中考数学重难点试题训练 12页

‎ 中考数学重难点试题训练 ‎1.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．‎ ‎（1）求证：AD=BC；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．‎ ‎　‎ ‎2.如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．‎ ‎（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？‎ ‎（2）求一次函数解析式及m的值；‎ ‎（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．‎ ‎（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AC=3，∠B=30°．‎ ‎①求⊙O的半径；‎ ‎②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）‎ ‎　‎ ‎4.已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2的解析式；‎ ‎（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．‎ ‎①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；‎ ‎②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；‎ ‎（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎5．（本题满分12分，每小题满分各6分）‎ EA 第23题 DA C B A 已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.‎ ‎⑴求证：△ABE∽△ACD；‎ ‎⑵求证：；‎ ‎6．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）‎ 已知：如图1，在梯形ABCD中，∠A=90°,AD∥BC, AD=2,AB=3, tanC=,点P是AD延长线上一点，F为DC的中点， 联结BP，交线段DF于点G．‎ ‎（1）若以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切，求PD的长；‎ ‎（2）如图2，过点F作BC的平行线交BP于点E，‎ ‎①若设DP=，EF=，求与的函数关系式并写出自变量的取值范围；‎ ‎②联结DE和PF，若DE=PF，求PD的长．‎ A P 第25题图1‎ DA C B FA G C EA A P 第25题图2‎ DA B FA G A 备用图 DA C B FA ‎7、（13分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．‎ ‎(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．‎ ‎(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．‎ ‎(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．‎ 答案与解析 ‎1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．‎ ‎（1）求证：AD=BC；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．‎ 分析：‎ ‎（1）由平行四边形的性质易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等三角形判定定理及性质得出结论；‎ ‎（2）连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得▱HFGE为菱形，易得EF与GH互相垂直平分．‎ 解答：‎ 证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，‎ ‎∵AB∥CD ‎∴四边形ABMC为平行四边形，‎ ‎∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，‎ 在△ACD和△BDC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BDC（SAS），‎ ‎∴AD=BC；‎ ‎（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，‎ ‎∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，‎ ‎∴HE∥AD，且HE=AD，FG∥AD，且FG=，‎ ‎∴四边形HFGE为平行四边形，‎ 由（1）知，AD=BC，‎ ‎∴HE=EG，‎ ‎∴▱HFGE为菱形，‎ ‎∴EF与GH互相垂直平分．‎ ‎　‎ ‎2．如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．‎ ‎（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？‎ ‎（2）求一次函数解析式及m的值；‎ ‎（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；‎ ‎（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；‎ ‎（3）设P点坐标为（m，m+），利用三角形面积公式可得到••（m+4）=•1•（2﹣m﹣），解方程得到m=﹣，从而可确定P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）当y1﹣y2＞0，‎ 即：y1＞y2，‎ ‎∴一次函数y1=ax+b的图象在反比例函数y2=图象的上面，‎ ‎∵A（﹣4，），B（﹣1，2）‎ ‎∴当﹣4＜x＜﹣1时，y1﹣y2＞0；‎ ‎（2）∵y2=图象过B（﹣1，2），‎ ‎∴m=﹣1×2=﹣2，‎ ‎∵y1=ax+b过A（﹣4，），B（﹣1，2），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴一次函数解析式为；y=x+，‎ ‎（3）设P（m，m+），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，‎ ‎∴PM=m+，PN=﹣m，‎ ‎∵△PCA和△PDB面积相等，‎ ‎∴BD•DN，‎ 即；，‎ 解得m=﹣，‎ ‎∴P（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．‎ ‎（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AC=3，∠B=30°．‎ ‎①求⊙O的半径；‎ ‎②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）‎ 解答：‎ 解：（1）直线BC与⊙O相切；‎ 连结OD，∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA，‎ ‎∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，‎ ‎∴∠CAD=∠OAD，‎ ‎∴∠CAD=∠ODA，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°，‎ 即OD⊥BC．‎ 又∵直线BC过半径OD的外端，‎ ‎∴直线BC与⊙O相切．‎ ‎（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，‎ ‎∴OB=2r，‎ 在Rt△ACB中，∠B=30°，‎ ‎∴AB=2AC=6，‎ ‎∴3r=6，解得r=2．‎ ‎（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，‎ ‎∴∠BOD=60°．‎ ‎∴．‎ ‎∴所求图形面积为．‎ ‎4．已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．‎ ‎（1）求二次函数y=ax2的解析式；‎ ‎（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．‎ ‎①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；‎ ‎②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；‎ ‎（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；‎ ‎（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．‎ 解答：‎ ‎（1）解：∵y=ax2过点（2，1），‎ ‎∴1=4a，解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2；‎ ‎（2）①证明：‎ 当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴A（﹣2，1），B（8，16），‎ 分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，‎ ‎∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，‎ ‎∴==，且∠ACO=∠ODB，‎ ‎∴△ACO∽△ODB，‎ ‎∴∠AOC=∠OBD，‎ 又∵∠OBD+∠BOD=90°，‎ ‎∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，‎ ‎∴△AOB为直角三角形；‎ ‎②解：△AOB为直角三角形．‎ 证明如下：‎ 当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），‎ 分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，‎ ‎∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，‎ ‎∴==，且∠ACO=∠ODB，‎ ‎∴△ACO∽△OBD，‎ ‎∴∠AOC=∠OBD，‎ 又∵∠OBD+∠BOD=90°，‎ ‎∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，‎ ‎∴△AOB为直角三角形；‎ ‎（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结合（2）的过程得出．本题知识点较多，综合性很强，难度较大．‎ EA 第23题 DA C B A O ‎5．‎ 证明：（1）∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAE=∠DAC…………………………2分 ‎ ∵ ∠BAC=∠BDC，∠BOA=∠DOC ‎∴∠ABE=∠ACD…………………………………………………2分 ‎∴△ABE∽△ACD………………………………………………2分 ‎(2) ∵△ABE∽△ACD ∴……………………………2分 ‎∵∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△AED………………………1分 ‎∴……………………………………………………2分 ‎∴…………………………………………1分 ‎6．‎ 解：（1）∵在直角三角形ABP中，AD=2,AB=3, DP=‎ ‎ ∴BP=………………………………………………………1分 ‎∵以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切 ‎∴BP=AB+PD………………………………………………………………1分 ‎∴…………………………………………………2分 解得： ……………………………………………………………1分 ‎∴PD的长为2时，以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切。‎ ‎（2）联结DE并延长交BC于点G，………………………………………………1分 ‎∵F为DC的中点，EF∥BC ∴DE=EG ‎ ‎∴CG=2EF ‎∵AD∥BC ∴‎ ‎∴DP=BG…………………………………………………………………………1分 过D作DH⊥BC于点H，∵tanC=，DH=3 ∴CH=6‎ ‎∵AD=BH=2 ∴BC=8…………………………………………………………1分 ‎∵DP=，EF=, BC=BG+CG ‎∴ ∴………………………………………2分 ‎（3）∵AD∥EF ，DE=PF 当 DP=EF时，四边形DEFP为平行四边形 ‎∴= ∴…………………………………………………………………2分 当 DPEF时，四边形DEFP为等腰梯形 过E作EQ⊥AP于点Q， DQ=‎ ‎∵EQ∥AB，BE=PE ∴AQ= ∴DQ=‎ ‎∴= 解得：…………………………………………2分 ‎∴PD的长为或4.‎ ‎7、(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为_AE＝EF_______．‎ ‎(2)猜想：(1)中得到的结论没有发生变化．‎ 证法一：如图①，过点E作EH∥AB交AC于点H，则 ‎∠BAC＋∠1＝180°，∠BAC＝∠2．‎ ‎∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠3．∴∠2＝∠3．∴EH＝EC．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°．‎ ‎∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF．‎ ‎∵∠4＝∠5，∠AEF＝∠ACF，∴∠6＝∠7．∴△AEH≌△FEC．‎ ‎∴AE＝EF．‎ 证法二：如图②，过点E作EG∥AC交AB于点G，则∠BAC＋∠1＝180°．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°，∠2＝∠3．‎ ‎∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF，∠B＝∠4．‎ ‎∵∠AEF＝∠4，∴ ∠B＝∠AEF．‎ ‎∵∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，∴∠GAE＝∠CEF．‎ ‎∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．‎ ‎∵GE＜AC，∴四边形AGEC是等腰梯形．‎ ‎∴AG＝CE．∴△AEG≌△EFC．‎ ‎∴AE＝EF．‎ ‎(3)猜想：AE＝kEF．‎ 证法一：如图③，过点E作EH∥AB，交AC于点H，则△HEC∽△ABC．‎ ‎．‎ 同(2)可证 ∠AHE＝∠FCE，∠EAH＝∠CFE．‎ ‎∴△AEH∽△FEC．．‎ 即AE＝kEF．‎ 证法二：如图④，过点E作EG∥AC，交AB于点G，则△GBE∽△ABC．‎ ‎．‎ ‎．∴GB＝kBE，AB＝kBC．‎ 同(2)可证 ∠GAE＝∠CEF，∠AGE＝∠ECF．‎