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- 2021-05-13 发布
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题型专项(八) 与切线有关的证明与计算
类型1 与全等三角形有关
1.(2016·梧州)如图,过⊙O上的两点A,B分别作切线,交于BO,AO的延长线于点C,D,连接CD,交⊙O于点E,F,过圆心O作OM⊥CD,垂足为点M.
求证:(1)△ACO≌△BDO;
(2)CE=DF.
证明:(1)∵AC,BD分别是⊙O的切线,
∴∠A=∠B=90°.
又∵AO=BO,∠AOC=∠BOD,
∴△ACO≌△BDO.
(2)∵△ACO≌△BDO,
∴OC=OD.
又∵OM⊥CD,∴CM=DM.
又∵OM⊥EF,点O是圆心,
∴EM=FM.
∴CM-EM=DM-FM.
∴CE=DF.
2.(2016·玉林模拟)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=60°,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.
(1)求证:△CDQ是等腰三角形;
(2)如果△CDQ≌△COB,求BP∶PO的值.
解:(1)证明:由已知得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
∴∠Q=30°,∠BCO=∠ABC=30°.
∵CD是⊙O的切线,CO是半径,
∴CD⊥CO.
∴∠DCQ=∠BCO=30°.
∴∠DCQ=∠Q.
故△CDQ是等腰三角形.
(2)设⊙O的半径为1,则AB=2,OC=1,BC=.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等,
∴CQ=CB=.
∴AQ=AC+CQ=1+.
∴AP=AQ=.
∴BP=AB-AP=.
∴PO=AP-AO=.
∴BP∶PO=.
3.(2016·柳州)如图,AB为△ABC外接圆⊙O的直径,点P是线段CA的延长线上一点,点E在弧上且满足PE2=PA·PC,连接CE,AE,OE交CA于点D.
(1)求证:△PAE∽△PEC;
(2)求证:PE为⊙O的切线;
(3)若∠B=30°,AP=AC,求证:DO=DP.
证明:(1)∵PE2=PA·PC,
∴=.
又∵∠APE=∠EPC,
∴△PAE∽△PEC.
(2)∵△PAE∽△PEC,∴∠PEA=∠PCE.
∵∠PCE=∠AOE,
∴∠PEA=∠AOE.∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∵∠AOE+∠OEA+∠OAE=180°,
∴∠AOE+2∠OEA=180°,
即2∠PEA+2∠OEA=180°.
∴∠PEA+∠OEA=90°.
∴PE为⊙O的切线.
(3)设⊙O的半径为r,则AB=2r.
∵∠B=30°,∠PCB=90°,∴AC=r,BC=r.
过点O作OF⊥AC于点F,
∴OF=r.∵AP=AC,
∴AP=.∵PE2=PA·PC,∴PE=r.
在△ODF与△PDE中,
∴△ODF≌△PDE.∴DO=DP.
类型2 与相似三角形有关
4.(2016·泰州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,在D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PF∶PC=1∶2,AF=5,求CP的长.
解:(1)AB是⊙O切线.
理由:∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠CEA=90°.
∵∠CAE=∠ADF,∠CDF=∠CEA,
∴∠ADF+∠CDF=90°.
∴AB是⊙O切线.
(2)连接CF.
∵∠ADF+∠CDF=90°,∠PCF+∠CDF=90°,
∴∠ADF=∠PCF.
∴∠PCF=∠PAC.
又∵∠CPF=∠APC,
∴△PCF∽△PAC.∴=.
∴PC2=PF·PA.设PF=a,则PC=2a.
∴4a2=a(a+5).
∴a=.
∴PC=2a=.
5.(2015·北海)如图,AB,CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求证:ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
解:(1)证明:连接OE.
∵CD是圆O的直径,
∴∠CED=90°.
∵OC=OE,
∴∠C=∠OEC.
又∵∠PED=∠C,
∴∠PED=∠OEC.
∴∠PED+∠OED=∠OEC+∠OED=90°,即∠OEP=90°.
∴OE⊥EP.
又∵点E在圆上,
∴PE是⊙O的切线.
(2)证明:∵AB,CD为⊙O的直径,
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴∠AEC=∠DEB(同角的余角相等).
又∵∠PED=∠C,AE∥CD,
∴∠PED=∠DEB,
即ED平分∠BEP.
(3)设EF=x,则CF=2x.
∵⊙O的半径为5,
∴OF=2x-5.
在Rt△OEF中,OE2=EF2+OF2,即52=x2+(2x-5)2,解得x=4,
∴EF=4.
∴BE=2EF=8,CF=2EF=8.
∴DF=CD-CF=10-8=2.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
∵AB=10,BE=8,
∴AE=6.
∵∠BEP=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,
∴△EFP∽△AEB.
∴=,即=.
∴PF=.
∴PD=PF-DF=-2=.
6.(2014·桂林)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过点C作CG⊥AD于点E,交AB于点F,交⊙O于点G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:AG2=AF·AB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=2,AB=4,求△AFG的面积.
解:(1)PA与⊙O相切.
理由:连接CD.
∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.
∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,
∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90°,即DA⊥PA.
∵点A在圆上,∴PA与⊙O相切.
(2)证明:连接BG.
∵AD为⊙O的直径,CG⊥AD,
∴=.∴∠AGF=∠ABG.
∵∠GAF=∠BAG,∴△AGF∽△ABG.
∴AG∶AB=AF∶AG.∴AG2=AF·AB.
(3)连接BD.
∵AD是直径,∴∠ABD=90°.
∵AG2=AF·AB,AG=AC=2,AB=4,
∴AF==.
∵CG⊥AD,∴∠AEF=∠ABD=90°.
∵∠EAF=∠BAD,∴△AEF∽△ABD.
∴=,即=,解得AE=2.
∴EF==1.
∵EG==4,
∴FG=EG-EF=4-1=3.
∴S△AFG=FG·AE=×3×2=3.
类型3 与锐角三角函数有关
7.(2014·梧州)如图,已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆,OP∥AC,且与BC的垂线交于点P,OP交AB于点D,BC,PA的延长线交于点E.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若sin∠E=,PA=6,求AC的长.
解:(1)证明:连接OA.
∵AC∥OP,∴∠AOP=∠OAC,∠BOP=∠OCA.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∴∠AOP=∠BOP.
又∵OA=OB,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP=∠OBP.
∵BP⊥CB,∴∠OAP=∠OBP=90°.∴OA⊥PA.
∴PA是⊙O的切线.
(2)∵PB⊥CB,∴PB是⊙O的切线.
又∵PA是⊙O的切线,
∴PA=PB=6.
又∵sinE===,∴AO=3.
在Rt△OPB中,OP==3.
∵BC为⊙O直径,∴∠CAB=90°.
∴∠CAB=∠OBP=90°,∠OCA=∠BOP.
∴△ACB∽△BOP.∴=.
∴AC===.
8.(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,BD交AC于点F.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)延长AC到点P,使PF=PB,求证:PB是⊙O的切线;
(3)如果AB=10,cos∠ABC=,求AD.
解:(1)证明:∵OD∥BC,
∴∠ODB=∠CBD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∴∠CBD=∠OBD.
∴BD平分∠ABC.
(2)证明:∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,
∴∠ACB=90°.∴∠CFB+∠CBF=90°.
∵PF=PB,∴∠PBF=∠CFB.
由(1)知∠OBD=∠CBF,
∴∠PBF+∠OBD=90°.∴∠OBP=90°.
∴PB是⊙O的切线.
(3)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,
∴cos∠ABC===.
∴BC=6,AC==8.
∵OD∥BC,
∴△AOE∽△ABC,∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°.
∴==,==.
∴AE=4,OE=3.
∴DE=OD-OE=5-3=2.
∴AD===2.
9.(2016·柳州模拟)如图,已知:AC是⊙O的直径,PA⊥AC,连接OP,弦CB∥OP,直线PB交直线AC于点D,BD=2PA.
(1)证明:直线PB是⊙O的切线;
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;
(3)求sin∠OPA的值.
解:(1)证明:连接OB.
∵BC∥OP,OB=OC,
∴∠BCO=∠POA,
∠CBO=∠POB,∠BCO=∠CBO.
∴∠POA=∠POB.又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA.∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB是⊙O的切线.
(2)2PO=3BC.(写PO=BC亦可)
证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA.
∵BD=2PA,∴BD=2PB.
∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO.
∴==.∴2PO=3BC.
(3)∵CB∥OP,∴△DBC∽△DPO.
∴==,即DC=OD.
∴OC=OD.∴DC=2OC.
设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y.
在Rt△OBD中,由勾股定理得(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2.
∵x>0,y>0,∴y=x,OP==x.
∴sin∠OPA====.
类型4 与特殊四边形有关
10.(2016·玉林)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作⊙O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E,F,连接BF.
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径为1,求EF的长.
解:(1)证明:连接OD.
∵EF为⊙O的切线,
∴∠ODF=90°.
∵四边形AOCD为平行四边形,
∴AO=DC,AO∥DC.
又∵DO=OC=OA,
∴DO=OC=DC.
∴△DOC为等边三角形.
∴∠DOC=∠ODC=60°.
∵DC∥AO,
∴∠AOD=∠ODC=60°.
∴∠BOF=180°-∠COD-∠AOD=60°.
在△DOF和△BCF中,
∴△DOF≌△BOF.
∴∠ODF=∠OBF=90°.
∴BF是⊙O的切线.
(2)∵∠DOF=60°,∠ODF=90°,
∴∠OFD=30°.
∵∠BOF=60°,∠BOF=∠CFD+∠E,
∴∠E=∠OFD=30°.
∴OF=OE.
又∵OD⊥EF,
∴DE=DF.
在Rt△ODF中,∠OFD=30°.
∴OF=2OD.
∴DF===.
∴EF=2DF=2.
11.(2016·宁波)如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求DE的长.
解:(1)证明:连接OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAB.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠DAO.
∴∠ODA=∠DAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O切线.
(2)过点O作OF⊥AC于点F.
∴AF=CF=3.
∴OF===4.
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,
∴四边形OFED是矩形.
∴DE=OF=4.
12.(2015·桂林)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC,PD是⊙O的两条切线,C,D为切点.
(1)如图1,求⊙O的半径;
(2)如图1,若点E是BC的中点,连接PE,求PE的长度;
(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B,C),以点M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN=90°,交直线CP于点N,求证:AM=MN.
解:(1)连接OD,OC.
∵PC,PD是⊙O的两条切线,C,D为切点,
∴∠ODP=∠OCP=90°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,
∴∠DOC=90°,OD=OC.
∴四边形DOCP是正方形.
∵AB=4,∠ODC=∠OCD=45°,
∴DO=CO=DC·sin45°=4×=2.
(2)连接EO,OP.
∵点E是BC的中点,
∴OE⊥BC,∠OCE=45°,
则∠EOP=90°.
∴EO=EC=2,OP=CO=4.
∴PE==2.
(3)证明:在AB上截取BF=BM.
∵AB=BC,BF=BM,
∴AF=MC,∠BFM=∠BMF=45°.
∵∠AMN=90°,
∴∠AMF+∠NMC=45°,∠FAM+∠AMF=45°.
∴∠FAM=∠NMC.
∵由(1)得PD=PC,∠DPC=90°,
∴∠DCP=45°.
∴∠MCN=135°.
∵∠AFM=180°-∠BFM=135°,
在△AFM和△MCN中,
∴△AFM≌△MCN(ASA).
∴AM=MN.