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  • 2021-05-13 发布

中考数学总复习滚动小专题八四边形的有关计算与证明试题及答案

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滚动小专题(八) 四边形的有关计算与证明 ‎1.(2016·长春)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.‎ ‎(1)求证:BD∥EF;‎ ‎(2)若=,BE=4,求EC的长.‎ 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC.∴DF∥BE.‎ ‎∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形.‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎(2)∵四边形BEFD是平行四边形,‎ ‎∴DF=BE=4.‎ ‎∵DF∥EC,‎ ‎∴△DFG∽△CEG.∴=.‎ ‎∴CE==4×=6.‎ ‎2.(2016·苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;‎ ‎(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.‎ 解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB∥CD,AC⊥BD.‎ ‎∴AE∥CD,∠AOB=90°.‎ 又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,‎ ‎∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC.‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,‎ ‎∴AO=4,DO=3,AD=CD=5.‎ 又∵四边形ACDE是平行四边形,‎ ‎∴AE=CD=5,DE=AC=8.‎ ‎∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.‎ ‎3.(2016·台州)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和点G,H.‎ ‎(1)求证:△PHC≌△CFP;‎ ‎(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.‎ 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB∥CD,AD∥BC.‎ 又∵EF∥AB,GH∥AD,‎ ‎∴EF∥CD,GH∥BC.‎ ‎∴∠CPF=∠HCP,∠CPH=∠PCF.‎ ‎∵PC=PC,‎ ‎∴△PHC≌△CFP(ASA).‎ ‎(2)证明:由(1)知AB∥EF∥CD,AD∥GH∥BC,‎ ‎∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠D=∠B=90°.‎ ‎∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.‎ S矩形PEDH=S矩形PFBG.‎ ‎4.(2016·遵义)如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.‎ ‎(1)求证:CP=AQ;‎ ‎(2)若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.‎ 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC.‎ ‎∴∠E=∠F.‎ ‎∵BE=DF,∴AE=CF.‎ 在△CFP和△AEQ中, ‎∴△CFP≌△AEQ(ASA).‎ ‎∴CP=AQ.‎ ‎(2)∵AD∥BC,∴∠PBE=∠A=90°.‎ ‎∵∠AEF=45°,‎ ‎∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形.‎ ‎∴BE=BP=1,AQ=AE.‎ ‎∴PE=BP=.‎ ‎∴EQ=PE+PQ=+2=3.‎ ‎∴AQ=AE=3.‎ ‎∴AB=AE-BE=2.‎ ‎∵CP=AQ=3,‎ ‎∴BC=BP+CP=1+3=4.‎ ‎∴S矩形ABCD=AB·BC=2×4=8.‎ ‎5.(2016·毕节)如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.‎ ‎(1)求证:△AEC≌△ADB;‎ ‎(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.‎ 解:(1)证明:由旋转的性质得:△ABC≌△ADE.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE.‎ ‎∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB.‎ 在△AEC和△ADB中, ‎∴△AEC≌△ADB(SAS).‎ ‎(2)∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,‎ ‎∴∠DBA=∠BAC=45°.‎ 由(1)得,AB=AD,‎ ‎∴∠DBA=∠BDA=45°.‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形.‎ ‎∴BD2=2AB2,即BD=AB=2.‎ ‎∴AD=DF=FC=AC=AB=2.‎ ‎∴BF=BD-DF=2-2.‎ ‎6.准备一张矩形纸片ABCD,按如图所示操作:‎ 将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.‎ ‎(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;‎ ‎(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.‎ 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠C=90°,AB=CD.‎ 由翻折得BM=AB,DN=DC,∠A=∠EMB,∠C=∠DNF,‎ ‎∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°.‎ ‎∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN.‎ ‎∴△EDM≌△FBN(ASA).∴ED=FB.‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形.‎ ‎(2)∵四边形BFDE是菱形,‎ ‎∴∠EBD=∠FBD.‎ ‎∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABE=×90°=30°.‎ 在Rt△ABE中,∵AB=2,‎ ‎∴AE=,BE=.‎ ‎∴ED=,∴AD=2.‎ ‎∴S△ABE=AB·AE=,‎ S矩形ABCD=AB·AD=4.‎ ‎∴S菱形BFDE=4-2×=.‎ ‎7.(2016·济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.‎ ‎(1)已知EO=,求正方形ABCD的边长;‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.‎ 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AO=OC,△ABC是等腰直角三角形.‎ 在△ACF中,AC=CF,CF平分∠ACF,‎ ‎∴AE=EF.‎ ‎∴EO为△AFC的中位线.‎ ‎∴CF=2EO=2.∴AC=2.∴AB==2.‎ ‎(2)EM=CN.‎ 证明:∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,‎ ‎∴CE⊥AF.∴∠AEN=∠CBN=90°.‎ ‎∵∠ANE=∠CNB,‎ ‎∴∠BAF=∠BCN.‎ 在△ABF和△CBN中, ‎∴△ABF≌△CBN(ASA).‎ ‎∴AF=CN.‎ ‎∵∠BAF=∠BCN,∠ACN=∠BCN,‎ ‎∴∠BAF=∠OCM.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD.∴∠ABF=∠COM=90°.‎ ‎∴△ABF∽△COM.‎ ‎∴=.‎ ‎∴==,即CM=CN.‎ 由(1)知EO∥BC,∴△EOM∽△CBM.‎ ‎∴==.‎ ‎∴EM=CM=×CN=CN.‎