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  • 2021-05-13 发布

2016中考二次函数试题汇编

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二次函数 一、 选择题 ‎1.(2016·山东省滨州市·3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是(  )‎ A.0 B.‎1 ‎C.2 D.3‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【专题】二次函数图象及其性质.‎ ‎【分析】对于抛物线解析式,分别令x=0与y=0求出对应y与x的值,即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数.‎ ‎【解答】解:抛物线y=2x2﹣2x+1,‎ 令x=0,得到y=1,即抛物线与y轴交点为(0,1);‎ 令y=0,得到2x2﹣2x+1=0,即(x﹣1)2=0,‎ 解得:x1=x2=,即抛物线与x轴交点为(,0),‎ 则抛物线与坐标轴的交点个数是2,‎ 故选C ‎【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点,抛物线解析式中令一个未知数为0,求出另一个未知数的值,确定出抛物线与坐标轴交点.‎ ‎2.(2016·山东省滨州市·3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是(  )‎ A.y=﹣(x﹣)2﹣ B.y=﹣(x+)2﹣ C.y=﹣(x﹣)2﹣ D.y=﹣(x+)2+‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换.‎ ‎【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式,求出向下平移3个单位长度的解析式即可.‎ ‎【解答】解:∵抛物线的解析式为:y=x2+5x+6,‎ ‎∴绕原点选择180°变为,y=﹣x2+5x﹣6,即y=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣(x﹣)2+﹣3=﹣(x﹣)2﹣.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键.‎ ‎3.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和(  )‎ A.大于0 B.等于‎0 C.小于0 D.不能确定 ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,‎ ‎∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,‎ ‎∴﹣>0.‎ 设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b,则a+b=﹣=﹣+,‎ ‎∵a>0,‎ ‎∴>0,‎ ‎∴a+b>0.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.‎ ‎4.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.‎ ‎【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.‎ ‎【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;‎ B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;‎ C、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;‎ D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.‎ 故选C.‎ ‎5.(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|‎2a+b|=(  )‎ A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.‎‎3a ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】观察函数图象找出“a>0,c=0,﹣‎2a<b<‎0”‎,由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b,|‎2a+b|=‎2a+b,根据整式的加减法运算即可得出结论.‎ ‎【解答】解:观察函数图象,发现:‎ 图象过原点,c=0;‎ 抛物线开口向上,a>0;‎ 抛物线的对称轴0<﹣<1,﹣‎2a<b<0.‎ ‎∴|a﹣b+c|=a﹣b,|‎2a+b|=‎2a+b,‎ ‎∴|a﹣b+c|+|‎2a+b|=a﹣b+‎2a+b=‎3a.‎ 故选D.‎ ‎6.(2016·广西桂林·3分)已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=﹣ (x﹣ )2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有(  )‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的判定.‎ ‎【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标,结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形,再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标,发现该两点与M、N重合,结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形,由此即可得出结论.‎ ‎【解答】解:以点B为圆心线段AB长为半径做圆,交抛物线于点C、M、N点,连接AC、BC,如图所示.‎ 令一次函数y=﹣x+3中x=0,则y=3,‎ ‎∴点A的坐标为(0,3);‎ 令一次函数y=﹣x+3中y=0,则﹣x+3,‎ 解得:x=,‎ ‎∴点B的坐标为(,0).‎ ‎∴AB=2.‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=,‎ ‎∴点C的坐标为(2,3),‎ ‎∴AC=2=AB=BC,‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ 令y=﹣(x﹣)2+4中y=0,则﹣(x﹣)2+4=0,‎ 解得:x=﹣,或x=3.‎ ‎∴点E的坐标为(﹣,0),点F的坐标为(3,0).‎ ‎△ABP为等腰三角形分三种情况:‎ ‎①当AB=BP时,以B点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M、N三点;‎ ‎②当AB=AP时,以A点为圆心,AB长度为半径做圆,与抛物线交于C、M两点,;‎ ‎③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线交于C、M两点;‎ ‎∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.‎ 故选A.‎ ‎7.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和(  )‎ A.大于0 B.等于‎0 C.小于0 D.不能确定 ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,‎ ‎∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,‎ ‎∴﹣>0.‎ 设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b,则a+b=﹣=﹣+,‎ ‎∵a>0,‎ ‎∴>0,‎ ‎∴a+b>0.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.‎ ‎8.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.‎ ‎【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.‎ ‎【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;‎ B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;‎ C、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;‎ D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.‎ 故选C.‎ ‎9.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和(  )‎ A.大于0 B.等于‎0 C.小于0 D.不能确定 ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,‎ ‎∵由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0,‎ ‎∴﹣>0.‎ 设方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根为a,b,则a+b=﹣=﹣+,‎ ‎∵a>0,‎ ‎∴>0,‎ ‎∴a+b>0.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.‎ ‎10.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.‎ ‎【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.‎ ‎【解答】解:A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;‎ B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;‎ C、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;‎ D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.‎ 故选C.‎ ‎11. (2016·浙江省绍兴市·4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是(  )‎ A.4 B.‎6 C.8 D.10‎ ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】根据抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,可以得到c的取值范围,从而可以解答本题.‎ ‎【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,‎ ‎∴‎ 解得6≤c≤14,‎ 故选A.‎ ‎12. (2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)‎4a+b=0;(2)‎9a+c>3b;(3)‎8a+7b+‎2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】(1)正确.根据对称轴公式计算即可.‎ ‎(2)错误,利用x=﹣3时,y<0,即可判断.‎ ‎(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),列出方程组求出a、b即可判断.‎ ‎(4)错误.利用函数图象即可判断.‎ ‎(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)正确.∵﹣ =2,‎ ‎∴‎4a+b=0.故正确.‎ ‎(2)错误.∵x=﹣3时,y<0,‎ ‎∴‎9a﹣3b+c<0,‎ ‎∴‎9a+c<3b,故(2)错误.‎ ‎(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),‎ ‎∴解得,‎ ‎∴‎8a+7b+‎2c=‎8a﹣‎28a﹣‎10a=﹣‎30a,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴‎8a+7b=‎2c>0,故(3)正确.‎ ‎(4)错误,∵点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3),‎ ‎∵﹣2=,2﹣(﹣)=,‎ ‎∴<‎ ‎∴点C离对称轴的距离近,‎ ‎∴y3>y2,‎ ‎∵a<0,﹣3<﹣<2,‎ ‎∴y1<y2‎ ‎∴y1<y2<y3,故(4)错误.‎ ‎(5)正确.∵a<0,‎ ‎∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0,‎ 即(x+1)(x﹣5)>0,‎ 故x<﹣1或x>5,故(5)正确.‎ ‎∴正确的有三个,‎ 故选B.‎ ‎13.(2016·四川南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴是(  ) ‎ A.直线x=1 B.直线x=﹣‎1 ‎C.直线x=﹣2 D.直线x=2‎ ‎【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程. ‎ ‎【解答】解:∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2, ‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1. ‎ 故选B. ‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的顶点坐标是(﹣,),对称轴为直线x=﹣.‎ ‎14.(2016·四川泸州)已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),当a﹣b为整数时,ab的值为(  )‎ A.或1 B.或‎1 C.或D.或 ‎【考点】二次函数的性质.‎ ‎【分析】首先根据题意确定a、b的符号,然后进一步确定a的取值范围,根据a﹣b为整数确定a、b的值,从而确定答案.‎ ‎【解答】解:依题意知a>0,>0,a+b﹣2=0,‎ 故b>0,且b=2﹣a,a﹣b=a﹣(2﹣a)=‎2a﹣2,‎ 于是0<a<2,‎ ‎∴﹣2<‎2a﹣2<2,‎ 又a﹣b为整数,‎ ‎∴‎2a﹣2=﹣1,0,1,‎ 故a=,1,,‎ b=,1,,‎ ‎∴ab=或1,‎ 故选A.‎ ‎15.(2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是(  )‎ A.‎2a﹣b=0‎ B.a+b+c>0‎ C.‎3a﹣c=0‎ D.当a=时,△ABD是等腰直角三角形 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,得到对称轴为直线x=1,则﹣=1,即‎2a+b=0,得出,选项A错误;‎ 当x=1时,y<0,得出a+b+c<0,得出选项B错误;‎ 当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,而b=﹣‎2a,可得到a与c的关系,得出选项C错误;‎ 由a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,先求出顶点D的坐标,由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,得出选项D正确;即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1,则﹣=1,‎ ‎∴‎2a+b=0,‎ ‎∴选项A错误;‎ ‎∴当自变量取1时,对应的函数图象在x轴下方,‎ ‎∴x=1时,y<0,则a+b+c<0,‎ ‎∴选项B错误;‎ ‎∵A点坐标为(﹣1,0),‎ ‎∴a﹣b+c=0,而b=﹣‎2a,‎ ‎∴a+‎2a+c=0,‎ ‎∴‎3a+c=0,‎ ‎∴选项C错误;‎ 当a=,则b=﹣1,c=﹣,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣,‎ 把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2,‎ ‎∴D点坐标为(1,﹣2),‎ ‎∴AE=2,BE=2,DE=2,‎ ‎∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形,‎ ‎∴△ADB为等腰直角三角形,‎ ‎∴选项D正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:当a>0,抛物线开口向上;抛物线的对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).‎ ‎16.(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:‎ ‎①‎4ac<b2;‎ ‎②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;‎ ‎③‎3a+c>0‎ ‎④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3‎ ‎⑤当x<0时,y随x增大而增大 其中结论正确的个数是(  )‎ A.4个B.3个C.2个D.1个 ‎【考点】二次函数图象与系数的关系.‎ ‎【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣‎2a,然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到‎3a+c<0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断.‎ ‎【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,‎ ‎∴b2﹣‎4ac>0,所以①正确;‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=1,‎ 而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),‎ ‎∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;‎ ‎∵x=﹣=1,即b=﹣‎2a,‎ 而x=﹣1时,y<0,即a﹣b+c<0,‎ ‎∴a+‎2a+c<0,所以③错误;‎ ‎∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),‎ ‎∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=1,‎ ‎∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.‎ 故选B.‎ ‎17.(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是(  )‎ A.b≥B.b≥1或b≤﹣‎1 C.b≥2 D.1≤b≤2‎ ‎【分析】由于二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2‎ ‎﹣1的图象不经过第三象限,所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口方向向上,由此可以确定抛物线与x轴有无交点,抛物线与y轴的交点的位置,由此即可得出关于b的不等式组,解不等式组即可求解.‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,‎ ‎∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,‎ 当抛物线在x轴的上方时,‎ ‎∵二次项系数a=1,‎ ‎∴抛物线开口方向向上,‎ ‎∴b2﹣1≥0,△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)≤0,‎ 解得b≥;‎ 当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时,‎ 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=2(b﹣2)≥0,b2﹣1≥0,‎ ‎∴△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)>0,①‎ b﹣2>0,②‎ b2﹣1>0,③‎ 由①得b<,由②得b>2,‎ ‎∴此种情况不存在,‎ ‎∴b≥,‎ 故选A.‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题.‎ ‎18.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为(  )‎ A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=‎7 C.x1=1,x2=﹣7 D.x1=﹣1,x2=7‎ ‎【考点】二次函数的性质;解一元二次方程-因式分解法.‎ ‎【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值,再把m的值代入方程x2+mx=7,求出x的值即可.‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,‎ ‎∴﹣=3,解得m=﹣6,‎ ‎∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0,即(x+1)(x﹣7)=0,解得x1=﹣1,x2=7.‎ 故选D.‎ ‎19.(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=‎6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以‎1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以‎2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是(  )‎ A.‎18cm2B.‎12cm2C.‎9cm2D.‎3cm2‎ ‎【考点】解直角三角形;二次函数的最值.‎ ‎【分析】先根据已知求边长BC,再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长,设△PBQ的面积为S,利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式,并求最值即可.‎ ‎【解答】解:∵tan∠C=,AB=‎6cm,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BC=8,‎ 由题意得:AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,‎ 设△PBQ的面积为S,‎ 则S=×BP×BQ=×2t×(6﹣t),‎ S=﹣t2+6t=﹣(t2﹣6t+9﹣9)=﹣(t﹣3)2+9,‎ P:0≤t≤6,Q:0≤t≤4,‎ ‎∴当t=3时,S有最大值为9,‎ 即当t=3时,△PBQ的最大面积为‎9cm2;‎ 故选C.‎ ‎20. (2016·陕西·3分)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点;锐角三角函数的定义.‎ ‎【分析】先求出A、B、C坐标,作CD⊥AB于D,根据tan∠ACD=即可计算.‎ ‎【解答】解:令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,不妨设A(﹣3,0),B(1,0),‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,‎ ‎∴顶点C(﹣1,4),‎ 如图所示,作CD⊥AB于D.‎ 在RT△ACD中,tan∠CAD===2,‎ 故答案为D.‎ ‎21. (2016·四川眉山·3分)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为(  )‎ A.y=(x﹣2)2+3 B.y=(x﹣2)2+‎5 C.y=x2﹣1 D.y=x2+4‎ ‎【分析】思想判定出抛物线的平移规律,根据左加右减,上加下减的规律即可解决问题.‎ ‎【解答】解:将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,这个相当于把抛物线向左平移有关单位,再向下平移3个单位,‎ ‎∵y=(x﹣1)2+2,‎ ‎∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x﹣1+1)2+2﹣3=x2﹣1,‎ 故答案为C.‎ ‎【点评】本题考查二次函数图象的平移,解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的,记住左加右减,上加下减的规律,属于中考常考题型.‎ 一、 填空题 ‎1.(2016·山东省菏泽市·3分)如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m= ﹣1 .‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.‎ ‎【专题】规律型.‎ ‎【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点,由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等,且OA1=A‎1A2,照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6的顶点,从而得到结果.‎ ‎【解答】解:∵y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2),‎ ‎∴配方可得y=﹣(x﹣1)2+1(0≤x≤2),‎ ‎∴顶点坐标为(1,1),‎ ‎∴A1坐标为(2,0)‎ ‎∵C2由C1旋转得到,‎ ‎∴OA1=A‎1A2,即C2顶点坐标为(3,﹣1),A2(4,0);‎ 照此类推可得,C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0);‎ C4顶点坐标为(7,﹣1),A4(8,0);‎ C5顶点坐标为(9,1),A5(10,0);‎ C6顶点坐标为(11,﹣1),A6(12,0);‎ ‎∴m=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标.‎ ‎2.(2016·黑龙江哈尔滨·3分)二次函数y=2(x﹣3)2﹣4的最小值为 ﹣4 .‎ ‎【考点】二次函数的最值.‎ ‎【分析】题中所给的解析式为顶点式,可直接得到顶点坐标,从而得出解答.‎ ‎【解答】解:二次函数y=2(x﹣3)2﹣4的开口向上,顶点坐标为(3,﹣4),‎ 所以最小值为﹣4.‎ 故答案为:﹣4.‎ ‎3.(2016河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .‎ ‎【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.‎ ‎【解答】解:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,‎ ‎∴代入得:,‎ 解得:b=2,c=3,‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣(x﹣1)2+4,‎ 顶点坐标为(1,4),‎ 故答案为:(1,4).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键.‎ ‎4.(2016·四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:①bc>0;②b+c>0;③b,c是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论是 ①③ (填写序号) ‎ ‎【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),可以得到a>0,a、b、c的关系,然后对a、b、c进行讨论,从而可以判断①②③④是否正确,本题得以解决. ‎ ‎【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc), ‎ ‎∴ ‎ ‎∴bc>0,故①正确; ‎ ‎∴a>1时,则b、c均小于0,此时b+c<0, ‎ 当a=1时,b+c=0,则与题意矛盾, ‎ 当0<a<1时,则b、c均大于0,此时b+c>0, ‎ 故②错误; ‎ ‎∴x2+(a﹣1)x+=0可以转化为:x2+(b+c)x+bc=0,得x=b或x=c,故③正确; ‎ ‎∵b,c是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根, ‎ ‎∴a﹣b﹣c=a﹣(b+c)=a+(a﹣1)=‎2a﹣1, ‎ 当a>1时,‎2a﹣1>3, ‎ 当0<a<1时,﹣1<‎2a﹣1<3, ‎ 故④错误; ‎ 故答案为:①③. ‎ ‎【点评】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题. ‎ ‎5.(2016·四川泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为 ﹣ .‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】设y=0,则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,利用根与系数的关系即可求出+的值.‎ ‎【解答】解:‎ 设y=0,则2x2﹣4x﹣1=0,‎ ‎∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=2,x1,•x2=﹣,‎ ‎∵+==﹣,‎ ‎∴原式==﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎6.(2016·四川内江)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图11所示,且P=|‎2a+b|+|3b-‎2c|,Q=|‎2a-b|-|3b+‎2c|,则P,Q的大小关系是______.‎ ‎[答案]P>Q ‎[考点]二次函数的图象及性质。‎ ‎[解析]∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵-=1,∴b>0且a=-.‎ ‎∴|‎2a+b|=0,|‎2a-b|=b-‎2a.‎ ‎∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0.∴|3b+‎2c|=3b+‎2c.‎ 由图象可知当x=-1时,y<0,即a-b+c<0.‎ ‎∴--b+c<0,即3b-‎2c>0.∴|3b-‎2c|=3b-‎2c.‎ ‎∴P=0+3b-‎2c=3b-‎2c>0,‎ Q=b-‎2a-(3b+‎2c)=-(b+‎2c)<0.‎ ‎∴P>Q.‎ 故答案为:P>Q.‎ ‎7.(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+‎2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 ﹣1或2或1 .‎ ‎【分析】直接利用抛物线与x轴相交,b2﹣‎4ac=0,进而解方程得出答案.‎ ‎【解答】解:∵函数y=(a﹣1)x2﹣4x+‎2a的图象与x轴有且只有一个交点,‎ 当函数为二次函数时,b2﹣‎4ac=16﹣4(a﹣1)×‎2a=0,‎ 解得:a1=﹣1,a2=2,‎ 当函数为一次函数时,a﹣1=0,解得:a=1.‎ 故答案为:﹣1或2或1.‎ ‎【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出关于a的方程是解题关键.‎ 一、 解答题 ‎1. (2016·湖北随州·9分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).‎ 时间x(天)‎ ‎1‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ 每天销售量p(件)‎ ‎198‎ ‎140‎ ‎80‎ ‎20‎ ‎(1)求出w与x的函数关系式;‎ ‎(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;‎ ‎(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.‎ ‎【考点】二次函数的应用;一元一次不等式的应用.‎ ‎【分析】(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50<x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;‎ ‎(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当0≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50<x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;‎ ‎(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),‎ ‎∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),‎ ‎∴,解得:,‎ ‎∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;‎ 当50<x≤90时,y=90.‎ ‎∴售价y与时间x的函数关系式为y=.‎ 由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,‎ 设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),‎ ‎∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),‎ ‎∴,解得:,‎ ‎∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),‎ 当0≤x≤50时,w=(y﹣30)•p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;‎ 当50<x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.‎ 综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=.‎ ‎(2)当0≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,‎ ‎∵a=﹣2<0且0≤x≤50,‎ ‎∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.‎ 当50<x≤90时,w=﹣120x+12000,‎ ‎∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,‎ ‎∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.‎ ‎∵6050>6000,‎ ‎∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.‎ 即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元.‎ ‎(3)当0≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,‎ 解得:30≤x≤50,‎ ‎50﹣30+1=21(天);‎ 当50<x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,‎ 解得:50<x≤53,‎ ‎∵x为整数,‎ ‎∴50<x≤53,‎ ‎53﹣50=3(天).‎ 综上可知:21+3=24(天),‎ 故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.‎ ‎2. (2016·湖北随州·12分)已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D.‎ ‎(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标,求出直线的解析式,求出点D的坐标,求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)作PH⊥x轴于H,设点P的坐标为(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根据相似三角形的性质计算即可;‎ ‎(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时,t最小即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),‎ ‎∴点A的坐标为(﹣3,0)、点B两的坐标为(1,0),‎ ‎∵直线y=﹣x+b经过点A,‎ ‎∴b=﹣3,‎ ‎∴y=﹣x﹣3,‎ 当x=2时,y=﹣5,‎ 则点D的坐标为(2,﹣5),‎ ‎∵点D在抛物线上,‎ ‎∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5,‎ 解得,a=﹣,‎ 则抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎(2)作PH⊥x轴于H,‎ 设点P的坐标为(m,n),‎ 当△BPA∽△ABC时,∠BAC=∠PBA,‎ ‎∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=,‎ ‎∴=,即n=﹣a(m﹣1),‎ ‎∴,‎ 解得,m1=﹣4,m2=1(不合题意,舍去),‎ 当m=﹣4时,n=‎5a,‎ ‎∵△BPA∽△ABC,‎ ‎∴=,即AB2=AC•PB,‎ ‎∴42=•,‎ 解得,a1=(不合题意,舍去),a2=﹣,‎ 则n=‎5a=﹣,‎ ‎∴点P的坐标为(﹣4,﹣);‎ 当△PBA∽△ABC时,∠CBA=∠PBA,‎ ‎∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=,‎ ‎∴=,即n=﹣‎3a(m﹣1),‎ ‎∴,‎ 解得,m1=﹣6,m2=1(不合题意,舍去),‎ 当m=﹣6时,n=‎21a,‎ ‎∵△PBA∽△ABC,‎ ‎∴=,即AB2=BC•PB,‎ ‎∴42=•,‎ 解得,a1=(不合题意,舍去),a2=﹣,‎ 则点P的坐标为(﹣6,﹣),‎ 综上所述,符合条件的点P的坐标为(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);‎ ‎(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,‎ 则tan∠DAN===,‎ ‎∴∠DAN=60°,‎ ‎∴∠EDF=60°,‎ ‎∴DE==EF,‎ ‎∴Q的运动时间t=+=BE+EF,‎ ‎∴当BE和EF共线时,t最小,‎ 则BE⊥DM,y=﹣4.‎ ‎ ‎ ‎3. (2016·湖北武汉·10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:‎ 产品 每件售价(万元)‎ 每件成本(万元)‎ 每年其他费用(万元)‎ 每年最大产销量(件)‎ 甲 ‎6‎ a ‎20‎ ‎200‎ 乙 ‎20‎ ‎10‎ ‎40+0.05x2‎ ‎80‎ 其中a为常数,且3≤a≤5.‎ ‎(1) 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;‎ ‎(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;‎ ‎(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数的应用,一次函数的应用 ‎【答案】 (1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);(2) 产销甲种产品的最大年利润为(1180‎-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)当3≤a<3.7时,选择甲产品;当a=3.7时,选择甲乙产品;当3.7<a≤5时,选择乙产品 ‎【解析】解:(1) y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);‎ ‎(2)甲产品:∵3≤a≤5,∴6-a>0,∴y1随x的增大而增大.‎ ‎∴当x=200时,y1max=1180-‎200a(3≤a≤5)‎ 乙产品:y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80)‎ ‎∴当0<x≤80时,y2随x的增大而增大.‎ 当x=80时,y2max=440(万元).‎ ‎∴产销甲种产品的最大年利润为(1180‎-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)1180-200>440,解得3≤a<3.7时,此时选择甲产品;‎ ‎1180-200=440,解得a=3.7时,此时选择甲乙产品;‎ ‎1180-200<440,解得3.7<a≤5时,此时选择乙产品.‎ ‎∴当3≤a<3.7时,生产甲产品的利润高;‎ 当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同;‎ 当3.7<a≤5时,上产乙产品的利润高.‎ ‎4. (2016·湖北武汉·12分)抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点,顶点为C,点P为抛物线上,且位于x轴下方.‎ ‎(1)如图1,若P(1,-3)、B(4,0),‎ ‎① 求该抛物线的解析式;‎ ‎② 若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;‎ ‎(2) 如图2,已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合;考查了待定系数法求函数解析式;平行线的判定;函数值相等的点关于对称轴对称。‎ ‎【答案】 (1)①y=x2-;②点D的坐标为(-1,-3)或(,);(2)是定值,等于2‎ ‎【解析】解:(1)①将P(1,-3)、B(4,0)代入y=ax2+c得 ‎ ,解得 ,抛物线的解析式为: .‎ ‎②如图:‎ 由∠DPO=∠POB得DP∥OB,D与P关于y轴对称,P(1,-3)得D(-1,-3);‎ 如图,D在P右侧,即图中D2,则∠D2PO=∠POB,延长PD2交x轴于Q,则QO=QP,‎ 设Q(q,0),则(q-1)2+32=q2,解得:q=5,∴Q(5,0),则直线PD2为 ,再联立 得:x=1或 ,∴ D2( )‎ ‎∴点D的坐标为(-1,-3)或( )‎ ‎(2)设B(b,0),则A(-b,0)有ab2+c=0,∴b2=,过点P(x0,y0)作PH⊥AB,有,易证:△PAH∽△EAO,则 即,∴,‎ 同理得∴,∴,则OE+OF= ‎ ‎∴,又OC=-c,∴. ‎ ‎∴是定值,等于2.‎ ‎5. (2016·吉林·10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8cm,AD⊥BC于点D,点P从点A出发,沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止,在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°(点M,C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)‎ ‎(1)当点M落在AB上时,x= 4 ;‎ ‎(2)当点M落在AD上时,x=  ;‎ ‎(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.‎ ‎【考点】三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)当点M落在AB上时,四边形AMQP是正方形,此时点D与点Q重合,由此即可解决问题.‎ ‎(2)如图1中,当点M落在AD上时,作PE⊥QC于E,先证明DQ=QE=EC,由PE∥AD,得==,由此即可解决问题.‎ ‎(3)分三种情形①当0<x≤4时,如图2中,设PM、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为△PEF,②当4<x≤‎ 时,如图3中,设PM、MQ分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形PEGQ.③当<x<8时,如图4中,则重合部分为△PMQ,分别计算即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)当点M落在AB上时,四边形AMQP是正方形,此时点D与点Q重合,AP=CP=4,所以x==4.‎ 故答案为4.‎ ‎(2)如图1中,当点M落在AD上时,作PE⊥QC于E.‎ ‎∵△MQP,△PQE,△PEC都是等腰直角三角形,MQ=PQ=PC ‎∴DQ=QE=EC,‎ ‎∵PE∥AD,‎ ‎∴==,∵AC=8,‎ ‎∴PA=,‎ ‎∴x=÷=.‎ 故答案为.‎ ‎(3)①当0<x≤4时,如图2中,设PM、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为△PEF,‎ ‎∵AP=x,‎ ‎∴EF=PE=x,‎ ‎∴y=S△PEF=•PE•EF=x2.‎ ‎②当4<x≤时,如图3中,设PM、MQ分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形PEGQ.‎ ‎∵PQ=PC=8﹣x,‎ ‎∴PM=16﹣2x,∴ME=PM﹣PE=16﹣3x,‎ ‎∴y=S△PMQ﹣S△MEG=(8﹣x)2﹣(16﹣3x)2=﹣x2+32x﹣64.‎ ‎③当<x<8时,如图4中,则重合部分为△PMQ,‎ ‎∴y=S△PMQ=PQ2=(8﹣x)2=x2﹣16x+64.‎ 综上所述y=.‎ ‎6. (2016·吉林·10分)如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为‎2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点 ‎(1)当m=2时,a=﹣,当m=3时,a=﹣;‎ ‎(2)根据(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)如图2,在图1的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a和n的关系式为 a=﹣;‎ ‎(4)利用(2)(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)由△AOB为等边三角形,AB=‎2m,得出点A,B坐标,再由点A,B,O在抛物线上建立方程组,得出结论,最后代m=2,m=3,求值即可;‎ ‎(2)同(1)的方法得出结论 ‎(3)由△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n,设A(e,d+n),∴P(e﹣n,d),Q(e+n,d),建立方程组求解即可;‎ ‎(4)由(2)(3)的结论得到m=n,再根据面积公式列出式子,代入化简即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,‎ ‎∵点B在x轴正半轴上,OB的长度为‎2m,‎ ‎∴B(‎2m,0),‎ ‎∵以OB为边向上作等边三角形AOB,‎ ‎∴AM=m,OM=m,‎ ‎∴A(m, m),‎ ‎∵抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点 ‎∴,‎ ‎∴‎ 当m=2时,a=﹣,‎ 当m=3时,a=﹣,‎ 故答案为:﹣,﹣;‎ ‎(2)a=﹣‎ 理由:如图1,∵点B在x轴正半轴上,OB的长度为‎2m,‎ ‎∴B(‎2m,0),‎ ‎∵以OB为边向上作等边三角形AOB,‎ ‎∴AM=m,OM=m,‎ ‎∴A(m, m),‎ ‎∵抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点 ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎(3)如图2,‎ ‎∵△APQ为等腰直角三角形,PQ的长度为2n,‎ 设A(e,d+n),∴P(e﹣n,d),Q(e+n,d),‎ ‎∵P,Q,A,O在抛物线l:y=ax2+bx+c上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎①﹣②化简得,2ae﹣an+b=1④,‎ ‎①﹣③化简得,﹣2ae﹣an﹣b=1⑤,‎ ‎④﹣⑤化简得,an=﹣1,‎ ‎∴a=﹣‎ 故答案为a=﹣,‎ ‎(4)∵OB的长度为‎2m,AM=m,‎ ‎∴S△AOB=OB×AM=‎2m×m=m2,‎ 由(3)有,AN=n ‎∵PQ的长度为2n,‎ ‎∴S△APQ=PQ×AN=×‎2m×n=n2,‎ 由(2)(3)有,a=﹣,a=﹣,‎ ‎∴﹣=﹣,‎ ‎∴m=n,‎ ‎∴===,‎ ‎∴△AOB与△APQ的面积比为3:1.‎ ‎7. (2016·江西·12分)设抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);过点B2(,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A2;…;过点Bn ‎(()n﹣1,0)(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An,连接AnBn+1,得Rt△AnBnBn+1.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)直接写出线段AnBn,BnBn+1的长(用含n的式子表示);‎ ‎(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:‎ ‎①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?‎ ‎②设1≤k<m≤n(k,m均为正整数),问:是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)直接把点A1的坐标代入y=ax2求出a的值;‎ ‎(2)由题意可知:A1B1是点A1的纵坐标:则A1B1=2×12=2;A2B2是点A2的纵坐标:则A2B2=2×()2=;…则AnBn=2x2=2×[()n﹣1]2=;‎ B1B2=1﹣=,B2B3=﹣==,…,BnBn+1=;‎ ‎(3)因为Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1是直角三角形,所以分两种情况讨论:根据(2)的结论代入所得的对应边的比列式,计算求出k与m的关系,并与1≤k<m≤n(k,m均为正整数)相结合,得出两种符合条件的值,分别代入两相似直角三角形计算相似比.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A1(1,2)在抛物线的解析式为y=ax2上,‎ ‎∴a=2;‎ ‎(2)AnBn=2x2=2×[()n﹣1]2=,‎ BnBn+1=;‎ ‎(3)由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1,则: =,‎ ‎2n﹣3=n,n=3,‎ ‎∴当n=3时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形,‎ ‎②依题意得,∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°,‎ 有两种情况:i)当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时,‎ ‎=, =, =,‎ 所以,k=m(舍去),‎ ii)当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时,‎ ‎=, =, =,‎ ‎∴k+m=6,‎ ‎∵1≤k<m≤n(k,m均为正整数),‎ ‎∴取或;‎ 当时,Rt△A1B1B2∽Rt△B6B‎5A5,‎ 相似比为: ==64,‎ 当时,Rt△A2B2B3∽Rt△B5B‎4A4,‎ 相似比为: ==8,‎ 所以:存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似,其相似比为64:1或8:1.‎ ‎8. (2016·辽宁丹东·10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实‎6750千克?‎ ‎(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)函数的表达式为y=kx+b,把点(12,74),(28,66)代入解方程组即可.‎ ‎(2)列出方程解方程组,再根据实际意义确定x的值.‎ ‎(3)构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),‎ 得,‎ 解得,‎ ‎∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80,‎ ‎(2)根据题意,得,‎ ‎(﹣0.5x+80)(80+x)=6750,‎ 解得,x1=10,x2=70‎ ‎∵投入成本最低.‎ ‎∴x2=70不满足题意,舍去.‎ ‎∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克.‎ ‎(3)根据题意,得 w=(﹣0.5x+80)(80+x) ‎ ‎=﹣0.5 x2+40 x+6400‎ ‎=﹣0.5(x﹣40)2+7200‎ ‎∵a=﹣0.5<0,则抛物线开口向下,函数有最大值 ‎∴当x=40时,w最大值为7200千克.‎ ‎∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.‎ ‎9. (2016·辽宁丹东·12分)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;‎ ‎(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;‎ ‎(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的表达式;‎ ‎(2)根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为(3,3),根据面积公式求△ABC的面积;‎ ‎(3)因为点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,设出点P的坐标(m,﹣m2+‎4m),利用差表示△ABP的面积,列式计算求出m的值,写出点P的坐标;‎ ‎(4)分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长,利用面积公式进行计算.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,‎ 得 解得:,‎ ‎∴抛物线表达式为:y=﹣x2+4x;‎ ‎(2)点C的坐标为(3,3),‎ 又∵点B的坐标为(1,3),‎ ‎∴BC=2,‎ ‎∴S△ABC=×2×3=3; ‎ ‎(3)过P点作PD⊥BH交BH于点D,‎ 设点P(m,﹣m2+‎4m),‎ 根据题意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣‎4m,PD=m﹣1,‎ ‎∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD,‎ ‎6=×3×3+(3+m﹣1)(m2﹣‎4m)﹣(m﹣1)(3+m2﹣‎4m),‎ ‎∴‎3m2‎﹣‎15m=0,‎ m1=0(舍去),m2=5,‎ ‎∴点P坐标为(5,﹣5). ‎ ‎(4)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:‎ ‎①以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图2,CM=MN,∠CMN=90°,‎ 则△CBM≌△MHN,‎ ‎∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,‎ ‎∴M(1,2),N(2,0),‎ 由勾股定理得:MC==,‎ ‎∴S△CMN=××=;‎ ‎②以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图3,作辅助线,构建如图所示的两直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,‎ 得Rt△NEM≌Rt△MDC,‎ ‎∴EM=CD=5,MD=ME=2,‎ 由勾股定理得:CM==,‎ ‎∴S△CMN=××=;‎ ‎③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图4,CN=MN,∠MNC=90°,作辅助线,‎ 同理得:CN==,‎ ‎∴S△CMN=××=17;‎ ‎④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,作辅助线,如图5,同理得:CN==,‎ ‎∴S△CMN=××=5;‎ ‎⑤以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形;‎ 综上所述:△CMN的面积为:或或17或5.‎ ‎ ‎ ‎10. (2016·四川泸州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3),B(4,0)两点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此时点M的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;‎ ‎(2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;‎ ‎(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN,可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵A(1,3),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx的图象上,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x;‎ ‎(2)存在三个点满足题意,理由如下:‎ 当点D在x轴上时,如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,‎ ‎∵A(1,3),‎ ‎∴D坐标为(1,0);‎ 当点D在y轴上时,设D(0,d),则AD2=1+(3﹣d)2,BD2=42+d2,且AB2=(4﹣1)2+(3)2=36,‎ ‎∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形,‎ ‎∴AD2+BD2=AB2,即1+(3﹣d)2+42+d2=36,解得d=,‎ ‎∴D点坐标为(0,)或(0,);‎ 综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0,)或(0,);‎ ‎(3)如图2,过P作PF⊥CM于点F,‎ ‎∵PM∥OA,‎ ‎∴Rt△ADO∽Rt△MFP,‎ ‎∴==3,‎ ‎∴MF=3PF,‎ 在Rt△ABD中,BD=3,AD=3,‎ ‎∴tan∠ABD=,‎ ‎∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=a,‎ 在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,‎ ‎∴tan∠PNF==,‎ ‎∴FN=PF,‎ ‎∴MN=MF+FN=4PF,‎ ‎∵S△BCN=2S△PMN,‎ ‎∴a2=2××4PF2,‎ ‎∴a=2PF,‎ ‎∴NC=a=2PF,‎ ‎∴==,‎ ‎∴MN=NC=×a=a,‎ ‎∴MC=MN+NC=(+)a,‎ ‎∴M点坐标为(4﹣a,( +)a),‎ 又M点在抛物线上,代入可得﹣(4﹣a)2+4(4﹣a)=(+)a,‎ 解得a=3﹣或a=0(舍去),‎ OC=4﹣a=+1,MC=2+,‎ ‎∴点M的坐标为(+1,2+).‎ ‎11.(2016·四川内江)(12分)如图15,已知抛物线C:y=x2-3x+m,直线l:y=kx(k>0),当k=1时,抛物线C与直线l只有一个公共点.‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,直线l与直线l1:y=-3x+b交于点P,且+=,求b的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设直线l1与y轴交于点Q,问:是否存在实数k使S△APQ=S△BPQ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.‎ x y O l1‎ Q P B A l 图15‎ x y O l1‎ Q P B A l 答案图 C E D ‎[考点]二次函数与一元二次方程的关系,三角形的相似,推理论证的能力。‎ 解:(1)∵当k=1时,抛物线C与直线l只有一个公共点,‎ ‎∴方程组有且只有一组解. 2分 消去y,得x2-4x+m=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.‎ ‎∴△=0,即(-4)2-‎4m=0.‎ ‎∴m=4. 4分 ‎(2)如图,分别过点A,P,B作y轴的垂线,垂足依次为C,D,E,‎ 则△OAC∽△OPD,∴=.‎ 同理,=.‎ ‎∵+=,∴+=2.‎ ‎∴+=2.‎ ‎∴+=,即=. 5分 解方程组得x=,即PD=. 6分 由方程组消去y,得x2-(k+3)x+4=0.‎ ‎∵AC,BE是以上一元二次方程的两根,‎ ‎∴AC+BE=k+3,AC·BE=4. 7分 ‎∴=.‎ 解得b=8. 8分 ‎(3)不存在.理由如下: 9分 假设存在,则当S△APQ=S△BPQ时有AP=PB,‎ 于是PD-AC=PE-PD,即AC+BE=2PD.‎ 由(2)可知AC+BE=k+3,PD=,‎ ‎∴k+3=2×,即(k+3)2=16.‎ 解得k=1(舍去k=-7). 11分 当k=1时,A,B两点重合,△QAB不存在.‎ ‎∴不存在实数k使S△APQ=S△BPQ. 12分 ‎12.(2016·四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为‎30米的篱笆围成.已知墙长为‎18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.‎ ‎(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;‎ ‎(2)若平行于墙的一边长不小于‎8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;‎ ‎(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.‎ ‎18m 苗圃园 图14‎ ‎[考点]应用题,一元二次方程,二次函数。‎ 解:(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米.依题意可列方程 x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0. 2分 解得x1=3,x2=12. 4分 ‎(2)依题意,得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11.‎ 面积S=x(30-2x)=-2(x-)2+(6≤x≤11).‎ ‎①当x=时,S有最大值,S最大=; 6分 ‎②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88. 8分 ‎(3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0.‎ 解得x1=5,x2=10. 10分 ‎∴x的取值范围是5≤x≤10. 12分 ‎13.(2016·四川南充)如图,抛物线与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0).与y轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q,交直线AC于点M和N.交x轴于点E和F. ‎ ‎(1)求抛物线的解析式; ‎ ‎(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sin∠AMF=,求点Q的坐标; ‎ ‎(3)在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标. ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)设抛物线为y=a(x+5)(x﹣3),把点(0,5)代入即可解决问题. ‎ ‎(2)作FG⊥AC于G,设点F坐标(m,0),根据sin∠AMF==,列出方程即可解决问题. ‎ ‎(3)①当MN是对角线时,设点F(m,0),由QN=PM,列出方程即可解决问题.②当MN为边时,MN=PQ=,设点Q(m,﹣ m2﹣m+5)则点P(m+1,﹣ m2﹣m+6),代入抛物线解析式,解方程即可. ‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣5,0),B(3,0), ‎ ‎∴可以假设抛物线为y=a(x+5)(x﹣3),把点(0,5)代入得到a=﹣, ‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5. ‎ ‎(2)作FG⊥AC于G,设点F坐标(m,0), ‎ 则AF=m+5,AE=EM=m+6,FG=(m+5),FM==, ‎ ‎∵sin∠AMF=, ‎ ‎∴=, ‎ ‎∴=,整理得到‎2m2‎+‎19m+44=0, ‎ ‎∴(m+4)(‎2m+11)=0, ‎ ‎∴m=﹣4或﹣5.5(舍弃), ‎ ‎∴点Q坐标(﹣4,). ‎ ‎(3)①当MN是对角线时,设点F(m,0). ‎ ‎∵直线AC解析式为y=x+5, ‎ ‎∴点N(m,m+5),点M(m+1,m+6), ‎ ‎∵QN=PM, ‎ ‎∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣(m+1)2﹣(m+1)+5], ‎ 解得m=﹣3±, ‎ ‎∴点M坐标(﹣2+,3+)或(﹣2﹣,3﹣). ‎ ‎②当MN为边时,MN=PQ=,设点Q(m,﹣ m2﹣m+5)则点P(m+1,﹣ m2﹣m+6), ‎ ‎∴﹣m2﹣m+6=﹣(m+1)2﹣(m+1)+5, ‎ 解得m=﹣3. ‎ ‎∴点M坐标(﹣2,3), ‎ 综上所述以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,点M的坐标为(﹣2,3)或(﹣2+,3+)或(﹣2﹣,3﹣). ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式,学会分类讨论,用方程的思想解决问题,属于中考压轴题. ‎ ‎14.(2016·四川攀枝花)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;‎ ‎(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;‎ ‎(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB=90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;‎ ‎(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,‎ 在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,‎ ‎∴A点坐标为(﹣1,0),‎ ‎∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,‎ ‎∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6,‎ ‎∵B(3,0),C(0,﹣3),‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣3,‎ 设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则M点坐标为(x,x﹣3),‎ ‎∵P点在第四限,‎ ‎∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,‎ ‎∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•(OH+HB)=PM•OB=PM,‎ ‎∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,‎ ‎∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∴当x=时,PMmax=,则S△PBC=×=,‎ 此时P点坐标为(,﹣),S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,‎ 即当P点坐标为(,﹣)时,四边形ABPC的面积最大,最大面积为;‎ ‎(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,‎ 则∠AGP=∠GNC+∠GCN,‎ 当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,‎ 又∠AGB+∠CGB=180°,‎ ‎∴∠AGB=∠CGB=90°,‎ ‎∴∠ACO=∠OBN,‎ 在Rt△AON和Rt△NOB中 ‎∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),‎ ‎∴ON=OA=1,‎ ‎∴N点坐标为(0,﹣1),‎ 设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得,解得,‎ ‎∴直线m解析式为y=x﹣1,‎ 即存在满足条件的直线m,其解析式为y=x﹣1.‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等.在(2)中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键,在(3)中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是第(2)问和第(3)问难度较大.‎ ‎15.(2016·四川宜宾)如图,已知二次函数y1=ax2+bx过(﹣2,4),(﹣4,4)两点.‎ ‎(1)求二次函数y1的解析式;‎ ‎(2)将y1沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线y2,直线y=m(m>0)交y2于M、N两点,求线段MN的长度(用含m的代数式表示);‎ ‎(3)在(2)的条件下,y1、y2交于A、B两点,如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点(C在左侧),直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点(E在左侧),求证:四边形CEFD是平行四边形.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)根据待定系数法即可解决问题.‎ ‎(2)先求出抛物线y2的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.‎ ‎(3)用类似(2)的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)∵二次函数y1=ax2+bx过(﹣2,4),(﹣4,4)两点,‎ ‎∴解得,‎ ‎∴二次函数y1的解析式y1=﹣x2﹣3x.‎ ‎(2)∵y1=﹣(x+3)2+,‎ ‎∴顶点坐标(﹣3,),‎ ‎∵将y1沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线y2,‎ ‎∴抛物线y2的顶点坐标(﹣1,﹣),‎ ‎∴抛物线y2为y=(x+1)2﹣,‎ 由消去y整理得到x2+2x﹣8﹣‎2m=0,设x1,x2是它的两个根,‎ 则MN=|x1﹣x2|==,‎ ‎(3)由消去y整理得到x2+6x+‎2m=0,设两个根为x1,x2,‎ 则CD=|x1﹣x2|==,‎ 由消去y得到x2+2x﹣8+‎2m=0,设两个根为x1,x2,‎ 则EF=|x1﹣x2|==,‎ ‎∴EF=CD,EF∥CD,‎ ‎∴四边形CEFD是平行四边形.‎ ‎16.(2016·黑龙江龙东·6分)如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(﹣1,0)及点B.‎ ‎(1)求二次函数与一次函数的解析式;‎ ‎(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.‎ ‎【考点】二次函数与不等式(组);待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式.‎ ‎【分析】(1)先利用待定系数法先求出m,再求出点B坐标,利用方程组求出太阳还是解析式.‎ ‎(2)根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=(x+2)2+m经过点A(﹣1,0),‎ ‎∴0=1+m,‎ ‎∴m=﹣1,‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x+2)2﹣1=x2+4x+3,‎ ‎∴点C坐标(0,3),‎ ‎∵对称轴x=﹣2,B、C关于对称轴对称,‎ ‎∴点B坐标(﹣4,3),‎ ‎∵y=kx+b经过点A、B,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1,‎ ‎(2)由图象可知,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围为x<﹣4或x>﹣1.‎ ‎17.(2016·黑龙江齐齐哈尔·8分)如图,对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0)‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)直接写出B、C两点的坐标;‎ ‎(3)求过O,B,C三点的圆的面积.(结果用含π的代数式表示)‎ 注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)利用对称轴方程可求得b,把点A的坐标代入可求得c,可求得抛物线的解析式;‎ ‎(2)根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标,利用抛物线的解析式可求得B点坐标;‎ ‎(3)根据B、C坐标可求得BC长度,由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径,可求得圆的面积.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)由A(﹣1,0),对称轴为x=2,可得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5;‎ ‎(2)由A点坐标为(﹣1,0),且对称轴方程为x=2,可知AB=6,‎ ‎∴OB=5,‎ ‎∴B点坐标为(5,0),‎ ‎∵y=x2﹣4x﹣5,‎ ‎∴C点坐标为(0,﹣5);‎ ‎(3)如图,连接BC,则△OBC是直角三角形,‎ ‎∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度,‎ 在Rt△OBC中,OB=OC=5,‎ ‎∴BC=5,‎ ‎∴圆的半径为,‎ ‎∴圆的面积为π()2=π.‎ ‎18.(2016·湖北黄石·8分)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.‎ 如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00之后来的游客较少可忽略不计.‎ ‎(1)请写出图中曲线对应的函数解析式;‎ ‎(2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?‎ ‎【分析】(1)构建待定系数法即可解决问题.‎ ‎(2)先求出馆内人数等于684人时的时间,再求出直到馆内人数减少到624人时的时间,即可解决问题.‎ ‎【解答】解(1)由图象可知,300=a×302,解得a=,‎ n=700,b×(30﹣90)2+700=300,解得b=﹣,‎ ‎∴y=,‎ ‎(2)由题意﹣(x﹣90)2+700=684,‎ 解得x=78,‎ ‎∴=15,‎ ‎∴15+30+(90﹣78)=57分钟 所以,馆外游客最多等待57分钟.‎ ‎【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.‎ ‎19.(2016·湖北荆门·14分)如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F.‎ ‎(1)求点A,点B的坐标;‎ ‎(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;‎ ‎(3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由.‎ ‎(4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形?若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)在直线y=﹣x+2中,分别令y=0和x=0,容易求得A、B两点坐标;‎ ‎(2)由OA、OB的长可求得∠ABO=30°,用t可表示出BE,EF,和BF的长,由勾股定理可求得AB的长,从而可用t表示出AF的长;‎ ‎(3)利用菱形的性质可求得t的值,则可求得AF=AG的长,可得到=,可判定△AFG与△AGB相似;‎ ‎(4)若△AGF为直角三角形时,由条件可知只能是∠FAG=90°,又∠AFG=∠OAF=60°,由(2)可知AF=4﹣2t,EF=t,又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4,从而可求出FG,在Rt△AGF中,可得到关于t的方程,可求得t的值,进一步可求得E点坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)在直线y=﹣x+2中,‎ 令y=0可得0=﹣x+2,解得x=2,‎ 令x=0可得y=2,‎ ‎∴A为(2,0),B为(0,2);‎ ‎(2)由(1)可知OA=2,OB=2,‎ ‎∴tan∠ABO==,‎ ‎∴∠ABO=30°,‎ ‎∵运动时间为t秒,‎ ‎∴BE=t,‎ ‎∵EF∥x轴,‎ ‎∴在Rt△BEF中,EF=BE•tan∠ABO=BE=t,BF=2EF=2t,‎ 在Rt△ABO中,OA=2,OB=2,‎ ‎∴AB=4,‎ ‎∴AF=4﹣2t;‎ ‎(3)相似.理由如下:‎ 当四边形ADEF为菱形时,则有EF=AF,‎ 即t=4﹣2t,解得t=,‎ ‎∴AF=4﹣2t=4﹣=,OE=OB﹣BE=2﹣×=,‎ 如图,过G作GH⊥x轴,交x轴于点H,‎ 则四边形OEGH为矩形,‎ ‎∴GH=OE=,‎ 又EG∥x轴,抛物线的顶点为A,‎ ‎∴OA=AH=2,‎ 在Rt△AGH中,由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=()2+22=,‎ 又AF•AB=×4=,‎ ‎∴AF•AB=AG2,即=,且∠FAG=∠GAB,‎ ‎∴△AFG∽△AGB;‎ ‎(4)存在,‎ ‎∵EG∥x轴,‎ ‎∴∠GFA=∠BAO=60°,‎ 又G点不能在抛物线的对称轴上,‎ ‎∴∠FGA≠90°,‎ ‎∴当△AGF为直角三角形时,则有∠FAG=90°,‎ 又∠FGA=30°,‎ ‎∴FG=2AF,‎ ‎∵EF=t,EG=4,‎ ‎∴FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,‎ ‎∴4﹣t=2(4﹣2t),‎ 解得t=,‎ 即当t的值为秒时,△AGF为直角三角形,此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=,‎ ‎∴E点坐标为(0,),‎ ‎∵抛物线的顶点为A,‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2,‎ 把E点坐标代入可得=‎4a,解得a=,‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2,‎ 即y=x2﹣x+.‎ ‎20.(2016·湖北荆州·14分)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.‎ 问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.‎ ‎(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;‎ ‎(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;‎ ‎(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?‎ ‎【分析】(1)根据特征线直接求出点D的特征线;‎ ‎(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;‎ ‎(2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵点D(m,n),‎ ‎∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;‎ ‎(2)点D有一条特征线是y=x+1,‎ ‎∴n﹣m=1,‎ ‎∴n=m+1‎ ‎∵抛物线解析式为,‎ ‎∴y=(x﹣m)2+m+1,‎ ‎∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n),‎ ‎∴B(‎2m,‎2m),‎ ‎∴(‎2m﹣m)2+n=‎2m,将n=m+1带入得到m=2,n=3;‎ ‎∴D(2,3),‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3‎ ‎(3)如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时,‎ 根据题意可得,D(2,3),‎ ‎∴OA′=OA=4,OM=2,‎ ‎∴∠A′OM=60°,‎ ‎∴∠A′OP=∠AOP=30°,‎ ‎∴MN==,‎ ‎∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.‎ 乳头,当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,‎ ‎∵顶点落在OP上,‎ ‎∴A′与D重合,‎ ‎∴A′(2,3),‎ 设P(4,c)(c>0),‎ 由折叠有,PD=PA,‎ ‎∴=c,‎ ‎∴c=,‎ ‎∴P(4,)‎ ‎∴直线OP解析式为y=,‎ ‎∴N(2,),‎ ‎∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=,‎ 即:抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,特征线的理解,解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标.‎ ‎21.(2016·内蒙古包头)一幅长‎20cm、宽‎12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.‎ ‎【考点】一元二次方程的应用;根据实际问题列二次函数关系式.‎ ‎【分析】(1)由横、竖彩条的宽度比为3:2知横彩条的宽度为xcm,根据:三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积,可列函数关系式;‎ ‎(2)根据:三条彩条所占面积是图案面积的,可列出关于x的一元二次方程,整理后求解可得.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意可知,横彩条的宽度为xcm,‎ ‎∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x,‎ 即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x;‎ ‎(2)根据题意,得:﹣3x2+54x=×20×12,‎ 整理,得:x2﹣18x+32=0,‎ 解得:x1=2,x2=16(舍),‎ ‎∴x=3,‎ 答:横彩条的宽度为‎3cm,竖彩条的宽度为‎2cm.‎ ‎22. (2016·内蒙古包头)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;‎ ‎(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;‎ ‎(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?‎ ‎(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式;‎ ‎(2)先求出GH,点F的坐标,用三角形的面积公式计算即可;‎ ‎(3)设出点M,用勾股定理求出点M的坐标,从而求出MD,最后求出时间t;‎ ‎(4)由∠PBF被BA平分,确定出过点B的直线BN的解析式,求出此直线和抛物线的交点即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;‎ ‎(2)如图1,‎ 过点A作AH∥y轴交BC于H,BE于G,‎ 由(1)有,C(0,﹣2),‎ ‎∵B(0,3),‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣2,‎ ‎∵H(1,y)在直线BC上,‎ ‎∴y=﹣,‎ ‎∴H(1,﹣),‎ ‎∵B(3,0),E(0,﹣1),‎ ‎∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1,‎ ‎∴G(1,﹣),‎ ‎∴GH=,‎ ‎∵直线BE:y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F,B,‎ ‎∴F(,﹣),‎ ‎∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|‎ ‎=GH×|xB﹣xF|‎ ‎=××(3﹣)‎ ‎=.‎ ‎(3)如图2,‎ 由(1)有y=﹣x2+x﹣2,‎ ‎∵D为抛物线的顶点,‎ ‎∴D(2,),‎ ‎∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,‎ ‎∴设M(2,m),(m>),‎ ‎∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,‎ ‎∵∠OMB=90°,‎ ‎∴OM2+BM2=AB2,‎ ‎∴m2+4+m2+1=9,‎ ‎∴m=或m=﹣(舍),‎ ‎∴M(0,),‎ ‎∴MD=﹣,‎ ‎∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,‎ ‎∴t=﹣;‎ ‎(4)存在点P,使∠PBF被BA平分,‎ 如图3,‎ ‎∴∠PBO=∠EBO,‎ ‎∵E(0,﹣1),‎ ‎∴在y轴上取一点N(0,1),‎ ‎∵B(3,0),‎ ‎∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①,‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上,‎ 联立①②得,或(舍),‎ ‎∴P(,),‎ 即:在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P(,).‎ ‎23.(2016·青海西宁·12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交⊙M于点E,垂足为点M,且点D平分.‎ ‎(1)求过A,B,E三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:四边形AMCD是菱形;‎ ‎(3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积等于定值5?若存在,请求出所有的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标,再利用顶点式求出函数解析式;‎ ‎(2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°,进而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;‎ ‎(3)首先表示出△ABP的面积进而求出n的值,再代入函数关系式求出P点坐标.‎ ‎【解答】(1)解:由题意可知,△MBC为等边三角形,点A,B,C,E均在⊙M上,‎ 则MA=MB=MC=ME=2,‎ 又∵CO⊥MB,‎ ‎∴MO=BO=1,‎ ‎∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),‎ 抛物线顶点E的坐标为(﹣1,﹣2),‎ 设函数解析式为y=a(x+1)2﹣2(a≠0)‎ 把点B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,‎ 解得:a=,‎ 故二次函数解析式为:y=(x+1)2﹣2;‎ ‎(2)证明:连接DM,‎ ‎∵△MBC为等边三角形,‎ ‎∴∠CMB=60°,‎ ‎∴∠AMC=120°,‎ ‎∵点D平分弧AC,‎ ‎∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°,‎ ‎∵MD=MC=MA,‎ ‎∴△MCD,△MDA是等边三角形,‎ ‎∴DC=CM=MA=AD,‎ ‎∴四边形AMCD为菱形(四条边都相等的四边形是菱形);‎ ‎(3)解:存在.‎ 理由如下:‎ 设点P的坐标为(m,n)‎ ‎∵S△ABP=AB|n|,AB=4‎ ‎∴×4×|n|=5,‎ 即2|n|=5,‎ 解得:n=±,‎ 当时,(m+1)2﹣2=,‎ 解此方程得:m1=2,m2=﹣4‎ 即点P的坐标为(2,),(﹣4,),‎ 当n=﹣时,(m+1)2﹣2=﹣,‎ 此方程无解,‎ 故所求点P坐标为(2,),(﹣4,).‎ ‎ ‎ ‎24. (2016·山东潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.‎ ‎(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入﹣管理费)‎ ‎(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费,根据不等关系:净收入为正,列出不等式求解即可;‎ ‎(2)由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,‎ 由50x﹣1100>0,‎ 解得x>22,‎ 又∵x是5的倍数,‎ ‎∴每辆车的日租金至少应为25元;‎ ‎(2)设每辆车的净收入为y元,‎ 当0<x≤100时,y1=50x﹣1100,‎ ‎∵y1随x的增大而增大,‎ ‎∴当x=100时,y1的最大值为50×100﹣1100=3900;‎ 当x>100时,‎ y2=(50﹣)x﹣1100‎ ‎=﹣x2+70x﹣1100‎ ‎=﹣(x﹣175)2+5025,‎ 当x=175时,y2的最大值为5025,‎ ‎5025>3900,‎ 故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多是5025元.‎ ‎25. (2016·山东潍坊)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P时直线AC下方抛物线上的动点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;‎ ‎(2)设点P(m, m2+‎2m+1),表示出PE=﹣m2﹣‎3m,再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函数关系式,求出极值即可;‎ ‎(3)先判断出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A(0,1).B(﹣9,10)在抛物线上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1,‎ ‎(2)∵AC∥x轴,A(0,1)‎ ‎∴x2+2x+1=1,‎ ‎∴x1=6,x2=0,‎ ‎∴点C的坐标(﹣6,1),‎ ‎∵点A(0,1).B(﹣9,10),‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+1,‎ 设点P(m, m2+‎2m+1)‎ ‎∴E(m,﹣m+1)‎ ‎∴PE=﹣m+1﹣(m2+‎2m+1)=﹣m2﹣‎3m,‎ ‎∵AC⊥EP,AC=6,‎ ‎∴S四边形AECP ‎=S△AEC+S△APC ‎=AC×EF+AC×PF ‎=AC×(EF+PF)‎ ‎=AC×PE ‎=×6×(﹣m2﹣‎3m)‎ ‎=﹣m2﹣‎‎9m ‎=﹣(m+)2+,‎ ‎∵﹣6<m<0‎ ‎∴当m=﹣时,四边形AECP的面积的最大值是,‎ 此时点P(﹣,﹣).‎ ‎(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2﹣2,‎ ‎∴P(﹣3,﹣2),‎ ‎∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,‎ ‎∴PF=CF,‎ ‎∴∠PCF=45°‎ 同理可得:∠EAF=45°,‎ ‎∴∠PCF=∠EAF,‎ ‎∴在直线AC上存在满足条件的Q,‎ 设Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3‎ ‎∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,‎ ‎①当△CPQ∽△ABC时,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t=﹣4,‎ ‎∴Q(﹣4,1)‎ ‎②当△CQP∽△ABC时,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t=3,‎ ‎∴Q(3,1).‎ ‎26.(2016·陕西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5)‎ ‎(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;‎ ‎(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值,可求得抛物线解析式,再根据一元二次方程根的判别式,可判断抛物线与x轴的交点情况;‎ ‎(2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标,设出平移后的抛物线的解析式,把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式,比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)由抛物线过M、N两点,‎ 把M、N坐标代入抛物线解析式可得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5,‎ 令y=0可得x2﹣3x+5=0,‎ 该方程的判别式为△=(﹣3)2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11<0,‎ ‎∴抛物线与x轴没有交点;‎ ‎(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(﹣2,0),点B在y轴上,‎ ‎∴B点坐标为(0,2)或(0,﹣2),‎ 可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n,‎ ‎①当抛物线过点A(﹣2,0),B(0,2)时,代入可得,解得,‎ ‎∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2,‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标为(﹣,﹣),而原抛物线顶点坐标为(,),‎ ‎∴将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线;‎ ‎②当抛物线过A(﹣2,0),B(0,﹣2)时,代入可得,解得,‎ ‎∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2,‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标为(﹣,﹣),而原抛物线顶点坐标为(,),‎ ‎∴将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.‎ ‎27.(2016·四川眉山)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.‎ ‎【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点坐标代入求出a,b,c的值,即可确定出所求抛物线解析式;‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:根据OA,OB,OC的长,利用勾股定理求出BC与AC的长相等,只有当BP与AC平行且相等时,四边形ACBP为菱形,可得出BP的长,由OB的长确定出P的纵坐标,确定出P坐标,当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形;‎ ‎(3)利用待定系数法确定出直线PA解析式,当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,‎ 当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,联立直线AP与抛物线解析式,求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标,确定出|PM﹣AM|的最大值即可.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,‎ ‎∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),‎ ‎∴,‎ 解得:a=﹣,b=﹣,c=3,‎ ‎∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3;‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:‎ ‎∵OB=3,OC=4,OA=1,‎ ‎∴BC=AC=5,‎ 当BP平行且等于AC时,四边形ACBP为菱形,‎ ‎∴BP=AC=5,且点P到x轴的距离等于OB,‎ ‎∴点P的坐标为(5,3),‎ 当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形,‎ 则当点P的坐标为(5,3)时,以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形;‎ ‎(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0),‎ ‎∵A(1,0),P(5,3),‎ ‎∴,‎ 解得:k=,b=﹣,‎ ‎∴直线PA的解析式为y=x﹣,‎ 当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,‎ 当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,‎ ‎∴当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,‎ 解方程组,得或,‎ ‎∴点M的坐标为(1,0)或(﹣5,﹣)时,|PM﹣AM|的值最大,此时|PM﹣AM|的最大值为5.‎ ‎【点评】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数的性质,待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式,菱形的判定,以及坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键..‎ ‎28..(2016·福建龙岩·12分)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:‎ 销售量n(件)‎ n=50﹣x 销售单价m(元/件)‎ 当1≤x≤20时,‎ 当21≤x≤30时,‎ ‎(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?‎ ‎(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;‎ ‎(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)分两种情形分别代入解方程即可.‎ ‎(2)分两种情形写出所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式即可.‎ ‎(3)分两种情形根据函数的性质解决问题即可.‎ ‎【解答】解:(1)分两种情况 ‎①当1≤x≤20时,将m=25代入m=20+x,解得x=10‎ ‎②当21≤x≤30时,25=10+,解得x=28‎ 经检验x=28是方程的解 ‎∴x=28‎ 答:第10天或第28天时该商品为25元/件.‎ ‎(2)分两种情况 ‎①当1≤x≤20时,y=(m﹣10)n=(20+x﹣10)(50﹣x)=﹣x2+15x+500,‎ ‎②当21≤x≤30时,y=(10+﹣10)(50﹣x)=‎ 综上所述:‎ ‎(3)①当1≤x≤20时 由y=﹣x2+15x+500=﹣(x﹣15)2+,‎ ‎∵a=﹣<0,‎ ‎∴当x=15时,y最大值=,‎ ‎②当21≤x≤30时 由y=﹣420,可知y随x的增大而减小 ‎∴当x=21时,y最大值=﹣420=580元 ‎∵‎ ‎∴第15天时获得利润最大,最大利润为612.5元.‎ ‎29.(2016·福建龙岩·14分)已知抛物线与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;‎ ‎(4)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题.‎ ‎(2)先证明∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.‎ ‎(3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即y=﹣x2﹣x+2;‎ ‎(2)存在.‎ 当x=0,y═﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),‎ ‎∴OC=2,‎ ‎∵A(﹣4,0),B(1,0),‎ ‎∴OA=4,OB=1,AB=5,‎ 当∠PCB=90°时,‎ ‎∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25‎ ‎∴AC2+BC2=AB2‎ ‎∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,‎ ‎∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);‎ 当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n,‎ 把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2,‎ ‎∵BP∥AC,‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x+p,‎ 把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x﹣,‎ 解方程组得或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);‎ 综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);‎ ‎(3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n,﹣n2﹣n+2)‎ ‎①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0),‎ ‎②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,‎ ‎∴﹣n2﹣n+2=﹣2,解得n=,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),‎ 根据中点坐标公式得到: =或=,‎ 解得m=或,‎ 此时E2(,0),E3(,0),‎ ‎③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0),‎ 综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,﹣2)或(,﹣2).‎ ‎30.(2016·广西百色·12分)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.‎ ‎(1)建立适当的平面直角坐标系,‎ ‎①直接写出O、P、A三点坐标;‎ ‎②求抛物线L的解析式;‎ ‎(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系.①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标;②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)由点E为正方形内的抛物线上的动点,设出点E的坐标,结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式,根据二次函数的性质即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示.‎ ‎①∵正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,‎ ‎∴点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2).‎ ‎②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,‎ ‎∵抛物线L经过O、P、A三点,‎ ‎∴有,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x.‎ ‎(2)∵点E是正方形内的抛物线上的动点,‎ ‎∴设点E的坐标为(m,﹣+‎2m)(0<m<4),‎ ‎∴S△OAE+SOCE=OA•yE+OC•xE=﹣m2+‎4m+‎2m=﹣(m﹣3)2+9,‎ ‎∴当m=3时,△OAE与△OCE面积之和最大,最大值为9.‎ ‎ ‎ ‎31.(2016·广西桂林·12分)如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A(m,1),与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2,点A,B的对应点分别为点D,E.‎ ‎(1)直接写出点A,C,D的坐标;‎ ‎(2)当四边形ABCD是矩形时,求a的值及抛物线y2的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接DC,线段DC上的动点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止,在点P运动的过程中,过点P作直线l⊥x轴,将矩形ABDE沿直线l折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值,因为由图象可知点A在第一象限,所以m≠0,则m=2,写出A,C的坐标,点D与点A关于点C对称,由此写出点D的坐标;‎ ‎(2)根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标,再由矩形对角线相等且平分得:BC=CD,在直角△BMC中,由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式,由旋转的性质得出抛物线y2的解析式;‎ ‎(3)分两种情况讨论:①当0≤t≤1时,S=S△GHD=S△PDH+S△PDG,作辅助线构建直角三角形,求出PG和PH,利用面积公式计算;②当1<t≤2时,S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合,这里不重合的图形就是△GE′F,利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得:‎ 将A(m,1)代入y1=ax2﹣2ax+1得:am2﹣2am+1=1,‎ 解得:m1=2,m2=0(舍),‎ ‎∴A(2,1)、C(0,1)、D(﹣2,1);‎ ‎(2)如图1,由(1)知:B(1,1﹣a),过点B作BM⊥y轴,‎ 若四边形ABDE为矩形,则BC=CD,‎ ‎∴BM2+CM2=BC2=CD2,‎ ‎∴12+(﹣a)2=22,‎ ‎∴a=,‎ ‎∵y1抛物线开口向下,‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎∵y2由y1绕点C旋转180°得到,则顶点E(﹣1,1﹣),‎ ‎∴设y2=a(x+1)2+1﹣,则a=,‎ ‎∴y2=x2+2x+1;‎ ‎(3)如图1,当0≤t≤1时,则DP=t,构建直角△BQD,‎ 得BQ=,DQ=3,则BD=2,‎ ‎∴∠BDQ=30°,‎ ‎∴PH=,PG=t,‎ ‎∴S=(PE+PF)×DP=t2,‎ 如图2,当1<t≤2时,EG=E′G=(t﹣1),E′F=2(t﹣1),‎ S不重合=(t﹣1)2,‎ S=S1+S2﹣S不重合=+(t﹣1)﹣(t﹣1)2,‎ ‎=﹣;‎ 综上所述:S=t2(0≤t≤1)或S=﹣(1<t≤2).‎ ‎32.(2016·贵州安顺·14分)如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;‎ ‎(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点代入求出a、b、c的值即可;‎ ‎(2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;‎ ‎(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),‎ ‎∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点在抛物线上,‎ ‎∴,‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣;‎ ‎(2)∵抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣,‎ ‎∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2,‎ 连接BC,如图1所示,‎ ‎∵B(5,0),C(0,﹣),‎ ‎∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣,‎ 当x=2时,y=1﹣=﹣,‎ ‎∴P(2,﹣);‎ ‎(3)存在.‎ 如图2所示,‎ ‎①当点N在x轴下方时,‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣),‎ ‎∴N1(4,﹣);‎ ‎②当点N在x轴上方时,‎ 如图,过点N2作N2D⊥x轴于点D,‎ 在△AN2D与△M2CO中,‎ ‎∴△AN2D≌△M2CO(ASA),‎ ‎∴N2D=OC=,即N2点的纵坐标为.‎ ‎∴x2﹣2x﹣=,‎ 解得x=2+或x=2﹣,‎ ‎∴N2(2+,),N3(2﹣,).‎ 综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣),(2+,)或(2﹣,).‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论.‎ ‎33.(2016·黑龙江哈尔滨·10分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2xa+c经过A(﹣4,0),B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长度为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);‎ ‎(3)在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式;‎ ‎(2)如图1,作辅助线构建两个直角三角形,利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等,得PA′=EB′,则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论,但要注意PA′=﹣t;‎ ‎(3)如图2,根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标,发现点P和点H的纵坐标相等,则PH与x轴平行,根据平行线截线段成比例定理可得G也是PQ的中点,由此表示出点G的坐标并列式,求出t的值并取舍,计算出点F的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把A(﹣4,0),B(0,4)代入y=ax2+2xa+c得,解得,‎ 所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4;‎ ‎(2)如图1,分别过P、F向y轴作垂线,垂足分别为A′、B′,过P作PN⊥x轴,垂足为N,‎ 由直线DE的解析式为:y=x+5,则E(0,5),‎ ‎∴OE=5,‎ ‎∵∠PEO+∠OEF=90°,∠PEO+∠EPA′=90°,‎ ‎∴∠EPA′=∠OEF,‎ ‎∵PE=EF,∠EA′P=∠EB′F=90°,‎ ‎∴△PEA′≌△EFB′,‎ ‎∴PA′=EB′=﹣t,‎ 则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+;‎ ‎(3)如图2,由直线DE的解析式为:y=x+5,‎ ‎∵EH⊥ED,‎ ‎∴直线EH的解析式为:y=﹣x+5,‎ ‎∴FB′=A′E=5﹣(﹣t2﹣t+4)=t2+t+1,‎ ‎∴F(t2+t+1,5+t),‎ ‎∴点H的横坐标为: t2+t+1,‎ y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4,‎ ‎∴H(t2+t+1,﹣t2﹣t+4),‎ ‎∵G是DH的中点,‎ ‎∴G(,),‎ ‎∴G(t2+t﹣2,﹣t2﹣t+2),‎ ‎∴PH∥x轴,‎ ‎∵DG=GH,‎ ‎∴PG=GQ,‎ ‎∴=t2+t﹣2,‎ t=,‎ ‎∵P在第二象限,‎ ‎∴t<0,‎ ‎∴t=﹣,‎ ‎∴F(4﹣,5﹣).‎ ‎34.(2016广西南宁)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;‎ ‎(2)求证:△ABC是直角三角形;‎ ‎(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;‎ ‎(2)分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°,可证得结论;‎ ‎(3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MN、ON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得=或=,可求得N点的坐标.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵顶点坐标为(1,1),‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+1,‎ 又抛物线过原点,‎ ‎∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+1,‎ 即y=﹣x2+2x,‎ 联立抛物线和直线解析式可得,解得或,‎ ‎∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);‎ ‎(2)如图,分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,‎ 则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,‎ ‎∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,‎ ‎∴△ABC是直角三角形;‎ ‎(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,﹣x2+2x),‎ ‎∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|,‎ 由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=,BC=3,‎ ‎∵MN⊥x轴于点N ‎∴∠ABC=∠MNO=90°,‎ ‎∴当△ABC和△MNO相似时有=或=,‎ ‎①当=时,则有=,即|x||﹣x+2|=|x|,‎ ‎∵当x=0时M、O、N不能构成三角形,‎ ‎∴x≠0,‎ ‎∴|﹣x+2|=,即﹣x+2=±,解得x=或x=,‎ 此时N点坐标为(,0)或(,0);‎ ‎②当=时,则有=,即|x||﹣x+2|=3|x|,‎ ‎∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1,‎ 此时N点坐标为(﹣1,0)或(5,0),‎ 综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用,在(3)中设出N、M的坐标,利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键,注意相似三角形点的对应.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.‎ ‎35.(2016贵州毕节)如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A(a,8)、B两点,点P是抛物线上A、B之间的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若C为AB中点,求PC的长;‎ ‎(3)如图,以PC,PE为边构造矩形PCDE,设点D的坐标为(m,n),请求出m,n之间的关系式.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)把A点坐标代入直线方程可求得a的值,再代入抛物线可求得b的值,可求得抛物线解析式;‎ ‎(2)联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标,过A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,可知OC=AQ=4,可求得C点坐标,结合条件可知P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标,从而可求得PC的长;‎ ‎(3)根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标,根据DE=CP,可得到m、n的关系式.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵A(a,8)是抛物线和直线的交点,‎ ‎∴A点在直线上,‎ ‎∴8=‎2a+4,解得a=2,‎ ‎∴A点坐标为(2,8),‎ 又A点在抛物线上,‎ ‎∴8=22+2b,解得b=2,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+2x;‎ ‎(2)联立抛物线和直线解析式可得,解得,,‎ ‎∴B点坐标为(﹣2,0),‎ 如图,过A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,‎ 则AQ=8,OQ=OB=2,即O为BQ的中点,‎ 当C为AB中点时,则OC为△ABQ的中位线,即C点在y轴上,‎ ‎∴OC=AQ=4,‎ ‎∴C点坐标为(0,4),‎ 又PC∥x轴,‎ ‎∴P点纵坐标为4,‎ ‎∵P点在抛物线线上,‎ ‎∴4=x2+2x,解得x=﹣1﹣或x=﹣1,‎ ‎∵P点在A、B之间的抛物线上,‎ ‎∴x=﹣1﹣不合题意,舍去,‎ ‎∴P点坐标为(﹣1,4),‎ ‎∴PC=﹣1﹣0=﹣1;‎ ‎(3)∵D(m,n),且四边形PCDE为矩形,‎ ‎∴C点横坐标为m,E点纵坐标为n,‎ ‎∵C、E都在直线y=2x+4上,‎ ‎∴C(m,‎2m+4),E(,n),‎ ‎∵PC∥x轴,‎ ‎∴P点纵坐标为‎2m+4,‎ ‎∵P点在抛物线上,‎ ‎∴‎2m+4=x2+2x,整理可得‎2m+5=(x+1)2,解得x=﹣1或x=﹣﹣1(舍去),‎ ‎∴P点坐标为(﹣1,‎2m+4),‎ ‎∴DE=﹣m,CP=﹣1﹣m,‎ ‎∵四边形PCDE为矩形,‎ ‎∴DE=CP,即﹣m=﹣1﹣m,‎ 整理可得n2﹣4n﹣‎8m﹣16=0,‎ 即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣‎8m﹣16=0.‎ ‎36.(2016海南)如图1,抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A(﹣5,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,﹣5),点P是抛物线上的动点,连接PA、PC,PC与x轴交于点D.‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数解析式;‎ ‎(2)若点P的坐标为(﹣2,3),请求出此时△APC的面积;‎ ‎(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H,交直线AC于点E,如图2.‎ ‎①若∠APE=∠CPE,求证:;‎ ‎②△APE能否为等腰三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【专题】综合题.‎ ‎【分析】(1)设交点式为y=a(x+5)(x+1),然后把C点坐标代入求出a即可;‎ ‎(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,由P点坐标得到Q(﹣2,﹣3),则PQ=6,然后根据三角形面积公式,利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算;‎ ‎(3)①由∠APE=∠CPE,PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形,则AH=DH,设P(x,﹣x2‎ ‎﹣6x﹣5),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,通过证明△PHD∽△COD,利用相似比可表示出DH=﹣x﹣,则﹣x﹣x﹣=5,则解方程求出x可得到OH和AH的长,然后利用平行线分线段成比例定理计算出=;‎ ‎②设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则E(x,﹣x﹣5),分类讨论:当PA=PE,易得点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);当AP=AE,如图2,利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,当E′A=E′P,如图2,AE′=E′H′=(x+5),P′E′=x2+5x,则x2+5x=(x+5),然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标.‎ ‎【解答】(1)解:设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+1),‎ 把C(0,﹣5)代入得a•5•1=﹣5,解得a=﹣1,‎ 所以抛物线解析式为y=﹣(x+5)(x+1),即y=﹣x2﹣6x﹣5;‎ ‎(2)解:设直线AC的解析式为y=mx+n,‎ 把A(﹣5,0),C(0,﹣5)代入得,解得,‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,‎ 作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,则Q(﹣2,﹣3),‎ ‎∴PQ=3﹣(﹣3)=6,‎ ‎∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=•PQ•5=×6×5=15;‎ ‎(3)①证明:∵∠APE=∠CPE,‎ 而PH⊥AD,‎ ‎∴△PAD为等腰三角形,‎ ‎∴AH=DH,‎ 设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,‎ ‎∵PH∥OC,‎ ‎∴△PHD∽△COD,‎ ‎∴PH:OC=DH:OD,即(﹣x2﹣6x﹣5):5=DH:(﹣x﹣DH),‎ ‎∴DH=﹣x﹣,‎ 而AH+OH=5,‎ ‎∴﹣x﹣x﹣=5,‎ 整理得2x2+17x+35=0,解得x1=﹣,x2=﹣5(舍去),‎ ‎∴OH=,‎ ‎∴AH=5﹣=,‎ ‎∵HE∥OC,‎ ‎∴===;‎ ‎②能.设P(x,﹣x2﹣6x﹣5),则E(x,﹣x﹣5),‎ 当PA=PE,因为∠PEA=45°,所以∠PAE=45°,则点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);‎ 当AP=AE,如图2,则PH=HE,即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5(舍去),x2=0(舍去);解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5(舍去),x2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,3);‎ 当E′A=E′P,如图2,AE′=E′H′=(x+5),P′E′=﹣x﹣5﹣(﹣x2﹣6x﹣5)=x2+5x,则x2+5x=(x+5),解得x1=﹣5(舍去),x2=,此时P点坐标为(,﹣7﹣6),‎ 综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣1,0),(﹣2,3),(,﹣7﹣6).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定;会运用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,能运用相似比计算线段的长;会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题.‎ ‎37.(2016河北)(本小题满分12分)‎ 如图,抛物线L: (常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线于点P,且OA·MP=12.‎ ‎(1)求k值;‎ ‎(2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;‎ ‎(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;‎ ‎(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.‎ ‎38. (2016·云南省昆明市)如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;‎ ‎(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可;‎ ‎(3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍.‎ ‎【解答】解:(1)由对称性得:A(﹣1,0),‎ 设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),‎ 把C(0,4)代入:4=﹣‎2a,‎ a=﹣2,‎ ‎∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+2x+4;‎ ‎(2)如图1,设点P(m,﹣‎2m2‎+‎2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,‎ ‎∴S=S梯形+S△PDB=m(﹣‎2m2‎+‎2m+4+4)+(﹣‎2m2‎+‎2m+4)(2﹣m),‎ S=﹣‎2m2‎+‎4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,‎ ‎∵﹣2<0,‎ ‎∴S有最大值,则S大=6;‎ ‎(3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,‎ 理由是:‎ 设直线BC的解析式为:y=kx+b,‎ 把B(2,0)、C(0,4)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+4,‎ 设M(a,﹣‎2a+4),‎ 过A作AE⊥BC,垂足为E,‎ 则AE的解析式为:y=x+,‎ 则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2),‎ 设Q(﹣x,0)(x>0),‎ ‎∵AE∥QM,‎ ‎∴△ABE∽△QBM,‎ ‎∴①,‎ 由勾股定理得:x2+42=2×[a2+(﹣‎2a+4﹣4)2]②,‎ 由①②得:a1=4(舍),a2=,‎ 当a=时,x=,‎ ‎∴Q(﹣,0).‎ ‎ ‎ ‎39.(2016·浙江省湖州市)如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;‎ ‎(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;‎ ‎(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;‎ ‎(2)点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;‎ ‎(3)由题意分析可得∠MCP=90°,则若△PCM与△BCD相似,则要进行分类讨论,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得,‎ 解得 ‎∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4,‎ 配方得y=﹣(x﹣1)2+5,‎ ‎∴点M的坐标为(1,5);‎ ‎(2)设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得,‎ 解得 ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F 把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)‎ ‎∴1<5﹣m<3,解得2<m<4;‎ ‎(3)连接MC,作MG⊥y轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5)‎ ‎∵MG=1,GC=5﹣4=1‎ ‎∴MC==,‎ 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,则点N坐标为(﹣1,5),‎ ‎∵NG=GC,GM=GC,‎ ‎∴∠NCG=∠GCM=45°,‎ ‎∴∠NCM=90°,‎ 由此可知,若点P在AC上,则∠MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点 ‎①若有△PCM∽△BDC,则有 ‎∵BD=1,CD=3,‎ ‎∴CP===,‎ ‎∵CD=DA=3,‎ ‎∴∠DCA=45°,‎ 若点P在y轴右侧,作PH⊥y轴,‎ ‎∵∠PCH=45°,CP=‎ ‎∴PH==‎ 把x=代入y=﹣x+4,解得y=,‎ ‎∴P1();‎ 同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=﹣代入y=﹣x+4,解得y=‎ ‎∴P2();‎ ‎②若有△PCM∽△CDB,则有 ‎∴CP==3‎ ‎∴PH=3÷=3,‎ 若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;‎ 若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7‎ ‎∴P3(3,1);P4(﹣3,7).‎ ‎∴所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).‎ ‎40. (2016·重庆市A卷·12分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E. ‎ ‎(1)判断△ABC的形状,并说明理由; ‎ ‎(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长; ‎ ‎(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′,将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置,点A,C的对应点分别为点A1,C1,且点A1恰好落在AC上,连接C‎1A′,C1E′,△A′C1E′是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标;若不能,请说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎【分析】(1)先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标,再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形; ‎ ‎(2)先求出S△PCD最大时,点P(,),然后判断出所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,计算即可; ‎ ‎(3)△A′C1E′是等腰三角形,分三种情况分别建立方程计算即可. ‎ ‎【解答】解:(1)△ABC为直角三角形, ‎ 当y=0时,即﹣x2+x+3=0, ‎ ‎∴x1=﹣,x2=3 ‎ ‎∴A(﹣,0),B(3,0), ‎ ‎∴OA=,OB=3, ‎ 当x=0时,y=3, ‎ ‎∴C(0,3), ‎ ‎∴OC=3, ‎ 根据勾股定理得,AC2=OB2+OC2=12,BC2=OB2+OC2=36, ‎ ‎∴AC2+BC2=48, ‎ ‎∵AB2=[3﹣(﹣)]2=48, ‎ ‎∴AC2+BC2=AB2, ‎ ‎∴△ABC是直角三角形, ‎ ‎(2)如图, ‎ ‎ ‎ ‎∵B(3,0),C(0,3), ‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3, ‎ 过点P作∥y轴, ‎ 设P(a,﹣ a2+a+3), ‎ ‎∴G(a,﹣ a+3), ‎ ‎∴PG=﹣a2+a, ‎ 设点D的横坐标为xD,C点的横坐标为xC, ‎ S△PCD=×(xD﹣xC)×PG=﹣(a﹣)2+, ‎ ‎∵0<a<3, ‎ ‎∴当a=时,S△PCD最大,此时点P(,), ‎ 将点P向左平移个单位至P′,连接AP′,交y轴于点N,过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M, ‎ 连接PM,点Q沿P→M→N→A,运动,所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长, ‎ ‎∴P(,) ‎ ‎∴P′(,), ‎ ‎∵点A(﹣,0), ‎ ‎∴直线AP′的解析式为y=x+, ‎ 当x=0时,y=, ‎ ‎∴N(0,), ‎ 过点P′作P′H⊥x轴于点H, ‎ ‎∴AH=,P′H=,AP′=, ‎ ‎∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=; ‎ ‎(3)在Rt△AOC中, ‎ ‎∵tan∠OAC==, ‎ ‎∴∠OAC=60°, ‎ ‎∵OA=OA1, ‎ ‎∴△OAA1为等边三角形, ‎ ‎∴∠AOA1=60°, ‎ ‎∴∠BOC1=30°, ‎ ‎∵OC1=OC=3, ‎ ‎∴C1(,), ‎ ‎∵点A(﹣,0),E(,4), ‎ ‎∴AE=2, ‎ ‎∴A′E′=AE=2, ‎ ‎∵直线AE的解析式为y=x+2, ‎ 设点E′(a, a+2), ‎ ‎∴A′(a﹣2,﹣2) ‎ ‎∴C1E′2=(a﹣2)2+(+2﹣)2=a2﹣a+7, ‎ C‎1A′2=(a﹣2﹣)2+(﹣2﹣)2=a2﹣a+49, ‎ ‎①若C‎1A′=C1E′,则C‎1A′2=C1E′2 ‎ 即: a2﹣a+7=a2﹣a+49, ‎ ‎∴a=, ‎ ‎∴E′(,5), ‎ ‎②若A′C1=A′E′, ‎ ‎∴A′C12=A′E′2 ‎ 即: a2﹣a+49=28, ‎ ‎∴a1=,a2=, ‎ ‎∴E′(,7+),或(,7﹣), ‎ ‎③若E′A′=E′C1, ‎ ‎∴E′A′2=E′C12 ‎ 即: a2﹣a+7=28, ‎ ‎∴a1=,a2=(舍), ‎ ‎∴E′(,3+), ‎ 即,符合条件的点E′(,5),(,7+),或(,7﹣),(,3+). ‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了函数极值的确定方法,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质,解本题的关键是分类讨论,也是解本题的难点.‎ ‎41. (2016·重庆市B卷·12分)如图1,二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作轴的垂线,垂足为N,且S△AMO:S四边形AONB=1:48.‎ ‎(1)求直线AB和直线BC的解析式;‎ ‎(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD∥x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F.当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H(不与点A,点B重合),使GH+BH的值最小,求点H的坐标和GH+BH的最小值;‎ ‎(3)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后抛物线上点A,点C的对应点分别为点A′,点C′;当△A′C′K′是直角三角形时,求t的值.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)根据S△AMO:S四边形AONB=1:48,求出三角形相似的相似比为1:7,从而求出BN,继而求出点B的坐标,用待定系数法求出直线解析式.‎ ‎(2)先判断出PE×PF最大时,PE×PD也最大,再求出PE×PF最大时G(5,),再简单的计算即可;‎ ‎(3)由平移的特点及坐标系中,两点间的距离公式得A′C′2=8,A′K2=‎5m2‎﹣‎18m+18,C′K2=‎5m2‎﹣‎22m+26,最后分三种情况计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵点C是二次函数y=x2﹣2x+1图象的顶点,‎ ‎∴C(2,﹣1),‎ ‎∵PE⊥x轴,BN⊥x轴,‎ ‎∴△MAO∽△MBN,‎ ‎∵S△AMO:S四边形AONB=1:48,‎ ‎∴S△AMO:S△BMN=1:49,‎ ‎∴OA:BN=1:7,‎ ‎∵OA=1‎ ‎∴BN=7,‎ 把y=7代入二次函数解析式y=x2﹣2x+1中,可得7=x2﹣2x+1,‎ ‎∴x1=﹣2(舍),x2=6‎ ‎∴B(6,7),‎ ‎∵A的坐标为(0,1),‎ ‎∴直线AB解析式为y=x+1,‎ ‎∵C(2,﹣1),B(6,7),‎ ‎∴直线BC解析式为y=2x﹣5.‎ ‎(2)如图1,‎ 设点P(x0,x0+1),‎ ‎∴D(,x0+1),‎ ‎∴PE=x0+1,PD=3﹣x0,‎ ‎∵△PDF∽△BGN,‎ ‎∴PF:PD的值固定,‎ ‎∴PE×PF最大时,PE×PD也最大,‎ PE×PD=(x0+1)(3﹣x0)=﹣x02+x0+3,‎ ‎∴当x0=时,PE×PD最大,‎ 即:PE×PF最大.此时G(5,)‎ ‎∵△MNB是等腰直角三角形,‎ 过B作x轴的平行线,‎ ‎∴BH=B1H,‎ GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值,‎ ‎∴当GH和HB1在一条直线上时,GH+HB1的值最小,‎ 此时H(5,6),最小值为7﹣=‎ ‎(3)令直线BC与x轴交于点I,‎ ‎∴I(,0)‎ ‎∴IN=,IN:BN=1:2,‎ ‎∴沿直线BC平移时,横坐标平移m时,纵坐标则平移‎2m,平移后A′(m,1+‎2m),C′(2+m,﹣1+‎2m),‎ ‎∴A′C′2=8,A′K2=‎5m2‎﹣‎18m+18,C′K2=‎5m2‎﹣‎22m+26,‎ 当∠A′KC′=90°时,A′K2+KC′2=A′C′2,解得m=,此时t=m=2±;‎ 当∠KC′A′=90°时,KC′2+A′C′2=A′K2,解得m=4,此时t=m=4;‎ 当∠KA′C′=90°时,A′C′2+A′K2=KC′2,解得m=0,此时t=0.‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了相似三角形的性质,待定系数法求函数解析式,两点间的结论公式,解本题的关键是相似三角形的性质的运用.‎ ‎42. (2016·浙江省绍兴市·10分)课本中有一个例题:‎ 有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为‎6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?‎ 这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为‎0.35m时,透光面积最大值约为‎1.05m2‎.‎ 我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为‎6m,利用图3,解答下列问题:‎ ‎(1)若AB为‎1m,求此时窗户的透光面积?‎ ‎(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)根据矩形和正方形的周长进行解答即可;‎ ‎(2)设AB为xcm,利用二次函数的最值解答即可.‎ ‎【解答】解:(1)由已知可得:AD=,‎ 则S=1×m2,‎ ‎(2)设AB=xm,则AD=3﹣m,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 设窗户面积为S,由已知得:‎ ‎,‎ 当x=m时,且x=m在的范围内,,‎ ‎∴与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.‎ ‎43.(2016·山东省菏泽市·3分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.‎ ‎(1)试求抛物线的解析式;‎ ‎(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;‎ ‎(3)若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.‎ ‎【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.‎ ‎【分析】(1)根据待定系数法即可解决问题.‎ ‎(2)求出直线BC与对称轴的交点H,根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题.‎ ‎(3)由,当方程组只有一组解时求出b的值,当直线y=﹣x+b经过点C时,求出b的值,当直线y=﹣x+b经过点B时,求出b的值,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)由题意解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2.‎ ‎(2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+.‎ ‎∴顶点坐标(1,),‎ ‎∵直线BC为y=﹣x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3),‎ ‎∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3.‎ ‎(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0,‎ 当△=0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)=0,‎ ‎∴b=,‎ 当直线y=﹣x+b经过点C时,b=3,‎ 当直线y=﹣x+b经过点B时,b=5,‎ ‎∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,‎ ‎∴<b≤3.‎ ‎【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识,解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标,学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题,属于中考常考题型.‎