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2013年湖南省株洲市芦淞区中考数学模拟试卷
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共8小题,每小题3分,共24分)
1.(3分)(2012•河南)下列各数中,最小的数是( )
A.
﹣2
B.
﹣0.1
C.
0
D.
|﹣1|
考点:
有理数大小比较.
分析:
根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,进行比较.
解答:
解:因为正实数都大于0,
所以>0,
又因为正实数大于一切负实数,
所以>﹣2,
所以>﹣0.1
所以最大,
故D不对;
又因为负实数都小于0,
所以0>﹣2,0>﹣0.1,
故C不对;
因为两个负实数绝对值大的反而小,
所以﹣2<﹣0.1,
故B不对;
故选A.
点评:
此题主要考查了比较实数的大小,要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法.(1)正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.
2.(3分)(2013•芦淞区模拟)下列运算正确的是( )
A.
(a﹣b)2=a2﹣b2
B.
C.
3a×ab=3a2b
D.
(x3)2=x5
考点:
二次根式的加减法;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式;完全平方公式.
专题:
计算题.
分析:
A、用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断;
B、原式化为最简二次根式,合并得到结果,即可做出判断;
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果,即可做出判断;
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断.
解答:
解:A、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,本选项错误;
B、﹣=2﹣=,本选项错误;
C、3a×ab=3a2b,本选项正确;
D、(x3)2=x6,本选项错误,
故选C
点评:
此题考查了二次根式的加减法,幂的乘方与积的乘方,单项式乘单项式,完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
3.(3分)(2013•怀柔区二模)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
中心对称图形;轴对称图形.
专题:
常规题型.
分析:
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:
解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意.
故选C.
点评:
本题考查了中心对称及轴对称的知识,解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
4.(3分)(2011•南昌)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是( )
A.
1
B.
2
C.
﹣2
D.
﹣1
考点:
根与系数的关系.
专题:
计算题.
分析:
根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2,即可得出另一根的值.
解答:
解:∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,
∴x1x2==﹣2,
∴1×x2=﹣2,
则方程的另一个根是:﹣2,
故选C.
点评:
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.
5.(3分)(2011•江西)一组数据:2,3,4,x中,若中位数与平均数相等,则数x不可能是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
5
考点:
中位数;算术平均数.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
因为中位数的值与大小排列顺序有关,而此题中x的大小位置未定,故应该分类讨论x所处的所有位置情况:从小到大(或从大到小)排列在中间(在第二位或第三位结果不影响);结尾;开始的位置.
解答:
解:(1)将这组数据从大到小的顺序排列为2,3,x,4,
处于中间位置的数是3,x,
那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是(3+x)÷2,
平均数为(2+3+4+x)÷4,
∴(3+x)÷2=(2+3+4+x)÷4,
解得x=3,大小位置与3对调,不影响结果,符合题意;(2)将这组数据从大到小的顺序排列后2,3,4,x,
中位数是(3+4)÷2=3.5,
此时平均数是(2+3+4+x)÷4=3.5,
解得x=5,符合排列顺序;(3)将这组数据从大到小的顺序排列后x,2,3,4,
中位数是(2+3)÷2=2.5,
平均数(2+3+4+x)÷4=2.5,
解得x=1,符合排列顺序.
∴x的值为1、3或5.
故选B.
点评:
本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力.涉及到分类讨论思想,较难,要明确中位数的值与大小排列顺序有关,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而解答不完整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位数的平均数
6.(3分)(2012•黔东南州)如图,是直线y=x﹣3的图象,点P(2,m)在该直线的上方,则m的取值范围是( )
A.
m>﹣3
B.
m>﹣1
C.
m>0
D.
m<3
考点:
一次函数图象上点的坐标特征.
专题:
压轴题;探究型.
分析:
把x=2代入直线的解析式求出y的值,再根据点P(2,m)在该直线的上方即可得出m的取值范围.
解答:
解:当x=2时,y=2﹣3=﹣1,
∵点P(2,m)在该直线的上方,
∴m>﹣1.
故选B.
点评:
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,根据题意求出当x=2时y的值是解答此题的关键.
7.(3分)(2006•曲靖)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于( )
A.
25°
B.
30°
C.
45°
D.
60°
考点:
等边三角形的判定与性质.
专题:
压轴题.
分析:
先根据图形折叠的性质得出BC=CE,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE,进而可判断出△BEC是等边三角形,由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论.
解答:
解:△ABC沿CD折叠B与E重合,
则BC=CE,
∵E为AB中点,△ABC是直角三角形,
∴CE=BE=AE,
∴△BEC是等边三角形.
∴∠B=60°,
∴∠A=30°,
故选B.
点评:
考查直角三角形的性质,等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力.
8.(3分)(2011•菏泽)如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A,B,C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系正确的是( )
A.
a+b=﹣1
B.
a﹣b=﹣1
C.
b<2a
D.
ac<0
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
压轴题.
分析:
由抛物线与y轴相交于点C,就可知道C点的坐标(0,1)以及A的坐标,然后代入函数式,即可得到答案.
解答:
解:A不正确:由图象可知,当x=1时,y>0,即a+b>0;
B正确:由抛物线与y轴相交于点C,就可知道C点的坐标为(0,c),
又因为OC=OA=1,
所以C(0,1),A(﹣1,0),
把它代入y=ax2+bx+c,
即a•(﹣1)2+b•(﹣1)+1=0,
即a﹣b+1=0,
所以a﹣b=﹣1.
C不正确:由图象可知,﹣<﹣1,解得b>2a;
D不正确:由图象可知,抛物线开口向上,所以a>0;又因为c=1,所以ac>0.
故选:B.
点评:
解决本题的关键在于根据抛物线与x轴,y轴的交点判断交点坐标,然后代入函数式,推理a,b,c之间的关系.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.(3分)(2010•防城港)分解因式:a2﹣4a= a(a﹣4) .
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
由于原式子中含有公因式a,可用提取公因式法求解.
解答:
解:a2﹣4a=a(a﹣4).
点评:
主要考查提公因式法分解因式,是基础题.
10.(3分)(2013•芦淞区模拟)艾思轲同学在“百度”搜索引擎中输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关的结果个数约为4640000,这个数用科学记数法表示为 4.64×106 .
考点:
科学记数法—表示较大的数.
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:将4640000用科学记数法表示为:4.64×106.
故答案为:4.64×106.
点评:
此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
11.(3分)(2013•湘西州)函数y=的自变量x的取值范围是 x .
考点:
函数自变量的取值范围.
专题:
函数思想.
分析:
根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.
解答:
解:根据题意得:3x﹣1≥0,
解得:x≥.
故答案为:x≥.
点评:
考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
12.(3分)(2013•芦淞区模拟)分别写有数字0,﹣1,﹣2,1,3的五张卡片,除数字不同外其他均相同,从中任抽一张,那么抽到负数的概率是 .
考点:
概率公式.
专题:
计算题.
分析:
先得到在所给的5个数中负数有2个,即﹣1,﹣2,然后根据概率公式求解.
解答:
解:因为在数字0,﹣1,﹣2,1,3中,负数有﹣1,﹣2,所以从中任抽一张,那么抽到负数的概率=.
故答案为.
点评:
本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
13.(3分)(2013•芦淞区模拟)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.已知AC=,BC=2,那么sin∠ACD= .
考点:
解直角三角形.
分析:
在直角△ABC中,根据勾股定理即可求得AB,而∠B=∠ACD,即可把求sin∠ACD转化为求sinB.
解答:
解:在直角△ABC中,根据勾股定理可得:AB===3.
∵∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠B=∠ACD.
∴sin∠ACD=sin∠B==.
点评:
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.
14.(3分)(2013•芦淞区模拟)如图,在△MBN中,BM=6,点A,C,D分别在MB,BN,NM上,四边形ABCD为平行四边形,∠NDC=∠MDA,那么平行四边形ABCD的周长是 12 .
考点:
平行四边形的性质.
分析:
首先根据平行四边形的性质可得AB∥DC,AD∥BN,根据平行线的性质可得∠N=∠ADM,∠M=∠NDC,再由∠NDC=∠MDA,可得∠N=∠NDC,∠M=∠MDA,∠M=∠N,根据等角对等边可得CN=DC,AD=MA,NB=MB,进而得到答案.
解答:
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,DC=AB,AB∥DC,AD∥BN,
∴∠N=∠ADM,∠M=∠NDC,
∵∠NDC=∠MDA,
∴∠N=∠NDC,∠M=∠MDA,∠M=∠N,
∴CN=DC,AD=MA,NB=MB,
∴平行四边形ABCD的周长是 BM+BN=6+6=12,
故答案为:12.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形对边相等.
15.(3分)(2007•河南)如图,PA、PB切⊙O于点A、B,点C是⊙O上一点,且∠ACB=65°,则∠P= 50 度.
考点:
切线的性质;圆周角定理.
分析:
连接OA,OB.根据圆周角定理和四边形内角和定理求解.
解答:
解:连接OA,OB.
PA、PB切⊙O于点A、B,则∠PAO=∠PBO=90°,
由圆周角定理知,∠AOB=2∠C=130°,
∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°,
∴∠P=180°﹣∠AOB=50°.
点评:
本题利用了切线的概念,圆周角定理,四边形的内角和为360度求解.
16.(3分)(2013•芦淞区模拟)已知双曲线,的部分图象如图所示,P是y轴正半轴上一点,过点P作AB∥x轴,分别交两个图象于点A,B.若PB=2PA,则k= ﹣4 .
考点:
反比例函数综合题.
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
因为AB∥x轴,PB=2PA,所以可知A和B点的纵坐标相同,B点的横坐标的长度是A横坐标的2倍,从而可求出k的值,因为过第二象限,所以k<0.
解答:
解:∵AB∥x轴,PB=2PA,
∴=
∴k=﹣4.
故答案为:﹣4.
点评:
本题考查反比例函数图象的性质,以及从反比例函数获得信息,关键是看到纵坐标相同时,横坐标的不同,从而求出解.
三、解答题(本大题共8小题,共52分,需要有必要的解答过程与步骤)
17.(4分)(2013•芦淞区模拟)计算:.
考点:
实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析:
先分别根据特殊角的三角函数值、0指数幂的计算法则计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
解答:
解:原式=2﹣1+×
=2.
点评:
本题考查的是实数的运算,熟知特殊角的三角函数值、0指数幂的计算法则是解答此题的关键.
18.(4分)(2013•芦淞区模拟)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=2,b=﹣1.
考点:
分式的化简求值.
分析:
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a=2,b=﹣1代入进行计算即可.
解答:
解:原式=×
=a﹣b,
当a=2,b=﹣1时,原式=a﹣b=2+1=3.
点评:
本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
19.(6分)(2013•芦淞区模拟)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:BE=BF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF度数.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
专题:
计算题.
分析:
(1)可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△ADF,则可得到BE=BF;
(2)由AB=CB,∠ABC=90°,可判断△ABC为等腰直角三角形,则∠BAC=∠BCA=45°,可得到∠BAE=15°,再根据Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠BCF=∠BAE=15°,然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA进行计算.
解答:
(1)证明:在Rt△ABE和Rt△ADF中
,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=BF;(2)解:∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠BCA=45°,
∵∠CAE=30°,
∴∠BAE=45°﹣30°=15°,
∵Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.
20.(6分)(2013•芦淞区模拟)某风景区的门票价格如下表所示:
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
票价
100元/人
80元/人
50元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动,其中甲班50多人,乙班不足50人.如果以班为单位分别买票,两个班一共应付9200元;如果两个班联合起来作为一团体购票,一共只要付5150元.问:甲、乙两班分别有多少人?
考点:
二元一次方程组的应用.
分析:
解:设甲、乙两班分别有x人、y人,根据题干就有方程80x+100y=9200和50x+50y=5150,从而构成方程组求出其解即可.
解答:
解:设甲、乙两班分别有x人、y人,由题意,得
,
解得:.
答:甲、乙两班分别有55人、48人.
点评:
本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,解答时根据总费用=各班费用之和建立方程组是关键.
21.(6分)(2012•福州)省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动,某中学为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查了部分学生,将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图(如图所示),请根据图中提供的信息,解答下列问题.
(1)m= 26 %,这次共抽取 50 名学生进行调查;并补全条形图;
(2)在这次抽样调查中,采用哪种上学方式的人数最多?
(3)如果该校共有1500名学生,请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名?
考点:
条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
分析:
(1)用1减去其他各种情况所占的百分比即可求m的值,用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数;
(2)从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果;
(3)用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可.
解答:
解:(1)1﹣14%﹣20%﹣40%=26%;
20÷40%=50;条形图如图所示;(2)由图可知,采用乘公交车上学的人数最多;
答:采用乘公交车上学的人数最多.(3)该校骑自行车上学的人数约为:1500×20%=300(名).
答:该校骑自行车上学的学生有300名.
点评:
本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识,解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息.
22.(8分)(2010•扬州)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:点D是BC的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)如果⊙O的直径为9,cosB=,求DE的长.
考点:
切线的判定;等腰三角形的性质;圆周角定理;解直角三角形.
专题:
计算题;证明题;探究型.
分析:
(1)连接AD,根据等腰三角形的性质易证;
(2)相切.连接OD,证明OD⊥DE即可.根据三角形中位线定理证明;
(3)由已知可求BD,即CD的长;又∠B=∠C,在△CDE中求DE的长.
解答:
(1)证明:连接AD.
∵AB为直径,∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴D是BC的中点;(2)DE是⊙O的切线.
证明:连接OD.
∵BD=DC,OB=OA,
∴OD∥AC.
∵AC⊥DE,
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.(3)解:∵AB=9,cosB=,
∴BD=3.
∴CD=3.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴cosC=.
∴在△CDE中,
CE=1,DE==.
点评:
此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点,属基础题,难度不大.
23.(8分)(2012•福州)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB= 8﹣2t ,PD= t .
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.
考点:
相似三角形的判定与性质;一次函数综合题;勾股定理;菱形的判定与性质.
专题:
代数几何综合题;压轴题.
分析:
(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,由Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,即可得tanA==,则可求得QB与PD的值;
(2)易得△APD∽△ACB,即可求得AD与BD的长,由BQ∥DP,可得当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,即可求得此时DP与BD的长,由DP≠BD,可判定▱PDBQ不能为菱形;然后设点Q的速度为每秒v个单位长度,由要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,列方程即可求得答案;
(3)设E是AC的中点,连接ME.当t=4时,点Q与点B重合,运动停止.设此时PQ的中点为F,连接EF,由△PMN∽△PQC.利用相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
解答:
解:(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,
∴QB=8﹣2t,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,
∴∠APD=90°,
∴tanA==,
∴PD=t.
故答案为:(1)8﹣2t,t.(2)不存在
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ACB,
∴,即,
∴AD=t,
∴BD=AB﹣AD=10﹣t,
∵BQ∥DP,
∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,
即8﹣2t=,解得:t=.
当t=时,PD==,BD=10﹣×=6,
∴DP≠BD,
∴▱PDBQ不能为菱形.
设点Q的速度为每秒v个单位长度,
则BQ=8﹣vt,PD=t,BD=10﹣t,
要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,
当PD=BD时,即t=10﹣t,解得:t=
当PD=BQ,t=时,即=8﹣,解得:v=
当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形.(3)如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).
设直线M1M2的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6.
∵点Q(0,2t),P(6﹣t,0)
∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(,t).
把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t,
∴点M3在直线M1M2上.
过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.
∴M1M2=2
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
24.(10分)(2011•达州)如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为P,连接AC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,且直线DC与x轴交于点Q,求点D的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S△MAP=2S△ACP?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)利用交点式将抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,代入y=a(x﹣x1)(x﹣x2),求出二次函数解析式即可;
(2)利用△QOC∽△COA,得出QO的长度,得出Q点的坐标,再求出直线QC的解析式,将两函数联立求出交点坐标即可;
(3)首先求出二次函数顶点坐标,S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC,以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP=得出使得S△MAP=2S△ACP点M的坐标.
解答:
解:(1)设此抛物线的解析式为:y=a(x﹣x1)(x﹣x2),
∵抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,
∴y=a(x﹣1)(x+3),
又∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴a(0﹣1)(0+3)=3,
∴a=﹣1
∴y=﹣(x﹣1)(x+3),
即y=﹣x2﹣2x+3,
用其他解法参照给分;(2)∵点A(1,0),点C(0,3),
∴OA=1,OC=3,
∵DC⊥AC,
∴∠DCO+∠OCA=90°,
∵OC⊥x轴,
∴∠COA=∠COQ,∠OAC+∠OCA=90°,
∴∠DCO=∠OAC,
∴△QOC∽△COA,
∴,即,
∴OQ=9,
又∵点Q在x轴的负半轴上,
∴Q(﹣9,0),
设直线QC的解析式为:y=mx+n,则,
解之得:,
∴直线QC的解析式为:,
∵点D是抛物线与直线QC的交点,
∴,
解之得:(不合题意,应舍去),
∴点D(,
用其他解法参照给分;(3)如图,点M为直线x=﹣1上一点,连接AM,PC,PA,
设点M(﹣1,y),直线x=﹣1与x轴交于点E,
∴E(﹣1,0),
∵A(1,0),
∴AE=2,
∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P,对称轴为x=﹣1,
∴P(﹣1,4),
∴PE=4,
则PM=|4﹣y|,
∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC,
=,
=,
=5,
又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP,
S△AEP=,
∴S△ACP=5﹣4=1,
∵S△MAP=2S△ACP,
∴,
∴|4﹣y|=2,
∴y1=2,y2=6,
故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP,
点M(﹣1,2)或(﹣1,6).
点评:
此题主要考查了二次函数的综合应用,二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型,特别注意利用数形结合是这部分考查的重点,也是难点,同学们应重点掌握.