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- 2021-05-13 发布
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三角形综合题
1．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．
（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；
（2）若y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．
2．如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
3．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m=n，点E在线段AC上，则= ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则= （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC=，BC=2，DF=4，请直接写出CE的长．
5．如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是 ；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）
6．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F．
（1）如图1，若CE⊥AB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；
（2）如图2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求证：CE=HE；
（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A′，连接CA′，EA′，DA′，请直接写出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之间的等量关系．
7．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD．
填空：①= ；②∠ACD的度数为 ．
（2）拓展探究
如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD．若PA=5，请直接写出CD的长．
8．Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示，其中AC=2，BC=6，DE=3，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动．
（1）当Rt△DEF在起始时，求∠AMF的度数；
（2）设BC的中点的为P，当△PBM为等腰三角形时，求t的值；
（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围．
9．如图，已知等腰△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连接FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，连接GC．
（1）求证：EF∥CG；
（2）若AC=AB，求证：AC=CG；
（3）如图2，若CG=EG，则= ．
10．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=6，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；
（2）如图2，当α=135°时，设直线BD1与CA的交点为F，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；
（3）点P到AB所在直线的距离的最大值是 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点．
（1）求证：MN=PQ；
（2）如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；
（3）若BC=6，请你直接写出当①BD=3；②BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成图形的形状．
12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．
（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；
（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．
①求线段DM的长；
②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．
13．等腰三角形ABC中，AB=CB，BO⊥AC，点P为射线BC上的动点（不与点B重合），在射线CA上截取CD=CB，作PF⊥BD，分别交射线BO，BD于点E，F．设∠ABC=α．
（1）令∠ABC=90°．
①如图1，当点P与点C重合时，求证：△BOD≌△POE；
②如图2，当点P在点C的左边时，求的值；
③猜想：当点P在点C的右边时，的值又是多少？
请直接写出．
（2）设点P在点C的右边，请在图3（∠ABC＞90°）或图4（∠ABC＜90°）中继续探究的值（用含α的式子表示），并说明理由．
14．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE．
（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC的中点，连接EG，求证：AG+EG=BE；
②如图3，若点E是AC边上的动点，连接DF．当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．
15．在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线．
（1）如图①，CG⊥AD于G，BG的延长线交AE于H，求证：AH=EH；
（2）如图①，在（1）的条件下，若AE=2AD，BE=5BC，则tan∠AHB= ；
（3）如图②，点M是DE的中点，BE=5BC=10，求MD的长．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点，点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1
个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PQD的面积为S．
（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．
（2）当△PQD是等边三角形时，求t的值．
（3）当S＞0时，求S与t的函数关系式．
（4）若点D关于直线PQ的对称点为点D′，且S＞0，直接写出点D′落在△ABC的边上时t的值．
17．在Rt△AOB中，OA=3，sinB=，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．
（1）线段AP的长度为 （用含a、t的代数式表示）；
（2）如图①，连结PO、PM，若a=1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；
（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．
18．在直角△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边上，连结BE，作∠ACF=∠CBE交AB于点F，同时点D在BE
上，且CD⊥AB．
（1）已知：如图，，．
①求证：△ACF≌△BCD．
②求的值．
（2）若，，则的值是多少（直接写出结果）
19．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．
（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；
（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；
（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．
20．在△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点．
（1）如图1，若EF∥BC、DF∥AB，连CE、AD分别交DF、EF于N、M，且E为AB的中点，求证：EM=MF；
（2）如图2，在（1）中，若E不是AB的中点，请写出与MN平行的直线，并证明；
（3）若BD=DC，∠B=90°，且AE：AB：BC=1：3：2，AD与CE相交于点Q，直接写出tan∠CQD的值．
21．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）①如图1，当∠ABE=45°，时，a= ，b= ；
②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
22．如图，一个直角三角形纸片的锐角顶点A在∠MCN的边OM上移动，移动过程中始终有AB⊥ON于点B，AC⊥
OM于点A，∠MON的平分线OP分别交AB，AC于点D、E．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系？（不必证明）
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系？请证明你的猜想．
23．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F、D．
（1）问题发现：直接写出∠NDE= 度；
（2）拓展探究：试判断，如图②当∠EAC为钝角时，其他条件不变，∠NDE的大小有无变化？请给出证明．
（3）如图③，若∠EAC=15°，BD=，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请直接写出AC的长．
24．在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延长AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连接DE．连接EF，且∠DEF=∠DBC．
（1）如图1，若∠D=∠EFC=15°，AB=，求AC的长．
（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，求证：CF=BE．
（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论．
25．中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！
（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；
（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；
（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．
26．已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M．
（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是 ；
（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图③，若，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．
27．在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．
28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
29．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．
30．如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段CF的中点，连接PD，PG．
（1）若∠BAD=∠AEF=120°，请直接写出∠DPG的度数及的值．
（2）若∠BAD=∠AEF=120°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．
（3）若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α（0°＜α＜90°），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值．
三角形综合题答案
1．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．
（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；
（2）若y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，
cot∠BAC=，
∴AC=6，AB=10，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ACF=∠B，
∴△ABD∽△ACF，
∴，
在Rt△ABC中，点F恰好是AE的中点，
∴CF=AE=AF，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中，AC=6，CD=BC﹣BD=BC﹣AD=8﹣AD，
根据勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
∴36+（8﹣AD）2=AD2，
∴AD=，
∴BD=AD=，
（2）如图1，过点F作FM⊥AC于M，
由（1）知，∴=，
∴CF==×x=x，
由（1）△ABD∽△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∴tan∠ACF=tanB===，
∴MC=x，
∴y===（0＜x＜8）
（3）∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，
∴①当AD=AE时，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠ACD=90°，
∴∠EAC=∠DAC=∠DAB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴，
∵AC=6，AB=10，CD=8﹣BD，
∴，
∴BD=5，
当AD=DE时，
∴∠DAE=∠DEA=∠BAC，
∴∠ADE=2∠B，
∴∠B=∠DAB，
∴AD=BD=（是（1）的那种情况）．
即：BD=5或BD=时，△ADE是以AD为腰的等腰三角形．
2．如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（1）
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，sinA=，tanB=，
如图，当CD⊥AB时，△ACD为直角三角形，
∴CD=AC•sinA=，
∴AD==，
又∵∠DCE=∠ABC，
∴在Rt△CDE中，DE=CD•tan∠DCE=×=，
∴BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣=；
（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，
∴唯有∠CED=∠CDE，
又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，
∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，
∴BD=BC=4，
∴AD=5﹣4=1；
（3）如图所示，作CH⊥AB于H，
∵×BC×AC=AB×CH，
∴CH=，
∴Rt△ACH中，AH==，
∴在Rt△CDH中，CD2=CH2+DH2=（）2+（﹣x）2=x2﹣x+9，
又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，
∴△BDC∽△CDE，
∴CD2=DE•DB，
即x2﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），
解得．
3． 如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．
解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则
根据QE=2DQ，可得
==，
又∵DE∥BC，
∴==1，
∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，
∵DF∥AC，
∴=，即=，
∴y=，定义域为：0＜x＜3；
（2）
∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，
①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，
∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），
解得y=，
∴=，
解得x==BD；
②当PC=BC=2时，AP=y=1，
∴=1，
解得x==BD；
③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；
（3）∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互补，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四边形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴=，即2DQ2=x2，
∴DQ=，DE=，
∵DE∥BC，
∴=，即=，
解得x=．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m=n，点E在线段AC上，则= 1 ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则= （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC=，BC=2，DF=4，请直接写出CE的长．
解：（1）当m=n时，即：BC=AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴=1，
∴=1
（2）①∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴
②成立．如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠FDE=∠ADC=90°，
∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，
即∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴，
∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
∴．
（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵=，
∴=，
∴CF=2AE，
在RtDEF中，DE=2，DF=4，
∴EF=2，
①在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC﹣CE）=2（﹣CE），EF=2，
根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴CE2+[2（﹣CE）]2=40
∴CE=2，或CE=﹣（舍）
②在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（+CE），EF=2，
根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴CE2+[2（+CE）]2=40，
∴CE=，或CE=﹣2（舍），
即：CE=2或CE=．
5．如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD = ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是 BD=CD+AD ；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）
解：（1）如图2，
∵∠CDP=120°，
∴∠CDB=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CDB=∠BAC=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD．
在BP上截取BE=CD，连接AE．
在△DCA与△EBA中，
，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD．
∵BD=BE+DE，
∴BD=CD+AD．
故答案为=，BD=CD+AD；
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．
∵∠CDP=60°，
∴∠CDB=120°．
∵∠CAB=120°，
∴∠CDB=∠CAB，
∵∠DOC=∠AOB，
∴△DOC∽△AOB，
∴∠DCA=∠EBA．
在△DCA与△EBA中，
，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，
∴∠DAE=120°，
∴∠ADE=∠AED==30°．
∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
∴DF=AD，
∴DE=2DF=AD，
∴BD=DE+BE=AD+CD，
∴BD﹣CD=AD；
（3）线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CD=AD或CD﹣BD=AD．
6．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F．
（1）如图1，若CE⊥AB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；
（2）如图2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求证：CE=HE；
（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A′，连接CA′，EA′，DA′，请直接写出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之间的等量关系．
解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵CG⊥AD，
∴∠CHF=∠AHG=90°，∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°，AH=DH=CH=5，
∴∠GAH+∠AGC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴∠GCE+∠AGC=90°，
∴∠GCE=∠GAH，
在△CHF与△AHG中，，
∴△CHF≌△AHG，
∴HF=HG=1，
∴CF===；
（2）如图2，过H作MH⊥EH，交CE于M，连接AM，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∵∠GEH=∠ECG，
∵MH⊥EH，
∴△EHM为等腰直角三角形，∠EHM=90°，
∴EH=MH，EM=HE，
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE，
在△AHM与△CHE中，，
∴△AHM≌△CHE，
∴∠MAF=∠ECH，
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°，
∴∠CHD=180°﹣90°，
∴AM⊥CE，
∵AC=AE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴CM=EM=HE，
∴CE=2EM=2HE；
（3）∵H为AD的中点，E我AB的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BC，
∴∠CEH=∠BCE，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH，
∵EC=AE，
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH，
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH，
∵A关于CE的对称点A′，
∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH，CA=CA′，
∵CA=CD，
∴CA′=CD，
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D，
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°，
∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°，
化简得：∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH，
7．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD．
填空：①= 1 ；②∠ACD的度数为 45° ．
（2）拓展探究
如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD．若PA=5，请直接写出CD的长．
解：（1）∵∠A=90°，=1，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，
∴AP=AD，
∴∠BAP=∠CAD，
在△ABP与△ACD中，，
∴△ABP≌△ACD，
∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，
∴=1，
故答案为：1，45°；
（2）∠ACD=∠B，==k；
∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴=k，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴∠ACD=∠B，==k；
（3）过A作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴AC==4，
∴PH==3，
∴PB=1，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，
∴△ABC∽△APD，
∴，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，
∴∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴=，即，
∴CD=．
8．Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示，其中AC=2，BC=6，DE=3，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动．
（1）当Rt△DEF在起始时，求∠AMF的度数；
（2）设BC的中点的为P，当△PBM为等腰三角形时，求t的值；
（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围．
解：（1）
在Rt△ABC中，tan∠B===，
∴∠B=30°，
在Rt△DEF中，∠D=30°，
∴∠DFC=60°，
∴∠FMB=∠DFC﹣∠B=30°，
∴∠AMF=180°﹣∠FMB=150°；
（2）∵BC=6，点P为线段BC的中点，
∴BP=3，
（ⅰ）若点M在线段AB上，
①当PB=PM时，PB=PM=3，
∵DE=3，∠D=30°，
∴EF=DE•tan30°=3，
∴此时t=0；
②如右图（1）所示
当BP=BM时，BP=BM=3，
∵∠B=30°，∠DFE=60°，
∴∠FMB=30°，
∴△BMF为等腰三角形．
过点F作FH⊥MB于H，则BH=BM=，
在Rt△BHF中，∠B=30°，
∴BF=，
∴t=3﹣；
③如右图（2）所示，
当MP=MB时，∠MPB=∠B=30
∵∠MFP=60°，
∴PM⊥MF，∠BMF=30°
∴FB=FM，
设FB=x，则FM=x，PF=2x．
∴3x=3，x=1
∴t=2；
（ⅱ）若点M在射线AB上，
如右图（3）所示，
∵∠PBM=150°
∴当△PBM为等腰三角形时，有BP=BM=3
∵△BFM为等腰三角形，
∴过点F作FH⊥BM于H，则BH=BM=，
在Rt△BHF中，∠FBH=30°
∴BF=，
∴t=3+，
综上所述，t的值为0，3﹣，2，3+．
（3）当0＜t≤3时，BE=6﹣t，NE=（6﹣t），
∴=，
过点F作FH⊥MB于H，如右图（1）所示，
∵FB=3﹣t
∴HF=（3﹣t），HB=（3﹣t），MB=（3﹣t），
∴=，
∴S=S△BEN﹣S△BMF==，
当3＜t≤6时，BE=6﹣t，NE=（6﹣t），如右图（4）所示，
∴S==，
由上可得，当0＜t≤3时，S=，
当3＜t≤6时，S=，
即S=．
9．如图，已知等腰△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连接FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，连接GC．
（1）求证：EF∥CG；
（2）若AC=AB，求证：AC=CG；
（3）如图2，若CG=EG，则= ．
（1）证明：∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠A．
∵∠CDE=FDG，
∴∠FDG=∠A．
∵点F为线段AD的中点，
∴AF=DF．
在△ABF和△DGF中，，
∴△ABF≌△DGF（ASA），
∴BF=GF，
∴点F为线段BG的中点，
∵点E为线段BC的中点，
∴EF为△BCG的中位线，
∴EF∥CG．
（2）证明：在图1中，过点C作CM⊥AB于点M．
∵AC=BC，
∴AM=BM=AB．
∵AC=AB，
∴==．
∵AF=AD=AC=AB，
∴==，
∴△BAF∽△CAM，
∴∠AFB=∠AMC=90°，
∴CF⊥BG．
∵点F为线段BG的中点，
∴BC=CG，
又∵AC=BC，
∴AC=CG．
（3） 解：
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=AB，CE=BC=AC，
∵DG=AB，EG=DE+DG，
∴EG=AB．
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∵AC=BC，CG=EG，
∴△GEC∽△CBA，
∴，既，
∴=，
故答案为：．
10．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=6，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 3 ，线段CE1的长等于 3 ；
（2）如图2，当α=135°时，设直线BD1与CA的交点为F，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；
（3）点P到AB所在直线的距离的最大值是 ．
解：
（1）∵∠CAB=90°，AC=AB=6，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=3，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α=90°时，AE1=3，∠E1AE=90°，
∴BD1==3，E1C==3；
故答案为：3，3；
（2）证明：当α=135°时，如图2，连接CE1，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=3，则BD1==3，
故∠ABP=30°，
则PB=3+3，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=，
故答案为：．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点．
（1）求证：MN=PQ；
（2）如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；
（3）若BC=6，请你直接写出当①BD=3；②BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成图形的形状．
解：（1）∵△ABC与△AEF关于直线AD对称，如图1，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，
∵点M、N、P、Q分别是AB、BC、EF、EA的中点，
∴MN、PQ分别是△ABC和△AEF的中位线，
∴MN=AC，PQ=AF，
∴MN=PQ；
（2）当BD=BC时，点M、点N、点P、点Q围成的四边形是矩形．
连结BE、MN、PQ，如图2，
∵点M、点Q是AB、AE的中点．
∴MQ∥BE且MQ=BE，
∵点N是BC中点，
∴BN=BC，
又∵BD=BC，
∴DN=BN﹣BD=BC﹣BC=BC，
∴
∵点B与点E关于直线AD对称，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴
∴PN∥BE，PN=BE，
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四边形MQNP是平行四边形，
∵MN=PQ，
∴四边形MQNP是矩形．
（3）当BD=3时，围成等腰三角形；
当BD=6时，围成矩形．
12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M．
（1）如图1，若∠B=30°，求证：△ACD是等边三角形；
（2）如图2，若AC=10，AD=13，∠CDH=∠A．
①求线段DM的长；
②点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当△DMN是等腰三角形时，求线段MP的长．
（1）证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形；
（2）解：①∵点D是直角三角形斜边AB上的中点，
∴AC=CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∵∠CDH=∠A，
∴∠ACD=∠CDH，
∴DH∥AC，
∴DM为△ABC的中位线，
∴DM=AC=5；
②分三种情况考虑：
（i）当MN=DN时，如图1所示，
由①得：AD=CD，∠A=∠ACD=∠CDH，DM=5，
∵MN=DN，
∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD，
∴△ADC∽△DNM，
∴=，即=，
解得：DN==CD，
∴CN=DN，
∵DH∥AC，
∴△ACN≌△PDN，
∴PD=AC=10，
∴MP=PD﹣DM=10﹣5=5；
（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A，
∴△ADC∽△MDN，
∴=，即=，
解得：DN=，
∴CN=13﹣=，
∵△ACN∽△PDN，
∴=，即=，
解得：PD=，
则MP=DM﹣PD=5﹣=；
（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=13﹣5=8，
∵△ACN∽△PDN，
∴=，即=，
解得：PD=，
则MP=PD﹣DM=．
13．等腰三角形ABC中，AB=CB，BO⊥AC，点P为射线BC上的动点（不与点B重合），在射线CA上截取CD=CB，作PF⊥BD，分别交射线BO，BD于点E，F．设∠ABC=α．
（1）令∠ABC=90°．
①如图1，当点P与点C重合时，求证：△BOD≌△POE；
②如图2，当点P在点C的左边时，求的值；
③猜想：当点P在点C的右边时，的值又是多少？
请直接写出．
（2）设点P在点C的右边，请在图3（∠ABC＞90°）或图4（∠ABC＜90°）中继续探究的值（用含α的式子表示），并说明理由．
解：（1）①如图1中，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴OA=OC=OB，∠BOC=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠CFD=90°，
∵∠CDF+∠DCF=90°，∠DCF+∠CEO=90°，
∴∠CEO=∠BDO，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE，（即△BOD≌△POE）．
②如图2中，作PM⊥OB于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠C=45°，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠MPB=∠MBP=45°，
∴BM=PM，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
在△BMN和△PME中，
，
∴△BMN≌△PME，
∴BN=PE，
∵BF=FN，
∴=．
③如图3中，当点P在点C的右边时，的值为．
理由：作PM⊥OB于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠ACB=45°，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠MPB=∠MBP=45°，
∴BM=PM，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
在△BMN和△PME中，
，
∴△BMN≌△PME，
∴BN=PE，
∵BF=FN，
∴=．
（2）如图4中，=．
理由：作PM⊥BO于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠ACB=，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
∴△BMN∽△PME，
∴==tan∠BPM，
∴BPM，
∴=．
如图5中，=．
理由：理由：作PM⊥BO于M，交BD于N．
∵PM⊥OB，AC⊥OB，
∴PN∥AC，
∴∠PNB=∠CDB，∠NPB=∠ACB=，
∵CB=DC，
∴∠CBD=∠CDB=∠PNB，
∴PB=PN，∵PF⊥BN，
∴BF=FN，
∵∠FEB=∠MEP，∠EFB=∠PME=90°，
∴∠EBF=∠EPM，
∴△BMN∽△PME，
∴==tan∠BPM，
∴BPM，
∴=．
14．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE．
（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC的中点，连接EG，求证：AG+EG=BE；
②如图3，若点E是AC边上的动点，连接DF．当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．
解：（1）在Rt△ABE中，AF是中线，
∴AF=BE，
∵AF=5，
∴BE=10，
在Rt△ABE中，AE=6，BE=10，可求得AB=8，
又∵AB=AC，∴AC=8，
∴CE=AC﹣AE=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵点F是BE的中点，
∴DF=CE=1；
（2）如图1，过点C作CM⊥AC，交AG的延长线于点M，则∠ACM=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ACM，
∵AF是△ABE的高，
∴∠AFB=90°，
∴∠1+∠BAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠BAF=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△CAM中
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，BE=AM，
又点E是AC边的中点，
∴CE=AE=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
又∵∠ACM=90°，
∴∠MCG=45°=∠ACB，
在△CEG和△CMG中
∴△CEG≌△CMG（SAS），
∴EG=GM，
又BE=AM，
∴AG+EG=AG+GM=AM=BE；
（3）如图2，过点D作DN⊥DF，交AG的延长线于点N，则∠NDF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°=∠NDF，
∴∠ADB+∠ADF=∠NDF+∠ADF，即∠BDF=∠ADN，
∵∠ADB=∠AFB=90°，∠5=∠6，
∴∠3=∠4，
在Rt△ABC中，BD=DC，
∴AD=BC=BD，
在△BDF和△ADN中
，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF=DN，
又∠NDF=90°，
∴∠DFN=∠DNF=45°，
即∠DFG=45°．
15．在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线．
（1）如图①，CG⊥AD于G，BG的延长线交AE于H，求证：AH=EH；
（2）如图①，在（1）的条件下，若AE=2AD，BE=5BC，则tan∠AHB= ；
（3）如图②，点M是DE的中点，BE=5BC=10，求MD的长．
证明：（1）如图1，延长CG交AB于M，
∵AD平分∠BAC，CG⊥AD，
∴CG=MG．
∵AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线，
∴∠HAG=90°，
∴AE∥CG，
∵==，
∴AH=EH．
（2）由角平分线定理得=．
∵AC=AM，
∴=．
又=，BE=5BC，
∴==，
∴=．
设CD=4，DB=5，
则EC=36，
∴==，
∵AH=EH，AE=2AD，
∴AH=AD，
∴tan∠AHB==；
故答案是：；
（3）由（2）可知：BE=45a=10，a=．
∴MD=20a=．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点，点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒），△PQD的面积为S．
（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．
（2）当△PQD是等边三角形时，求t的值．
（3）当S＞0时，求S与t的函数关系式．
（4）若点D关于直线PQ的对称点为点D′，且S＞0，直接写出点D′落在△ABC的边上时t的值．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴当0≤t≤2时，BP=2﹣t；
当2≤t≤3时，BP=t﹣2；
（2）如图1，∵△PQD是等边三角形，
∴∠PDQ=60°，
∴∠PDB+∠CDQ=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠PDB+∠BPD=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵BD=CD，
在△BPD与△CDQ中，
，
∴△BPD≌△CDQ（AAS），
∴BP=CQ，
∴2﹣t=t，
∴t=1，
（3）当0≤t≤2时，如图2，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB•sin60°=，
分别过点P，Q作PE⊥BC，QF⊥BC，垂足分别为点E，F，
在Rt△BPE中，∠BEP=90°，PE=PB•sin60°=，
在Rt△QCF中，∠QFC=90°，QF=CQ•sin60°=，
过点Q作QG⊥AB于点G，
在Rt△AGQ中，∠AGQ=90°，QG=AQ•sin60°=，
∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ，
∴
∴，
当2＜t＜3时，如图3
过点Q作QH⊥BC于点H，
在Rt△CQH中，∠CHQ=90°，
QH=CQ•sin60°=，
∴
∴．
（4）点D′落在△ABC的边上，如图4，此时t=1；
点D′落在△ABC的边上，如图5，此时t=2.5．
17．在Rt△AOB中，OA=3，sinB=，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．
（1）线段AP的长度为 5﹣at （用含a、t的代数式表示）；
（2）如图①，连结PO、PM，若a=1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；
（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵Rt△AOB中，OA=3，sinB=，
∴AB=5，
∵设运动的时间为t，点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动，
∴AP=5﹣at，
故答案为：5﹣at；
（2）如图①：
过点P作PD⊥OB，在Rt△PDB中，PB=t，sinB=，
∴PD=，OM=4﹣t，
∴，
∵0≤t≤4，
∴当t=2时，；
（3）假设存在，
①若∠PMB=90°，如图②：
∵PA=PM，
在Rt△PMB中，PB=at，sinB=，
∴PM=at，MB=at，
根据题意可得：，
解得：，符合题意；
②若∠MPB=90°，如图③，则∠APM=90°，
∴PA=PM，
在Rt△PMB中，PB=at，sinB=，
∴，
根据题意可得：，
解得：，符合题意，
∴存在某时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形，此时．
18．在直角△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边上，连结BE，作∠ACF=∠CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CD⊥AB．
（1）已知：如图，，．
①求证：△ACF≌△BCD．
②求的值．
（2）若，，则的值是多少（直接写出结果）
证明：（1）①∵∠ACB=90°，，CG⊥AB，
由等腰三角形的三线合一的性质可得：CD是∠ACB的角平分线，∠BCD=45°，
在△CAF与△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD；
②由①可知：∠AFC=∠CDB，
∴∠CFB=∠CDE，
∵∠CBF=∠ECD=45°，
∴△CDE∽△BFC，
∴；
（2）∵，
∵，，
∴．
19．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．
（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；
（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；
（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．
解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．
在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，
∴sin∠ABH==，
∴AH=3，BH==4，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BH=DH=4，
在△ABE 和△ABD中，
，
∴△ABD≌△ABE，
∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，
∴BF⊥DE，EF=DF，
∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，
∴△ABH∽△DBF，
∴=，
∴DF=，
∴DE=2DF=．
（2）如图2中，作AH⊥BD于H．
∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，
∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，
∵AE∥BD，
∴∠AEB+∠EBD=180°，
∴∠EBD+∠ADC=180°，
∴EB∥AD，
∵AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴BD=AE=AB=5，AH=3，
∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15．
（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．
如图3中，
∵∠ACD=∠AEB（已证），
∴A、C、B、E四点共圆，
∵AE=EC=AB，
∴=，
∴=，
∴∠AEC=∠ABC，
∴AE∥BD，
由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，
∴AE=BD=AB=5，
∵AH=3，BH=4，
∴DH=BD﹣BH=1，
∵AC=AD，AH⊥CD，
∴CH=HD=1，
∴BC=BD﹣CD=3．
20．在△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点．
（1）如图1，若EF∥BC、DF∥AB，连CE、AD分别交DF、EF于N、M，且E为AB的中点，求证：EM=MF；
（2）如图2，在（1）中，若E不是AB的中点，请写出与MN平行的直线，并证明；
（3）若BD=DC，∠B=90°，且AE：AB：BC=1：3：2，AD与CE相交于点Q，直接写出tan∠CQD的值．
（1）证明：如图1中，
∵AE=EB，EF∥AC，
∴AF=FC，AM=MD，∵FD∥AB，
∴BD=CD，
∴EM=BD，MF=CD，
∴EM=MF．
（2）结论：MN∥AC．
证明：如图2中，
∵AE∥DF，
∴=，
∵MF∥BC，
∴=，
∵FN∥AE，
∴=，
∴=，
∴MN∥CF．
（3）如图3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延长线于M．
∵AE：AB：BC=1：3：2，
不妨设AE=a．则AB=3a，EB=2a．BC=2a，BD=DC=a，
∴tan∠BAD═=，
∴∠BAD=30°，∠ADB=∠CDM=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=a，CM=a，'
∵BD=DC，DN∥EB，
∴EN=NC，
∴DN=EB=a=AE，
∵AE∥DN，
∴∠EAQ=∠NDQ，
在△AEQ和△DNQ中，
，
∴△AEQ≌△DNQ，
∴AQ=QD，
∵AD===2a，
∴DQ=a，QM=DQ+DM=a，
∴tan∠CQD===．
21．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）①如图1，当∠ABE=45°，时，a= 2 ，b= 2 ；
②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
解：（1）①当∠ABE=45°，时，a=，b=
如图1，
连接EF，则EF是△ABC的中位线
∴EF==，
∵∠ABE=45°，AE⊥EF
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2，EP=FP=1，
∴AE=BF=，
∴.
②如图2，
连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，
∴AP=2，BP=，
∵EF∥AB，EF=AB，PE=，PF=1
∴AE=，BF=
∴，．
（2）a2+b2=5c2
如图3，
连接EF，设AP=m，BP=n，
则c2=AB2=m2+n2，
∵EF∥AB，EF=AB，
∴PE=BP=n，PF=AP=m，
∴，，
∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2，a2=BC2=4BF2=4n2+m2
∴a2+b2=5（m2+n2）=5c2．
22．如图，一个直角三角形纸片的锐角顶点A在∠MCN的边OM上移动，移动过程中始终有AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A，∠MON的平分线OP分别交AB，AC于点D、E．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系？（不必证明）
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系？请证明你的猜想．
解：（1）结论：AD=AE．
理由：如图1中，
∵AB⊥OC，CA⊥OA，
∴∠ABO=∠OAE=90°，
∴∠AEO=90°﹣∠AOE，'∠ADE=∠ODB=90°﹣∠BOD，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（2）结论：四边形ADFE是菱形．
理由：如图2中，连接DF、EF．
∵点A、F关于直线OP对称，E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD，
∵AD=AE，
∴AE=EF=AD=FD，
∴四边形ADFE是菱形．
（3）结论：OC=AC+AD．
理由：如图2中，
∵点F与点A关于直线OP对称，
∴AO=OF，
∵AC⊥OH，∠MON=45°，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠MON=45°，
∴OF=AO=AC，
由（2）可知四边形ADFE是菱形，
∴EF∥AB，AD=EF，
∵AB⊥ON，
∴∠ABC=90°，
∴∠EFC=∠ABC=90°，
∵∠ACO=45°，
∴∠ACO=∠CEF，
∴CF=EF=AD，
∵OC=OF+FC，
∴OC=AC+AD．
23．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F、D．
（1）问题发现：直接写出∠NDE= 90 度；
（2）拓展探究：试判断，如图②当∠EAC为钝角时，其他条件不变，∠NDE的大小有无变化？请给出证明．
（3）如图③，若∠EAC=15°，BD=，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请直接写出AC的长．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°．
故答案为：90．
（2）∠NDE的大小不变，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∴∠MDF=∠FCN=90°，
即∠NDE=90°．
（3）AC=2，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=15°，
如图③，设BC与AD交于点H，
又∵∠AHC=∠BHD，
∴∠BDH=∠ACH=90°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°
∵BD=，
∴AB=2，
∴AC=AB•cos45°=2．
24．在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延长AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连接DE．连接EF，且∠DEF=∠DBC．
（1）如图1，若∠D=∠EFC=15°，AB=，求AC的长．
（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，求证：CF=BE．
（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论．
（1）解：在△BDE中，∠D+∠DBE+∠BED=180°，
∵∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°，∠DEF=∠DBC，
∴∠D=∠FEC=∠F=15°，
∴∠ACB=∠F+∠CEF=30°，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=，∠ACB=30°，
∴BC=2AB=2，
∴AC===3．
（2）证明：如图2中，连接CD，作EM⊥EB交AF于M，作FN⊥BE于N，AF交DE于点O．
∵∠BAC=45°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABC=90°，∠ACB=∠MCE=∠EMC=45°，
∴EM=EC，
∵BD=DC，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DCE=∠EMF=135°，
∵∠DEF=∠DBC=90°，∠FCD=∠DCA=90°，
∴∠OEF=∠OCD，∵∠EOF=∠COD，
∴∠OFE=∠ODC，
在△EMF和△ECD中，
，
∴△EMC≌△ECD，
∴EF=DE，
∵∠DEB+∠FEN=90°，∠EFN+∠FEN=90°，
∴∠EFN=∠DEB，
在△EFN和△DEB中，
，
∴△EFN≌△DEB，
∴DB=EN=BC，
∴BE=CN，
∵△CFN是等腰直角三角形，
∴CF=CN=BE．
（3）结论：CF=BE．
理由：如图3中，连接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延长线于N，在线段CE上截取一点M，使得FM=FE．
∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，
∵DB=BC，
∴∠DBC=120°，∠BDC=∠BCD=30°，
∴∠DBC=∠DEF=120°，∠DCA=∠DCB+∠ACB=60°，
∴∠DEF+∠DCF=180°，
∴E、F、C、D四点共圆，
∵∠DCE=∠ECF，
∴=，
∴DE=EF=FM，
∵∠NEB=90°，∠NBE=∠ABC=60°，
∴∠N=∠ACM=30°，
∵∠DBC=∠BDE+∠DEB=∠DEB+∠FEM=∠DEB+∠FME，
∴∠BDE=∠FME，
∴∠NDE=∠FMC，
在△EDN和△FMC中，
，
∴△EDN≌△CMF，
∴NE=CF，
在Rt△NEB中，∵∠NEB=90°，∠N=30°，
∴NE=BE，
∴CF=BE．
25．中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！
（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；
（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；
（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．
解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°
∴AC=CD=5
又∵∠EDF=90°，FC=2
∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF=2
∴在Rt△AEF中，EF==
（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1
∵等边三角形ABC中，DF∥AB
∴∠FDC=∠B=60°
∵∠EDF=90°
∴∠BDE=30°
∴DE⊥BE
∴BE=，DE=
如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM
∵∠FDC=∠FCD=60°
∴△CDF是等边三角形
∴CD=CF=1
∴CM垂直平分DF
∴∠DCN=30°
∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1
∴在Rt△DEF中，EF==
∵M为EF的中点
∴FM=DM=
∴Rt△MND中，MN==
∴CM=+=
∴==
∴3ED=2MC
（3）如图3，延长FD至G，使得FD=DG，连接EG，BG，则ED垂直平分FG，故EF=EG
∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF
∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8
∴∠EBG=60°+60°=120°
∴∠EBH=60°
过E作EH⊥BG于点H，则BH=BE=3
∴Rt△BEH中，HE==3
∴Rt△EHG中，EG==
∴EF的长度为
26．已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M．
（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是 PB=2CM ；
（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图③，若，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．
解：（1）如图1，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
连接BB'，
∵AC⊥BC，
∴点C在BB'上，且CB'=CB，
依题意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
故答案为：BP=2CM；
（2）BP=2CM仍然成立，
理由：如图2，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
连接BB'，
∵AC⊥BC，
∴点C在BB'上，且CB'=CB，
依题意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
（3）如图3，
设BC=2x，则AC=5x，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，
∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'
延长BC交C'Q于N，
∴四边形ACNC'是正方形，
∴C'N=CN=AC=5x，
∴BN=CN+BC=7x
∵CM∥QN，
∴
∵CM=2，
∴
∴QN=7，
∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，
∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，
在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，
根据勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132
∴x=1或x=﹣（舍），
∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，
∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25，
27．在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．
解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=CB，
（2）①由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠DAF=∠ABD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠ABD=∠FAD
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°，
由旋转得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE，
②如图，
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，
由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，
∴∠BAD=36°，
设BD=y，作BG平分∠ABD，
∴∠BAD=∠GBD=36°
∴AG=BG=BD=y，
∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，
∵∠BDG=∠ADB，
∴△BDG∽△ADB，
∴．
∴=﹣1，即（）2﹣﹣1=0，
∴，
∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，
∴△AFD∽△BED，
∴，
∴AF==x．
28．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）
①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
29．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．
解：（1）如图1，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD=DC=BC=2．
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，
∴∠BED=90°，
∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
，
∴△MBD≌△NCD，
∴BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND，
∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN
=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．
同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．
同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，
∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，
BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．
在Rt△BMD中，DM=BM•tanB=BM，
∴BE+CF=（BE﹣CF）．
30．如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段CF的中点，连接PD，PG．
（1）若∠BAD=∠AEF=120°，请直接写出∠DPG的度数及的值．
（2）若∠BAD=∠AEF=120°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．
（3）若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α（0°＜α＜90°），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值．
解：（1）延长GP交CD于H，如图1所示：
∵在菱形ABCD和菱形AEFG中，
AB=CD=AD，BE∥CD，AG=FG，FG∥BE，
∴FG∥CD，
∴∠PFG=∠PCH，
∵P是线段CF的中点，
∴PF=PC，
在△PFG和△PCH中，
，
∴△PFG≌△PCH（ASA），
∴FG=CH，PG=PH，
∴AG=CH，
∴DG=DH，
∴DP⊥GH（三线合一），
∴∠DPG=90°；
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠PDG=∠PDH=∠ADC=30°，
∴=tan∠PDG=tan30°=；
（2）（1）中的两个结论不发生改变；理由如下：
延长GP交CE于H，连接DH、DG，如图2所示：
∵四边形AEFG为菱形，
∴FG∥EC，
∴∠GFP=∠HCP，
∵P是线段CF的中点，
∴PF=PC，
在△PFG和△PCH中，
，
∴△PFG≌△PCH（ASA），
∴FG=CH，PG=PH，
∵FG=AG，
∴AG=CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=CD，
∵∠BAD=∠AEF=120°，
∴∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=CD，
∴∠EAG=∠ADC=60°，∠DAC=∠DCA=60°，
∴∠GAD=180°﹣∠EAG﹣∠DAC=60°，
在△ADG和△CDH中，
，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴DG=DH，∠ADG=∠CDH，
∴DP⊥GH，
∴∠DPG=90°，∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠GDP=30°，
∴=tan30°=；
（3）延长GP到H，使得PH=GP，连接CH、DG、DH，延长DC交EA的延长线于点M，如图3所示：
同（2）可证△PFG≌△PCH，
∴∠GFC=∠HCF，FG=CH，
∴FG∥CH，
∵FG∥AE，
∴CH∥EM，
∴∠DCH=∠M，
∵CD∥AB，
∴∠M=∠MAB，
∴∠DCH=∠MAB，
∵∠BAD=∠AEF=180°﹣2α，
∴∠EAG=∠ADC=2α，
∴∠GAM=180°﹣2α，
∴∠GAD=∠BAM，
∴∠GAD=∠DCH，
∵AG=FG，
∴AG=CH，
在△ADG和△CDH中，
，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴∠ADG=∠CDH，DG=DH，
∴∠GDH=∠ADC=2α，
∴∠DPG=90°，∠GDP=∠GDH=α，
∴=tanα．
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