中考数学专题复习圆的有关概念及性质学生版 9页

‎2013年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 圆的定义及性质：‎ 1、 圆的定义：‎ ‎ ⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 ‎ ‎⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 ‎【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的 半径决定圆的 ‎ ‎2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】‎ ‎2、弦与弧：‎ ‎ 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 ‎ 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 ‎3、圆的对称性：‎ ‎ ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 ‎ ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 ‎ ‎ 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】‎ 二、 垂径定理及推论：‎ ‎ 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 ‎ ‎ 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 ‎ ‎【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用 ‎2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线 ‎3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】‎ 三、圆心角、弧、弦之间的关系：‎ ‎ 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 ‎ 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 ‎ ‎【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】‎ 四、 圆周角定理及其推论：‎ ‎ 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 ‎ 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 ‎ 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 ‎ 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 ‎ ‎【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 ‎ 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】‎ 五、 圆内接四边形：‎ ‎ 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 ‎ 性质：圆内接四边形的对角 ‎ ‎【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】‎ 考点一：垂径定理 例1 （2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是： 甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点， 2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形       乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点． 2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）‎ A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 对应训练 ‎1．（2012•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（　　）‎ A．4 B．‎6‎ C．8 D．12‎ 考点二：圆周角定理 例2 （2012•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C （1）求证：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．‎ 对应训练 ‎37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC； （2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．‎ 考点三：圆内接四边形的性质 例3 （2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）‎ A．6 B．‎5 C．3 D．3 ‎ 对应训练 ‎3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（　　）‎ A．115° B．l05° C．100° D．95°‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）‎ A．等于4 B．等于‎4‎ C．等于6 D．随P点位置的变化而变化 ‎2．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎‎ ‎C．3 D．4‎ ‎3．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）‎ A．8 B．‎10 ‎C．16 D．20‎ ‎4．（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（　　）‎ A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE ‎5．（2012•重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）‎ A．45° B．35° C．25° D．20°‎ ‎6．（2012•云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎7．（2012•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）‎ A．80° B．160° C．100° D．80°或100°‎ ‎8．（2012•泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（　　）‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ 二、填空题 ‎9．（2012•朝阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 5‎ ‎．‎ ‎10．（2012•成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，‎0C=1，则半径OB的长为 2‎ ‎．‎ ‎10．2‎ ‎11．（2012•嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 24‎ ‎．‎ ‎12．（2012•株洲）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB= ．‎ ‎13．（2012•玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ．‎ ‎14．（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则： （1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ； （2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 ．‎ ‎15．（2012•鞍山）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是 ．‎ ‎15.30°‎ 三、解答题 ‎16．（2012•荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距‎8m，罐底最低点到地面CD距离为‎1m．设油罐横截面圆心为O，半径为‎5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）‎ ‎17．（2012•南通）如图，⊙O的半径为‎17cm，弦AB∥CD，AB=‎30cm，CD=‎16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．‎ ‎18．（2012•宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．‎ ‎19．（2012•长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD．‎ ‎20．（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°． （1）求∠ACB的大小； （2）求点A到直线BC的距离．‎ ‎21．（2012•怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB． （1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数； （2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．‎