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- 2021-05-13 发布
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A
B C
D
EO
第 6 题图
2015 年初三数学教学质量检测试卷
(考试时间 100 分钟,满分 150 分) 2015.4
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,
在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤.
一、单项选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1.将抛物线 向右平移3个单位得到的抛物线表达式是( )
A. ; B. ; C. ; D. .
2.下列各式中,与 是同类二次根式的是( )
A. ; B. ; C. ; D. .
3. 一组数据: 5,7,4,9,7的中位数和众数分别是( )
A. 4,7 ; B. 7,7 ; C. 4,4 ; D. 4,5 .
4. 用换元法解方程: 时,如果设 ,那么原方程可化为( )
A. ; B. ;
C. ; D. .
5. 在下列图形中,①等边三角形,②正方形,③正五边形,④正六边形.
其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有( )
A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
6. 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,对角线 AC、BD 交于点 O,AO=CO,∠AOD
=∠ADO,E 是 DC 边的中点.下列结论中,错误的是( )
A. ; B. ; C.; ; D. .
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
7. 计算: = ▲ .
2xy =
( )23−= xy ( )23+= xy 32 −= xy 32 += xy
3
13 − 6 9 12
2
53
3
2
2
=−+− y
y
y
y
32 −=
y
yx
0252 2 =+− xx 0152 =+− xx
0252 2 =++ xx 0152 2 =+− xx
ADOE 2
1= OBOE 2
1= OCOE 2
1= BCOE 2
1=
2
1
9−
中年
?
老年
20%
青年
60%
第 12 题图
M
F
E
D
CB
A
第 18 题图
8. 计算: = ▲ .
9. 方程 的解是 ▲ .
10.若关于 x 的二次方程 有两个相等的实数根,则实数 a = ▲ .
11.从数字1,2,3,4中,任意取两个数字组成一个两位数,这个数是素数的概
率是 ▲ .
12. 2015年1月份,某区体委组织 “迎新春长跑活动”,现将报名的男选手分
成: 青年组、中年组、老年组.各组人数所占比例如图所示,已知青年
组120人,则中年组的人数是 ▲ .
13.已知 ,如果 , ,那么实数 k = ▲ .
14.已知⊙ 和⊙ 的半径分别是5和3,若 =2,则两圆的位置关系
是 ▲ .
15.已知在离地面30米的高楼窗台 A 处测得地面花坛中心标志物 C 的俯角为
60°,那么这一标志物 C 离此栋楼房的地面距离 BC 为 ▲ 米.
16.已知线段 AB=10,P 是线段 AB 的黄金分割点(AP﹥PB),则 AP= ▲ .
17.请阅读下列内容:
我们在平面直角坐标系中画出抛物线 和双曲线 ,如图
所示,利用两图像的交点个数和位置来确定方程 有一个正
实数根,这种方法称为利用函数图像判断方程根的情况.请用图像法判
断方程 的根的情况 ▲ (填写根的个数及正
负).
18.如图,△ABC≌△DEF(点 A、B 分别与点 D、E 对应),AB=AC=5,
BC=6,△ABC 固定不动,△DEF 运动,并满足点 E 在 BC 边从 B
向 C 移动(点 E 不与 B、C 重合),DE 始终经过点 A,EF 与 AC
边交于点 M,当△AEM 是等腰三角形时,BE= ▲ .
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19.(本题满分 10 分)
解不等式组 ,并将解集在数轴上表示出来 .
( )23nm−
132 =+x
032 =+++ aaxx
akb = 2=a 6=b
1O 2O 21OO
12 += xy xy 2=
xx 212 =+
( )
xx 243 2 =+−−
+<
≥+
32
5
,5)5.1(2
mm
m
BC
A
第 15 题图
x
y
O
第 17 题图
20.(本题满分 10 分)
先化简,再求代数式的值: ,其中 .
21.(本题满分 10 分)
在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙
地,到达乙地卸货后返回甲地.设汽车从甲地出发 x(h)时,汽
车与甲地的距离为 y(km),y 与 x 的关系如图所示.
根据图像回答下列问题:
(1)汽车在乙地卸货停留 (h);
(2)求汽车返回甲城时 y 与 x 的函数解析式,并写出定义域;
(3)求这辆汽车从甲地出发 4 h 时与甲地的距离.
22.(本题满分 10 分)
如图,AD 是等腰△ABC 底边上的高,且 AD=4, . 若 E 是 AC 边上的点,且满
足 AE:EC=2:3,联结 DE,求 的值.
23.(本题满分 12 分)
如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,AE=AF,AC 和 EF 交于点 O,延
长 AC 至点 G,使得 AO=OG,联结 EG、FG.
(1)求证: BE=DF;
(2)求证:四边形 AEGF 是菱形.
a
a
aa
a
−÷
+−−
+
11
2
1
2
2 13 −=a
5
4sin =B
ADE∠cot
D
F
G
C
O
EB
A
第 23 题图
第 22 题图
E
D CB
A
第 21 题图
x
y(km)
(h)52
120
2.5O
24.(本题满分 12 分)
如图,已知抛物线 的顶点 A 在第四象限,过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B,
C 是线段 AB 上一点(不与 A、B 重合),过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,并交抛物线于点 P.
(1)若点 C 的横坐标为 1,且是线段 AB 的中点,求点 P 的坐标;
(2)若直线 AP 交 y 轴负半轴于点 E,且 AC=CP,求四边形 OEPD 的面积 S 关于 t 的函数解
析式,并写出定义域;
(3)在(2)的条件下,当△ADE 的面积等于 2S 时 ,求 t 的值.
25.(本题满分 14 分)
如图,已知矩形 ABCD,AB =12 cm,AD =10 cm,⊙O 与 AD、AB、BC 三边都相切,与 DC
交于点 E、F。已知点 P、Q、R 分别从 D、A、B 三点同时出发,沿矩形 ABCD 的边逆时针方
向匀速运动,点 P、Q、R 的运动速度分别是 1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s,当点 Q 到达点 B 时停
止运动,P、R 两点同时停止运动.设运动时间为 t(单位:s).
(1)求证: DE=CF;
(2)设 x = 3,当△PAQ 与△QBR 相似时,求出 t 的值;
(3)设△PAQ 关于直线 PQ 对称的图形是△PA'Q,当 t 和 x 分别为何值时,点 A'与圆心 O 恰
好重合,求出符合条件的 t、x 的值.
22 22 −+−= ttxxy
第 24 题图
x
y
O
E
P
D
CB A
第 25 题图
O
FED C
BA
P
Q
R
20 x1
2015 年初三数学教学质量检测试卷参考答案
一、单项选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1. A;2. D;3. B;4. A;5. B;6. D.
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
7. ; 8. ; 9. -1; 10. 6 或-2; 11. ; 12. 40; 13. ±3; 14. 内切;
15. ;16. ; 17. 2 正根,1 负根; 18. 1 或 .
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
19.(本题满分(10 分)
解:
(3 分)
(2 分)
化简得
(3 分)
∴不等式组的解集是 .(2 分)
20.(本题满分 10 分)
解:原式= (2 分)
= (2 分)
= (2 分)
= (2 分)
= = (2 分)
21.(本题满分 10 分)
解:(1)0.5;(2 分)
(2)设 (1 分)
3
1 26nm 12
5
310 555 −
6
11
<
≥+
32
3
532
m
m
<
≥
2
1
m
m
21 <≤ m
( )
( )( ) a
a
aa
a
a
a
−÷
−+
−+
111
12--1
2
2
a
a
a
a
a
a −×
−
−+ 1
1
22--1
2
22
a
a
a
a −×1
-1
3
2
a+1
3
3
3 3
)0( ≠+= kbkxy
第 21 题图
x
y(km)
(h)52
120
2.5O
把(2.5,120)和(5,0)分别代入
得 ,
解得 (3 分)
∴解析式为 .(1 分)
(3)当 x = 4 时, (2 分)
∴这辆汽车从甲地出发 4 h 时与甲地的距离 48 km. (1 分)
22.(本题满分 10 分)
解: 作 EF⊥AD 于点 F. (1 分)
∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°
在 Rt△ABD 中,AD=4,
∴AB=5
∴
∵等腰△ABC ∴AB=AC ∴AC=5
∵AD⊥BC ∴DB=DC ∴DC=3 (4 分)
∵EF⊥AD AD⊥BC ∴EF//BC
∴
∵ AC=5 DC=3
∴EF= AF= DF= (4 分)
∴在 Rt△EFD 中,
.
(1 分)
23.(本题满分 12 分)
证:(1)∵正方形 ABCD ∴AB=AD ∠B=∠D=90°
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中
+=
+=
bk
bk
50
5.2120
=
−=
240
48
b
k
( )55.224048 ≤≤+−= xxy
48240448 =+×−=y
5
4sin ==
AB
ADB
3- 22 == ADABBD
AD
AF
DC
EF
AC
AE ==
3
2
EC
AE =
5
6
5
8
5
12
2cot ==∠
EF
DFADE
D
F
G
C
O
EB
A
第 23 题图
F
A
B CD
E
第 22 题
图
∴△ABE≌△ADF
∴BE=DF. (5 分)
(2)∵正方形 ABCD ∴BC=CD
∵ BE=DF ∴CE=CF
∴△ECF 是等腰三角形
∵正方形 ABCD ∴AC 平分∠BCD
∴AC⊥EF 且 EO=OF
∵AO=OG
∴四边形 AEGF 是平行四边形(5 分)
∵AC⊥EF
∴四边形 AEGF 是菱形. (2 分)
24.(本题满分 12 分)
解:(1) ∴A(t,-2)(2 分)
∵点 C 的横坐标为 1,且是线段 AB 的中点
∴t =2 (1 分)
∴
∴P(1,-1).(1 分)
(2)据题意,设 C(x,-2)(0< x < t),P(x, )
AC= t-x,PC= (1 分)
∵AC=PC ∴t-x =
∵x < t ∴ t - x=1 即 x = t - 1
∴AC=PC=1 (2 分)
∵DC//y 轴 ∴ ∴EB= t
∴OE=2-t
∴ (1< t <2). (2 分)
(3)
(1 分)
∵ ∴
=
=
AFAE
ADAB
( ) 2--22 222 txttxxy =−+−=
( ) 2-2-x 2=y
2)( 2 −−tx
2)( tx −
2)( tx −
AB
AC
EB
PC =
2
322
1)1)(3(2
1)(2
1 2 −+−=−−=×+= ttttODDPOES
ttABDPS ADE 2
112
1
2
1 =××=×=∆
SS ADE 2=∆ )2
322
1(22
1 2 −+−= ttt
第 24 题图
x
y
O
E
P
D
CB A
解得 , (不合题意)
∴ .(2 分)
25.(本题满分 14 分)
(1)证:作 OH⊥DC 于点 H,设⊙O 与 BC 边切于点 G,联结 OG. (1 分)
∴∠OHC=90°
∵⊙O 与 BC 边切于点 G ∴OG=6,OG⊥BC
∴∠OGC=90°
∵矩形 ABCD ∴∠C=90°
∴四边形 OGCH 是矩形
∴CH=OG
∵OG=6 ∴CH=6 (1 分)
∵矩形 ABCD ∴AB=CD
∵AB=12 ∴CD=12
∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH
∴O 是圆心且 OH⊥DC ∴EH=FH (2 分)
∴DE=CF. (1 分)
(2)据题意,设 DP=t,PA=10-t,AQ=3t,QB=12-3t,BR=1.5t(0 < t < 4). (1 分)
∵矩形 ABCD ∴∠A=∠B=90°
若△PAQ 与△QBR 相似,则有
① (2 分)
② 或 (舍)(2 分)
(3)设⊙O 与 AD、AB 都相切点 M、N,联结 OM、ON、OA.
∴OM⊥AD ON⊥AB 且 OM=ON=6
又∵矩形 ABCD ∴∠A=90°
∴四边形 OMAN 是矩形
又∵ OM =ON ∴四边形 OMAN 是正方形 (1 分)
∴MN 垂直平分 OA
∵△PAQ 与△PA'Q 关于直线 PQ 对称
∴PQ 垂直平分 OA
∴MN 与 PQ 重合 (1 分)
∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 (1 分)
∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = (1 分)
2
3
1 =t 22 =t
2
3=t
BR
AQ
QB
AP =
t
t
t
t
5.1
3
3-12
-10 =
5
14=t
QB
AQ
BR
AP =
t
t
t
t
312
3
5.1
-10
−= 146921 −=t 14692-2 −=t
2
3
第 25 题图(1)
G
H
O
FED C
BA
P
Q
R
第 25 题图(2)
(P)
R
(Q)A B
CD E F
O
H
GM
N
∴当 t = 4 和 x = 时点 A'与圆心 O 恰好重合. 2
3