中考数学试题分类大全40 直线与圆的位置关系 83页

一、选择题 ‎1．(2010江苏苏州)如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】：C ‎2．（2010甘肃兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎3．（2010山东青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 B C A 第6题图 ‎【答案】B ‎ ‎4．（2010四川眉山）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 ‎【答案】C ‎5．（2010台湾） 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，‎ ‎ 且与交于另一点D。若ÐA=70°，ÐB=60°，则 的度数为何？ (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。‎ A C B D 图(四)‎ ‎【答案】C ‎ ‎6．（2010 嵊州市）如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线与AC成60°的角,在直线上取一点,使∠APB=30°,则满足条件的点有几个 ( )‎ A.3个 B.2个 C.1个 D.不存在 ‎ ‎ ‎【答案】B ‎7．（2010 浙江省温州）如图，在AABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于(▲)‎ A． B． c．2 D．2‎ ‎【答案】C ‎ ‎8．（2010 四川南充）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）． ‎ l1‎ l2‎ A B M N O ‎（第10题）‎ ‎1‎ ‎（A） （B）若MN与⊙O相切，则 （C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 （D）l1和l2的距离为2 【答案】B ‎ ‎9．（2010 广东珠海）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,‎ 那么∠AOB等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A.60° B.90° C.120° D.150°‎ ‎【答案】 D ‎ ‎10．（2010四川眉山）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 ‎【答案】C ‎11．（2010湖南娄底）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）‎ A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相 C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相 ‎ ‎【答案】C ‎ ‎12．（2010内蒙赤峰）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是 （ ）‎ A．1 cm， B．2 cm， C．4cm， D．2 cm或4cm ‎【答案】D ‎ 二、填空题 ‎1．（2010江苏南京） 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm。‎ ‎【答案】8‎ ‎2．（2010浙江杭州）如图, 已知△,，．是的中点，‎ ‎ ⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一 个交点，连并延长交的延长线于点. 则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎3．（2010 浙江义乌）已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是 ▲ ．‎ ‎【答案】5‎ ‎4．（2010 重庆）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离是4，则直线与⊙O的位置关是 ．‎ ‎【答案】相离 ‎5．（2010重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .‎ ‎【答案】相离 ‎6．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点， 以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连 结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O 的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. ‎ 若，则BK﹦ ▲ .‎ A O D B F K E ‎(第16题图)‎ G M CK ‎【答案】, ‎ ‎7．（2010湖南怀化）如图6，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC= ．‎ ‎【答案】‎ ‎8．（2010山东泰安）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，‎ 若EF=2，则∠EDC的度数为 。‎ ‎【答案】30°‎ ‎9．（2010河南）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是异于点C、A的一点，若∠ABO=,则∠ADC的度数是 .‎ ‎【答案】29°‎ ‎10．（2010 湖北孝感）P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠APB=50°，‎ 点C为⊙O上一点（不与A、B）重合，则∠ACB的度数为 ‎ 。‎ ‎【答案】‎ ‎11．（2010 四川泸州）如图7,已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎12．（2010 山东淄博）如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有 ‎（A）①②　　‎O D C B A ‎(第12题)‎ ‎（B）①③④　　‎ ‎（C）②③④　　‎ ‎（D）①②③④‎ ‎【答案】D ‎ ‎13．（2010青海西宁）如图2，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与轴相切.‎ ‎【答案】116°‎ ‎14．（2010广东茂名）如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，‎ 则∠CAD＝ ．‎ ‎(第13题图)‎ ‎【答案】30o ‎ ‎15．（2010广西百色）如图，⊙的直径为20，弦,，垂足为.‎ 则沿射线方向平移 时可与⊙相切.‎ 第19题 A B O D ‎【答案】4‎ 三、解答题 ‎1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F ‎ (1)求证：OE∥AB；‎ ‎ (2)求证：EH=AB；‎ ‎(3)若，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎2．（2010安徽蚌埠）已知⊙过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。‎ ‎⑴ 求的值；‎ ‎⑵ 如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。‎ y H A D O O C P F y G D E x B x ‎【答案】‎ ‎⑴ ‎ ‎ ‎ B O C P F y G D E x ‎（2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.‎ 解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变 过点作于，并延长交于，连接，‎ M N T 交于。‎ 因为为等腰三角形， ，‎ 所以平分 所以弧BN=弧CN，所以， ‎ 所以 ‎ 所以=‎ 即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。‎ ‎3．（2010安徽芜湖）（本小题满分12分）‎ 如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．‎ ‎（1）求证：PM＝PN；‎ ‎（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．‎ ‎【答案】‎ ‎4．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ C P D O B A E F C P D O B A E H G ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，‎ ‎∴△ABC的周长为．‎ ‎5．（2010甘肃兰州）（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.‎ ‎ （1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎ （2）求证：BC=AB；‎ ‎ （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ‎ ‎ ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ‎ ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分 ‎ ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分 ‎∵OC是⊙O的半径 ‎ ‎ ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分 ‎ （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ‎ ‎ ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ‎ ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分 ‎ ∴BC=OC ‎ ∴BC=AB ………………………………………………………6分 ‎ (3)连接MA,MB ‎ ‎ ∵点M是弧AB的中点 ‎ ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ‎ ‎∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ‎ ‎ ∵∠BMC=∠BMN ‎ ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴BM2=MC·MN ……………………8分 ‎ ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ‎ ‎ ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎ ∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分 ‎ ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分 ‎6．（2010山东日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：‎ ‎（1）D是BC的中点； ‎ ‎（2）△BEC∽△ADC；‎ ‎（3）BC2=2AB·CE．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，‎ 即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分 又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ‎ ‎∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分 ‎ (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，‎ ‎ ∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分 ‎ 又∵ ∠BCE=∠ACD，‎ ‎ ∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分 ‎（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，‎ 即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分 ‎∵D是BC的中点，∴CD=BC． ‎ ‎ 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分 ‎7．（2010山东烟台）（本题满分10分）‎ 如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E。‎ ‎（1）求证：DE⊥AC；‎ ‎（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。‎ ‎【答案】‎ ‎8．（2010山东威海）C A B D O F E 如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程． ‎ ‎【答案】‎ 解：连接OE，OA．……………………1分 ‎∵ AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．‎ ‎∴ OE⊥AB，OE=3㎝．………………2分 ‎∵ ∠DAB＝60°， ‎ ‎∴ ∠OAE＝30°． ……………………3分 在Rt△AOE中，AE=㎝． …………………………………5分 ‎∵ AD∥BC，∠DAB＝60°， ‎ ‎∴ ∠ABC＝120°． ……………………………………………………………………6分 设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OB． ……………7分 同理可得 BN=㎝. …………………………………………………………………9分 ‎∴ ㎝． ‎ ‎∴ ⊙O滚过的路程为㎝． …………………………………………………10分 C A B D O F E M N O ‎9．（2010四川凉山）如图，为线段上一点，和都是等边三角形，连接并延长，交的延长线于，的外接圆交于点。‎ （1） 求证：是的切线；‎ （2） 求证：；‎ A B C D E M F O 第26题图 （3） 若 过点D 作DG∥BE交EF 于点G，过G 作GH∥DE交DF于点H ，则易知是等边三角形；设等边、、的面积分别为、、，试探究、、之间的数量关系，并说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎10．（2010 浙江义乌）如图，以线段为直径的⊙交线段于点，点是的中点，交于点，°，，．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：BC是⊙的切线；‎ ‎ （3）求的长度．‎ O B A C E M D ‎【答案】解：（1）∵∠BOE=60° ∴∠A ＝∠BOE ＝ 30°‎ ‎ 　　（2）在△ABC中 ∵ ∴∠C=60°…1分 又∵∠A ＝30°‎ ‎ 　　∴∠ABC=90°∴ ∴BC是⊙的切线 ‎ 　　（3）∵点M是的中点 ∴OM⊥AE ‎ 　　在Rt△ABC中 ∵ ∴AB=6……2分 ‎ 　 ∴OA= ∴OD= ∴MD=‎ ‎11．（2010山东聊城）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90º，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连结BD．‎ ‎（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；‎ ‎（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．‎ ‎【答案】（1）∵AB是直径，∴∠CDB＝90º，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴，∴．‎ ‎（2）证明：连结OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE，又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，又∵∠OBD+∠DBC＝90º，∠C+∠DBC＝90º，∴∠BDO＝∠CDE，∵AB是直径，∴∠ADB＝90º，∴∠BDC＝90º，∴∠BDE+∠CDE＝90º，∠BDO＝∠CDE，∴∠BDE+∠BDO＝90º，∴∠ODE＝90º，∴ED与⊙O相切．‎ ‎12．（2010 福建德化）（9分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．‎ ‎(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎ (2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．‎ ‎【答案】解：（1）直线CE与⊙O相切。‎ ‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE ‎ ∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90‎ ‎∴∠AE0+∠DEC=90 ∴∠OEC=90 ∴直线CE与⊙O相切。‎ ‎（2）∵tan∠ACB=，BC=2 ∴AB=BC∠ACB= AC=‎ 又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ∴DE=DC•tan∠DCE=1‎ 方法一：在Rt△CDE中，CE=，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，即 解得：r=‎ 方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=‎ ‎ 在Rt△AMO中，OA=‎ ‎13．（2010湖南长沙）已知：AB是⊙O的弦，D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C，‎ ‎（1）求证：AD＝DC；‎ ‎（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求sinC.‎ ‎【答案】解：（1）连接DB, ∵D是的中点，∴＝.‎ ‎∴AD＝DB.∴∠DAB＝∠DBA.‎ ‎∵AB⊥BC,∴∠DBC＝90°－∠DBA,∠C＝90°－∠DAB.‎ ‎∴∠DBC＝∠C.‎ ‎∴DB＝DC.‎ ‎∴AD＝ DC.‎ ‎（2）连接OD,交AB于F, ∵D是的中点，∴AB⊥OD ‎∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE ‎∵AB⊥BC,∴四边形DEBF是矩形 ‎∴∠DEC＝90°,‎ ‎∵DE＝EC，∴∠C＝45° 全品中考网 ‎∴sinC＝sin45°＝.‎ ‎14．（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．‎ 求证：（1）PD=PE；‎ ‎（2）．‎ ‎•‎ P B A E O C D ‎【答案】证明：(1)连接OC、OD ‎∴OD⊥PD ，OC⊥AB ‎∴∠PDE=—∠ODE，‎ ‎∠PED=∠CEO=—∠C 又∵∠C=∠ODE ‎∴∠PDE=∠PED ‎ ‎∴PE=PD ‎ ‎•‎ P B A E O C D ‎(2) 连接AD、BD ‎ ‎∴∠ADB= ‎ ‎∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ‎∴PDB∽PAD ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ ‎ ‎15．（2010 山东济南）（2）如图，是⊙的切线，为切点，是⊙的弦，过 作于点．若，，．‎ 求：（1）⊙的半径； ‎ ‎（2）AC的值．‎ ‎ ‎ ‎【答案】解①∵AB是⊙O的切线，A为切点 ‎∴OA⊥AB ‎ 在Rt△AOB中，‎ AO===5 ‎ ‎ ∴⊙O的半径为5‎ ‎②∵OH⊥AC ‎∴在Rt△AOH中 AH=== ‎ 又∵OH⊥AC ‎∴AC=2AH=2 ‎ ‎16．（2010 浙江衢州） (本题8分)‎ 如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，‎ 垂足为H ，已知AB=16厘米，．‎ ‎(1)　求⊙O的半径；‎ ‎(2)　如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．‎ A B O H C l ‎【答案】解：(1)　∵　直线l与半径OC垂直，∴　． ‎ A B O H C ‎(第20题)‎ l ‎∵　，‎ ‎∴　OB=HB=×8= 10． ‎ ‎(2)　在Rt△OBH中，‎ ‎． ‎ ‎∴　．‎ 所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是4cm． ‎ ‎17．（2010江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．‎ ‎⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．‎ ‎①求k的值；‎ ‎②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．‎ ‎⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）‎ ‎ ‎ ‎【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.‎ ‎②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，‎ ‎∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，‎ ‎∴OD＝PD＝，OP=.‎ ‎∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，‎ ‎∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，‎ ‎∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，‎ 解得m=1或3，‎ ‎∴P的坐标为（1，3）或（3，1）‎ ‎⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．‎ 综合以上得：b的值为或．‎ ‎18．（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．‎ ‎（1）用含的代数式表示点P的坐标；‎ ‎（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为 半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．‎ ‎【答案】解：⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°‎ ‎∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ;‎ ‎∴OH＝，∴P﹙，﹚‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，‎ ‎∵OB＝，∠BOC＝30°‎ ‎∴BC＝ ‎ ‎∴PC ‎ 由，得 ﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．‎ 当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，‎ PC 由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．‎ 综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割． ‎ ‎19．（2010山东临沂）如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且.‎ ‎(第23题图)‎ ‎(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；‎ ‎(2)如果，，求的长。‎ ‎【答案】（1）PD是⊙O的切线 连接OD,∵OB=OD,‎ ‎∴∠2=∠PBD.‎ 又∵∠PDA=∠PBD.‎ ‎∴∠PBD=∠2.‎ 又∵AB是半圆的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°.‎ 即∠1+∠2=90°. ‎ ‎∴∠1+∠PDA=90°,‎ 即OD⊥PD.‎ ‎∴PD是⊙O的切线.‎ ‎（2）方法一：‎ ‎∵∠BDE=60°, ∠ODE=60°, ∠ADB=90°,‎ ‎∴∠2=30°, ∠1=60°.‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴△AOD是等边三角形。‎ ‎∴∠POD=60°.‎ ‎∴∠P=∠PDA=30°.‎ 在直角△PDO中，设OD=x,‎ ‎∴，‎ ‎∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）‎ ‎∴PA=1.‎ 方法二：‎ ‎∵OD⊥PE,AD⊥BD,∠BDE=60°,‎ ‎∴∠2=∠PBD=∠PDA=30°‎ ‎∴∠OAD=60°.‎ ‎∴∠P=30°.‎ ‎∴PA=AD=OD.‎ 在直角△PDO中，∠P=30°,PD=,‎ ‎∴，‎ ‎∴OD=PDtan∠P=tan30°=1.‎ ‎∴PA=1.‎ ‎20．（2010 江苏连云港）（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点 ‎（1）连接CO，求证：CO⊥AB；‎ ‎（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．‎ AD BAD x P O ‎·‎ ‎·‎ CFEBAD y ‎【答案】‎ ‎21．（2010湖南衡阳）如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)连接BD，∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切⊙O于点B，因为DE切⊙O于点D，所以DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE=∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴.‎ ‎(2) 因为DE=2，，所以BC=4，在Rt△ABC中，tanC=，所以AB=BC·=2，在Rt△ABC中，AC===6，又因为△ABD∽△ACB，所以，即，所以AD=.‎ ‎22．（2010 黄冈）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第20题图 ‎【答案】证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线 ‎23．（2010 河北）图14-1‎ 连杆 滑块 滑道 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2‎ 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．‎ 解决问题 H l O P Q 图14-2‎ ‎（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；‎ 点Q与点O间的最大距离是 分米；‎ 点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．‎ ‎（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位 置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？‎ 为什么？‎ ‎（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米；‎ H l O 图14-3‎ P ‎（Q）‎ ‎②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，‎ 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）4 5 6； ‎ ‎（2）不对． ‎ ‎∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，‎ ‎∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．‎ ‎（3）① 3； ‎ D H l O 图3‎ P Q ‎②由①知，在⊙O上存在点P，到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是OP．‎ 连结P，交OH于点D．‎ ‎∵PQ，均与l垂直，且PQ =，‎ ‎∴四边形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD =D．‎ 由OP = 2，OD = OHHD = 1，得∠DOP = 60°．‎ ‎∴∠PO = 120°．‎ ‎∴ 所求最大圆心角的度数为120°．‎ ‎24．（2010 山东省德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．‎ B A C D E G O F 第20题图 ‎【答案】（1）证明：连接OE，‎ B A C D E G O F ‎∵AB=AC且D是BC中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DAE．‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠OAE=∠OEA．‎ ‎∴∠OEA=∠DAE．‎ ‎∴OE∥AD．‎ ‎∴OE⊥BC．‎ ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，‎ ‎∴∠B=∠C=30°．‎ ‎∴∠EOB =60°．‎ ‎∴∠EAO =∠EAG =30°．‎ ‎∴∠EFG =30°．‎ ‎25．（2010 山东莱芜）（在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O 交AB于点D.‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.‎ O D C B A ‎（第21题图）‎ ‎【答案】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． ‎ 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ‎ O D C B A E ‎∴，∴． ‎ ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． ‎ 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．‎ ‎∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．‎ ‎∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． ‎ ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．‎ ‎∴ED与⊙O相切． ‎ ‎26．（2010江西）“6”字形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于B，OB与小圆相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，设，‎ ‎（１）求证：AD是小圆的切线；‎ ‎（２）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；‎ ‎（３）当，求DH的长 ‎【答案】解：（１）证明：∵BC是圆的切线，所以∠CBO＝90°，∵BC∥AD，∴∠BAD＝90°，所以AD是圆的切线.‎ ‎(2)答案不唯一，略 ‎（3）∵CD∥ BG，BC∥DG，所以四边形BGDC是平行四边形，所以DG=BC=6，又因为∠DGH＝，所以 ‎27．（2010年贵州毕节）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，‎ 以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD 的中点．求证：GE是⊙O的切线．‎ ‎【答案】证明：（证法一）连接． ‎ ‎∵是⊙O的直径，‎ ‎． ‎ ‎∵是的中点，‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎∵． ‎ ‎．即． ‎ 是⊙O的切线． ‎ ‎（证法二）连接． ‎ ‎∵，‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎∵OC=OE．‎ ‎∴∠2=∠4． ‎ ‎∴∠1=∠3． ‎ 又，‎ ‎． ‎ ‎． ‎ 是⊙O的切线． ‎ ‎28．（2010湖北武汉）如图，点O在的平分线上，⊙O与PA相切于点C．‎ （1） 求证：直线PB与⊙O相切；‎ （2） PO的延长线与⊙O交于点E若⊙O的半径为3，PC=4，求弦CE的长．‎ ‎【答案】（1）证明：过点O作OD⊥PB于点D，链接OC．‎ ‎ ∵PA切⊙O于点C，‎ ‎∴OC⊥PA 又∵点O在∠APB的平分线上，‎ ‎∴OC=OD ‎∴PB与⊙O相切 ‎(2)解：过点C作CF⊥OP于点F，在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△PCO，∴CF=．在Rt△COF中，OF=，∴EF=EO+OF=，∴CE=‎ ‎29．（2010四川 巴中）已知如图9所示，△ABC中∠A＝∠B＝30°，CD是△ABC的角平分线，以C为圆心，CD为半径画圆，交CA所在直线于E、F两点，连接DE、DF。‎ ‎（1）求证：直线AB是⊙C的切线。‎ ‎（2）若AC＝10cm，求DF的长 图9‎ ‎【答案】（1）∵∠A＝∠B＝30°，∴AC=BC，∵CD是△ABC的角平分线，∴CD⊥AB，‎ ‎∴AB是⊙C的切线；‎ ‎（2）∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB=120°，CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=60°，‎ 又∵CD=CF，∴∠F＝∠ACD＝30°，∴∠A＝∠F＝30°，∴DF=AF，‎ 在Rt△ADC中， =cos30°=，则AD=，∴AF=。‎ ‎30．（2010浙江湖州）如图，已知△ABC内接于⊙O的直径，D是弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线于E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线.‎ ‎（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径.‎ ‎（第22题）‎ ‎【答案】（1）连OD，∵D是弧AB的中点，∴OD⊥AB，又∵AC为⊙O的直径，∴BC⊥AB，∴OD∥CE，又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，即EF是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵EF＝8，EC＝6，在Rt△CEF中，由勾股定理得CF＝10，设⊙O的半径为r，∵OD∥CE，∴，解得：．‎ ‎31. （2010 四川成都）已知：如图，与⊙O相切于点，，⊙O的直径为．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】.解：（1）由已知，OC=2，BC=4。‎ ‎ 在Rt△OBC中，由勾股定理，得 ‎ ‎ ‎ （2）在Rt△OAC中，∵OA=OB=，OC=2，‎ ‎ ∴sinA=‎ ‎32。（2010湖南常德）如图8，AB是⊙Ｏ的直径，∠A＝，延长 OB到D，使BD＝OB．‎ ‎（1）△OCB是否是等边三角形？说明你的理由；‎ ‎（2）求证：DC是⊙Ｏ的切线．‎ A B O D C 图8‎ ‎【答案】（1）解法一：∵∠A＝，∴∠COB＝． ‎ ‎　　　　　　　 又OC＝OB，　‎ ‎∴△OCB是等边三角形． ‎ ‎　　　 解法二：∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝．‎ ‎　　　　　　　 又∵∠A＝，　∴∠ABC＝． ‎ ‎　　　　　　　 又OC＝OB，　∴△OCB是等边三角形． ‎ ‎（2）证明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝．‎ 又∵BD＝OB，∴BC＝BD． ‎ ‎∴∠BCD＝∠BDC＝∠OBC＝．‎ ‎∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝，‎ 故DC是⊙Ｏ的切线． ‎ ‎33. （8分）（2010湖北荆州）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．‎ ‎ （1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎ （2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．‎ ‎【答案】(1)证明：连结OE ‎ ‎ ‎∵ED∥OB ‎∴∠1=∠2，∠3=∠OED，‎ 又OE=OD ‎∴∠2=∠OED ‎∴∠1=∠3‎ 又OB=OB OE= OC ‎∴△BCO≌△BEO（SAS）‎ ‎∴∠BEO=∠BCO=90° 即OE⊥AB ‎∴AB是⊙O切线. ‎ ‎（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：‎ ‎ ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE=‎ ‎ ∴ ‎ 在Rt△CEG中，‎ ‎∴EG=‎ 根据垂径定理得：‎ ‎34. （2010湖北省咸宁）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，‎ 将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．‎ ‎（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；‎ ‎（2）若，求CD的长．‎ A F C G O D E B ‎（第20题）‎ ‎【答案】．解：（1）直线FC与⊙O相切．‎ A F C G O D E B ‎（第20题）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ 理由如下：‎ 连接．‎ ‎∵， ∴‎ 由翻折得，，．‎ ‎∴． ∴OC∥AF．‎ ‎∴．‎ ‎∴直线FC与⊙O相切．‎ ‎（2）在Rt△OCG中，，‎ ‎∴．‎ 在Rt△OCE中，．‎ ‎∵直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴．‎ ‎35. （2010江苏扬州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．‎ ‎（1）求证：点D是BC的中点；‎ ‎（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）如果⊙O的直径为9，cosB＝，求DE的长．‎ A B C D E O ‎·‎ ‎【答案】（1）证明：连接AD ‎ ∵AB为半圆O的直径,‎ ‎∴AD⊥BC ‎∵AB=AC ‎∴点D是BC的中点 ‎ (2)解：相切 ‎ 连接OD ‎ ∵BD=CD，OA=OB，‎ ‎∴OD∥AC ‎∵DE⊥AC ‎∴DE⊥OD ‎∴DE与⊙O相切 ‎ （3） ∵AB为半圆O的直径 ‎∴∠ADB=900‎ 在Rt△ADB中 ‎∵cosB=‎ ‎∴BD=3‎ ‎∵CD=3‎ 在Rt△ADB中 ‎∴cosC=‎ ‎∴CE=1‎ ‎∴DE=‎ ‎36. （2010湖北恩施自治州）如图，已知，在△ABC中，∠ABC=，BC为⊙O的直径， AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.‎ ‎（1）求证：ED是⊙O的切线.‎ ‎（2）如果CF =1,CP =2，sinA =，求⊙O的直径BC.‎ ‎【答案】解：⑴ 连接OD ‎ ‎∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。‎ 又∵∠OBD=∠ODB ‎ Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB ‎ ‎∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90‎ ‎∴ED是⊙O的切线。 ‎ ‎ (2)∵PF⊥BC ‎ ‎ ∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用 ‎ ∴△PCF∽△DCP ‎ ‎ ∴PC=CF·CD 又∵CF=1, CP=2， ∴CD=4 ‎ 可知 sin∠DBC = sinA =‎ ‎∴=即= 得直径BC= 5 ‎ ‎37. （2010北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC ‎＝2∠ACD＝90°．‎ ‎（1）求证：直线AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果∠ACB＝75°，⊙O的半径为2，求BD的长．‎ ‎【答案】（1） ∵OD＝OC，∠DOC＝90°‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD＝45°‎ ‎∵∠DOC＝2∠ACD＝90°‎ ‎∴∠ACD＝45°‎ ‎∴∠ACD＋∠OCD＝∠OCA＝90°‎ ‎∵点C在⊙O上，‎ ‎∴直线AC是⊙O的切线。‎ ‎（2）∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°‎ ‎∴可求CD＝，‎ ‎∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°‎ ‎∴∠BCD＝30°‎ 作DE⊥BC于点E ‎∴DE＝CD＝‎ ‎∵∠B＝45°‎ ‎∴DE＝2。‎ ‎38. （2010山东泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC 交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.‎ （1） 求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）证明：连结AD、OD ‎∵AC是直径 ‎∴AD⊥BC ‎∵AB＝AC ‎∴D是BC的中点 又∵O是AC的中点 ‎∴OD∥AB ‎∵DE⊥AB ‎∴OD⊥DE ‎∴DE是⊙O的切线 ‎（2）由（1）知OD∥AE ‎∴＝ ‎∴＝ ‎∴＝，解得FC＝2‎ ‎∴AF＝6‎ ‎∴cosA＝＝＝＝ 全品中考网 ‎39. （2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.‎ ‎（1）求∠OAB的度数.‎ ‎（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？‎ ‎（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.‎ ‎（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）在Rt△AOB中：‎ tan∠OAB=‎ ‎∴∠OAB=30°‎ ‎（2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，‎ ‎ △PM O‘≌△PO O‘‎ 由（1）知∠OBA=60°‎ ‎∵O‘M= O‘B ‎∴△O‘BM是等边三角形 ‎∴∠B O‘M=60°‎ 可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°‎ ‎∴OP= O O‘·tan∠O O‘P ‎ =6×tan60°=‎ 又∵OP=t ‎∴t=，t=3‎ 即：t=3时，PM与⊙O‘相切.‎ ‎（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E ‎ ∵∠BAO=30°，AQ=4t ‎ ∴QE=AQ=2t ‎ AE=AQ·cos∠OAB=4t×‎ ‎∴OE=OA-AE=-t ‎ ∴Q点的坐标为（-t，2t）‎ ‎ S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = （）‎ ‎ 当t=3时，S△PQR最小=‎ ‎ （4）分三种情况：如图11.‎ 当AP=AQ1=4t时，‎ ‎∵OP+AP=‎ ‎∴t+4t=‎ ‎∴t=‎ 或化简为t=-18‎ 当PQ2=AQ2=4t时 ‎ 过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，‎ ‎∴PA=2AD=2A Q2·cosA=t 即t+t =‎ ‎∴t=2‎ 当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H ‎ AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t AQ3=2AH=36-6t 得36-6t=4t，‎ ‎∴t=3.6‎ ‎ 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.‎ ‎40。（2010云南楚雄）已知：如图，⊙与轴交于C、D两点，圆心的坐标为（1，0），⊙的半径为，过点C作⊙的切线交于点B（－4，0）．‎ ‎（1）求切线BC的解析式；‎ ‎（2）若点P是第一象限内⊙上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点的坐标；‎ ‎（3）向左移动⊙（圆心始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）连接，∵是⊙A的切线，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎∴△∽△，∴．‎ 即，∴．∴点坐标是（0，2）．‎ 设直线的解析式为，∵该直线经过点B（－4，0）与点（0，2），‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎ ∴该直线解析式为．‎ ‎（2）连接，过点作．‎ 由切线长定理知 ‎．‎ 在中，∵，‎ ‎∴．‎ 在中，由勾股定理得 ‎ ‎．‎ ‎∴ ．‎ 又∵．‎ ‎∴∽，∴，‎ ‎∴．‎ 则是点的纵坐标，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴点的坐标．‎ ‎ (3)如图示，‎ 当在点的右侧时 ‎ ∵、在⊙上，∴．‎ 若△是直角三角形，则，且为等腰直角三角形．‎ 过点作，在中由三角函数可知 ‎．‎ 又∵∽ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴点 坐标是．‎ 当在点的左侧时：同理可求点 坐标是．‎ ‎41. （2010湖北随州）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第20题图 ‎【答案】证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线 ‎42. （2010四川乐山）如图（10）AB是⊙O的直径，D是圆上一点，＝，连结AC，过点D作弦AC的平行线MN。‎ ‎（1）求证明人：MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知AB＝10，AD＝6，求弦BC的长。‎ ‎【答案】（1）证明：连结OD，交AC于E，如图（2）所示，‎ 因＝，所以OD⊥AC 又AC∥MN，所以OD⊥MN 所以MN是是⊙O的切线 ‎（2）解：设OE＝ｘ，因AB＝10，所以OA=5 ED＝5－x 又因AD =6 在直角三角形OAE和直角三角形DAE中，因OA－OE＝AE－ED，‎ 所以5－x＝6－（5－x） 解得x＝‎ 因AB　是⊙O的直径，所以∠ACB＝90 所以OD∥BC 所以OE是△ABC的中位线，所以BC＝2OE＝2＝‎ ‎43. （2010陕西西安）如图，在，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE。‎ ‎ （1）若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；‎ ‎ （2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径。‎ ‎【答案】解：（1）∵DE垂直平分AC，‎ ‎∴∠DEC=90°，‎ ‎∴DC为△DEC外接圆的直径，‎ ‎∴DC的中点O即为圆心。 ‎ 连接OE，又知BE是⊙O的切线，‎ ‎∴∠EBO+∠BOE=90° ‎ 在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，‎ ‎∴BE=EC，‎ ‎∴∠EBC=∠C 又∵∠BOE=2∠C，‎ ‎∴∠C+2∠C=90°‎ ‎∴∠C=30° ‎ ‎ （2）在，‎ ‎∵∠ABC=∠DEC=90°∴△ABC∽△DEC ‎∴△DEC外接圆的半径为 ‎ ‎44. （2010广东东莞）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．‎ ‎⑴求∠POA的度数；‎ ‎⑵计算弦AB的长． ‎ A B C D P O 第14题图 ‎【答案】⑴∵PA与⊙O相切于A点 ‎ ‎∴∠PAO＝90° ‎ ‎∵OA＝2，OP＝4 ‎ ‎∴∠APO＝30°‎ ‎∴∠POA＝60°‎ ‎⑵∵AB⊥OP ‎ ‎∴△AOC为直角三角形，AC＝BC ‎∵∠POA＝60°‎ ‎∴∠AOC＝30°‎ ‎∵AO＝2‎ ‎∴OC＝１‎ ‎∴在Rt△AOC中，‎ ‎∴AB＝AC＋BC＝‎ ‎45. （2010 福建三明） 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC 交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F。‎ ‎ （1）求证：DE是⊙O的切线；（6分）‎ ‎ （2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长。（6分）‎ ‎【答案】（1）证明：连结OD …………1分 ‎∵AD平分∠BAC ‎ 又OA=OD ‎ ‎∴AE//OD …………3分 ‎∴DE是⊙O的切线 …………5分 ‎ （2）解：作OD⊥AB交AB于点H …………6分 ‎∵AD是的平分线，∴DH=DF=3 …………7分 在中 又FB是⊙O的切线 …………8分 ‎ …………10分 ‎（也可证明≌）‎ ‎46. （2010湖北襄樊） 如图6，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD=2PA．‎ ‎ （1）证明：直线PB是⊙O的切线；‎ ‎ （2）探索线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎ （3）求sin∠OPA的值．‎ 图6‎ ‎【答案】（14）连结OB．∵BC//OP，‎ ‎∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．‎ 又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，‎ ‎∴∠POB=∠POA．‎ 又∵PO=PO，OB=OA，‎ ‎∴△POB≌△POA．‎ ‎∴∠PBO=∠PAO=90°．‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ ‎（2）2PO=3BC（写PO=BC亦可）．‎ 证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．‎ ‎∵BD=2PA，∴BD=2PB．‎ ‎∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．‎ ‎∴．∴2PO=3BC．‎ 注：开始没有写出判断结论，正确证明也给满分．‎ ‎（3）∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．‎ 设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=2y．‎ 在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)2= x2+(2y)2．即2 x2= y2．‎ ‎∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．‎ ‎∴sin∠OPA=．‎ ‎47. （2010 山东东营）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上， CA＝CD，∠CDA＝30°．‎ ‎(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若⊙O的半径为5，求点A到CD所在直线的距离．‎ O ‎(第21题图)‎ A B D C O ‎(第21题图)‎ A B D C E ‎【答案】解：（1）△ACD是等腰三角形，∠D＝30°．‎ ‎ ∠CAD=∠CDA=30°. ‎ 连接OC, AO=CO,‎ ‎ △AOC是等腰三角形． ………………………2分 ‎ ‎ ∠CAO=∠ACO=30°,‎ ‎ ∠COD=60°．…………………………………3分 ‎ 在△COD中，又∠CDO=30°，‎ ‎∠DCO=90°．………………………………4分 CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．……………………………5分 ‎（2）过点A 作AE⊥CD，垂足为E. ………………………………6分 在Rt△COD中， ‎ ‎∠CDO=30°，‎ ‎ OD=2OC=10． AD=AO+OD=15……………………………………………7分 ‎ 在Rt△ADE中，‎ ‎ ∠EDA=30°，‎ 点A到CD边的距离为：．…………………………9分 ‎48. （2010 湖北孝感）如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在BC上运动（不与B、C重合），过点D作DE//BC，DE交AC的迁长线于点E，连接AD、CD。‎ ‎⌒‎ ‎ （1）在图1中，当，求AE的长；（4分）‎ ‎ （2）当点D为BC的中点时（如图2）；‎ ‎ ①DE与⊙O的位置关系是 ；（2分）‎ ‎②求△ADC的内切圆半径r.（4分）‎ ‎【答案】解：（1）如图1，‎ 又∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED …………2分 ‎ …………4分 ‎ （2）①相切：‎ ‎②如图2，当D为弧BC的中点时，有弧BD=弧DC。‎ ‎ …………8分 作Rt△ADC的内切线圆⊙O′‎ 分别切AD、AC、DC于F、G、H点，易知CG=CH=r，‎ ‎ …………10分 ‎49. （2010 江苏镇江）推理证明（本小题满分7分）‎ 如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.‎ ‎ （1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎ （2）分别求AB，OE的长；‎ ‎ （3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为 .‎ ‎【答案】（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90° （1分）‎ ‎∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线. （3分）‎ ‎ （2）在，‎ ‎ （4分）‎ ‎ （3） （7分）‎ ‎50．（2010 广东汕头）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA＝2，OP＝4．‎ ‎（1）求∠POA的度数；‎ ‎（2）计算弦AB的长．‎ 第14题图 C B P D A O ‎【答案】解：（1）∵PA与⊙O相切于A点 ‎∴OA⊥AP 在Rt△OAP中，由OA＝2，OP＝4得 ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎　　　　　　　 （2）∵弦AB⊥OP， ‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎51．（2010 天津）已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.‎ ‎（Ⅰ）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.‎ A B C O P 图①‎ A B C O P D 图②‎ 第（22）题 ‎【答案】解：（Ⅰ）∵ 是⊙的直径，是切线，‎ ‎∴ .‎ 在Rt△中，，，‎ ‎∴ .‎ 由勾股定理，得. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎(Ⅱ)如图，连接、，‎ A B C O P D ‎∵ 是⊙的直径， ‎ ‎∴ ，有.‎ 在Rt△中，为的中点，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ 又 ∵， ‎ ‎∴.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ .‎ 即 .‎ ‎∴ 直线是⊙的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎52．（2010 内蒙古包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）点是的中点，交于点，若，求的值．‎ O N B P C A M ‎【答案】O N B P C A M 解：（1），‎ 又，‎ ‎．‎ 又是的直径，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 而是的半径，‎ 是的切线． （3分）‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 又，‎ ‎． （6分）‎ ‎（3）连接，‎ 点是的中点，，，‎ 而，，而，‎ ‎，，，‎ 又是的直径，，‎ ‎．‎ ‎，． （10分）‎ ‎53．（2010广西桂林）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，‎ FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．‎ H ‎（1）证明：AF平分∠BAC；‎ ‎（2）证明：BF＝FD；‎ ‎（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】证明（1）连结OF H ‎∵FH是⊙O的切线 ‎∴OF⊥FH ……………1分 ‎∵FH∥BC ，‎ ‎∴OF垂直平分BC ………2分 ‎∴‎ ‎∴AF平分∠BAC …………3分 ‎（2）证明：由（1）及题设条件可知 ‎∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 H ‎∴∠1+∠4=∠2+∠3‎ ‎∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ‎∠FDB=∠FBD ‎∴BF=FD ………………6分 ‎ （3）解： 在△BFE和△AFB中 ‎∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ‎∴△BFE∽△AFB ………………7分 ‎∴， ……………8分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………9分 ‎ ‎ ∴‎ ‎∴AD== …………………10分 ‎54．（2010 广西玉林、防城港）（8分）如图8，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45，过点C的直线与⊙O、MN分别交于A、D两点，过C作CE⊥BD于点E。‎ ‎（1）求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠D＝30，BD＝2＋2，求⊙O的半径r。‎ ‎【答案】（1）证明：连接OB，OC，MN是⊙O的切线，所以OB⊥MN，又CE⊥MN，MN∥OB，又∠CBN＝45，OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝∠CBN＝∠BCE，所以有　OB＝OC＝CE＝BE 四边形OBEC是正方形，所以OC⊥CE，故CE是⊙O的切线。‎ ‎（2）因BE＝CE，BD＝BE＋DE，设CE＝x，∠D＝30，所以CD＝2ｘ，DE＝‎ x，故有：x＋x＝2＋2 x＝2 故圆的半径为2。‎ ‎55．（2010 四川自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD＝3cm，‎ ‎（1）求⊙O的直径。‎ ‎（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动。同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动。设运动的时间为t(0≤t≤2)，连结MN，当t为何值时△BMN为Rt△？并求此时该三角形的面积？‎ ‎【答案】‎ ‎56．（2010 山东荷泽）（本题满分12分）如图，△OAB中，OA＝OB，∠A＝30°，⊙O经过AB的中点E分别交OA、OB于C、D两点，连接CD．‎ ‎⑴求证：AB是⊙O的切线．‎ ‎⑵求证：CD∥AB．‎ ‎⑶若CD＝，求扇形OCED的面积．‎ A B C D E O ‎22题图 ‎【答案】⑴证明：连接OE，∵OA＝OB，E是BC的中点，∴OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线。‎ ‎⑵在△OAB，△OCD中，∠COD＝∠AOB，OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB，‎ ‎∴CD∥AB ‎⑶∵CD∥AB，∠A＝30°，OE⊥AB，CD＝，‎ ‎∴∠OCD＝30°，OE⊥CD，CF＝，∠COD＝120°，OC＝＝4，‎ ‎∴S扇形OCED＝＝‎A B C D E O ‎22题图 ‎57．（2010 湖北咸宁）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．‎ ‎（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；‎ ‎（2）若，求CD的长．‎ A F C G O D E B ‎（第20题）‎ ‎【答案】解：（1）直线FC与⊙O相切．……1分 A F C G O D E B ‎（第20题）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ 理由如下：‎ 连接．‎ ‎∵， ∴……2分 由翻折得，，．‎ ‎∴． ∴OC∥AF．‎ ‎∴．‎ ‎∴直线FC与⊙O相切．……4分 ‎（2）在Rt△OCG中，，‎ ‎∴．……6分 在Rt△OCE中，．……8分 ‎∵直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴．……9分 ‎58．（2010 广西钦州市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．‎ ‎（1）若∠B＝30°，AB＝2，求CD的长；‎ ‎（2）求证：AE2＝EB·EC．‎ ‎【答案】解：（1）解法一： 解法二：‎ ‎ ∵AB为⊙O的直径， ∵AB为⊙O的直径，∠B＝30°，‎ ‎ ∴∠ACB＝90°．……1分 ∴AC＝AB＝1，BC＝AB•cos30°＝…2分 ‎ ∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝2， ∵弦CD⊥直径AB于点M，‎ ‎ ∴BC＝AB•cos30°＝2×.…2分 ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4分 ‎ ‎ ∵弦CD⊥直径AB，∠B＝30°， ∴CD＝2CM＝2×‎ ‎ ∴ CM＝BC=.……4分 ＝2×＝……5分 ‎ CD＝2CM＝．……5分 （其它解法请酌情给分）‎ ‎（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，‎ ‎ ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°， 6分 ‎ ∴∠ACE＝∠BAE＝90°． 7分 ‎ 又∵∠E＝∠E，‎ ‎ ∴Rt△ECA∽Rt△EAB． 8分 ‎ ∴． 9分 ‎∴AE2＝EB•EC． 10分 ‎59．（2010鄂尔多斯）如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D。‎ 求证：（1）BD是⊙O的切线 ‎（2）‎ ‎【答案】证明：（1）∵‎ ‎∴∠1=∠2， AC=AE ‎∴AB⊥CE ‎∵CE∥BD ∴AB⊥BD ‎∴BD是⊙O的切线 ‎（2）连接CB ‎∵AB是⊙O的切线 ∴∠ACB=90°‎ ‎∵∠ABD=90°∴∠ACB=∠ABD ‎∵∠1=∠2∴△ACB∽△ABD ‎∴ ∴‎ ‎（证法二，连接BE，证明略） 全品中考网 ‎60．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE。‎ ‎（1）求证：DE∥CF；‎ ‎（2）当OE=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长。‎ ‎（3）若OE=2，移动三角形ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离。‎ ‎【答案】‎ 解：（1）连结OF ‎∵AB切半圆O于 F点 ‎∴OF⊥AB ‎∴∠OFB=∠ABC=90°‎ ‎∴OF∥BC ‎∵BC=OE=OF ‎∴四边形OFCB为平行四边形 ‎∴CF∥OB 即DE∥CF ‎(2)在Rt△ABC中，∠A=30° BC=OE=2‎ ‎∴AC=4 AB=‎ ‎∵△OFB∽△ABC ∴‎ ‎（3）在Rt△ABC中，BC=OE=2 ∠A=30° 则AC=4‎ 当AB与半圆O相切于E点时，B点与E点重合，BE=0‎ 当AB与半圆O相切于A点时，△OAB≌△CBA OB=AC=4‎ BE=OB-OE=4-2=2‎ 即点B在直径DE的延长线上移动的最大距离为2.‎ ‎61．（2010广西梧州）如图，⊙O的直径AC=13，弦BC=12，过点A作直线MN，使∠BAM=∠AOB，‎ ‎（1）求证：MN是⊙O的切线。‎ ‎（2）延长CB交MN于点D，求AD的长。‎ ‎【答案】D A B C O M N （1）证明：∵∠BAM=∠AOB(已知)，∠BCA=∠AOB（同弧所对圆周角是圆心角的一半），∴∠BAM=∠BCA（等量代换），‎ ‎∵∠CBA=90°（直径所对圆周角是直角）∴∠BCA +∠CAB=90°，‎ ‎∴∠BAM+∠CAB=90°，即：∠CAM=90°∴MN是⊙O的切线。‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AC=13，BC=12，根据勾股定理得：AB=5‎ ‎∵∠BCA=∠ACD，∠CBA=∠CAD =90°, ∴△DAB∽△CAB，‎ ‎∴,即：，∴AD=。‎ ‎62．（2010广西南宁）如图11-①，为⊙的直径，‎ 与⊙相切于点,与 ‎⊙相切于点，点为延 长线上一点，且．‎ ‎（1）求证：为⊙的切线；‎ ‎（2）连接，的延长线与 ‎ 的延长线交于点 图11-① 图11-②‎ ‎(如图11-②所示) ．若,求线段和的长．‎ ‎【答案】（1）连接 1分 ‎ ‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴‎ ‎∴ 2分 又∵与⊙相切于点 ‎ ∴ 3分 ‎∴‎ ‎∴为⊙的切线 4分 ‎（2）过点作于点，‎ ‎ ‎ ‎∵分别切⊙于点 ‎ ∴ 5分 设为，则，‎ 在中，‎ 解得： 6分 ‎ ‎∵ ∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴ 7分 ‎∴‎ ‎∴ 8分 解法一：连接，‎ ‎∴‎ ‎∴ 9分 在中，‎ ‎ 10分 解法二：∵‎ ‎ ∴ 9分 ‎∴,,解得 10分 ‎63．（2010广东茂名）已知⊙O1的半径为R，周长为C．‎ ‎（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C； （3分）‎ ‎(第25题（1）图)‎ ‎（第25题备用图）‎ ‎（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．‎ ‎①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）‎ ‎②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，‎ 求的取值范围． （3分）‎ ‎（第25题备用图）‎ ‎：‎ ‎【答案】（1）证明：，，．++，‎ 因此，++< C．‎ ‎（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，‎ ‎∴点N的坐标为N（R，），‎ 把点N坐标代入得：，解得：，‎ ‎②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．‎ 过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，‎ 因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．‎ 同理可求得点D的坐标为D，‎ 将点D的坐标代入，解得： ‎ 所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：‎ ‎64．（2010云南昭通）如图9，已知直线l的解析式为y=－x＋6,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l,直线n与x轴，y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标;‎ ‎（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；‎ ‎（3）直线n在运动过程中，‎ ‎①当t为何值时，半圆与直线l相切？‎ ‎②是否存在这样的t值，使得半圆面积S=？若存在，求出t值．若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）∵y=－x＋6,‎ ‎ 令y=0，得0=－x＋6, x=6．∴A(6,0)．‎ ‎ 令x=0，得y=6, ∴B（0,6）． ……………………2分 ‎ （2）∵OA=OB=6，‎ ‎ ∴ △AOB是等腰直角三角形．‎ ‎ ∵n∥l，‎ ‎ ∴∠CDO=∠BAO=45°，‎ ‎ ∴ △COD为等腰直角三角形，‎ ‎ OD=OC=t．‎ ‎ CD=‎ ‎ ∴．‎ ‎　　　　　　，‎ ‎ ∴．　　　　　　　　　　　…………………… 8分 ‎ （3）①分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F．‎ ‎ AD=OA-OD=6-t,‎ ‎ 在Rt△ADE中，sin∠EAD=，‎ ‎ DE=，‎ ‎ ∴PF= DE=．‎ ‎　　　 当PF=PD时，半圆与l相切．‎ 即，‎ ‎ t=3．　　‎ 当t=3时，半圆与l相切． ……………………………………11分 ‎②存在．∵．‎ ‎　．‎ 若，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴存在，使得．…………………………14分　　‎ ‎65．（2010辽宁大连）如图10，△ABC内接于⊙O的直径，点D在AB的延长线上，‎ ‎（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；‎ ‎（2）证明：△AOC≌△DBC C D B 图10‎ A O ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎66．（2010贵州遵义）如图，在⊿ABC，∠C= 90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.‎ ‎(1)当AC=2时，求⊙O的半径；‎ ‎(2)设AC=χ，⊙O的半径为y,求y与χ的函数关系式。‎ ‎【答案】【答案】解法一：连接OD、OE、OC……………………………………1分 ‎ ∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………………………2分 ‎∵S△ABC=S△AOC+S△BOC ‎∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分 ‎∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6‎ ‎∴×2×6=×2×OD+×2×OE ……………………4分 而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半径为 ………………5分 解法二：连接OD、OE ………………………………………1分 ‎∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ……………………………2分 ‎∴∠C＝90°，∴OECD为正方形 ‎∴OD＝OE＝EC＝CD＝t ………………………3分 而△AOD∽△ABC，∴ ………………………4分 ‎∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6，AD=2－t ‎∴，r=，即⊙O的半径为………………………5分 ‎(2)(7分)连接OD、OE、OC ……………………………………1分 ‎∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE=y ………………………2分 S△ABC=S△AOC+S△BOC ‎∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分 ‎∵AC+BC=8,AC =x,∴BC=8－x ………………………………4分 x(8－x)=xy+(8－x)y ………………………………5分 化简：8x－x2=xy+8y－xy………………………………………6分 即：y=－x2+x ………………………………………………7分 解法二：连接OD、OE ………………………………………1分 ‎∵D、E为切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ………………………2分 ‎∴∠C＝90°，∴OECD为正方形 ‎∴OD＝OE＝EC＝CD＝y ………………………………3分 由OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，‎ ‎（或者：OD∥AC，∴△OBE∽△ABC）‎ ‎∴.‎ ‎∵AC+BC==8，AC=x，‎ ‎∴BC=8-x，AD=AC-CD=x-y.‎ ‎∴.‎ 化简得：xy=（x-y）（8-x），‎ xy=8x-x2-8y+xy.‎ 所以.‎ 解法三：连接OD、OE.‎ ‎∵D，E是切点，‎ ‎∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE.‎ ‎∵∠C=90°，∴OECD是正方形.‎ ‎∴OD=OE=EC=CD=y.‎ 由OD∥BC得：△AOD∽△ABC，‎ ‎∴，即 ①.‎ 由OE∥AC得：△BOE∽△BAC，‎ ‎∴，即 ②.‎ ‎①+②得：，‎ 即.‎ ‎∴.‎ ‎67．（2010广东深圳）如图10，以点M（—1，0）为圆心的圆与轴、‎ 轴分别交于点A、B、C、D，直线与⊙M相切于点H，交轴于点E，求轴于点F。‎ ‎（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）‎ ‎（2）如图11，弦HQ交轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3分）‎ ‎（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交轴于点N。是否存在一个常数，始终满足MN·MK，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。（3分）‎ ‎【答案】【答案】‎ ‎（1）、如图①，OE=5，，CH=2‎ ‎（2）、如图②，连接QC、QD，则，‎ 易知，故，‎ F 图①‎ ‎，，由于，‎ ‎；‎ ‎（3）、如图③，连接AK，AM，延长AM，‎ 与圆交于点G，连接TG，则 ‎，‎ 图②‎ F 由于，故，；‎ 而，故 在和中，；‎ 故；‎ ‎;‎ 即：‎ 故存在常数，始终满足 F 图③‎ ‎1‎ 常数 ‎68．（2010广西柳州）如图12，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．‎ ‎ （1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．‎ ‎（2）若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．‎ OA A BA CA DA EA MA NA F 图12‎ ‎【答案】OA A BA CA DA EA MA NA F （1）（方法一）‎ ‎ 连接AC．‎ ‎∵ AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E，‎ 由垂径定理：点E是CD的中点． …………1分 又∵ M是AD的中点，‎ ‎∴ ME是△DAC的中位线．………………2分 ‎∴ MN∥AC．………………………………3分 ‎∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°， ………………………………………4分 ‎∴ ∠MNB=90°，即MN⊥BC …………………………………………………5分 ‎（方法二）‎ ‎∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=∠BEC=90° …………………………………………1分 M是AD的中点，∴ ME=AM，即有∠MEA=∠A ……………………………2分 又∵ ∠MEA=∠BEN，由∠A与∠C同对知∠C=∠A ‎ ∴ ∠C=∠BEN ……………………………………………………………………3分 又∵ ∠C+∠CBE=90°‎ ‎∴ ∠CBE+∠BEN=90° ……………………………………………………………4分 ‎∴ ∠BNE=90°，即MN⊥BC …………………………………………………5分 ‎（方法三）‎ ‎∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=90° ……………………………………………………1分 由于M是AD的中点，∴ ME=MD，即有∠MED=∠EDM 又∵ ∠CBE与∠EDA同对 ‎ ‎∴ ∠CBE=∠EDA …………………………………………………………………2分 又∵ ∠MED=∠NEC ‎ ∴ ∠NEC=∠CBE ………………………………………………………………3分 又∵ ∠C+∠CBE=90°‎ ‎ ∴ ∠NEC+∠C=90° ……………………………………………………………4分 即有∠CNE=90°，∴ MN⊥BC …………………………………………………5分 ‎（2）连接BD OA A BA CA DA EA MA NA F ‎∵ ∠BCD与∠BAF同对 ∴ ∠C=∠A ‎∴ cos∠A=cos∠C= ……………………6分 ‎∵ BF为⊙O的切线 ∴ ∠ABF=90°‎ 在Rt△ABF中，cos∠A=‎ 设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x ……7分 又∵ AB为⊙O的直径，‎ ‎∴ BD⊥AD ‎∴ △ABF∽△BDF ‎∴ ………………………………………………………………………8分 即 ‎ ……………………………………………………………………………9分 ‎∴ 直径AB=4x=4×‎ 则⊙O的半径为 ………………………………………………………………10分 ‎69．（2010辽宁本溪）已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作弦EF⊥AB，垂足为点G.‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=2，求EF的长.‎ A E F G O B C D ‎【答案】‎ ‎70．（2010辽宁沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD。‎ ‎（1）求证：∠CDE=2∠B；‎ ‎（2）若BD：AB=，求⊙O的半径及DF的长。‎ ‎【答案】（1）证明：连接OD………………………1分 ‎∵直线CD与⊙O相切于点D ‎∴OD⊥CD ‎∴∠CDO=90°‎ ‎∴∠CDE+∠ODE=90°……………………2分 又∵DF⊥AB ‎∴∠DEO=∠DEC=90°‎ ‎∴∠EOD+∠ODE=90°‎ ‎∴∠CDE=∠EOD……………………3分 又∵∠EOD=2∠B，∴∠CDE=2∠B……………………4分 ‎（2）解：连接AD ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴∠ADB=90°……………………5分 ‎∵BD：AB=‎ ‎∴在直角三角形ADB中，cosB==‎ ‎∴∠B=30°……………………64分 ‎∴∠AOD=2∠B =60°‎ 又∵∠CDO=90°‎ ‎∴∠C=30°……………………7分 ‎∵在直角三角形CDO中，CD=10‎ ‎∴OD=10tan30°=‎ 即⊙O的半径为……………………8分 在直角三角形CDE中，CD=10, ∠=30°‎ ‎∴DE=CDsin30°=5……………………9分 ‎∵弦DF⊥直径AB于点E ‎∴DE=EF=DF ‎∴DF=2DE=10……………………10分 ‎71．（2010 福建莆田）如图，A、B是上的两点，∠AOB=,点D为劣弧 的中点。‎ （1） 求证：四边形AOBD是菱形；‎ （2） 延长线段BO至点P，交于另一点C，且BP=3OB,求证；AP是 的切线。‎ ‎【答案】‎ ‎72．（2010天门、潜江、仙桃）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.‎ ‎ (1)求证：；‎ ‎ (2)若BD=3，DE=4，求AE的长.‎ O ‎【答案】（1）设圆心为O，连接OC，则因为∠BCA=90°，所以AB是直径，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠DBC=∠ABC，∴∠OCB=∠DBC，∴BD∥OC，∴△EOC∽△EBD，∴‎ ‎，即.‎ ‎（2）在Rt△BDE中，BE==5，因为△EOC∽△EBD，所以，即，r=，所以AE=5-=.‎ ‎73．（2010广东肇庆）如图7，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AE.‎ 求证：‎ ‎（1）AF//BE； ‎ ‎（2）△ACP∽△FCA；‎ ‎（3）CP=AE C A B P E O F ‎【答案】证明：(1)∵AB是直径，‎ ‎∴∠BPA＝90°。‎ ‎∵PF是直径，‎ ‎∴∠PAF＝90°。‎ ‎∴∠BPA+∠PAF＝180°。‎ ‎∴AF//BE。‎ ‎(2)∵AC切⊙O于点A，‎ ‎∴∠CAP＝∠AFC。‎ 又∵∠C是公共角，‎ ‎∴△ACP∽△FCA。‎ ‎(3)∵AF//BE，‎ ‎∴∠BPF＝∠AFC。‎ 又∵∠CPE＝∠BPF，‎ ‎∴∠CPE＝∠AFC。‎ ‎∵∠CAP＝∠AFC。‎ ‎∴∠CPE＝∠CAP。‎ ‎∴△CPE∽△CAP。‎ ‎∴＝。‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠BPA＝90°。‎ ‎∴△AEP∽△BAP。‎ ‎∴＝。‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴＝＝。‎ ‎∴CP=AE.‎ ‎74．（2010云南曲靖）如图，⊙O的直径AB=12，的长为2，D在OC的延长线上，且CD=OC.‎ ‎（1）求∠A的度数；‎ ‎（2）求证：DB是⊙O的切线.‎ ‎（参考公式：弧长公式l=，其中l是弧长，r是半径，n是圆心角度数）‎ ‎【答案】（1）解：设∠BOC=n0，‎ 据弧长公式，得 n=600. ‎ 据圆周角定理，得∠A=. ‎ ‎ （2）证明：连接BC，‎ ‎∵OB=OC，∠BOC=600，‎ ‎∴△BOC是等边三角形. ∴∠OBC=∠OCB=600，OC=BC=OB ‎∵OC=CD,‎ ‎∴BC=CD ‎∴. ……8分 ‎∴‎ ‎∴AB⊥BD.‎ ‎∴DB是⊙O的切线.‎ ‎75．（2010四川广安）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．‎ ‎ (1) 求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎(2) 点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么?‎ ‎(3) 在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．‎ ‎【答案】(1)连结OC，OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∵PC=PF∴∠PCF=∠PFC，∵∠AFH+∠OAC=90°，∠AFH=∠PFC，∴∠PCF+∠OCA=90°，∴PC是⊙O的切线；‎ ‎(2)当点D在劣弧AC的中点时有，连结AE、DC，则CD=AD，∠DCA=∠DAC，又∠DCA=∠AED，∴△ADF∽△ADE，∴∴；‎ ‎(3) 连结OD， OH=1，AH=2，则OA=3，所以DH=，DE=，AD=，由得AF=DF=，又△AHF∽△ABC，∴即，AC的长为。‎ ‎76．（2010广东湛江） 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙Ｏ交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙Ｏ相切.‎ ‎（1）求证：AB=AC；‎ ‎（2）若BC=6，AB=4,求CD的值.‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接PO，‎ 因为PD与⊙Ｏ相切.所以∠DPO=90°.‎ 因为PD⊥AC，所以∠PDC=∠DPO=90°.‎ 所以OP//OB.‎ 所以∠C=∠OPB.‎ 因为OP=OB，‎ 因为∠OPB=∠B，所以∠C=∠B.所以AB=AC.‎ ‎（2）解：连接AP, ‎ 因为AB是⊙Ｏ的直径，所以∠APB=90°.‎ 因为AB=AC，所以∠B=∠C，BP=PC=BC=×6=3.‎ 因为PD⊥AC，所以∠PDC=∠APB=90°.‎ 所以△PDC∽△APB.所以.即.所以CD=.‎ ‎77．（2010内蒙呼和浩特）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.‎ ‎（1）若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？‎ ‎（2）当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？‎ ‎【答案】22.解：（1）作CM⊥AB，垂足为M 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5………………………1分 ‎∵AC·BC＝AB·CM ‎∴CM＝………………………2分 ‎∵＞2‎ ‎∴⊙O与直线AB相离………………………3分 ‎（2）如图，设⊙O与AB相切，切点为N，连结ON 则ON⊥AB　∴ON∥CM ‎∴△AON∽△ACM………………………5分 ‎∴＝　设OC＝x，则AO＝3－x ‎∴=　∴x=0.5‎ ‎∴当CO＝0.5时，⊙O与直线AB相切………………………7分 ‎78．（2010内蒙赤峰）如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，∠BOC = 60o ‎(1)求证：PB是⊙O的切线。‎ ‎(2)若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。‎ ‎【答案】（1）证明：在△BOC中，∵OB=OC，∠BOC=60°，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°。 ………………………………………………………2分 又∵PC=BC，∴∠CBP=∠CPB =∠OCB=30°。……………………………………4分 ‎∴∠OBP=∠OBC+∠CBP ‎=60°+30°=90°，‎ ‎∴PB⊥AB。‎ 又∵AB是直径，‎ ‎∴PB是⊙O的切线。……………………………………………………………………6分 ‎（2）∵OB=1， ∴AB=2。‎ ‎ 在Rt△POB中，PB= OB·tan60°=………………………………………8分 ‎ 由题意知x1=2，x2=。∴x1+x2=2+，x1·x2=2。‎ ‎∴b=，c=2。………………………………………………………………10分 ‎(或将x=2及x=分别代入x2+bx+c=0得 解得结果为不扣分)‎ ‎79．（2010广西百色）如图1，是⊙的直径，，垂足为，交⊙于点.‎ ‎（1）用尺规作图：过点作,垂足为（保留作图痕迹，不写作法和证明）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：∽；‎ ‎（3）若点是的中点（如图2），求的值. ‎ C B O D 图1‎ A 图2‎ A B C D O ‎ ‎ ‎【答案】(1)如图 ……………………………2′‎ ‎ （2）证明：∵是⊙直径 ‎∴∠=∠= ‎ ‎∴∠+∠= …………1′‎ 又∵⊥ ‎ ‎∴∠=∠=‎ ‎∴∠+∠= ………………1′‎ ‎ ∴∠=∠ ………………1′‎ ‎ ∴∽ …………………1′‎ A B C D O ‎ (3)解：∵∠=，是的中点 ‎ ∴ 垂直平分 …………………1′‎ ‎ ∴ ………………1′‎ ‎ 设则 ‎ ∴= …………1′‎ ‎ ∴== ……1′‎ ‎80．（2010四川攀枝花）如图11，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C,弧AC=弧AD,CD交AB于E,BF⊥直线L,垂足为F,BF交⊙O于G.‎ ‎(1)图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论。‎ ‎（2）若sin∠CBF=, AE=4, 求AB的值。‎ 图11‎ A L D B G F E O ‎【答案】（1）证明：连结CG，AC 则∠CGF＝∠BAC ‎ ‎∵弧AC=弧AD,AB是⊙O的直径 ‎∴AB⊥CD, 又BF⊥直线L, ∴∠FCG＝∠CBF………2分 而∠ACE＝∠ABC, ∴∠CBF＝∠ABC, ∴AC=CG ‎∴Rt△ACE≌Rt△GCF, ∴AE=GF ………………………4分 ‎（2）∵sin∠CBF= ∴tan∠CBF=tan∠FCG== FG=AE=4,‎ ‎∴FC=8 由（1）得CE=FC=8………………………6分 ‎∵CE=AE×EB, ∴8 =4×EB, ∴EB=16 ∴AB=AE+EB=4+16=20…………8分