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  • 2021-05-13 发布

2013中考数学典型题汇编自编

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‎2013中考数学典型题汇编 一、选择题 ‎1、下面两个多位数1248624……、6248624……,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是    (    )‎ ‎  A.495         B.497      C.501        D.503‎ ‎2、 如图,已知,是斜边的中点,过作于,连结交于;过作于,连结交于;过作于,…,如此继续,可以依次得到点,…,,分别记…,的面积为,….则(    )‎ A.=          B.= ‎ C.=  D.=‎ ‎3、如图,A、B是反比例函数上的两个点,轴于点C,轴于点D,连结AD、BC,则△ADB与△ACB的面积大小关系是  (  )‎ A.    B.‎ C.    D.不能确定 ‎4、如图,和的是等腰直角三角形,,.点B与点D重合,点在同一条直线上,将沿方向平移,至点与点重合时停止.设点之间的距离为x,与重叠部分的面积为,则准确反映与之间对应关系的图象是 ‎5、下列命题:‎ ‎①若,则; ‎ ‎②若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;‎ ‎③若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;‎ ‎④若,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.‎ 其中正确的是(  )‎ A.只有①②③       B.只有①③④      C.只有①④          D. 只有②③④‎ ‎6、如图,水平地面上有一面积为的扇形AOB,半径OA=,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则O点移动的距离为(    )‎ A.   B.    C.    D.‎ ‎7、甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛,规则是:两人比赛,另一人当裁判,输者将在下一局中担任裁判,每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局,丙当了3次裁判.问第2局的输者是(  )‎ A. 甲          B. 乙          C. 丙            D.不能确定 二、填空题 ‎8、如果长方形的一条边等于3m+2n,另一条边比它小m-n,‎ 这个长方形的周长为      ‎ ‎9、若|a|=4,|b|=2,且ab<0,则a+b=      。‎ ‎10、将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ,得到一个如图所示的分数三角形,称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(m,n)表示第m行,从左到右第n个数,如(4,3)表示分数.那么(9,2)表示的分数是          .‎ ‎11、如图所示,P1(x1,y1)、P2(x2,y2),……,Pn(xn,yn)在函数y=(x>0)的图象上,△OP1A1,△P2A1A2,△P3A2A3,……,△PnAn-1An……都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,……,An-1An,都在x轴上,则y1+y2 =           .y1 + y2 + … + yn =           .‎ ‎12、 如图,+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△的面积为,△的面积为,…,△的面积为,则=       ;=____        (用含的式子表示).‎ ‎13、将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列,则图中阴影部分的面积为        . ‎ 三、计算题 ‎14、已知则                       .   ‎ ‎15、刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:一分队立即出发往30千米的A镇;二分队因疲劳可在营地休息a(0≤a≤3)小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知,唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路,已知一分队的行进速度为5千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时。‎ ‎⑴若二分队在营地不休息,问二分队几小时能赶到A镇?‎ ‎⑵若二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时?‎ ‎⑶下列图象中,①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系,请写出你认为所有可能合理的代号,并说明它们的实际意义。‎ ‎16、定义为一次函数的特征数.‎ ‎(1)若特征数是的一次函数为正比例函数,求的值;‎ ‎(2)设点分别为抛物线与轴的交点,其中,且的面积为4,为原点,求图象过两点的一次函数的特征数.‎ ‎17、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩.从家出发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,下图是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图象.已知小强骑车的速度为15千米/时,妈妈驾车的速度为60千米/时.‎ ‎⑴小强家与游玩地的距离是多少?‎ ‎⑵妈妈出发多长时间与小强相遇?‎ ‎18、某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表所示:‎ 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 ‎75‎ ‎80‎ ‎90‎ 面试 ‎93‎ ‎70‎ ‎68‎ 根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如上图所示,每得一票记作1分.‎ ‎    (1) 请算出三人的民主评议得分;‎ ‎    (2) 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用(精确到0.01)?‎ ‎    (3) 根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?‎ ‎19、阅读下面短文:如图(1)△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形ACBD和矩形AEFB[如图(2)].‎ 解答问题:‎ ‎     ‎ ‎(1)设图中矩形ACBD和矩形AEFB面积分别是S1,S2,则S1      S2 (填“>”,“=”或“<”)‎ ‎(2)如图,△ABC是钝角三角形,按短文中要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出          个,利用图(3)把它画出来.   ‎ ‎(3)如图(4),△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出        个,利用图(4)把它画出来.‎ ‎(4)在图(4)中画出的矩形中,哪一个周长最小?为什么?‎ ‎20、已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连结DE,DE=.‎ ‎(1) 求证:;‎ ‎(2) 求EM的长;‎ ‎(3)求sin∠EOB的值.‎ 四、实验,探究题 ‎21、小知识:如图,我们称两臂长度相等(即)的圆规为等臂圆规. 当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时,若张角,则底角 ‎    ‎ 请运用上述知识解决问题:‎ ‎    如图,个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上,其张角度数变化如下:‎ ‎,, ,,…‎ ‎(1)①由题意可得=           º;‎ ‎②若 平分,则=           º;‎ ‎(2)=                        º(用含的代数式表示);‎ ‎(3)当时,设的度数为,的角平分线与构成的角的度数为,那么与之间的等量关系是                          ,请说明理由. (提示:可以借助下面的局部示意图)‎ ‎22、已知:等边的边长为.‎ 探究(1):如图1,过等边的顶点依次作的垂线围成求证:是等边三角形且; ‎ 探究(2):在等边内取一点,过点分别作垂足分别为点 ‎ ‎(2)如图2,若点是的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):‎ ‎①     结论1.;‎ ‎②     结论2.;‎ ‎(3)如图3,若点是等边内任意一点,则上述结论是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 五、综合题 ‎23、(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.‎ ‎(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?‎ ‎(3)深入探究:‎ Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.‎ Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.‎ ‎24、如图,已知直线上一点B,由点B分别向x轴、y轴作垂线,垂足为A、C,若A点的坐标为(0,5). ‎ ‎(1)若点B也在一反比例函数的图象上,求出此反比例函数的表达式。‎ ‎(2)若将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,求点E的坐标.‎ ‎25、(1)探究新知:‎ 如图,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由。‎ ‎(2)结论应用:‎ ‎①如下左图,点M、N在反比例函数的图像上,过点M作ME⊥轴,过点N作NF⊥轴,垂足分别为E,F。试证明:MN∥EF。‎ ‎                      ‎ ‎②若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如上右图所示,请判断MN与EF是否平行。‎ ‎26、已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.‎ ‎(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.‎ ‎(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.‎ ‎(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.‎ ‎27、已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合)‎ ‎(1)如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC;再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由;‎ ‎(2)在(1)中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由;‎ ‎(3)如图③,分别在AD、BC上取点F、C’,使得∠APF=∠BPC’,与(1)中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△沿翻折得到△,连接,取的中点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由.‎ ‎28、1)在△ABC中,AB=,AC=2,BC=(m>n>0).‎ ‎        求证:△ABC是直角三角形;‎ ‎(2)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别是AD、BC的中点,‎ 若AB=,CD=2,AD=,BC=,(m>n>0).‎ 求证:EF=().‎ ‎29、问题探究 ‎   (1)请你在图①中做一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;‎ ‎ (2)如图②点M是矩形ABCD内一点,请你在图②中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。‎ ‎  问题解决 ‎(3)    如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计),并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分,你认为直线l是否存在?若存在求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由 ‎30、如图,在直角梯形OABC中, OA∥CB,A、B两点的坐标分别为A(15,0),B(10,12),动点P、Q分别从O、B两点出发,点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动,点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动,当点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交AB于点E,射线QE交轴于点F.设动点P、Q运动时间为t(单位:秒).‎ ‎(1)当t为何值时,四边形PABQ是等腰梯形,请写出推理过程;‎ ‎(2)当t=2秒时,求梯形OFBC的面积;‎ ‎(3)当t为何值时,△PQF是等腰三角形?请写出推理过程.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎31、如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.‎ ‎  (1)点B的坐标为   ;用含t的式子表示点P的坐标为     ;(3分)‎ ‎(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)‎ ‎(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3分) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎32、如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦,且. 延长交圆的切线于点 ‎(1) 判断直线是否为的切线,并说明理由;‎ ‎(2) 如果,,求的长。‎ ‎(3)将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上,如图2,求证:四边形为菱形 ‎ ‎ ‎33、如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.‎ ‎(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?‎ ‎                                      ‎ ‎                                            ‎ ‎        ‎ ‎         ‎ ‎34、在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,BO=4,分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系,D点为x轴正半轴上的一点,以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.‎ ‎(1)如图12-1,当E点恰好落在线段AB上,求E点坐标;‎ ‎(2)在(1)问的条件下,将△ODE在线段OB上向右平移,如图12-2,线段EF与线段OO′始终相等吗?请证明你的结论;‎ ‎ (3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动,设点D到原点的距离为x,△ODE与△AOB重叠部分的面积为y.当时,请直接写出y与x的函数关系式.‎ ‎35、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y= -x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N.‎ ‎(1)求M,N的坐标.‎ ‎(2)矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动,设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时开始结束).直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程).‎ ‎(3)在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值.‎ ‎36、如图1,在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,点A(10,0)和点B(2,2),在线段OA上,点P从点O向点A运动,同时点Q从点A向点O运动,运动过程中保持AQ=2OP,当P、Q重合时同时停止运动,过点Q作x轴的垂线,交直线AB于点M,延长QM到点D,使MD=MQ,以QD为对角线作正方形QCDE(正方形QCDE岁点Q运动).‎ ‎(1)求这条抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)设正方形QCDE的面积为S,P点坐标(m,0)求S与m之间的函数关系式;‎ ‎(3)过点P作x轴的垂线,交抛物线于点N,延长PN到点G,使NG=PN,以PG为对角线作正方形PFGH(正方形PFGH随点P运动),当点P运动到点(2,0)时,如图2,正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上.‎ ‎①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少?‎ ‎②若点P继续向点A运动,还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况,请直接写出每种情况下点P的坐标,不必说明理由.‎ 六、解答题 ‎37、如图1,点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点,∠BAC=∠DAE=∠,点P是线段CD的中点.试探索:∠GPF与∠的关系,并加以证明.‎ 说明:⑴如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步);‎ ‎⑵在你完成⑴之后,可以从如图2,如图3中选取一个图,完成解答(选取图2得10分;选取图3得5分).‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 七、简答题 ‎38、如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E.交于D.‎ ‎(1)请写出四个不同类型的正确结论;‎ ‎(2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.‎ ‎39、已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.‎ ‎    (1)如图①,当PA的长度等于    时,∠PAB=60°;‎ ‎              当PA的长度等于    时,△PAD是等腰三角形;‎ ‎    (2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求2 S1 S3-S22的最大值,并求出此时a,b的值.‎ ‎40、如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.‎ ‎(1)求这个扇形的面积(结果保留).‎ ‎(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.‎ ‎(3)当的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1、A  2、D 3、C4、B 5、B6、C7、C ‎ 二、填空题 ‎8、2[(3m+2n)-(m-n)+(3m+2n)] 9、2,  -2 10、 11、‎ ‎12、 13、‎ 三、计算题 ‎14、3,7,-5,-1;‎ ‎15、解:(1)若二分队在营地不休息,则a=0,速度为4千米/时,行至塌方处需(小时)‎ 因为一分队到塌方处并打通道路需要(小时),故二分队在塌方处需停留0.5小时,所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+=8(小时) ‎ ‎(2)一分队赶到A镇共需+1=7(小时)‎ ‎(Ⅰ)若二分队在塌方处需停留,则后20千米需与一分队同行,故4+a=5,即a=1,这与二分队在塌方处停留矛盾,舍去;            ‎ ‎(Ⅱ)若二分队在塌方处不停留,则(4+a)(7-a)=30,即a2-3a+2=0,,解得a1=1,a2=2均符合题意。‎ 答:二分队应在营地休息1小时或2小时。  ‎ ‎(3)合理的图像为(b)、(d).                    ‎ 图像(b)表明二分队在营地休息时间过长(2<a≤3),后于一分队赶到A镇;‎ 图像(d)表明二分队在营地休息时间恰当(1<a≤2),先于一分队赶到A镇。‎ ‎16、解:(1)特征数为的一次函数为,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)抛物线与轴的交点为,‎ 与轴的交点为.‎ 若,则,;‎ 若,则,.‎ 当时,满足题设条件.‎ 此时抛物线为.‎ 它与轴的交点为,‎ 与轴的交点为,‎ 一次函数为或,‎ 特征数为或.‎ ‎17、解:(1)由题意,得2×15=30(千米)。‎ 答:小强家与游玩地的距离是30千米。‎ ‎(2)方法一:‎ 设妈妈出发小时与小强相遇 由题意,得,‎ 解得,‎ 答:妈妈出发小时与小强相遇。‎ 方法二:‎ 设小强从游玩地返回小时与妈妈相遇 由题意,得 解得,‎ 答:妈妈出发小时与小强相遇 方法三:‎ 如图①,过点B作轴的垂线BE,垂足为E,交CD与点F,‎ 延长BD交轴于点G 则由题意,得B(5,30),G(7,0),C(,0)‎ FE=()×60=20,∴点F的坐标为(5,20)。‎ 设直线BG的解析式为 ‎∴解得 ‎∴‎ ‎∵直线BG、CF的解析式为 ‎∴解得 ‎∴‎ ‎∵直线BG、CD的相交于点D,‎ ‎∴解得,即(,28)‎ ‎∴-=‎ 答:妈妈出发小时与小强相遇。‎ 方法四:‎ 如图②,设AB延长线与CD延长线相交于点P 则△BDP∽△GDC 设△GDC中CG上的高为h,则△BDP中BP上的高为(30-h).‎ ‎∴(千米)‎ 妈妈与小强相遇需要时间为:‎ 答:妈妈出发小时与小强相遇。‎ ‎18、解:(1)甲、乙、丙的民主评议得分分别为:50分, 80分, 70分. ‎ ‎(2)甲的平均成绩为:(分),‎ 乙的平均成绩为:(分),‎ 丙的平均成绩为:(分).‎ 由于76.67>76>72.67, 所以候选人乙将被录用. ‎ ‎(3)如果将理论考试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,‎ 那么甲的个人成绩为:(分),‎ 乙的个人成绩为:(分),‎ 丙的个人成绩为:(分),‎ 由于丙的个人成绩最高, 所以候选人丙将被录用.‎ ‎19、解:(1)“=”‎ ‎(2)1个(如下图①)‎ ‎(3)3个(如下图②)‎ ‎(4)以AB为边的矩形周长最小 设矩形BCED,ACHQ,ABGF的周长分别为L1、L2、L3,BC=a,AC=b,AB=c 易知这三个矩形的面积相等,令其面积为S,则有 ‎∵而 ‎∴‎ 即,同理可得:‎ ‎∴以AB为边的矩形周长最小 ‎20、解:⑴ 连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM. ‎ 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB.‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎(2) ∵DC为⊙O的直径,‎ ‎∴∠DEC=90°,EC=   ‎ ‎∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2. ‎ 设EM=x,则CM=7-x.代入(1),得 .‎ 解得x1=3,x2=4.但EM>MC,∴EM=4. ‎ ‎(3) 由(2)知,OE=EM=4.作EF⊥OB于F,则OF=MF=OB=1.‎ 在Rt△EOF中,EF= ‎ ‎∴sin∠EOB=.‎ 四、实验,探究题 ‎21、解:(1)①10;‎ ‎            ②35;‎ ‎(2)  ;‎ ‎(注:写成的不扣分,丢掉括号的不扣分)‎ ‎(3) ;‎ 理由:不妨设.‎ 根据题意可知,. ‎ 在△中,由小知识可知.‎ ‎∴ ==.‎ 在△中,由小知识可知 .‎ ‎∵ 平分,‎ ‎∴ ==.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ =.‎ ‎∴ =.‎ ‎∴ =.‎ ‎∴ .‎ ‎22、证明:如图1,‎ 为等边三角形 ‎∴‎ 同理:‎ 为等边三角形.‎ 在中,‎ 在中,‎ ‎(2):结论1成立.‎ 证明;方法一:如图2,连接 ‎ ‎ ‎ ‎ 由= ‎ 作垂足为,‎ 则 方法二:如图3,过点作分别交于点,过点 作于点,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是等边三角形 四边形是矩形 在中,‎ 在中,‎ 在中,‎ ‎                                ‎ ‎(2)结论2成立.‎ 证明:方法一:如图4,过顶点依次作边的垂线围成由(1)得为等边三角形且・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9分 过点分别作于,于于点于点 由结论1得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 四边形为矩形 同理:,‎ 方法二: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中,‎ 在中,‎ 同理:‎ ‎=‎ ‎=‎ 由结论1得:‎ 方法三:如图5,连接,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据勾股定理得:‎ ‎:‎ 整理得:‎ 五、综合题 ‎23、考点:‎ 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。‎ 专题:‎ 几何综合题。‎ 分析:‎ ‎(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD;‎ ‎(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD;‎ ‎(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB;‎ Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′.‎ 解答:‎ 解:(1)AF=BD;‎ 证明如下:∵△ABC是等边三角形(已知),‎ ‎∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质);‎ 同理知,DC=CF,∠DCF=60°;‎ ‎∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF;‎ 在△BCD和△ACF中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCD≌△ACF(SAS),‎ ‎∴BD=AF(全等三角形的对应边相等);‎ ‎(2)证明过程同(1),证得△BCD≌△ACF(SAS),则AF=BD(全等三角形的对应边相等),所以,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,AF=BD仍然成立;‎ ‎(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;‎ 证明如下:由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF;‎ 同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,‎ ‎∴AF+BF′=BD+AD=AB;‎ Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;‎ 证明如下:在△BCF′和△ACD中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCF′≌△ACD(SAS),‎ ‎∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等);‎ 又由(2)知,AF=BD;‎ ‎∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′.‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.等边三角形的三条边都相等,三个内角都是60°.‎ ‎24、解:由题意得点B纵坐标为5。‎ 又∵点B在直线y=上,‎ ‎∴B点坐标为(,5)。‎ 设过点B的反比例函数的表达式为,‎ ‎, ‎ ‎∴此反比例函数的表达式为。‎ ‎         ‎ ‎(2)设点E坐标为(a,b)。‎ ‎∵点E在直线上,∴。  ‎ ‎∵OE=OA=5,∴。‎ 解得或 ‎∵点E在第二象限,∴E点坐标为(一4,3)。‎ ‎25、(1)证明:分别过点C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,垂足为G,H 则∠CGA=∠DHB=90°‎ ‎∴CG∥DH ‎∵△ABC与△ABD的面积相等 ‎∴CG=DH ‎∴四边形CGHD为平行四边形 ‎∴AB∥CD ‎(2)①证明:连结MF,NE(如下图)‎ 设点M的坐标为(,),点N的坐标为(,)‎ ‎∵点M,N在反比例函数的图像上 ‎∴,‎ ‎∵ME⊥轴,NF⊥轴 ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 由(1)中的结论可知:MN∥EF ‎②MN∥EF ‎26、解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-2.‎ ‎∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).‎ 从而. ‎ ‎(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,‎ ‎∴,B(-2m,-),C(-2m,-n),E(-m,-n). ‎ S矩形DCNO,S△DBO=,S△OEN =, ‎ ‎∴S四边形OBCE= S矩形DCNO-S△DBO- S△OEN=k.∴. ‎ 由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1),‎ ‎∴C(-4,-2),M(2,2).‎ 设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,‎ 得   解得.‎ ‎∴直线CM的解析式是.‎ ‎(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.‎ 设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.‎ 于是.‎ 同理, ‎ ‎∴.‎ ‎27、‎ ‎(1)FG∥CE,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,由题意得,∠G=∠A=90°,∠PEC=∠B=90°,∴∠GEC=90°,∴∠G=∠GEC,∴FG∥CE。‎ ‎(2)GH=EH。延长GH交CE于点M,由(1)得,FG∥CE,∴∠GFH=∠MCH,∵H为CF的中点,∴FH=CH,又∵∠GHF=∠MHC,∴△GFH≌△MHC,∴GH=HM=,∵∠GEC=90°,∴EH=,∴GH=EH。‎ ‎(3)(2)中的结论还成立。取PF的中点M,的中点N,∵∠FGP=90°,M为PF的中点,∴,,∥,∴GM=PM,∴∠GPF=∠MGP,∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF,∵H为的中点,M为PF的中点,∴,同理,,HN∥PF,∠,∴GM=HN,HM=EN。∵∠GPF=∠FPA,,又,∴∠GPF=,∴∠GMF=∠,∵∥,HN∥PF,∴四边形HMPN为平行四边形,∴∠HMF=∠,∴∠GMH=∠HNE,∵GM=HN,HM=EN,∴△GMH≌△HNE,∴GH=HE。‎ ‎28、 (1)证明:∵AB=,AC=2,BC=,(m>n>0)‎ ‎          ∴AB2=  ‎ AC2=4 ‎ BC2=(2分)‎ ‎         ∴ BC2= AB2 +AC2                 (3分)‎ ‎         ∴△ABC是直角三角形    (4分)‎ ‎    (2)过点E作EG∥AB交BC于点G,过点E作EH∥CD交BC于点H ‎     ∵EG∥AB  AD∥BC ‎     ∴四边形ABGE是平行四边形  ‎ ‎     ∴AE=BG,EG=AB                   (5分)‎ 同理可证ED=HG,EH=CD     ‎ ‎    ∴AD=BG+HG                   ‎ ‎∵AB=,CD=2,AD=,BC=,‎ ‎    ∴EG=,EH=2,GH=‎ ‎    ∴EG2+EH2=GH2                                       (6分)‎ ‎    ∴△EGH是直角三角形            (7分)‎ ‎    又点E、F分别是AD、BC的中点 ‎∴AE=DE,BF=CF ‎∴BG=CH ‎    ∴BF-BG=CF-FH ‎    ∴GF=HF                ‎ 即点F是Rt△EGH的斜边GH上的中线   (8分)‎ ‎∴EF=GH                  (9分)‎ ‎    ∴EF=()          (10分)‎ ‎29、解:(1)如图①‎ ‎(2)如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP,直线MP即为所求。‎ ‎(3)    如图③存在直线l 过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A ‎ 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心 ‎∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可 易知,在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。‎ 从而,直线PH平分梯形OBCD的面积 即直线 PH为所求直线l 设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)‎ ‎∴2=4k+b 即b=2-4k ‎∴y=kx+2-4k ‎∵直线OD的表达式为y=2x 解之 ‎∴点H的坐标为(,)‎ ‎∴PH与线段AD的交点F(2,2-2k)‎ ‎∴0<2-2k<4‎ ‎∴-1<k<1‎ ‎∴S△DHF=‎ ‎∴解之,得。(舍去)‎ ‎∴b=8-‎ ‎∴直线l的表达式为y=‎ ‎30、解:(1)如图4,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 过B作 则・・・・・・ (1分)‎ 过Q作 则 要使四边形PABQ是等腰梯形,则,‎ 即 或(此时是平行四边形,不合题意,舍去)‎ ‎(2)当时,。‎ ‎(3)①当时,则 ‎②当时,‎ 即 ‎③当时, ‎ 综上,当时,△PQF是等腰三角形.‎ ‎31、解:(1)(6,4);().(其中写对B点得1分)‎ ‎(2)∵S△OMP =×OM×,‎ ‎∴S =×(6 -t)×=+2t.‎ ‎   =(0 < t <6).‎ ‎∴当时,S有最大值.‎ ‎     (3)存在.‎ ‎    由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),‎ 则直线ON的函数关系式为:.‎ ‎   设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为.‎ ‎∵S△OCN =×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2.‎ ‎① 当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=••••RD1•OT =••b=2.‎ ‎∴,      b =.‎ ‎∴b1 =,b2 =(不合题意,舍去)‎ 此时点T1的坐标为(0,).‎ ‎② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则 S△R2NE=•EN•R2D2 =••=2.‎ ‎∴,b=.‎ ‎∴b1=,b2=(不合题意,舍去).‎ ‎∴此时点T2的坐标为(0,).‎ 综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件 ‎32、解:(1)直线为⊙O的切线 …………1分 证明:连结OD    ∵是圆的直径     ∴∠ADB=90°   …………2分 ‎∴∠ADO+∠BDO=90°     又∵DO=BO       ∴∠BDO=∠PBD             ‎ ‎∵                ∴∠BDO=∠PDA     …………3分 ‎∴∠ADO+∠PDA=90° 即PD⊥OD       …………4分 ‎∵点D在⊙O上,‎ ‎∴直线为⊙O的切线.            …………5分 ‎(2)解:∵ BE是⊙O的切线      ∴∠EBA=90°‎ ‎∵    ∴∠P=30°     …………6分 ‎∵为⊙O的切线   ∴∠PDO=90°‎ 在RT△PDO中,∠P=30°     ∴   解得OD=1   …………7分 ‎∴         …………8分 ‎∴PA=PO-AO=2-1=1                …………9分 ‎(3)(方法一)证明:依题意得:∠ADF=∠PDA  ∠PAD=∠DAF ‎∵  ∠ADF=∠ABF ‎∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF       …………10分 ‎∵是圆的直径     ∴∠ADB=90°  ‎ 设∠PBD=,则∠DAF=∠PAD=,∠DBF=‎ ‎∵四边形AFBD内接于⊙O   ∴∠DAF+∠DBF=180°‎ 即    解得               ‎ ‎∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°                …………11分 ‎∵ BE、ED是⊙O的切线      ∴DE=BE   ∠EBA=90°‎ ‎∴∠DBE=60°∴△BDE是等边三角形。∴BD=DE=BE     …………12分 又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60°   ∠DBF==60°‎ ‎∴△BDF是等边三角形。   ∴BD=DF=BF            …………13分 ‎∴DE=BE=DF=BF        ∴四边形为菱形    …………14分 ‎(方法二)证明:依题意得:∠ADF=∠PDA  ∠APD=∠AFD ‎∵  ∠ADF=∠ABF  ∠PAD=∠DAF ‎∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF  …………10分 ‎∴ AD=AF  BF//PD               …………11分 ‎∴ DF⊥PB  ∵ BE为切线  ∴ BE⊥PB  ∴ DF//BE………12分 ‎∴四边形为平行四边形…………13分 ‎∵ PE 、BE为切线  ∴ BE=DE ‎∴四边形为菱形 …………14分 ‎33、解:(1)⊙P与x轴相切.‎ ‎       ∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),‎ 与y轴交于B(0,-8),‎ ‎∴OA=4,OB=8.‎ 由题意,OP=-k,‎ ‎∴PB=PA=8+k.‎ 在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,‎ ‎∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径,‎ ‎∴⊙P与x轴相切.‎ ‎(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.‎ ‎∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,PD=3,‎ ‎ ∴PE=.‎ ‎∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE,‎ ‎∴△AOB∽△PEB,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,--8),‎ ‎∴k=--8,‎ ‎∴当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形. ‎ ‎34、解:(1)设OD=,()过E作EH⊥OD于H,            1分 在Rt△OEH中,, ‎ OE =                                              2分 ‎∴ E点坐标为(,).                              3分 ‎∵ ∠ABO=30°,∠ODE=60°,‎ ‎∴ ∠DEB=30°.‎ ‎∴ ∠OEB=90°.‎ ‎∵ BC=4,∴ OE=a=2.                                5分 ‎∴ E(1,).                                           6分 ‎(2)EF=OO′.                                               7分 理由如下:‎ ‎∵ ∠ABO=30°,∠EDO=60°,‎ ‎∴ ∠ABO=∠DFB=30°.‎ ‎∴ DF=DB.                                                9分 ‎∴OO′=OB - DO′- DB ‎ ‎= 4-2-DB ‎=2-DB ‎=2-DF ‎=ED-FD ‎=EF.                                            10分 ‎(3) .                               ‎ ‎35、解:(1)解方程组 ,‎ 解得:  ,‎ 则M的坐标是:(4 ,2).‎ 在解析式y=-x+6中,令y=0,解得:x=6,则N的坐标是:(6,0).‎ ‎(2)当0≤t≤1时,重合部分是一个三角形,OB=t,则高是t,则面积是 ×t• t= t2;‎ 当1<t≤4时,重合部分是直角梯形,梯形的高是1,下底是: t,上底是:(t-1),根据梯形的面积公式可以得到:;‎ 当4<t≤5时,过M作x轴的垂线,则重合部分被垂线分成两个直角梯形,两个梯形的下底都是2,上底分别是:-t+6和(t-1),根据梯形的面积公式即可求得 ‎ ;‎ 当5<t≤6时,重合部分是直角梯形,与当1<t≤4时,重合部分是直角梯形的计算方法相同,则S=7-2t;‎ 当6<t≤7时,重合部分是直角三角形,则与当0≤t≤1时,解法相同,可以求得.‎ 则:‎ ‎(3)在0≤t≤1时,函数的最大值是:;‎ 当1<t≤4,函数值y随x的增大而增大,则当x=4时,取得最大值是: ;‎ 当4<t≤5时,是二次函数,对称轴x= ,则最大值是:- ;‎ 当5<t≤6时,函数y随t的增大而减小,因而函数值一定小于 ;‎ 同理,当6<t≤7时,y随t的增大而减小,因而函数值小于 .‎ 总之,函数的最大值是: .‎ ‎36、解:(1)∵抛物线过O(0,0),A(10,0),‎ ‎∴设抛物线解析式为,‎ 将B(2,2)代入,得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为;‎ ‎(2)设AB解析式为,将A(10,0),B(2,2)代入,得,解得,‎ ‎∴,∵P(m,0),∴OP=m,AQ=2m,OQ=10-2m,‎ ‎∴当x=10-2m时,QM=,∴QD=m,‎ ‎∵四边形QCDE是正方形,∴;‎ ‎(3)①由P(2,0),根据抛物线解析式可知N(2,2),‎ 由正方形的性质得G(2,4),即PG=4,‎ 又当GF和EQ落在同一条直线上时,△FGQ为等腰直角三角形,‎ ‎∴PQ=PG=4,OQ=OP+PQ=6,代入直线AB解析式得M(6,1),即QM=1,QD=2,‎ ‎∴阴影部分面积和=,‎ ‎②,,。‎ 六、未分类 ‎37、∠GPF=180º-∠α.证明:连结BD,连结CE.‎ ‎∵AB=AC、AD=AE,∠BAC=∠DAE,‎ ‎∴∠BAD=∠CAE,‎ ‎∴△ABD≌△ACE,‎ ‎∴∠ABD=∠ACE.‎ ‎∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,‎ ‎∴PG∥BD,PF∥CE.‎ ‎∴∠PGC=∠CBD,∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD,‎ ‎∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD,∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180º-∠BAC=180º-∠α, ‎ 即∠GPF=180º-∠α. ‎ 写探索过程要步步有据,写两步得1分,写三步得2分.‎ 选取图2证明:‎ 连结BD,连结CE.‎ ‎∵AB=AC、AD=AE,∠BAC=∠DAE,‎ ‎∴∠BAD=∠CAE,‎ ‎∴△ABD≌△ACE,‎ ‎∴∠ABD=∠ACE.‎ 设BD与CE交于点O,AC与BD交于点K,∠AKB=∠CKO,‎ ‎∴∠BOC=∠BAC,∠COD=180º-∠α.‎ ‎∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,‎ ‎∴PG∥BD,PF∥CE.‎ ‎∴∠GPC=∠BDC,∠DPF=∠DCE,‎ ‎∠GPF=180º-∠GPC-∠DPF=180º-∠BDC-∠DCE=∠COD,即∠GPF=180º-∠α. ‎ 选取图3证明:‎ ‎∵AB=AC、AD=AE,∴BD=CE,∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点,∴PG∥BD,PF∥CE.‎ ‎∴∠ADC=∠DPG,∠DPF=∠ACD,∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD =180º-∠BAC=180º-∠α,‎ 即∠GPF=180º-∠α. ‎ 七、简答题 ‎38、解:(1)不同类型的正确结论有: ‎ ‎①BC=CE;②③ABED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC//OD,⑥AC⊥BC;‎ ‎⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC=BC・OE;⑨△BOD是等腰三角形,⑩△BOE∽△BAC;等 ‎    (2)⊙O的半径为5.‎ ‎39、‎ ‎40、解:‎ ‎(1)连接,由勾股定理求得:‎ ‎(2)连接并延长,与弧和⊙O交于,‎ 弧的长:‎ 圆锥的底面直径为:‎ ‎,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.‎ ‎(3)由勾股定理求得:‎ 弧的长:‎ 圆锥的底面直径为:‎ 且 即无论半径为何值,‎ 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.‎