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  • 2021-05-13 发布

中考总复习圆的切线专题

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题型专项(八) 与切线有关的证明与计算 类型1 与全等三角形有关                   ‎ ‎1.(2016·梧州)如图,过⊙O上的两点A,B分别作切线,交于BO,AO的延长线于点C,D,连接CD,交⊙O于点E,F,过圆心O作OM⊥CD,垂足为点M.‎ 求证:(1)△ACO≌△BDO;‎ ‎(2)CE=DF.‎ ‎ 证明:(1)∵AC,BD分别是⊙O的切线,‎ ‎∴∠A=∠B=90°.‎ 又∵AO=BO,∠AOC=∠BOD,‎ ‎∴△ACO≌△BDO.‎ ‎(2)∵△ACO≌△BDO,‎ ‎∴OC=OD.‎ 又∵OM⊥CD,∴CM=DM.‎ 又∵OM⊥EF,点O是圆心,‎ ‎∴EM=FM.‎ ‎∴CM-EM=DM-FM.‎ ‎∴CE=DF.‎ ‎2.(2016·玉林模拟)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=60°,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.‎ ‎(1)求证:△CDQ是等腰三角形;‎ ‎(2)如果△CDQ≌△COB,求BP∶PO的值.‎ 解:(1)证明:由已知得∠ACB=90°,∠ABC=30°.‎ ‎∴∠Q=30°,∠BCO=∠ABC=30°.‎ ‎∵CD是⊙O的切线,CO是半径,‎ ‎∴CD⊥CO.‎ ‎∴∠DCQ=∠BCO=30°.‎ ‎∴∠DCQ=∠Q.‎ 故△CDQ是等腰三角形.‎ ‎(2)设⊙O的半径为1,则AB=2,OC=1,BC=.‎ ‎∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等,‎ ‎∴CQ=CB=.‎ ‎∴AQ=AC+CQ=1+.‎ ‎∴AP=AQ=.‎ ‎∴BP=AB-AP=.‎ ‎∴PO=AP-AO=.‎ ‎∴BP∶PO=.‎ ‎3.(2016·柳州)如图,AB为△ABC外接圆⊙O的直径,点P是线段CA的延长线上一点,点E在弧上且满足PE2=PA·PC,连接CE,AE,OE交CA于点D.‎ ‎(1)求证:△PAE∽△PEC;‎ ‎(2)求证:PE为⊙O的切线;‎ ‎(3)若∠B=30°,AP=AC,求证:DO=DP.‎ 证明:(1)∵PE2=PA·PC,‎ ‎∴=.‎ 又∵∠APE=∠EPC,‎ ‎∴△PAE∽△PEC.‎ ‎(2)∵△PAE∽△PEC,∴∠PEA=∠PCE.‎ ‎∵∠PCE=∠AOE,‎ ‎∴∠PEA=∠AOE.∵OA=OE,‎ ‎∴∠OAE=∠OEA.‎ ‎∵∠AOE+∠OEA+∠OAE=180°,‎ ‎∴∠AOE+2∠OEA=180°,‎ 即2∠PEA+2∠OEA=180°.‎ ‎∴∠PEA+∠OEA=90°.‎ ‎∴PE为⊙O的切线.‎ ‎(3)设⊙O的半径为r,则AB=2r.‎ ‎∵∠B=30°,∠PCB=90°,∴AC=r,BC=r.‎ 过点O作OF⊥AC于点F,‎ ‎∴OF=r.∵AP=AC,‎ ‎∴AP=.∵PE2=PA·PC,∴PE=r.‎ 在△ODF与△PDE中,‎ ‎∴△ODF≌△PDE.∴DO=DP.‎ 类型2 与相似三角形有关 ‎4.(2016·泰州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,在D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF.‎ ‎(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若PF∶PC=1∶2,AF=5,求CP的长.‎ 解:(1)AB是⊙O切线.‎ 理由:∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CAE+∠CEA=90°.‎ ‎∵∠CAE=∠ADF,∠CDF=∠CEA,‎ ‎∴∠ADF+∠CDF=90°.‎ ‎∴AB是⊙O切线.‎ ‎(2)连接CF.‎ ‎∵∠ADF+∠CDF=90°,∠PCF+∠CDF=90°,‎ ‎∴∠ADF=∠PCF.‎ ‎∴∠PCF=∠PAC.‎ 又∵∠CPF=∠APC,‎ ‎∴△PCF∽△PAC.∴=.‎ ‎∴PC2=PF·PA.设PF=a,则PC=2a.‎ ‎∴4a2=a(a+5).‎ ‎∴a=.‎ ‎∴PC=2a=.‎ ‎5.(2015·北海)如图,AB,CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.‎ ‎(1)求证:PE是⊙O的切线;‎ ‎(2)求证:ED平分∠BEP;‎ ‎(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.‎ 解:(1)证明:连接OE.‎ ‎∵CD是圆O的直径,‎ ‎∴∠CED=90°.‎ ‎∵OC=OE,‎ ‎∴∠C=∠OEC.‎ 又∵∠PED=∠C,‎ ‎∴∠PED=∠OEC.‎ ‎∴∠PED+∠OED=∠OEC+∠OED=90°,即∠OEP=90°.‎ ‎∴OE⊥EP.‎ 又∵点E在圆上,‎ ‎∴PE是⊙O的切线.‎ ‎(2)证明:∵AB,CD为⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEB=∠CED=90°.‎ ‎∴∠AEC=∠DEB(同角的余角相等).‎ 又∵∠PED=∠C,AE∥CD,‎ ‎∴∠PED=∠DEB,‎ 即ED平分∠BEP.‎ ‎(3)设EF=x,则CF=2x.‎ ‎∵⊙O的半径为5,‎ ‎∴OF=2x-5.‎ 在Rt△OEF中,OE2=EF2+OF2,即52=x2+(2x-5)2,解得x=4,‎ ‎∴EF=4.‎ ‎∴BE=2EF=8,CF=2EF=8.‎ ‎∴DF=CD-CF=10-8=2.‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEB=90°.‎ ‎∵AB=10,BE=8,‎ ‎∴AE=6.‎ ‎∵∠BEP=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,‎ ‎∴△EFP∽△AEB.‎ ‎∴=,即=.‎ ‎∴PF=.‎ ‎∴PD=PF-DF=-2=.‎ ‎6.(2014·桂林)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过点C作CG⊥AD于点E,交AB于点F,交⊙O于点G.‎ ‎(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)求证:AG2=AF·AB;‎ ‎(3)若⊙O的直径为10,AC=2,AB=4,求△AFG的面积.‎ 解:(1)PA与⊙O相切.‎ 理由:连接CD.‎ ‎∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.‎ ‎∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,‎ ‎∴∠PAC=∠D.‎ ‎∴∠PAC+∠CAD=90°,即DA⊥PA.‎ ‎∵点A在圆上,∴PA与⊙O相切.‎ ‎(2)证明:连接BG.‎ ‎∵AD为⊙O的直径,CG⊥AD,‎ ‎∴=.∴∠AGF=∠ABG.‎ ‎∵∠GAF=∠BAG,∴△AGF∽△ABG.‎ ‎∴AG∶AB=AF∶AG.∴AG2=AF·AB.‎ ‎(3)连接BD.‎ ‎∵AD是直径,∴∠ABD=90°.‎ ‎∵AG2=AF·AB,AG=AC=2,AB=4,‎ ‎∴AF==.‎ ‎∵CG⊥AD,∴∠AEF=∠ABD=90°.‎ ‎∵∠EAF=∠BAD,∴△AEF∽△ABD.‎ ‎∴=,即=,解得AE=2.‎ ‎∴EF==1.‎ ‎∵EG==4,‎ ‎∴FG=EG-EF=4-1=3.‎ ‎∴S△AFG=FG·AE=×3×2=3.‎ 类型3 与锐角三角函数有关     ‎ ‎7.(2014·梧州)如图,已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆,OP∥AC,且与BC的垂线交于点P,OP交AB于点D,BC,PA的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证:PA是⊙O的切线;‎ ‎(2)若sin∠E=,PA=6,求AC的长.‎ 解:(1)证明:连接OA.‎ ‎∵AC∥OP,∴∠AOP=∠OAC,∠BOP=∠OCA.‎ ‎∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∴∠AOP=∠BOP.‎ 又∵OA=OB,OP=OP,‎ ‎∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP=∠OBP.‎ ‎∵BP⊥CB,∴∠OAP=∠OBP=90°.∴OA⊥PA.‎ ‎∴PA是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵PB⊥CB,∴PB是⊙O的切线.‎ 又∵PA是⊙O的切线,‎ ‎∴PA=PB=6.‎ 又∵sinE===,∴AO=3.‎ 在Rt△OPB中,OP==3.‎ ‎∵BC为⊙O直径,∴∠CAB=90°.‎ ‎∴∠CAB=∠OBP=90°,∠OCA=∠BOP.‎ ‎∴△ACB∽△BOP.∴=.‎ ‎∴AC===.‎ ‎8.(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,BD交AC于点F.‎ ‎(1)求证:BD平分∠ABC;‎ ‎(2)延长AC到点P,使PF=PB,求证:PB是⊙O的切线;‎ ‎(3)如果AB=10,cos∠ABC=,求AD.‎ 解:(1)证明:∵OD∥BC,‎ ‎∴∠ODB=∠CBD.‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=∠ODB.‎ ‎∴∠CBD=∠OBD.‎ ‎∴BD平分∠ABC.‎ ‎(2)证明:∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,‎ ‎∴∠ACB=90°.∴∠CFB+∠CBF=90°.‎ ‎∵PF=PB,∴∠PBF=∠CFB.‎ 由(1)知∠OBD=∠CBF,‎ ‎∴∠PBF+∠OBD=90°.∴∠OBP=90°.‎ ‎∴PB是⊙O的切线.‎ ‎(3)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,‎ ‎∴cos∠ABC===.‎ ‎∴BC=6,AC==8.‎ ‎∵OD∥BC,‎ ‎∴△AOE∽△ABC,∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°.‎ ‎∴==,==.‎ ‎∴AE=4,OE=3.‎ ‎∴DE=OD-OE=5-3=2.‎ ‎∴AD===2.‎ ‎9.(2016·柳州模拟)如图,已知:AC是⊙O的直径,PA⊥AC,连接OP,弦CB∥OP,直线PB交直线AC于点D,BD=2PA.‎ ‎(1)证明:直线PB是⊙O的切线;‎ ‎(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;‎ ‎(3)求sin∠OPA的值.‎ 解:(1)证明:连接OB.‎ ‎∵BC∥OP,OB=OC,‎ ‎∴∠BCO=∠POA,‎ ‎∠CBO=∠POB,∠BCO=∠CBO.‎ ‎∴∠POA=∠POB.又∵PO=PO,OB=OA,‎ ‎∴△POB≌△POA.∴∠PBO=∠PAO=90°.‎ ‎∴PB是⊙O的切线.‎ ‎(2)2PO=3BC.(写PO=BC亦可)‎ 证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA.‎ ‎∵BD=2PA,∴BD=2PB.‎ ‎∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO.‎ ‎∴==.∴2PO=3BC.‎ ‎(3)∵CB∥OP,∴△DBC∽△DPO.‎ ‎∴==,即DC=OD.‎ ‎∴OC=OD.∴DC=2OC.‎ 设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y.‎ 在Rt△OBD中,由勾股定理得(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2.‎ ‎∵x>0,y>0,∴y=x,OP==x.‎ ‎∴sin∠OPA====.‎ 类型4 与特殊四边形有关                  ‎ ‎10.(2016·玉林)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E,F,连接BF.‎ ‎(1)求证:BF是⊙O的切线;‎ ‎(2)已知圆的半径为1,求EF的长.‎ 解:(1)证明:连接OD.‎ ‎∵EF为⊙O的切线,‎ ‎∴∠ODF=90°.‎ ‎∵四边形AOCD为平行四边形,‎ ‎∴AO=DC,AO∥DC.‎ 又∵DO=OC=OA,‎ ‎∴DO=OC=DC.‎ ‎∴△DOC为等边三角形.‎ ‎∴∠DOC=∠ODC=60°.‎ ‎∵DC∥AO,‎ ‎∴∠AOD=∠ODC=60°.‎ ‎∴∠BOF=180°-∠COD-∠AOD=60°.‎ 在△DOF和△BCF中,‎ ‎∴△DOF≌△BOF.‎ ‎∴∠ODF=∠OBF=90°.‎ ‎∴BF是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵∠DOF=60°,∠ODF=90°,‎ ‎∴∠OFD=30°.‎ ‎∵∠BOF=60°,∠BOF=∠CFD+∠E,‎ ‎∴∠E=∠OFD=30°.‎ ‎∴OF=OE.‎ 又∵OD⊥EF,‎ ‎∴DE=DF.‎ 在Rt△ODF中,∠OFD=30°.‎ ‎∴OF=2OD.‎ ‎∴DF===.‎ ‎∴EF=2DF=2.‎ ‎11.(2016·宁波)如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)求DE的长.‎ 解:(1)证明:连接OD.‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠DAE=∠DAB.‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠ODA=∠DAO.‎ ‎∴∠ODA=∠DAE.‎ ‎∴OD∥AE.‎ ‎∵DE⊥AC,‎ ‎∴OD⊥DE.‎ ‎∴DE是⊙O切线.‎ ‎(2)过点O作OF⊥AC于点F.‎ ‎∴AF=CF=3.‎ ‎∴OF===4.‎ ‎∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,‎ ‎∴四边形OFED是矩形.‎ ‎∴DE=OF=4.‎ ‎12.(2015·桂林)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC,PD是⊙O的两条切线,C,D为切点.‎ ‎(1)如图1,求⊙O的半径;‎ ‎(2)如图1,若点E是BC的中点,连接PE,求PE的长度;‎ ‎(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B,C),以点M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN=90°,交直线CP于点N,求证:AM=MN.‎ 解:(1)连接OD,OC.‎ ‎∵PC,PD是⊙O的两条切线,C,D为切点,‎ ‎∴∠ODP=∠OCP=90°.‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,‎ ‎∴∠DOC=90°,OD=OC.‎ ‎∴四边形DOCP是正方形.‎ ‎∵AB=4,∠ODC=∠OCD=45°,‎ ‎∴DO=CO=DC·sin45°=4×=2.‎ ‎(2)连接EO,OP.‎ ‎∵点E是BC的中点,‎ ‎∴OE⊥BC,∠OCE=45°,‎ 则∠EOP=90°.‎ ‎∴EO=EC=2,OP=CO=4.‎ ‎∴PE==2.‎ ‎(3)证明:在AB上截取BF=BM.‎ ‎∵AB=BC,BF=BM,‎ ‎∴AF=MC,∠BFM=∠BMF=45°.‎ ‎∵∠AMN=90°,‎ ‎∴∠AMF+∠NMC=45°,∠FAM+∠AMF=45°.‎ ‎∴∠FAM=∠NMC.‎ ‎∵由(1)得PD=PC,∠DPC=90°,‎ ‎∴∠DCP=45°.‎ ‎∴∠MCN=135°.‎ ‎∵∠AFM=180°-∠BFM=135°,‎ 在△AFM和△MCN中, ‎∴△AFM≌△MCN(ASA).‎ ‎∴AM=MN.‎