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  • 2021-05-13 发布

中考数学重难点试题训练

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‎ 中考数学重难点试题训练 ‎1.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.‎ ‎(1)求证:AD=BC;‎ ‎(2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图象的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.‎ ‎(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,y1﹣y2>0?‎ ‎(2)求一次函数解析式及m的值;‎ ‎(3)P是线段AB上一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.‎ ‎(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若AC=3,∠B=30°.‎ ‎①求⊙O的半径;‎ ‎②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)‎ ‎ ‎ ‎4.已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,1).‎ ‎(1)求二次函数y=ax2的解析式;‎ ‎(2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(x1、y1)、B(x2、y2)两点.‎ ‎①当m=时(图①),求证:△AOB为直角三角形;‎ ‎②试判断当m≠时(图②),△AOB的形状,并证明;‎ ‎(3)根据第(2)问,说出一条你能得到的结论.(不要求证明)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.(本题满分12分,每小题满分各6分)‎ EA 第23题 DA C B A 已知:如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.‎ ‎⑴求证:△ABE∽△ACD;‎ ‎⑵求证:;‎ ‎6.(本题满分14分,第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)‎ 已知:如图1,在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC, AD=2,AB=3, tanC=,点P是AD延长线上一点,F为DC的中点, 联结BP,交线段DF于点G.‎ ‎(1)若以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切,求PD的长;‎ ‎(2)如图2,过点F作BC的平行线交BP于点E,‎ ‎①若设DP=,EF=,求与的函数关系式并写出自变量的取值范围;‎ ‎②联结DE和PF,若DE=PF,求PD的长.‎ A P 第25题图1‎ DA C B FA G C EA A P 第25题图2‎ DA B FA G A 备用图 DA C B FA ‎7、(13分)已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系.‎ ‎(1)如图①,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为________.‎ ‎(2)如图②,若AB=BC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证明.‎ ‎(3)如图③,若AB=kBC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证明.‎ 答案与解析 ‎1.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.‎ ‎(1)求证:AD=BC;‎ ‎(2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.‎ 分析:‎ ‎(1)由平行四边形的性质易得AC=BM=BD,∠BDC=∠M=∠ACD,由全等三角形判定定理及性质得出结论;‎ ‎(2)连接EH,HF,FG,GE,E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,易得四边形HFGE为平行四边形,由平行四边形的性质及(1)结论得▱HFGE为菱形,易得EF与GH互相垂直平分.‎ 解答:‎ 证明:(1)过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,如图1,‎ ‎∵AB∥CD ‎∴四边形ABMC为平行四边形,‎ ‎∴AC=BM=BD,∠BDC=∠M=∠ACD,‎ 在△ACD和△BDC中,‎ ‎,‎ ‎∴△ACD≌△BDC(SAS),‎ ‎∴AD=BC;‎ ‎(2)连接EH,HF,FG,GE,如图2,‎ ‎∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,‎ ‎∴HE∥AD,且HE=AD,FG∥AD,且FG=,‎ ‎∴四边形HFGE为平行四边形,‎ 由(1)知,AD=BC,‎ ‎∴HE=EG,‎ ‎∴▱HFGE为菱形,‎ ‎∴EF与GH互相垂直平分.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,A(﹣4,),B(﹣1,2)是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图象的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.‎ ‎(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,y1﹣y2>0?‎ ‎(2)求一次函数解析式及m的值;‎ ‎(3)P是线段AB上一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P的坐标.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)观察函数图象得到当﹣4<x<﹣1时,一次函数图象都在反比例函数图象上方;‎ ‎(2)先利用待定系数法求一次函数解析式,然后把B点坐标代入y=可计算出m的值;‎ ‎(3)设P点坐标为(m,m+),利用三角形面积公式可得到••(m+4)=•1•(2﹣m﹣),解方程得到m=﹣,从而可确定P点坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)当y1﹣y2>0,‎ 即:y1>y2,‎ ‎∴一次函数y1=ax+b的图象在反比例函数y2=图象的上面,‎ ‎∵A(﹣4,),B(﹣1,2)‎ ‎∴当﹣4<x<﹣1时,y1﹣y2>0;‎ ‎(2)∵y2=图象过B(﹣1,2),‎ ‎∴m=﹣1×2=﹣2,‎ ‎∵y1=ax+b过A(﹣4,),B(﹣1,2),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴一次函数解析式为;y=x+,‎ ‎(3)设P(m,m+),过P作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,‎ ‎∴PM=m+,PN=﹣m,‎ ‎∵△PCA和△PDB面积相等,‎ ‎∴BD•DN,‎ 即;,‎ 解得m=﹣,‎ ‎∴P(﹣,).‎ ‎ ‎ ‎3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.‎ ‎(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若AC=3,∠B=30°.‎ ‎①求⊙O的半径;‎ ‎②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)‎ 解答:‎ 解:(1)直线BC与⊙O相切;‎ 连结OD,∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ODA,‎ ‎∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,‎ ‎∴∠CAD=∠OAD,‎ ‎∴∠CAD=∠ODA,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°,‎ 即OD⊥BC.‎ 又∵直线BC过半径OD的外端,‎ ‎∴直线BC与⊙O相切.‎ ‎(2)设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,‎ ‎∴OB=2r,‎ 在Rt△ACB中,∠B=30°,‎ ‎∴AB=2AC=6,‎ ‎∴3r=6,解得r=2.‎ ‎(3)在Rt△ACB中,∠B=30°,‎ ‎∴∠BOD=60°.‎ ‎∴.‎ ‎∴所求图形面积为.‎ ‎4.已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,1).‎ ‎(1)求二次函数y=ax2的解析式;‎ ‎(2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(x1、y1)、B(x2、y2)两点.‎ ‎①当m=时(图①),求证:△AOB为直角三角形;‎ ‎②试判断当m≠时(图②),△AOB的形状,并证明;‎ ‎(3)根据第(2)问,说出一条你能得到的结论.(不要求证明)‎ 考点:‎ 二次函数综合题.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)把点(2,1)代入可求得a的值,可求得抛物线的解析式;‎ ‎(2)①可先求得A、B两点的坐标,过A、B两点作x轴的垂线,结合条件可证明△ACO∽△ODB,可证明∠AOB=90°,可判定△AOB为直角三角形;②可用m分别表示出A、B两点的坐标,过A、B两点作x轴的垂线,表示出AC、BD的长,可证明△ACO∽△ODB,结合条件可得到∠AOB=90°,可判定△AOB为直角三角形;‎ ‎(3)结合(2)的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论.‎ 解答:‎ ‎(1)解:∵y=ax2过点(2,1),‎ ‎∴1=4a,解得a=,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2;‎ ‎(2)①证明:‎ 当m=时,联立直线和抛物线解析式可得,解得或,‎ ‎∴A(﹣2,1),B(8,16),‎ 分别过A、B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C、D,如图1,‎ ‎∴AC=1,OC=2,OD=8,BD=16,‎ ‎∴==,且∠ACO=∠ODB,‎ ‎∴△ACO∽△ODB,‎ ‎∴∠AOC=∠OBD,‎ 又∵∠OBD+∠BOD=90°,‎ ‎∴∠AOC+∠BOD=90°,即∠AOB=90°,‎ ‎∴△AOB为直角三角形;‎ ‎②解:△AOB为直角三角形.‎ 证明如下:‎ 当m≠时,联立直线和抛物线解析式可得,解得或,‎ ‎∴A(2m﹣2,(m﹣)2),B(2m+2,(m+)2),‎ 分别过A、B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,如图2,‎ ‎∴AC=(m﹣)2,OC=﹣(2m﹣2),BD=(m+)2,OD=2m+2,‎ ‎∴==,且∠ACO=∠ODB,‎ ‎∴△ACO∽△OBD,‎ ‎∴∠AOC=∠OBD,‎ 又∵∠OBD+∠BOD=90°,‎ ‎∴∠AOC+∠BOD=90°,即∠AOB=90°,‎ ‎∴△AOB为直角三角形;‎ ‎(3)解:由(2)可知,一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B,则△AOB恒为直角三角形.(答案不唯一).‎ 点评:‎ 本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点.在(1)中注意待定系数法的应用步骤,在(2)中注意表示出A、B两点的坐标,构造三角形相似是解题的关键,在(3)中答案不唯一,可结合(2)的过程得出.本题知识点较多,综合性很强,难度较大.‎ EA 第23题 DA C B A O ‎5.‎ 证明:(1)∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAE=∠DAC…………………………2分 ‎ ∵ ∠BAC=∠BDC,∠BOA=∠DOC ‎∴∠ABE=∠ACD…………………………………………………2分 ‎∴△ABE∽△ACD………………………………………………2分 ‎(2) ∵△ABE∽△ACD ∴……………………………2分 ‎∵∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△AED………………………1分 ‎∴……………………………………………………2分 ‎∴…………………………………………1分 ‎6.‎ 解:(1)∵在直角三角形ABP中,AD=2,AB=3, DP=‎ ‎ ∴BP=………………………………………………………1分 ‎∵以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切 ‎∴BP=AB+PD………………………………………………………………1分 ‎∴…………………………………………………2分 解得: ……………………………………………………………1分 ‎∴PD的长为2时,以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切。‎ ‎(2)联结DE并延长交BC于点G,………………………………………………1分 ‎∵F为DC的中点,EF∥BC ∴DE=EG ‎ ‎∴CG=2EF ‎∵AD∥BC ∴‎ ‎∴DP=BG…………………………………………………………………………1分 过D作DH⊥BC于点H,∵tanC=,DH=3 ∴CH=6‎ ‎∵AD=BH=2 ∴BC=8…………………………………………………………1分 ‎∵DP=,EF=, BC=BG+CG ‎∴ ∴………………………………………2分 ‎(3)∵AD∥EF ,DE=PF 当 DP=EF时,四边形DEFP为平行四边形 ‎∴= ∴…………………………………………………………………2分 当 DPEF时,四边形DEFP为等腰梯形 过E作EQ⊥AP于点Q, DQ=‎ ‎∵EQ∥AB,BE=PE ∴AQ= ∴DQ=‎ ‎∴= 解得:…………………………………………2分 ‎∴PD的长为或4.‎ ‎7、(1)如图①,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为_AE=EF_______.‎ ‎(2)猜想:(1)中得到的结论没有发生变化.‎ 证法一:如图①,过点E作EH∥AB交AC于点H,则 ‎∠BAC+∠1=180°,∠BAC=∠2.‎ ‎∵AB=BC,∴∠BAC=∠3.∴∠2=∠3.∴EH=EC.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠D+∠DCB=180°.‎ ‎∵∠BAC=∠D,∴∠1=∠DCB=∠ECF.‎ ‎∵∠4=∠5,∠AEF=∠ACF,∴∠6=∠7.∴△AEH≌△FEC.‎ ‎∴AE=EF.‎ 证法二:如图②,过点E作EG∥AC交AB于点G,则∠BAC+∠1=180°.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠D+∠DCB=180°,∠2=∠3.‎ ‎∵∠BAC=∠D,∴∠1=∠DCB=∠ECF,∠B=∠4.‎ ‎∵∠AEF=∠4,∴ ∠B=∠AEF.‎ ‎∵∠B+∠GAE=∠AEF+∠CEF,∴∠GAE=∠CEF.‎ ‎∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.‎ ‎∵GE<AC,∴四边形AGEC是等腰梯形.‎ ‎∴AG=CE.∴△AEG≌△EFC.‎ ‎∴AE=EF.‎ ‎(3)猜想:AE=kEF.‎ 证法一:如图③,过点E作EH∥AB,交AC于点H,则△HEC∽△ABC.‎ ‎.‎ 同(2)可证 ∠AHE=∠FCE,∠EAH=∠CFE.‎ ‎∴△AEH∽△FEC..‎ 即AE=kEF.‎ 证法二:如图④,过点E作EG∥AC,交AB于点G,则△GBE∽△ABC.‎ ‎.‎ ‎.∴GB=kBE,AB=kBC.‎ 同(2)可证 ∠GAE=∠CEF,∠AGE=∠ECF.‎