-2)2,DG 2=4t 2 MG 2=(3t-3)2+(2t-2)2 若 DG=MG,则 4t 2=(3t-3)2+(2t-2)2 解得 t=13+2 13 9 >2(舍去)或 t=13-2 13 9 若 MD=MG,则(t-3)2+(2t-2)2=(3t-3)2+(2t-2)2 D A BC G O E F xH y D A BC G O E x(F) y D A BC G O E F x y D A BC O E y D A BC G O E F x M y D A BC G O E F x M y D A BC G O E F x y D A BC G O E F x 备用图 y 解得 t=0(舍去)或 t= 3 2 若 DM=DG,则(t-3)2+(2t-2)2=4t 2,无实数解 当 2<t≤4 时,D(t,4),G(t+4,4) ∴DM 2=(t-3)2+22,DG 2=42 MG 2=(t+1)2+22 若 DG=MG,则 42=(t+1)2+22 解得 t=2 3-1 或 t=-2 3-1(舍去) 若 MD=MG,则(t-3)2+22=(t+1)2+22 解得 t=1(舍去) 若 DM=DG,则(t-3)2+22=42 解得 t=3±2 3(舍去) 48.(吉林长春)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm.D、E 分别为边 AB、BC 的中点,连接 DE.点 P 从点 A 出发,沿折线 AD-DE-EB 运动,到点 B 停止.点 P 在线段 AD 上以 5cm/s 的速度运动,在折线 DE-EB 上以 1cm/s 的速度运动.当点 P 与点 A 不重合时,过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q,以 PQ 为边作正方形 PQMN,使点 M 落在线段 AQ 上.设 点 P 的运动时间为 t(s). (1)当点 P 在线段 DE 上运动时,线段 DP 的长为______________cm(用含 t 的代数式表示). (2)当点 N 落在 AB 边上时,求 t 的值. (3)当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式. (4)连接 CD.当点 N 与点 D 重合时,有一点 H 从点 M 出发,在线段 MN 上以 2.5cm/s 的 速度沿 M-N-M 连续做往返运动,直至点 P 与点 E 重合时,点 H 停止往返运动;当点 P 在 线段 EB 上运动时,点 H 始终在线段 MN 的中心处.直接写出在点 P 的整个运动过程中,点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围. (1)(t-2) (2)①当点 P 在线段 DE 上时,如图① PD=PN=PQ=2,∴t-2=2 ∴t=4 ②当点 P 在线段 EB 上时,如图② PN=2PB ∵PN=PC=(t-6)+2=t-4 PB=2-(t-6)=8-t ∴t-4=2(8-t),解得 t=20 3 M CA B Q PN D E D A BC G O E F x M M CA B Q PD E 图① (N) M CA B N D E 图② P (Q) ∴当点 N 落在 AB 边上时,t 的值为 4 或 20 3 (3)①当 2<t<4 时,如图③ S=22- 1 4 (4-t)2 即 S=- 1 4 t 2+2t ②当 20 3 <t<8 时,如图④ S=(t-4)2- 1 4 (3t-20)2 即 S=- 5 4 t 2+22t-84 (4)t=14 3 或 t=5 或 6≤t≤8 提示:当点 H 第一次落在线段 CD 上时 2.5(t-4)+ 1 2 (t-4)=2,解得t=14 3 当点 H 第二次落在线段 CD 上时 2.5(t-4)-2= 1 2 (t-4),解得t=5 当点 H 第三次落在线段 CD 上时 6-2.5(t-4)= 1 2 (t-4),解得t=6 当 6≤t≤8 时,点 H 恒在线段 CD 上 49.(长春模拟)如图,在△AOB 中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C 为 OB 上一点,射线 CD ⊥OB 交 AB 于点 D,OC=2.点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动, 点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动,P,Q 两点同时出发,当点 P 到达点 B 时停止运动,点 Q 也随之停止.过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F,得到矩 形 PEOF,以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN,斜边 MN∥OB,且 MN=QC.设 运动时间为 t(秒). (1)求 t=1 时 FC 的长度. (2)求 MN=PF 时 t 的值. (3)当△QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时,求重叠(阴影)部分图形 面积 S 与 t 的函数关系式. (4)直接写出△QMN 和矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值. 解:(1)根据题意,△AOB、△AEP 都是等腰直角三角形 ∵AP= 2t,∴OF=EP=t ∵OC=2,∴FC=|2-t| M CA B N D E 图③ P Q M CA B N D E 图④ P (Q) P A BC M O F DE N Q P A C M O F DE N Q B G H ∴当 t=1 时,FC=1 (2)∵AP= 2t,∴AE=t,PF=OE=6-t ∵MN=QC=2t,MN=PF ∴2t=6-t,∴t=2 (3)当点 F 在点 C 左侧时,设 MQ、MN 分别与 PF 交于点 G、H 当△QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时 则 MH=GH=t-(2-t)=2t-2≥0,得 t ≥1 当点 F 与点 C 重合时,t=2 当 1≤t≤2 时,重叠部分为△MGH,如图① ∵MH=GH=t-(2-t)=2t-2 ∴S = 1 2 (2t-2)2=2t 2-4t+2 当点 E 落在 MQ 上时,如图② ∵AE=t,EK=MK=t-2,AK=6-t,AE+EK=AK ∴t+(t-2)=6-t,∴t= 8 3 当 2<t≤ 8 3 时,重叠部分为五边形 IJKLP,如图③ ∵JK=MK=t-2,AK=6-t,∴AJ=6-t-(t-2)=8-2t ∴EK=6-t-t=6-2t,EI=EJ=8-2t-t=8-3t ∴S =S 矩形 EKLP - S△EJI=t(6-2t)- 1 2 (8-3t)2=- 13 2 t 2+30t-32 当 MN 与 EP 重合时,t=3 当 8 3 <t≤3 时,重叠部分为矩形 EKLP,如图④ ∴S =t(6-2t)=-2t 2+6t (4)t=2 或 t= 8 3 提示:如图⑤、图② 50.(长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,梯形 ABCD 的顶点 A、B、D 的坐标分别为 A (-3,0),B(15,0),D(0,4),且 CD=10.一条抛物线经过 C、D 两点,其顶点 M 在 x 轴上.点 P 从点 A 出发以每秒 5 个单位的速度沿 AD 向点 D 运动,到点 D 后又以每秒 3 个 单位的速度沿 DC 向点 C 运动,到点 C 停止;同时,点 E 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度 沿 BO 运动,到点 O 停止.过点 E 作 y 轴的平行线,交边 BC 或 CD 于点 Q,交抛物线于点 R.设 P、E 两点运动的时间为 t(秒). (1)写出点 M 的坐标,并求这条抛物线的解析式; (2)当点 Q 和点 R 之间的距离为 8 时,求 t 的值; (3)直接写出使△MPQ 成为直角三角形时 t 值的个数; (4)设 P、Q 两点直径的距离为 d,当 2≤d≤7 时,求 t 的取值范围. A B R xE C Q D P MO y P A F M O C D E N Q B 图③ I J K L P A F M O C D E N Q B 图④ K L P A C M O F D E N Q B 图② K A C M O DE N Q B 图⑤ (F) (P) (F) 解:(1)M(5,0) 设抛物线的解析式为 y=a(x-5)2 ∵抛物线经过点 D(0,4),∴25a=4,∴a= 4 25 ∴抛物线的解析式为 y= 4 25 (x-5)2 或 y= 4 25 x 2- 8 5 x+4 (2)作 CN⊥AB 于 N,则 CN=4,BN=5 ①当 0≤t≤1 时,由△BQE∽△BCN 得: BE QE = BN CN = 5 4 ∵BE=5t,∴QE=4t ∵RQ=8,∴RE=4t+8 ∴R(15-5t,4t+8) ∵点 R 在抛物线 y= 4 25 (x-5)2 上,∴ 4 25 (15-5t-5)2=4t+8 解得 t1=5+ 17 2 >1(舍去),t2=5- 17 2 ②当 1≤t≤3 时,QR≤CN=4 ∴当 t=5- 17 2 时,点 Q 和点 R 之间的距离为 8 (3)4 提示: 当 0≤t≤1 时,P 在线段 AD 上,Q 在线段 BC 上,∠PMQ≥∠DMC>90° 当 1<t≤13 3 时(P 到达 C 时,t=1+10 3 =13 3 ),P、Q 均在 CD 上 若∠PMQ=90°,则由射影定理得:(8-3t)(10-5t)=4 2 解得 t1=35- 265 15 ,t2=35+ 265 15 若∠PQM=90°,则 Q 到达 M 的正上方,t=10 5 =2 若∠QPM=90°,则 P 到达 M 的正上方,t=1+ 5 3 = 8 3 所以使△MPQ 成为直角三角形时的 t 值有 4 个 (4)∵当 t=1 时,P、Q 分别到达 D、C 两点,CD=10 ∴当 2≤d≤7 时,P、Q 均在 CD 上 当点 P 和点 Q 相遇前,d=PQ=3+15-(3t+5t)=18-8t ∴2≤18-8t≤7,解得 11 8 ≤t≤2 当点 P 和点 Q 相遇后,d=PQ=8t-18 ∴2≤8t-18≤7,解得 5 2 ≤t≤25 8 ∵25 8 >3,而 3t-3=7 时,t=10 3 ∴ 5 2 ≤t≤10 3 综上所述,当 2≤d≤7 时,t 的取值范围为 11 8 ≤t≤2 或 5 2 ≤t≤10 3 51.(辽宁大连)如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点 P、Q 同时从点 C 出 A B R xE C Q D P MO y N 发,以 1cm/s 的速度分别沿 CA、CB 匀速运动,当点 Q 到达点 B 时,点 P、Q 同时停止运动.过 点 P 作 AC 的垂线 l 交 AB 于点 R,连接 PQ、RQ,并作△PQR 关于直线 l 对称的图形,得到 △PQ′R.设点 Q 的运动时间为 t(s),△PQ′R 与△PAR 重叠部分的面积为 S(cm2). (1)t 为何值时,点 Q′ 恰好落在 AB 上? (2)求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围; (3)S 能否为 9 8 cm2?若能,求出此时的 t 值,若不能,说明理由. 解:(1)过点 Q′ 作 Q′H⊥AC,垂足为 H(如图 1) ∴∠Q′HA=90°=∠C,Q′H∥BC ∴AQ′H△∽△ABC,∴ Q′H BC = AH AC 由题意知 QC=CP=PH=Q′H=t ∴ t 6 = AH 8 ,即 AH= 4 3 t ∵CP+PH+HA=CA,即 t+t+ 4 3 t=8 ∴t=12 5 ,即 t 为 12 5 s 时,点 Q′ 恰好落在 AB 上 (2)①当 0<t≤12 5 时(如图 2) 同理 RP BC = AP AC ,即 RP 6 = 8-t 8 ∴RP= 3 4 (8-t) ∴S=S△PQ′R =S△PQR = 1 2 RP·CP= 1 2 × 3 4 (8-t)×t=- 3 8 t 2+3t ②当 12 5 <t≤6 时(如图 3) 设 PQ′ 与 AB 相交于点 M,过点 M 作 MH⊥AC,垂足为 H 设 MH=a,由对称性知,∠MPH=∠QPC=45°,则 PH=MH=a 同理 MH BC = AH AC ,即 a 6 = AH 8 ,∴AH= 4 3 a ∵CP+PH+HA=CA,即 t+a+ 4 3 a=8 ∴a= 3 7 (8-t) ∴S= 1 2 RP·PH= 1 2 × 3 4 (8-t)× 3 7 (8-t)= 9 56 (8-t)2=- 9 56 t 2- 18 7 t+ 72 7 B l AC Q P R Q′ B A 备用图 C B A 备用图 C B l AC Q P R Q′ 图 1 H B l AC Q P R Q′ 图 2 B l AC Q P R Q′ 图 3 M H 综上,S= - 3 8 t 2+3t(0<t≤12 5 ) - 9 56 t 2- 18 7 t+ 72 7 (12 5 <t≤6) (3)若 S= 9 8 ,则 ①当 0<t≤12 5 时,- 3 8 t 2+3t= 9 8 ,解得 t1=4+ 13(舍去),t2=4- 13 ②当 12 5 <t≤6 时, 9 56 (8-t)2= 9 8 ,解得 t1=8+ 7(舍去),t2=8- 7 即 S 能为 9 8 cm2,此时 t 为(4- 13 )s 或(8- 7 )s