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- 2021-05-13 发布
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滚动小专题(八) 四边形的有关计算与证明
1.(2016·长春)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.
(1)求证:BD∥EF;
(2)若=,BE=4,求EC的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴DF∥BE.
∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形.
∴BD∥EF.
(2)∵四边形BEFD是平行四边形,
∴DF=BE=4.
∵DF∥EC,
∴△DFG∽△CEG.∴=.
∴CE==4×=6.
2.(2016·苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD.
∴AE∥CD,∠AOB=90°.
又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,
∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,AD=CD=5.
又∵四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
3.(2016·台州)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和点G,H.
(1)求证:△PHC≌△CFP;
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
又∵EF∥AB,GH∥AD,
∴EF∥CD,GH∥BC.
∴∠CPF=∠HCP,∠CPH=∠PCF.
∵PC=PC,
∴△PHC≌△CFP(ASA).
(2)证明:由(1)知AB∥EF∥CD,AD∥GH∥BC,
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°.
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.
S矩形PEDH=S矩形PFBG.
4.(2016·遵义)如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.
(1)求证:CP=AQ;
(2)若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC.
∴∠E=∠F.
∵BE=DF,∴AE=CF.
在△CFP和△AEQ中,
∴△CFP≌△AEQ(ASA).
∴CP=AQ.
(2)∵AD∥BC,∴∠PBE=∠A=90°.
∵∠AEF=45°,
∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形.
∴BE=BP=1,AQ=AE.
∴PE=BP=.
∴EQ=PE+PQ=+2=3.
∴AQ=AE=3.
∴AB=AE-BE=2.
∵CP=AQ=3,
∴BC=BP+CP=1+3=4.
∴S矩形ABCD=AB·BC=2×4=8.
5.(2016·毕节)如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.
解:(1)证明:由旋转的性质得:△ABC≌△ADE.
∵AB=AC,
∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB.
在△AEC和△ADB中,
∴△AEC≌△ADB(SAS).
(2)∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,
∴∠DBA=∠BAC=45°.
由(1)得,AB=AD,
∴∠DBA=∠BDA=45°.
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴BD2=2AB2,即BD=AB=2.
∴AD=DF=FC=AC=AB=2.
∴BF=BD-DF=2-2.
6.准备一张矩形纸片ABCD,按如图所示操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AB=CD.
由翻折得BM=AB,DN=DC,∠A=∠EMB,∠C=∠DNF,
∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°.
∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.
∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN.
∴△EDM≌△FBN(ASA).∴ED=FB.
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)∵四边形BFDE是菱形,
∴∠EBD=∠FBD.
∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,
∴∠ABE=×90°=30°.
在Rt△ABE中,∵AB=2,
∴AE=,BE=.
∴ED=,∴AD=2.
∴S△ABE=AB·AE=,
S矩形ABCD=AB·AD=4.
∴S菱形BFDE=4-2×=.
7.(2016·济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知EO=,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=OC,△ABC是等腰直角三角形.
在△ACF中,AC=CF,CF平分∠ACF,
∴AE=EF.
∴EO为△AFC的中位线.
∴CF=2EO=2.∴AC=2.∴AB==2.
(2)EM=CN.
证明:∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,
∴CE⊥AF.∴∠AEN=∠CBN=90°.
∵∠ANE=∠CNB,
∴∠BAF=∠BCN.
在△ABF和△CBN中,
∴△ABF≌△CBN(ASA).
∴AF=CN.
∵∠BAF=∠BCN,∠ACN=∠BCN,
∴∠BAF=∠OCM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.∴∠ABF=∠COM=90°.
∴△ABF∽△COM.
∴=.
∴==,即CM=CN.
由(1)知EO∥BC,∴△EOM∽△CBM.
∴==.
∴EM=CM=×CN=CN.
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