2018中考数学试题分类汇编考点37锐角三角函数和解直角三角形含解析_472 44页

‎2018中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴sinB==，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，‎ ‎∴BC===6，‎ ‎∴sinA===，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•大庆）2cos60°=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．‎ ‎【解答】解：2cos60°=2×=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•天津）cos30°的值等于（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．‎ ‎【解答】解：cos30°=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：连接BC，‎ 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC=45°，‎ 则tan∠BAC=1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，‎ 在Rt△ACD中，AD=，‎ ‎∴AB：AD=： =，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（　　）‎ A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 ‎【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．‎ ‎【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，‎ ‎∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（2018•威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　）‎ A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距O点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为1：2‎ ‎【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．‎ ‎【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，‎ 整理得x2﹣8x+15=0，‎ 解得，x1=3，x2=5，‎ ‎∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；‎ y=4x﹣x2‎ ‎=﹣（x﹣4）2+8，‎ 则抛物线的对称轴为x=4，‎ ‎∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；‎ ‎，‎ 解得，，，‎ 则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；‎ ‎∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，‎ ‎∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．‎ ‎【解答】解：sinA===0.15，‎ 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（　　）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）‎ A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米 ‎【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．‎ 在Rt△CJD中， ==，设CJ=4k，DJ=3k，‎ 则有9k2+16k2=4，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，‎ 在Rt△AEM中，tan∠AEM=，‎ ‎∴1.6=，‎ 解得AB≈13.1（米），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（　　）‎ A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米 ‎【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．‎ 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，‎ ‎∴CD=10，‎ ‎∴（3k）2+（4k）2=100，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴CN=8，DN=6，‎ ‎∵四边形BMNC是矩形，‎ ‎∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，‎ 在Rt△AEM中，tan24°=，‎ ‎∴0.45=，‎ ‎∴AB=21.7（米），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）‎ A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米 ‎【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，‎ ‎∴tanα=，‎ ‎∴AB==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（　　）‎ A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米 ‎【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，‎ 在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），‎ 在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），‎ ‎∴BC=BD+CD=160（m）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（　　）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）‎ A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里 ‎【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，‎ 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，‎ 则∠BED=30°，BE=CE，‎ 设BD=x，‎ 则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，‎ ‎∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，‎ ‎∵AC=30，‎ ‎∴2x+2x=30，‎ 解得：x=≈5.49，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（　　）‎ A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里 ‎【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；‎ ‎【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，‎ ‎∴PB=2AB，‎ 由题意BC=2AB，‎ ‎∴PB=BC，‎ ‎∴∠C=∠CPB，‎ ‎∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，‎ ‎∴∠C=30°，‎ ‎∴PC=2PA，‎ ‎∵PA=AB•tan60°，‎ ‎∴PC=2×20×=40（海里），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共17小题）‎ ‎16．（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　＞　∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）‎ ‎【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．‎ ‎【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，‎ S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，‎ ‎=PN，‎ PN=，‎ Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，‎ Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，‎ ‎∵正弦值随着角度的增大而增大，‎ ‎∴∠BAC＞∠DAE，‎ 故答案为：＞．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=　　．‎ ‎【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵∠C=90°，tanA=，‎ ‎∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，‎ 则sinB===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为　S=x2　．‎ ‎【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x ‎∴DE=x，CE=x，‎ ‎∴BE=10﹣x，‎ ‎∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．‎ ‎∵DF=BF，‎ ‎∴S=S△BED=x2，‎ 故答案为S=x2．‎ ‎　‎ ‎19．（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于　15或10　．‎ ‎【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．‎ ‎【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，‎ ‎①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，‎ 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，‎ ‎∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，‎ 在Rt△ACD中，∵AC=2，‎ ‎∴CD===，‎ 则BC=BD+CD=6，‎ ‎∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；‎ ‎②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，‎ 由①知，BD=5，CD=，‎ 则BC=BD﹣CD=4，‎ ‎∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．‎ 综上，△ABC的面积是15或10，‎ 故答案为15或10．‎ ‎　‎ ‎20．（2018•香坊区）如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为　5　．‎ ‎【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根据AM=AG+MG，列方程可得结论．‎ ‎【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，‎ 设CM=a，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BC=2CM=2a，‎ ‎∵tan∠ACB=2，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴AM=2a，‎ 由勾股定理得：AC=a，‎ S△BDC=BC•DH=10，‎ ‎=10，‎ DH=，‎ ‎∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，‎ ‎∴四边形DHMG为矩形，‎ ‎∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，‎ ‎∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，‎ ‎∴∠ADG=∠CDH，‎ 在△ADG和△CDH中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADG≌△CDH（AAS），‎ ‎∴DG=DH=MG=，AG=CH=a+，‎ ‎∴AM=AG+MG，‎ 即2a=a++，‎ a2=20，‎ 在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴2AD2=5a2=100，‎ ‎∴AD=5或﹣5（舍），‎ 故答案为：5．．‎ ‎　‎ ‎21．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=　2　．‎ ‎【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：如图，连接BE，‎ ‎∵四边形BCEK是正方形，‎ ‎∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，‎ ‎∴BF=CF，‎ 根据题意得：AC∥BK，‎ ‎∴△ACO∽△BKO，‎ ‎∴KO：CO=BK：AC=1：3，‎ ‎∴KO：KF=1：2，‎ ‎∴KO=OF=CF=BF，‎ 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，‎ ‎∵∠AOD=∠BOF，‎ ‎∴tan∠AOD=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎22．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是　　．‎ ‎【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，‎ 则sin∠BAC==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎23．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=　17　．‎ ‎【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，‎ ‎∵tan∠ABD=，‎ ‎∴=，‎ 设AH=3x，则BH=4x，‎ 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，‎ 解得，x=4，‎ 则AH=12，BH=16，‎ 在Rt△AHD中，HD==5，‎ ‎∴BD=BH+HD=21，‎ ‎∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，‎ ‎∴∠ABD=∠CBH，‎ ‎∴=，又BC=10，‎ ‎∴BG=6，CG=8，‎ ‎∴DG=BD﹣BG=15，‎ ‎∴CD==17，‎ 故答案为：17．‎ ‎　‎ ‎24．（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=　‎ ‎　．‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，‎ ‎∴tanC=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎25．（2018•枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为　6.2　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】‎ ‎【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），‎ 答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．‎ 故答案为：6.2．‎ ‎　‎ ‎26．（2018•广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　40　m（结果保留根号）‎ ‎【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，‎ 则AB=AD=120m，‎ 又∵∠CAD=30°，‎ ‎∴在Rt△ADC中，‎ tan∠CDA=tan30°==，‎ 解得：CD=40（m），‎ 故答案为：40．‎ ‎　‎ ‎27．（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　1200（﹣1）　米（结果保留根号）．‎ ‎【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．‎ ‎【解答】解：由于CD∥HB，‎ ‎∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°‎ 在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°‎ ‎∴AH=CH=1200米，‎ 在Rt△HCB，∵tan∠B=‎ ‎∴HB==‎ ‎==1200（米）．‎ ‎∴AB=HB﹣HA ‎=1200﹣1200‎ ‎=1200（﹣1）米 故答案为：1200（﹣1）‎ ‎　‎ ‎28．（2018•黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是　100（1+）　米．（结果保留根号）‎ ‎【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，‎ ‎∴∠A=60°，∠B=45°，‎ 在Rt△ACD中，∵tanA=，‎ ‎∴AD==100，‎ 在Rt△BCD中，BD=CD=100，‎ ‎∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．‎ 答：A、B两点间的距离为100（1+）米．‎ 故答案为100（1+）．‎ ‎　‎ ‎29．（2018•咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为　300　m（结果保留整数，≈1.73）．‎ ‎【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．‎ ‎【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，‎ ‎∴BD=AD=110（m），‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，‎ ‎∴CD=AD•tan60°=110×=190（m），‎ ‎∴BC=BD+CD=110+190=300（m）‎ 答：该建筑物的高度BC约为300米．‎ 故答案为300．‎ ‎　‎ ‎30．（2018•天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为　18　n mile．‎ ‎【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．‎ ‎【解答】解：作AD⊥BC于D，‎ 设AC=x海里，‎ 在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，‎ 则CD=x，‎ 在Rt△ABD中，BD=x，‎ 则x+x=18（1+），解得，x=18，‎ 答：A，C之间的距离为18海里．‎ 故答案为：18‎ ‎　‎ ‎31．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行　　小时即可到达．（结果保留根号）‎ ‎【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．‎ ‎【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，‎ 在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），‎ 所以 BQ=PQ﹣90．‎ 在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），‎ 所以 PQ﹣90=PQ，‎ 所以 PQ=45（3+）（海里）‎ 所以 MN=PQ=45（3+）（海里）‎ 在直角△BMN中，∠MBN=30°，‎ 所以 BM=2MN=90（3+）（海里）‎ 所以 =（小时）‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎32．（2018•济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是　　km．‎ ‎【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°，求得答案．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，‎ 根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，‎ ‎∴∠CAB=∠ACB，‎ ‎∴BC=AB=2km，‎ 在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2×=（km）．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（共18小题）‎ ‎33．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：‎ ‎∵sinA=，sinB=‎ ‎∴c=，c=‎ ‎∴=‎ 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．‎ ‎【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．‎ ‎【解答】解： ==，理由为：‎ 过A作AD⊥BC，BE⊥AC，‎ 在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，‎ 在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，‎ ‎∴csinB=bsinC，即=，‎ 同理可得=，‎ 则==．‎ ‎　‎ ‎34．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．‎ ‎（1）求边AC的长；‎ ‎（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．‎ ‎【分析】（1）过A作AE⊥‎ BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；‎ ‎（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，‎ 在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，‎ ‎∴AE=3，BE=4，‎ ‎∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，‎ 在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；‎ ‎（2）∵DF垂直平分BC，‎ ‎∴BD=CD，BF=CF=，‎ ‎∵tan∠DBF==，‎ ‎∴DF=，‎ 在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，‎ ‎∴AD=5﹣=，‎ 则=．‎ ‎　‎ ‎35．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．‎ ‎【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图作CH⊥AB于H．‎ 在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，‎ ‎∴CH=BC=6，BH==6，‎ 在Rt△ACH中，tanA==，‎ ‎∴AH=8，‎ ‎∴AC==10，‎ ‎∴AB=AH+BH=8+6．‎ ‎　‎ ‎36．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）‎ ‎【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．‎ ‎【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，‎ 在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，‎ 则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，‎ ‎∴该汽车的实际速度为=11m/s，‎ 又∵40km/h≈11.1m/s，‎ ‎∴该车没有超速．‎ ‎　‎ ‎37．（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．‎ ‎（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；‎ ‎（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．‎ ‎（参考数据：≈1.732，≈2.449）‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；‎ ‎（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形，‎ ‎∴AC∥DE，‎ ‎∴∠DFB=∠CAB，‎ ‎∵∠CAB=85°，‎ ‎∴∠DFB=85°；‎ ‎（2）作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，‎ ‎∴CG=，AG=10，‎ ‎∵BD=40，CD=10，‎ ‎∴CB=30，‎ ‎∴BG==，‎ ‎∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，‎ 即A、B之间的距离为34.5cm．‎ ‎　‎ ‎38．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？‎ ‎【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：‎ 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，‎ 理由是：过B作BD⊥AC于D，‎ ‎∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，‎ ‎∴求出DB长和2.1m比较即可，‎ 设BD=xm，‎ ‎∵∠A=30°，∠C=45°，‎ ‎∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，‎ ‎∵AC=2（+1）m，‎ ‎∴x+x=2（+1），‎ ‎∴x=2，‎ 即BD=2m＜2.1m，‎ ‎∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．‎ ‎　‎ ‎39．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．‎ ‎（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？‎ ‎（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）‎ ‎【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；‎ ‎（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．‎ ‎【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，‎ ‎∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，‎ ‎∴CD=BC•sin30°=80×（千米），‎ AC=（千米），‎ AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），‎ 答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；‎ ‎（2）∵cos30°=，BC=80（千米），‎ ‎∴BD=BC•cos30°=80×（千米），‎ ‎∵tan45°=，CD=40（千米），‎ ‎∴AD=（千米），‎ ‎∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），‎ ‎∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．‎ 答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．‎ ‎　‎ ‎40．（2018•白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）‎ ‎【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，‎ 在Rt△ADC和Rt△BCD中，‎ ‎∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，‎ ‎∴CD=320，AD=320，‎ ‎∴BD=CD=320，BC=320，‎ ‎∴AC+BC=640+320≈1088，‎ ‎∴AB=AD+BD=320+320≈864，‎ ‎∴1088﹣864=224（公里），‎ 答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．‎ ‎　‎ ‎41．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．‎ ‎（1）求最短的斜拉索DE的长；‎ ‎（2）求最长的斜拉索AC的长．‎ ‎【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；‎ ‎（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，‎ ‎∴△BDE为等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=BE=×6=3．‎ 答：最短的斜拉索DE的长为3m；‎ ‎（2）作AH⊥BC于H，如图2，‎ ‎∵BD=DE=3，‎ ‎∴AB=3BD=5×3=15，‎ 在Rt△ABH中，∵∠B=45°，‎ ‎∴BH=AH=AB=×15=15，‎ 在Rt△ACH中，∵∠C=30°，‎ ‎∴AC=2AH=30．‎ 答：最长的斜拉索AC的长为30m．‎ ‎　‎ ‎42．（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）‎ ‎（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为　11.4　m．‎ ‎（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；‎ ‎（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠BAC=64°，AC=5m，‎ ‎∴AB=（m）；‎ 故答案为：11.4；‎ ‎（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，‎ 在Rt△ADE中，‎ ‎∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，‎ ‎∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），‎ 即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），‎ 答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．‎ ‎　‎ ‎43．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．‎ ‎（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；‎ ‎（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．‎ ‎【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；‎ ‎（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，‎ ‎∴AD====12（米），‎ 答：此时风筝线AD的长度为12米；‎ ‎（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），‎ 在Rt△BEF中，BE===18+x（米），‎ 由题意知AD=BE=18+x（米），‎ ‎∵CF=10，‎ ‎∴AC=AF+CF=10+x，‎ 由cos∠CAD=可得=，‎ 解得：x=3+2，‎ 则AD=18+（3+2）=24+3，‎ ‎∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，‎ 则C1D=CD+C1C=+=，‎ 答：风筝原来的高度C1D为米．‎ ‎　‎ ‎44．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．‎ 项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．‎ 测量数据 ‎∠A的度数 ‎∠B的度数 AB的长度 ‎38°‎ ‎28°‎ ‎234米 ‎…‎ ‎…‎ ‎（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）‎ ‎（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．‎ ‎【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；‎ ‎（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等 ‎【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．‎ 设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．‎ ‎∵，∴．‎ 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵AD+BD=AB=234，∴．‎ 解得x=72．‎ 答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．‎ ‎（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）‎ ‎　‎ ‎45．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）‎ ‎【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．‎ ‎【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．‎ ‎∵AB=CD，AB+CD=AD=2，‎ ‎∴AB=CD=1．‎ 在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，‎ ‎∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．‎ 在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，‎ ‎∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．‎ ‎∵BE⊥AD，CF⊥AD，‎ ‎∴BE∥CM，‎ 又∵BE=CM，‎ ‎∴四边形BEMC为平行四边形，‎ ‎∴BC=EM，CM=BE．‎ 在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，‎ ‎∴EM=≈1.4，‎ ‎∴B与C之间的距离约为1.4米．‎ ‎　‎ ‎46．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）‎ ‎【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．‎ ‎【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，‎ 易得四边形AHEF为矩形，‎ ‎∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，‎ ‎∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，‎ 在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，‎ ‎∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，‎ ‎∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），‎ 答：操作平台C离地面的高度为7.6m．‎ ‎　‎ ‎47．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．‎ ‎（1）求点M到地面的距离；‎ ‎（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）‎ ‎【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；‎ ‎（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，‎ Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，‎ ‎∴∠M=30°，‎ ‎∴ON=OM=0.6，‎ ‎∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；‎ 即点M到地面的距离是3.9米；‎ ‎（2）取CE=0.65，EH=2.55，‎ ‎∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，‎ 过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，‎ ‎∵∠GOP=30°，‎ ‎∴tan30°==，‎ ‎∴GP=OP=≈0.404，‎ ‎∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，‎ ‎∴货车能安全通过．‎ ‎　‎ ‎48．（2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732‎ ‎【分析】利用锐角三角函数，在Rt△CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽．‎ ‎【解答】解：在Rt△CDE中，‎ ‎∵sin∠C=，cos∠C=‎ ‎∴DE=sin30°×DC=×14=7（m），‎ CE=cos30°×DC=×14=7≈12.124≈12.12，‎ ‎∵四边形AFED是矩形，‎ ‎∴EF=AD=6m，AF=DE=7m 在Rt△ABF中，‎ ‎∵∠B=45°‎ ‎∴DE=AF=7m，‎ ‎∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）‎ 答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．‎ ‎　‎ ‎49．（2018•河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．‎ 如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）‎ ‎【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．‎ ‎【解答】解：在Rt△ACE中，‎ ‎∵tan∠CAE=，‎ ‎∴AE==≈≈21（cm）‎ 在Rt△DBF中，‎ ‎∵tan∠DBF=，‎ ‎∴BF==≈=40（cm）‎ ‎∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）‎ ‎∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF ‎∴四边形CEFH是矩形，‎ ‎∴CH=EF=151cm 答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．‎ ‎　‎ ‎50．（2018•嘉兴）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．‎ ‎（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）‎ ‎（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎【分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；‎ ‎（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，‎ 如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．‎ ‎∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，‎ ‎∴∠AP1E=115°，‎ ‎∴∠CP1E=65°，‎ ‎∵∠DP1E=20°，‎ ‎∴∠CP1F=45°，‎ ‎∵CF=P1F=1m，‎ ‎∴∠C=∠CP1F=45°，‎ ‎∴△CP1F是等腰直角三角形，‎ ‎∴P1C=m，‎ ‎∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，‎ 即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．‎ ‎（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．‎ ‎∵P2E∥AB，‎ ‎∴∠CP2E=∠CAB=90°，‎ ‎∵∠DP2E=20°，‎ ‎∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，‎ ‎∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，‎ 即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．‎ ‎　‎