- 744.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2013中考数学典型题汇编
一、选择题
1、下面两个多位数1248624……、6248624……,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是 ( )
A.495 B.497 C.501 D.503
2、 如图,已知,是斜边的中点,过作于,连结交于;过作于,连结交于;过作于,…,如此继续,可以依次得到点,…,,分别记…,的面积为,….则( )
A.= B.=
C.= D.=
3、如图,A、B是反比例函数上的两个点,轴于点C,轴于点D,连结AD、BC,则△ADB与△ACB的面积大小关系是 ( )
A. B.
C. D.不能确定
4、如图,和的是等腰直角三角形,,.点B与点D重合,点在同一条直线上,将沿方向平移,至点与点重合时停止.设点之间的距离为x,与重叠部分的面积为,则准确反映与之间对应关系的图象是
5、下列命题:
①若,则;
②若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;
③若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;
④若,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是( )
A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D. 只有②③④
6、如图,水平地面上有一面积为的扇形AOB,半径OA=,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则O点移动的距离为( )
A. B. C. D.
7、甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛,规则是:两人比赛,另一人当裁判,输者将在下一局中担任裁判,每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局,丙当了3次裁判.问第2局的输者是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D.不能确定
二、填空题
8、如果长方形的一条边等于3m+2n,另一条边比它小m-n,
这个长方形的周长为
9、若|a|=4,|b|=2,且ab<0,则a+b= 。
10、将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ,得到一个如图所示的分数三角形,称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(m,n)表示第m行,从左到右第n个数,如(4,3)表示分数.那么(9,2)表示的分数是 .
11、如图所示,P1(x1,y1)、P2(x2,y2),……,Pn(xn,yn)在函数y=(x>0)的图象上,△OP1A1,△P2A1A2,△P3A2A3,……,△PnAn-1An……都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,……,An-1An,都在x轴上,则y1+y2 = .y1 + y2 + … + yn = .
12、 如图,+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△的面积为,△的面积为,…,△的面积为,则= ;=____ (用含的式子表示).
13、将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列,则图中阴影部分的面积为 .
三、计算题
14、已知则 .
15、刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:一分队立即出发往30千米的A镇;二分队因疲劳可在营地休息a(0≤a≤3)小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知,唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路,已知一分队的行进速度为5千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时。
⑴若二分队在营地不休息,问二分队几小时能赶到A镇?
⑵若二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时?
⑶下列图象中,①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系,请写出你认为所有可能合理的代号,并说明它们的实际意义。
16、定义为一次函数的特征数.
(1)若特征数是的一次函数为正比例函数,求的值;
(2)设点分别为抛物线与轴的交点,其中,且的面积为4,为原点,求图象过两点的一次函数的特征数.
17、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩.从家出发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,下图是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图象.已知小强骑车的速度为15千米/时,妈妈驾车的速度为60千米/时.
⑴小强家与游玩地的距离是多少?
⑵妈妈出发多长时间与小强相遇?
18、某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如上图所示,每得一票记作1分.
(1) 请算出三人的民主评议得分;
(2) 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用(精确到0.01)?
(3) 根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?
19、阅读下面短文:如图(1)△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形ACBD和矩形AEFB[如图(2)].
解答问题:
(1)设图中矩形ACBD和矩形AEFB面积分别是S1,S2,则S1 S2 (填“>”,“=”或“<”)
(2)如图,△ABC是钝角三角形,按短文中要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 个,利用图(3)把它画出来.
(3)如图(4),△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 个,利用图(4)把它画出来.
(4)在图(4)中画出的矩形中,哪一个周长最小?为什么?
20、已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连结DE,DE=.
(1) 求证:;
(2) 求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.
四、实验,探究题
21、小知识:如图,我们称两臂长度相等(即)的圆规为等臂圆规. 当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时,若张角,则底角
请运用上述知识解决问题:
如图,个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上,其张角度数变化如下:
,, ,,…
(1)①由题意可得= º;
②若 平分,则= º;
(2)= º(用含的代数式表示);
(3)当时,设的度数为,的角平分线与构成的角的度数为,那么与之间的等量关系是 ,请说明理由. (提示:可以借助下面的局部示意图)
22、已知:等边的边长为.
探究(1):如图1,过等边的顶点依次作的垂线围成求证:是等边三角形且;
探究(2):在等边内取一点,过点分别作垂足分别为点
(2)如图2,若点是的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):
① 结论1.;
② 结论2.;
(3)如图3,若点是等边内任意一点,则上述结论是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
五、综合题
23、(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.
24、如图,已知直线上一点B,由点B分别向x轴、y轴作垂线,垂足为A、C,若A点的坐标为(0,5).
(1)若点B也在一反比例函数的图象上,求出此反比例函数的表达式。
(2)若将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,求点E的坐标.
25、(1)探究新知:
如图,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由。
(2)结论应用:
①如下左图,点M、N在反比例函数的图像上,过点M作ME⊥轴,过点N作NF⊥轴,垂足分别为E,F。试证明:MN∥EF。
②若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如上右图所示,请判断MN与EF是否平行。
26、已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
27、已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合)
(1)如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC;再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由;
(2)在(1)中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由;
(3)如图③,分别在AD、BC上取点F、C’,使得∠APF=∠BPC’,与(1)中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△沿翻折得到△,连接,取的中点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
28、1)在△ABC中,AB=,AC=2,BC=(m>n>0).
求证:△ABC是直角三角形;
(2)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别是AD、BC的中点,
若AB=,CD=2,AD=,BC=,(m>n>0).
求证:EF=().
29、问题探究
(1)请你在图①中做一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
(2)如图②点M是矩形ABCD内一点,请你在图②中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。
问题解决
(3) 如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计),并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分,你认为直线l是否存在?若存在求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由
30、如图,在直角梯形OABC中, OA∥CB,A、B两点的坐标分别为A(15,0),B(10,12),动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动,当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交AB于点E,射线QE交轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位:秒).
(1)当t为何值时,四边形PABQ是等腰梯形,请写出推理过程;
(2)当t=2秒时,求梯形OFBC的面积;
(3)当t为何值时,△PQF是等腰三角形?请写出推理过程.
31、如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 ;用含t的式子表示点P的坐标为 ;(3分)
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3分)
32、如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦,且. 延长交圆的切线于点
(1) 判断直线是否为的切线,并说明理由;
(2) 如果,,求的长。
(3)将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上,如图2,求证:四边形为菱形
33、如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
34、在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,BO=4,分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系,D点为x轴正半轴上的一点,以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.
(1)如图12-1,当E点恰好落在线段AB上,求E点坐标;
(2)在(1)问的条件下,将△ODE在线段OB上向右平移,如图12-2,线段EF与线段OO′始终相等吗?请证明你的结论;
(3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动,设点D到原点的距离为x,△ODE与△AOB重叠部分的面积为y.当时,请直接写出y与x的函数关系式.
35、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y= -x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.
(1)求M,N的坐标.
(2)矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动,设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时开始结束).直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程).
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值.
36、如图1,在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,点A(10,0)和点B(2,2),在线段OA上,点P从点O向点A运动,同时点Q从点A向点O运动,运动过程中保持AQ=2OP,当P、Q重合时同时停止运动,过点Q作x轴的垂线,交直线AB于点M,延长QM到点D,使MD=MQ,以QD为对角线作正方形QCDE(正方形QCDE岁点Q运动).
(1)求这条抛物线的函数表达式;
(2)设正方形QCDE的面积为S,P点坐标(m,0)求S与m之间的函数关系式;
(3)过点P作x轴的垂线,交抛物线于点N,延长PN到点G,使NG=PN,以PG为对角线作正方形PFGH(正方形PFGH随点P运动),当点P运动到点(2,0)时,如图2,正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上.
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少?
②若点P继续向点A运动,还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况,请直接写出每种情况下点P的坐标,不必说明理由.
六、解答题
37、如图1,点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点,∠BAC=∠DAE=∠,点P是线段CD的中点.试探索:∠GPF与∠的关系,并加以证明.
说明:⑴如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步);
⑵在你完成⑴之后,可以从如图2,如图3中选取一个图,完成解答(选取图2得10分;选取图3得5分).
七、简答题
38、如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E.交于D.
(1)请写出四个不同类型的正确结论;
(2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.
39、已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.
(1)如图①,当PA的长度等于 时,∠PAB=60°;
当PA的长度等于 时,△PAD是等腰三角形;
(2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求2 S1 S3-S22的最大值,并求出此时a,b的值.
40、如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留).
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.
(3)当的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
参考答案
一、选择题
1、A 2、D 3、C4、B 5、B6、C7、C
二、填空题
8、2[(3m+2n)-(m-n)+(3m+2n)] 9、2, -2 10、 11、
12、 13、
三、计算题
14、3,7,-5,-1;
15、解:(1)若二分队在营地不休息,则a=0,速度为4千米/时,行至塌方处需(小时)
因为一分队到塌方处并打通道路需要(小时),故二分队在塌方处需停留0.5小时,所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+=8(小时)
(2)一分队赶到A镇共需+1=7(小时)
(Ⅰ)若二分队在塌方处需停留,则后20千米需与一分队同行,故4+a=5,即a=1,这与二分队在塌方处停留矛盾,舍去;
(Ⅱ)若二分队在塌方处不停留,则(4+a)(7-a)=30,即a2-3a+2=0,,解得a1=1,a2=2均符合题意。
答:二分队应在营地休息1小时或2小时。
(3)合理的图像为(b)、(d).
图像(b)表明二分队在营地休息时间过长(2<a≤3),后于一分队赶到A镇;
图像(d)表明二分队在营地休息时间恰当(1<a≤2),先于一分队赶到A镇。
16、解:(1)特征数为的一次函数为,
,
.
(2)抛物线与轴的交点为,
与轴的交点为.
若,则,;
若,则,.
当时,满足题设条件.
此时抛物线为.
它与轴的交点为,
与轴的交点为,
一次函数为或,
特征数为或.
17、解:(1)由题意,得2×15=30(千米)。
答:小强家与游玩地的距离是30千米。
(2)方法一:
设妈妈出发小时与小强相遇
由题意,得,
解得,
答:妈妈出发小时与小强相遇。
方法二:
设小强从游玩地返回小时与妈妈相遇
由题意,得
解得,
答:妈妈出发小时与小强相遇
方法三:
如图①,过点B作轴的垂线BE,垂足为E,交CD与点F,
延长BD交轴于点G
则由题意,得B(5,30),G(7,0),C(,0)
FE=()×60=20,∴点F的坐标为(5,20)。
设直线BG的解析式为
∴解得
∴
∵直线BG、CF的解析式为
∴解得
∴
∵直线BG、CD的相交于点D,
∴解得,即(,28)
∴-=
答:妈妈出发小时与小强相遇。
方法四:
如图②,设AB延长线与CD延长线相交于点P
则△BDP∽△GDC
设△GDC中CG上的高为h,则△BDP中BP上的高为(30-h).
∴(千米)
妈妈与小强相遇需要时间为:
答:妈妈出发小时与小强相遇。
18、解:(1)甲、乙、丙的民主评议得分分别为:50分, 80分, 70分.
(2)甲的平均成绩为:(分),
乙的平均成绩为:(分),
丙的平均成绩为:(分).
由于76.67>76>72.67, 所以候选人乙将被录用.
(3)如果将理论考试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,
那么甲的个人成绩为:(分),
乙的个人成绩为:(分),
丙的个人成绩为:(分),
由于丙的个人成绩最高, 所以候选人丙将被录用.
19、解:(1)“=”
(2)1个(如下图①)
(3)3个(如下图②)
(4)以AB为边的矩形周长最小
设矩形BCED,ACHQ,ABGF的周长分别为L1、L2、L3,BC=a,AC=b,AB=c
易知这三个矩形的面积相等,令其面积为S,则有
∵而
∴
即,同理可得:
∴以AB为边的矩形周长最小
20、解:⑴ 连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM.
又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB.
∴ ,即.
(2) ∵DC为⊙O的直径,
∴∠DEC=90°,EC=
∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2.
设EM=x,则CM=7-x.代入(1),得 .
解得x1=3,x2=4.但EM>MC,∴EM=4.
(3) 由(2)知,OE=EM=4.作EF⊥OB于F,则OF=MF=OB=1.
在Rt△EOF中,EF=
∴sin∠EOB=.
四、实验,探究题
21、解:(1)①10;
②35;
(2) ;
(注:写成的不扣分,丢掉括号的不扣分)
(3) ;
理由:不妨设.
根据题意可知,.
在△中,由小知识可知.
∴ ==.
在△中,由小知识可知 .
∵ 平分,
∴ ==.
∵ ,
∴ =.
∴ =.
∴ =.
∴ .
22、证明:如图1,
为等边三角形
∴
同理:
为等边三角形.
在中,
在中,
(2):结论1成立.
证明;方法一:如图2,连接
由=
作垂足为,
则
方法二:如图3,过点作分别交于点,过点
作于点,
是等边三角形
四边形是矩形
在中,
在中,
在中,
(2)结论2成立.
证明:方法一:如图4,过顶点依次作边的垂线围成由(1)得为等边三角形且・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9分
过点分别作于,于于点于点
由结论1得:
又
四边形为矩形
同理:,
方法二:
在中,
在中,
同理:
=
=
由结论1得:
方法三:如图5,连接,
根据勾股定理得:
:
整理得:
五、综合题
23、考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。
专题:
几何综合题。
分析:
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD;
(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′.
解答:
解:(1)AF=BD;
证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),
∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);
同理知,DC=CF,∠DCF=60°;
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF;
在△BCD和△ACF中,
,
∴△BCD≌△ACF(SAS),
∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);
(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),所以,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立;
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;
证明如下:由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,
∴AF+BF′=BD+AD=AB;
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;
证明如下:在△BCF′和△ACD中,
,
∴△BCF′≌△ACD(SAS),
∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);
又由(2)知,AF=BD;
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.等边三角形的三条边都相等,三个内角都是60°.
24、解:由题意得点B纵坐标为5。
又∵点B在直线y=上,
∴B点坐标为(,5)。
设过点B的反比例函数的表达式为,
,
∴此反比例函数的表达式为。
(2)设点E坐标为(a,b)。
∵点E在直线上,∴。
∵OE=OA=5,∴。
解得或
∵点E在第二象限,∴E点坐标为(一4,3)。
25、(1)证明:分别过点C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,垂足为G,H
则∠CGA=∠DHB=90°
∴CG∥DH
∵△ABC与△ABD的面积相等
∴CG=DH
∴四边形CGHD为平行四边形
∴AB∥CD
(2)①证明:连结MF,NE(如下图)
设点M的坐标为(,),点N的坐标为(,)
∵点M,N在反比例函数的图像上
∴,
∵ME⊥轴,NF⊥轴
∴,
∴,
∴
由(1)中的结论可知:MN∥EF
②MN∥EF
26、解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-2.
∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).
从而.
(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,
∴,B(-2m,-),C(-2m,-n),E(-m,-n).
S矩形DCNO,S△DBO=,S△OEN =,
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO-S△DBO- S△OEN=k.∴.
由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1),
∴C(-4,-2),M(2,2).
设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,
得 解得.
∴直线CM的解析式是.
(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.
设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.
于是.
同理,
∴.
27、
(1)FG∥CE,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,由题意得,∠G=∠A=90°,∠PEC=∠B=90°,∴∠GEC=90°,∴∠G=∠GEC,∴FG∥CE。
(2)GH=EH。延长GH交CE于点M,由(1)得,FG∥CE,∴∠GFH=∠MCH,∵H为CF的中点,∴FH=CH,又∵∠GHF=∠MHC,∴△GFH≌△MHC,∴GH=HM=,∵∠GEC=90°,∴EH=,∴GH=EH。
(3)(2)中的结论还成立。取PF的中点M,的中点N,∵∠FGP=90°,M为PF的中点,∴,,∥,∴GM=PM,∴∠GPF=∠MGP,∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF,∵H为的中点,M为PF的中点,∴,同理,,HN∥PF,∠,∴GM=HN,HM=EN。∵∠GPF=∠FPA,,又,∴∠GPF=,∴∠GMF=∠,∵∥,HN∥PF,∴四边形HMPN为平行四边形,∴∠HMF=∠,∴∠GMH=∠HNE,∵GM=HN,HM=EN,∴△GMH≌△HNE,∴GH=HE。
28、 (1)证明:∵AB=,AC=2,BC=,(m>n>0)
∴AB2=
AC2=4
BC2=(2分)
∴ BC2= AB2 +AC2 (3分)
∴△ABC是直角三角形 (4分)
(2)过点E作EG∥AB交BC于点G,过点E作EH∥CD交BC于点H
∵EG∥AB AD∥BC
∴四边形ABGE是平行四边形
∴AE=BG,EG=AB (5分)
同理可证ED=HG,EH=CD
∴AD=BG+HG
∵AB=,CD=2,AD=,BC=,
∴EG=,EH=2,GH=
∴EG2+EH2=GH2 (6分)
∴△EGH是直角三角形 (7分)
又点E、F分别是AD、BC的中点
∴AE=DE,BF=CF
∴BG=CH
∴BF-BG=CF-FH
∴GF=HF
即点F是Rt△EGH的斜边GH上的中线 (8分)
∴EF=GH (9分)
∴EF=() (10分)
29、解:(1)如图①
(2)如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP,直线MP即为所求。
(3) 如图③存在直线l
过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A
则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可
易知,在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。
从而,直线PH平分梯形OBCD的面积
即直线 PH为所求直线l
设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)
∴2=4k+b 即b=2-4k
∴y=kx+2-4k
∵直线OD的表达式为y=2x
解之
∴点H的坐标为(,)
∴PH与线段AD的交点F(2,2-2k)
∴0<2-2k<4
∴-1<k<1
∴S△DHF=
∴解之,得。(舍去)
∴b=8-
∴直线l的表达式为y=
30、解:(1)如图4,
过B作
则・・・・・・ (1分)
过Q作
则
要使四边形PABQ是等腰梯形,则,
即
或(此时是平行四边形,不合题意,舍去)
(2)当时,。
(3)①当时,则
②当时,
即
③当时,
综上,当时,△PQF是等腰三角形.
31、解:(1)(6,4);().(其中写对B点得1分)
(2)∵S△OMP =×OM×,
∴S =×(6 -t)×=+2t.
=(0 < t <6).
∴当时,S有最大值.
(3)存在.
由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),
则直线ON的函数关系式为:.
设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,
解方程组得
∴直线ON与MT的交点R的坐标为.
∵S△OCN =×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2.
① 当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=••••RD1•OT =••b=2.
∴, b =.
∴b1 =,b2 =(不合题意,舍去)
此时点T1的坐标为(0,).
② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则
S△R2NE=•EN•R2D2 =••=2.
∴,b=.
∴b1=,b2=(不合题意,舍去).
∴此时点T2的坐标为(0,).
综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件
32、解:(1)直线为⊙O的切线 …………1分
证明:连结OD ∵是圆的直径 ∴∠ADB=90° …………2分
∴∠ADO+∠BDO=90° 又∵DO=BO ∴∠BDO=∠PBD
∵ ∴∠BDO=∠PDA …………3分
∴∠ADO+∠PDA=90° 即PD⊥OD …………4分
∵点D在⊙O上,
∴直线为⊙O的切线. …………5分
(2)解:∵ BE是⊙O的切线 ∴∠EBA=90°
∵ ∴∠P=30° …………6分
∵为⊙O的切线 ∴∠PDO=90°
在RT△PDO中,∠P=30° ∴ 解得OD=1 …………7分
∴ …………8分
∴PA=PO-AO=2-1=1 …………9分
(3)(方法一)证明:依题意得:∠ADF=∠PDA ∠PAD=∠DAF
∵ ∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF …………10分
∵是圆的直径 ∴∠ADB=90°
设∠PBD=,则∠DAF=∠PAD=,∠DBF=
∵四边形AFBD内接于⊙O ∴∠DAF+∠DBF=180°
即 解得
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30° …………11分
∵ BE、ED是⊙O的切线 ∴DE=BE ∠EBA=90°
∴∠DBE=60°∴△BDE是等边三角形。∴BD=DE=BE …………12分
又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60° ∠DBF==60°
∴△BDF是等边三角形。 ∴BD=DF=BF …………13分
∴DE=BE=DF=BF ∴四边形为菱形 …………14分
(方法二)证明:依题意得:∠ADF=∠PDA ∠APD=∠AFD
∵ ∠ADF=∠ABF ∠PAD=∠DAF
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF …………10分
∴ AD=AF BF//PD …………11分
∴ DF⊥PB ∵ BE为切线 ∴ BE⊥PB ∴ DF//BE………12分
∴四边形为平行四边形…………13分
∵ PE 、BE为切线 ∴ BE=DE
∴四边形为菱形 …………14分
33、解:(1)⊙P与x轴相切.
∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),
与y轴交于B(0,-8),
∴OA=4,OB=8.
由题意,OP=-k,
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径,
∴⊙P与x轴相切.
(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,PD=3,
∴PE=.
∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE,
∴△AOB∽△PEB,
∴,
∴
∴,
∴,
∴.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,--8),
∴k=--8,
∴当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
34、解:(1)设OD=,()过E作EH⊥OD于H, 1分
在Rt△OEH中,,
OE = 2分
∴ E点坐标为(,). 3分
∵ ∠ABO=30°,∠ODE=60°,
∴ ∠DEB=30°.
∴ ∠OEB=90°.
∵ BC=4,∴ OE=a=2. 5分
∴ E(1,). 6分
(2)EF=OO′. 7分
理由如下:
∵ ∠ABO=30°,∠EDO=60°,
∴ ∠ABO=∠DFB=30°.
∴ DF=DB. 9分
∴OO′=OB - DO′- DB
= 4-2-DB
=2-DB
=2-DF
=ED-FD
=EF. 10分
(3) .
35、解:(1)解方程组 ,
解得: ,
则M的坐标是:(4 ,2).
在解析式y=-x+6中,令y=0,解得:x=6,则N的坐标是:(6,0).
(2)当0≤t≤1时,重合部分是一个三角形,OB=t,则高是t,则面积是 ×t• t= t2;
当1<t≤4时,重合部分是直角梯形,梯形的高是1,下底是: t,上底是:(t-1),根据梯形的面积公式可以得到:;
当4<t≤5时,过M作x轴的垂线,则重合部分被垂线分成两个直角梯形,两个梯形的下底都是2,上底分别是:-t+6和(t-1),根据梯形的面积公式即可求得
;
当5<t≤6时,重合部分是直角梯形,与当1<t≤4时,重合部分是直角梯形的计算方法相同,则S=7-2t;
当6<t≤7时,重合部分是直角三角形,则与当0≤t≤1时,解法相同,可以求得.
则:
(3)在0≤t≤1时,函数的最大值是:;
当1<t≤4,函数值y随x的增大而增大,则当x=4时,取得最大值是: ;
当4<t≤5时,是二次函数,对称轴x= ,则最大值是:- ;
当5<t≤6时,函数y随t的增大而减小,因而函数值一定小于 ;
同理,当6<t≤7时,y随t的增大而减小,因而函数值小于 .
总之,函数的最大值是: .
36、解:(1)∵抛物线过O(0,0),A(10,0),
∴设抛物线解析式为,
将B(2,2)代入,得,解得,
∴抛物线解析式为;
(2)设AB解析式为,将A(10,0),B(2,2)代入,得,解得,
∴,∵P(m,0),∴OP=m,AQ=2m,OQ=10-2m,
∴当x=10-2m时,QM=,∴QD=m,
∵四边形QCDE是正方形,∴;
(3)①由P(2,0),根据抛物线解析式可知N(2,2),
由正方形的性质得G(2,4),即PG=4,
又当GF和EQ落在同一条直线上时,△FGQ为等腰直角三角形,
∴PQ=PG=4,OQ=OP+PQ=6,代入直线AB解析式得M(6,1),即QM=1,QD=2,
∴阴影部分面积和=,
②,,。
六、未分类
37、∠GPF=180º-∠α.证明:连结BD,连结CE.
∵AB=AC、AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,
∴PG∥BD,PF∥CE.
∴∠PGC=∠CBD,∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD,
∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD,∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180º-∠BAC=180º-∠α,
即∠GPF=180º-∠α.
写探索过程要步步有据,写两步得1分,写三步得2分.
选取图2证明:
连结BD,连结CE.
∵AB=AC、AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
设BD与CE交于点O,AC与BD交于点K,∠AKB=∠CKO,
∴∠BOC=∠BAC,∠COD=180º-∠α.
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,
∴PG∥BD,PF∥CE.
∴∠GPC=∠BDC,∠DPF=∠DCE,
∠GPF=180º-∠GPC-∠DPF=180º-∠BDC-∠DCE=∠COD,即∠GPF=180º-∠α.
选取图3证明:
∵AB=AC、AD=AE,∴BD=CE,∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,∴PG∥BD,PF∥CE.
∴∠ADC=∠DPG,∠DPF=∠ACD,∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD =180º-∠BAC=180º-∠α,
即∠GPF=180º-∠α.
七、简答题
38、解:(1)不同类型的正确结论有:
①BC=CE;②③ABED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC//OD,⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC=BC・OE;⑨△BOD是等腰三角形,⑩△BOE∽△BAC;等
(2)⊙O的半径为5.
39、
40、解:
(1)连接,由勾股定理求得:
(2)连接并延长,与弧和⊙O交于,
弧的长:
圆锥的底面直径为:
,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
(3)由勾股定理求得:
弧的长:
圆锥的底面直径为:
且
即无论半径为何值,
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.