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- 2021-05-13 发布
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ECNU LEX
初中数学总复习第03论综合复习 全国中考压轴题集锦 01
Lex Li
1、(2006浙江金华)如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD=,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)直线AB解析式为:y=x+.
(2)方法一:设点C坐标为(x,x+),那么OD=x,CD=x+.
∴==.
由题意: =,解得(舍去)
∴ C(2,)
方法二:∵ ,=,∴.
由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD.
∴ =CD×AD==.可得CD=.
∴ AD=1,OD=2.∴C(2,).
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(3)当∠OBP=Rt∠时,如图
①若△BOP∽△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,
∴(3,).
②若△BPO∽△OBA,则∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1.
∴(1,).
当∠OPB=Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M.
方法一: 在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=.
∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°,
∴ OM=OP=;PM=OM=.∴(,).
方法二:设P(x ,x+),得OM=x ,PM=x+
由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.
∵tan∠POM=== ,tan∠ABOC==.
∴x+=x,解得x=.此时,(,).
④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.
∴ PM=OM=.
∴ (,)(由对称性也可得到点的坐标).
当∠OPB=Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.
综合得,符合条件的点有四个,分别是:
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(3,),(1,),(,),(,).
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2、(2006重庆)如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形(如图2所示).将纸片沿直线(AB)方向平移(点始终在同一直线上),当点于点B重合时,停止平移.在平移过程中,与交于点E,与分别交于点F、P.
(1) 当平移到如图3所示的位置时,猜想图中的与的数量关系,并证明你的猜想;
(2) 设平移距离为,与重叠部分面积为,请写出与的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的的值,使重叠部分的面积等于原面积的.
若存在,求x的值;若不存在,请说明理由.
图1
图3
图2
[解] (1).因为,所以.
又因为,CD是斜边上的中线,
所以,,即
所以,,所以
所以,.同理:.
又因为,所以.所以
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(2)因为在中,,所以由勾股定理,得
即
又因为,所以.所以
在中,到的距离就是的边上的高,为.
设的边上的高为,由探究,得,所以.
所以.
又因为,所以.
又因为,.
所以 ,
而
所以
(3) 存在. 当时,即
整理,得解得,.
即当或时,重叠部分的面积等于原面积的.
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3、(2006山东济南)如图1,已知中,,.过点作,且,连接交于点.
(1)求的长;
(2)以点为圆心,为半径作⊙A,试判断与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点作,垂足为.以点为圆心,为半径作⊙A;以点为圆心,为半径作⊙C.若和的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使点在⊙A的内部,点在⊙A的外部,求和的变化范围.
A
B
C
P
E
E
A
B
C
P
D
图1
图2
[解]
(1)在中,,
.
,.
.
,.
(2)与⊙A相切.
在中,,,
,.
又,,
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与⊙A相切.
(3)因为,所以的变化范围为.
当⊙A与⊙C外切时,,所以的变化范围为;
当⊙A与⊙C内切时,,所以的变化范围为.
4、(2006浙江嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知AB所在抛物线的解析式为,BC所在抛物线的解析式为,且已知.
(1)设是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标;
(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).
①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米);
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站.索道的起点选择在山脚水平线上的点E处,(米).假设索道DE可近似地看成一
段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为.试求索道的最大悬空高度.
上山方向
长度
高度
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[解] (1)∵是山坡线AB上任意一点,
∴,,∴,
∵,∴=4,∴
(2)在山坡线AB上,,
①令,得 ;令,得
∴第一级台阶的长度为(百米)(厘米)
同理,令、,可得、
∴第二级台阶的长度为(百米)(厘米)
第三级台阶的长度为(百米)(厘米)
②取点,又取,则
∵
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
(注:事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级.从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶.解题时取点具有开放性)
②另解:连接任意一段台阶的两端点P、Q,如图
∵这种台阶的长度不小于它的高度
∴
当其中有一级台阶的长大于它的高时,
在题设图中,作于H
则,又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
上山方向
(3)
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、、、
由图可知,只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时,悬空高度
当时,
∴索道的最大悬空高度为米.
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5、(2006山东烟台)如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点,
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:点D在l2上;
(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由。
[解]
(1)设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时,y1>0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时,-4≤y1<0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
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∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
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6、(2006山东潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
[解](1)把代入得,
一次函数的解析式为;
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴,
设二次函数解析式为,
把代入得,
二次函数解析式为.
(2)由
解得或,
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,
过点分别作直线的垂线,垂足为,
则,
直角梯形的中位线长为,
过作垂直于直线于点,则,,
,
的长等于中点到直线的距离的2倍,
以为直径的圆与直线相切.
(3)平移后二次函数解析式为,
令,得,,,
过三点的圆的圆心一定在直线上,点为定点,
要使圆面积最小,圆半径应等于点到直线的距离,
此时,半径为2,面积为,
设圆心为中点为,连,则,
在三角形中,,
,而,,
当时,过三点的圆面积最小,最小面积为.
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7、(2006江西)问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图1,在正三角形△ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60º,则BM=CN;
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90º,则BM=CN;
然后运用类比的思想提出了如下命题:
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108º,则BM=CN。
任务要求:
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对得4分,选②做对得3分,选③做对得5分)
(2)请你继续完成下列探索:
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且与CN相交所成的一个角是108º,这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明)
②如图4,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108º,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。
B
O
C
M
N
A
图1
A
B
C
M
N
O
D
图2
图4
N
M
O
E
D
C
B
A
[解] (1)以下答案供参考:
(1) 如选命题①
证明:在图1中,∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°
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∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3
又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN
∴BM=CN
(2)如选命题②
证明:在图2中,∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°
∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
(3)如选命题③
证明;在图3中,∵∠BON=108°
∴∠1+∠2=108°
∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°
∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
(2)①答:当∠BON=时结论BM=CN成立.
②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立
证明;如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°,
∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE
∴BM=CN
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8、(2006吉林长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S。
(1)求点A的坐标。
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式。
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是____________。
[解]
(1)由 可得
∴A(4,4)。
(2)点P在y = x上,OP = t,
则点P坐标为
点Q的纵坐标为,并且点Q在上。
∴,
即点Q坐标为。
。
当时,。
当,
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当点P到达A点时,,
当时,
。
(3)有最大值,最大值应在中,
当时,S的最大值为12。
(4)。
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9、(2006湖南常德)把两块全等的直角三角形和叠放在一起,使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合,其中,,,把三角板固定不动,让三角板绕点旋转,设射线与射线相交于点,射线与线段相交于点.
(1)如图9,当射线经过点,即点与点重合时,易证.此时, .
(2)将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转,设旋转角为.其中
,问的值是否改变?说明你的理由.
B
E
P
A
D(O)
C
Q
F
M
B
E
P
A
C
Q
F
D(O)
D(O)
B(Q)
C
F
E
A
P
图1
图3
图3
(3)在(2)的条件下,设,两块三角板重叠面积为,求与的函数关系式.
[解] (1)8
B
E
P
A
D(O)
C
Q
F
(2)的值不会改变.
理由如下:在与中,
即
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B
E
P
A
D(O)
C
Q
F
N
M
G
(3)情形1:当时,,即,此时两三角板重叠部分为四边形,过作于,于,
由(2)知:得
于是
情形2:当时,时,即,此时两三角板重叠部分为,
由于,,易证:,
即解得
于是
综上所述,当时,
当时,
法二:连结,并过作于点,在与中,
即
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法三:过作于点,在中,
于是在与中
即
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10、(2006湖北宜昌)如图,点O是坐标原点,点A(n,0)是x轴上一动点(n<0)以AO为一边作矩形AOBC,点C在第二象限,且OB=2OA.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE.过点A的直线y=kx+m 交y轴于点F,FB=FA.抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H,过点H作HM⊥x轴,垂足为点M.
(1)求k的值;
(2)点A位置改变时,△AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由.
[解] (1)根据题意得到:E(3n,0), G(n,-n)
当x=0时,y=kx+m=m,∴点F坐标为(0,m)
∵Rt△AOF中,AF2=m2+n2,
∵FB=AF,
∴m2+n2=(-2n-m)2,
化简得:m=-0.75n,
对于y=kx+m,当x=n时,y=0,
∴0=kn-0.75n,
∴k=0.75
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G,
∴
解得:a=,b=-,c=-0.75n
∴抛物线为y=x2-x-0.75n
解方程组:
得:x1=5n,y1=3n;x2=0,y2=-0.75n
∴H坐标是:(5n,3n),HM=-3n,AM=n-5n=-4n,
∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n2;
而矩形AOBC 的面积=2n2,∴△AMH的面积∶矩形AOBC 的面积=3:1,不随着点A的位置的改变而改变.
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11、(2006湖南长沙)如图1,已知直线与抛物线交于两点.
(1)求两点的坐标;
(2)求线段的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段等长的一根橡皮筋,端点分别固定在两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动,动点将与构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
P
A
图2
图1
[解]
(1)解:依题意得解之得
(2)作的垂直平分线交轴,轴于两点,交于(如图1)
图1
D
M
A
C
B
E
由(1)可知:
过作轴,为垂足
由,得:,
同理:
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设的解析式为
的垂直平分线的解析式为:.
(3)若存在点使的面积最大,则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上,并设该直线与轴,轴交于两点(如图2).
抛物线与直线只有一个交点,
,
P
A
图2
H
G
B
在直线中,
设到的距离为,
到的距离等于到的距离.
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.
12、(2006北京海淀)如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。
(1)若,求CD的长;
(2)若 ∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。
[解]
(1)因为AB是⊙O的直径,OD=5
所以∠ADB=90°,AB=10
在Rt△ABD中,
又,所以,所以
因为∠ADB=90°,AB⊥CD
所以
所以
所以
所以
(2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD
所以
所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD
因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO
所以∠CDB=∠ADO
设∠ADO=4x,则∠CDB=4x
由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x
因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°
所以
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所以x=10°
所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°
所以∠AOC=∠AOD=100°
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13、(2006山东德州)如图,平面直角坐标系中,四边形为矩形,点的坐标分别为,动点分别从同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点沿向终点运动,点沿向终点运动,过点作,交于,连结,已知动点运动了秒.
(1)点的坐标为( , )(用含的代数式表示);
(2)试求面积的表达式,并求出面积的最大值及相应的值;
N
B
A
M
P
C
O
(3)当为何值时,是一个等腰三角形?简要说明理由.
[解] (1)由题意可知,,,
点坐标为.
(2)设的面积为,在中,,边上的高为,其中.
.
的最大值为,此时.
(3)延长交于,则有.
N
B
A
M
P
C
O
Q
①若,
.
,
.
②若,则,
.
③若,则.
,
在中,.
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,.
综上所述,,或,或.
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14、(2006江苏常州)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B。
(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
[解] (1)线段AB长度的最小值为4
理由如下:
连接OP
因为AB切⊙O于P,所以OP⊥AB
取AB的中点C,则
当时,OC最短,
即AB最短,此时
(2)设存在符合条件的点Q,
如图①,设四边形APOQ为平行四边形,
因为四边形APOQ为矩形
又因为
所以四边形APOQ为正方形
所以,
在Rt△OQA中,根据,
得Q点坐标为()。
如图②,设四边形APQO为平行四边形
因为OQ∥PA,,所以,
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又因为
所以,
因为 PQ∥OA,
所以 轴。
设轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据,
得Q点坐标为()
所以符合条件的点Q的坐标为()或()。
15、(2006福建泉州)如图,在直角坐标系中,O为原点,A(4,12)为双曲线(x>0)上的一点.
⑴求k的值;
⑵过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B,连接OP,若Rt△OPB两直角边的比值为,试求点P的坐标.
y
A
O
x
⑶分别过双曲线上的两点P1、P2,作P1B1⊥x轴于B1,P2B2⊥x轴于B2,连结OP1、OP2.设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2,内切圆的半径分别为r1、r2,若,试求的值.
[解] (1)依题意得
12=,k = 48
(2)由(1)得双曲线解析式为
设P(m,n)∴ 即
y
P
O
x
B
当时,即 可设,.
∴·4= 48,解得
∴,
∴P(,)
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当时,同理可求得P(,)
(3)在Rt△OP1B1中,设OB1=,P1B1=,OP1=,则P1(,),由(2)得=48;
在Rt△OP2B2中,设OB2=,P2B2=,OP2=,则P2(,),由(2)得=48.
∵
∴
即·=·
故
又∵2
∴2 即得
16、(2006广东广州)已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0).
(1)求证:该抛物线与X轴有两个不同的交点;
(2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是
否存在实数m、n,使得AP=2PB?若存在,则求出m、n满足的条件;若不存在,
请说明理由.
[解](1)△
∵
∴△
∴该抛物线与轴有两个不同的交点。
(2)由题意易知点、的坐标满足方程:
,即
由于方程有两个不相等的实数根,因此△,即
………………….①
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由求根公式可知两根为:
,
∴
分两种情况讨论:
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第一种:点在点左边,点在点的右边
∵
∴
∴……………….②
∴……………………….③
由②式可解得
…………………………..④
第二种:点、都在点左边
∵
∴
∴……………….⑤
∴……………………….⑥
由⑤式可解得
……….⑦
综合①③④⑥⑦可知,满足条件的点存在,此时、应满足条件:
,或。
17、(2006湖北十堰)已知抛物线:(,为常数,且,)的顶点为,与轴交于点;抛物线与抛物线关于轴对称,其顶点为,连接,,.
注:抛物线的顶点坐标为.
(1)请在横线上直接写出抛物线的解析式:________________________;
(2)当时,判定的形状,并说明理由;
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(3)抛物线上是否存在点,使得四边形为菱形?如果存在,请求出的值;如果不存在,请说明理由.
[解] (1).
(2)当时,为等腰直角三角形.
理由如下:
x
O
如图:点与点关于轴对称,点又在轴上,
.
过点作抛物线的对称轴交轴于,过点作于.
当时,顶点的坐标为,.
又点的坐标为,
..
从而,.
由对称性知,.
为等腰直角三角形.
(3)假设抛物线上存在点,使得四边形为菱形,则.
由(2)知,,.
从而为等边三角形.
.
四边形为菱形,且点在上,点与点关于对称.
与的交点也为点,因此.
点的坐标分别为,
.
在中,.
,.
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故抛物线上存在点,使得四边形为菱形,此时.
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18、(2006广东)如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且=,求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ=∠COA=60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(3)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴
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∵∴,
AD=AB-BD=4-=
AP=OA-OP=7-OP
∴
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
19、(2006四川攀枝花)已知抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式并且线段CM的长为
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 设抛物线与x轴有两个交点A(X1 ,0)、B(X2 ,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长。
(3) 若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由。
[解]
N
M
y
O
A
B
D
(G)
C
M’’’’
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(1)解法一:由已知,直线CM:y=-x+2与y轴交于点C(0,2)抛物线过点C(0,2),所以c=2,抛物线的顶点M在直线CM上,所以
若b=0,点C、M重合,不合题意,舍去,所以b=-2。即M
过M点作y轴的垂线,垂足为Q,在
所以,,解得,。
∴所求抛物线为: 或
(1)解法二:由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M(x ,y)
∵点M在直线上,∴
由勾股定理得,∵
∴=,即
解方程组 得
∴M(-2,4) 或 M‘ (2,0)
当M(-2,4)时,设抛物线解析式为,∵抛物线过(0,2)点,
∴,∴
当M‘(2,0)时,设抛物线解析式为
∵抛物线过(0,2)点,∴,∴
∴所求抛物线为: 或
(2)∵抛物线与x轴有两个交点,
∴不合题意,舍去。
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∴抛物线应为:
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧,∴,得
(3)∵AB是⊙N的直径,∴r = , N(-2,0),又∵M(-2,4),∴MN = 4
设直线与x轴交于点D,则D(2,0),∴DN = 4,可得MN = DN,∴
,作NG⊥CM于G,在= r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径
∴直线CM与⊙N相切
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20、(2006山东青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O 是△EFG斜边上的中点.
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).
(1)当x为何值时,OP∥AC ?
(2)求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
(参考数据:1142 =12996,1152 =13225,1162 =13456或4.42 =19.36,4.52 =20.25,4.62 =21.16)
[解] (1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC ,
∴,.
∴FG==3cm.
∵当P为FG的中点时,OP∥EG ,EG∥AC ,
∴OP∥AC.
∴ x ==×3=1.5(s).
∴当x为1.5s时,OP∥AC .
(2)在Rt△EFG 中,由勾股定理得:EF =5cm.
∵EG∥AH ,
∴△EFG∽△AFH .
∴.
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∴.
∴ AH=( x +5),FH=(x+5).
过点O作OD⊥FP ,垂足为 D .
∵点O为EF中点,
∴OD=EG=2cm.
∵FP=3-x ,
∴S四边形OAHP =S△AFH -S△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x )
=x2+x+3
(0<x<3.
(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
则S四边形OAHP=×S△ABC
∴x2+x+3=××6×8
∴6x2+85x-250=0
解得 x1=, x2= -(舍去).
∵0<x<3,
∴当x=(s)时,四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
21、(2006河北)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ.设运动时间为t(秒).
(1)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式;
(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形?
(3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1<t≤2;2<t≤3;3<t
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≤4);若不存在,请简要说明理由.
A
P
C
Q
B
D
[解] (1)由题意知 CQ=4t,PC=12-3t,
∴S△PCQ =.
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称,
∴y=2S△PCQ .
(2)当时,有PQ∥AB,而AP与BQ不平行,这时四边形PQBA是梯形,
∵CA=12,CB=16,CQ=4t, CP=12-3t,
∴ ,解得t=2.
∴当t=2秒时,四边形PQBA是梯形.
(3)设存在时刻t,使得PD∥AB,延长PD交BC于点M,如下图,
若PD∥AB,则∠QMD=∠B,又∵∠QDM=∠C=90°,
∴
A
P
C
Q
B
D
M
Rt△QMD∽Rt△ABC,
从而,
∵QD=CQ=4t,AC=12,
AB=20,
∴QM=.
若PD∥AB,则,得,
解得t=.
∴当t=秒时,PD∥AB.
(4)存在时刻t,使得PD⊥AB.
时间段为:2<t≤3.
22、(2006河北课改)图14-1至图14-7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格(每个小方格的边长均为1个单位长),其对称中心为点O.
如图14-1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大(即点O不动,正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为
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8×8;再经过一秒,由8×8扩大为10×10;……),直到充满正方形ABCD,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小.
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图14-1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动(即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始,先向左平移,当点Q与点B重合时,再向上平移,当点M与点C重合时,再向右平移,当点N与点D重合时,再向下平移,到达起始位置后仍继续按上述方式移动).
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图14-1的位置同时开始运动,设运动时间为x秒,它们的重叠部分面积为y个平方单位.
(1)请你在图14-2和图14-3中分别画出x为2秒、18秒时,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分(重叠部分用阴影表示),并分别写出重叠部分的面积;
(2)①如图14-4,当1≤x≤3.5时,求y与x的函数关系式;
②如图14-5,当3.5≤x≤7时,求y与x的函数关系式;
③如图14-6,当7≤x≤10.5时,求y与x的函数关系式;
④如图14-7,当10.5≤x≤13时,求y与x的函数关系式.
(3)对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程,请你根据重叠部分面积y的变化情况,指出y取得最大值和最小值时,相对应的x的取值情况,并指出最大值和最小值分别是多少.(说明:问题(3)是额外加分题,加分幅度为1~4分)
图14-1
E
C
B
A(P)
D
F
G
H
M
Q
N
O
D
C
C
B
A
D
O
C
B
A
D
O
H
E
O
N
M
G
F
P
Q
A
B
图14-4
图14-3
图14-2
图14-5
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
图14-7
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
图14-6
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
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[解] (1)相应的图形如图2-1,2-2.
当x=2时,y=3;
图2-3
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
K
S
T
图2-2
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
图2-1
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
当x=18时,y=18.
图2-4
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
T
图2-5
E
C
B
A
D
F
G
H
M
Q
N
O
P
T
图2-6
E
C
B
A
D
F
G
H
K
Q
N
O
P
R
S
M
(2)①当1≤x≤3.5时,如图2-3,
延长MN交AD于K,设MN与HG交于S,MQ与FG交于T,则MK=6+x,SK=TQ=7-x,从而MS=MK-SK=2x-1,MT=MQ-TQ=6-(7-x)= x-1.
∴y=MT·MS=(x-1)(2x-1)=2x2-3x+1.
②当3.5≤x≤7时,如图2-4,设FG与MQ交于T,则
TQ=7-x,∴MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1.
∴y=MN·MT=6(x-1)=6x-6.
③当7≤x≤10.5时,如图2-5,设FG与MQ交于T,则
TQ=x-7,∴MT=MQ-TQ=6-(x-7)=13-x.
∴y= MN·MT =6(13-x)=78-6x.
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④当10.5≤x≤13时,如图2-6,设MN与EF交于S,NP交FG于R,延长NM交BC于K,则MK=14-x,SK=RP=x-7,
∴SM=SK-MK=2x-21,从而SN=MN-SM=27-2x,NR=NP-RP=13-x.
∴y=NR·SN=(13-x)(27-2x)=2x2-53x+351.
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(3)对于正方形MNPQ,
①在AB边上移动时,当0≤x≤1及13≤x≤14时,y取得最小值0;
当x=7时,y取得最大值36.
②在BC边上移动时,当14≤x≤15及27≤x≤28时,y取得最小值0;
当x=21时,y取得最大值36.
③在CD边上移动时,当28≤x≤29及41≤x≤42时,y取得最小值0;
当x=35时,y取得最大值36.
④在DA边上移动时,当42≤x≤43及55≤x≤56时,y取得最小值0;
当x=49时,y取得最大值36.
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