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- 2021-05-13 发布
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九年级中考数学模拟试卷
考试时间:100分钟 满分:120分
一.选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣的倒数是( )
A.
B.
3
C.
﹣3
D.
﹣
2.下列计算正确的是( )
A.
a2+a2=a4
B.
(a2)3=a5
C.
a5•a2=a7
D.
2a2﹣a2=2
3.股市有风险,投资需谨慎.截至今年五月底,我国股市开户总数约95 000 000,正向1亿挺进,95 000 000用科学记数法表示为( )户.
A.
9.5×106
B.
9.5×107
C.
9.5×108
D.
9.5×109
4.图中几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,
若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是( )
A.
115°
B.
l05°
C.
100°
D.
95°
6.某校开展为“希望小学”捐书活动,以下是八名学生捐书的册数:
2,3,2,2,6,7,6,5,则这组数据的中位数为( )
A.
4
B.
4.5
C.
3
D.
2
7.一件服装标价200元,若以6折销售,仍可获利20%,则这件服装
的进价是( )
A.
100元
B.
105元
C.
108元
D.
118元
8.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,
若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是( )
A.
25°
B.
30°
C.
35°
D.
40°
9.已知正六边形的边心距为,则它的周长是( )
A.
6
B.
12
C.
D.
10.如图,已知矩形ABCD中,AB=8,BC=5π.分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧分别交对角线BD于点E,F,则图中阴影部分的面积为( )
A.
4π
B.
5π
C.
8π
D.
10π
二.填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.9的平方根是 .
12.因式分解3x2﹣3= .
13.如图,直线MA∥NB,∠A=70°,∠B=40°,则∠P= 度.
14.在一个不透明的袋子里装有6个白球和若干个黄球,它们除了颜色不同外,其它方面均相同,从中随机摸出一个球为白球的概率为,则黄球的个数为 .
15.在平面直角坐标系中,点A和点B关于原点对称,已知点A的坐标为
(﹣2,3),那么点B的坐标为 .
16.已知A(2,y1),B(3,y2)是反比例函数图象上的两点,则y1 y2(填“>”或“<”).
三.解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.计算:.
18.解不等式组:
19.如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E
(保留作图痕迹,不要求写作法,不要求证明)
(2)求证:AB=AE.
四.解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.商场销售一批衬衫,每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,减少库存,决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价1元,每天可多售出2件.
(1)若商场每天要盈利1200元,每件应降价多少元?
(2)设每件降价x元,每天盈利y元,每件降价多少元时,商场每天的盈利达到最大?盈利最大是多少元?
21.如图,甲转盘被分成3个面积相等的扇形,乙转盘被分成2个半圆,每一个扇形或半圆都标有相应的数字.同时转动两个转盘,当转盘停止后,设甲转盘中指针所指区域内的数字为x,乙转盘中指针所指区域内的数字为y(当指针指在边界线上时,重转一次,直到指针指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表格的方法,列出所有等可能情况,
并求出点(x,y)落在坐标轴上的概率;
(2)直接写出点(x,y)落在以坐标原点为圆心,
2为半径的圆内的概率.
22.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在
线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.
(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:AE=AD.
五.解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,
弦AD∥OC,弦DF⊥AB于点G.
(1)求证:点E是的中点;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)若sin∠BAD=,⊙O的半径为5,求DF的长.
24.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB,
使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,
则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
25.已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上,OP=2,移动直角三角板,两边分别交射线OA,OB与点C,D.
(1)如图,当点C、D都不与点O重合时,求证:PC=PD;
(2)联结CD,交OM于E,设CD=x,PE=y,求y与x之间的函数关系式;
(3)如图,若三角板的一条直角边与射线OB交于点D,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,F,且△PDF与△OCD相似,求OD的长.
参考答案及评分标准
一.选择题(共10小题)
C C B B B A A B B A
二.填空题(共6小题)
11. ±3 .12. 3(x+1)(x﹣1) .13. 30 14. 2 .
15. (2,﹣3) .16. <
三.解答题(共9小题)
17.计算:.
解答:
解:原式=2﹣4×﹣+1,…………4分
=.…………6分
18.解不等式组:.
解答:
解:解不等式4x﹣8<0,得x<2;…………2分
解不等式,得2x+2﹣6<3x,即x>﹣4,…………4分
所以,这个不等式组的解集是﹣4<x<2.…………6分
19.如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E(保留作图痕迹,不要求写作法,不要求证明)
(2)求证:AB=AE.
解答:
(1)解:如图BE是所求作的:
…………3分
(2)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,…………4分
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,…………5分
∴AB=AE.…………6分
20.商场销售一批衬衫,每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,减少库存,决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价1元,每天可多售出2件.
(1)若商场每天要盈利1200元,每件应降价多少元?
(2)设每件降价x元,每天盈利y元,每件降价多少元时,商场每天的盈利达到最大?盈利最大是多少元?
解答:
解:(1)设每件降价x元,则销售了(20+2x)件,
(40﹣x)(20+2x)=1200,…………1分
解得x1=10,x2=20,…………2分
因为要减少库存,x=20.即降价20元;…………3分
答:降价20元时可降低库存,并使每天盈利1200元;…………4分
(2)y=(40﹣x)(20+2x)=﹣2x2+60x+800…………5分
当x=15元时,有最大值y=1250,…………6分
每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元.…………7分
21.如图,甲转盘被分成3个面积相等的扇形,乙转盘被分成2个半圆,每一个扇形或半圆都标有相应的数字.同时转动两个转盘,当转盘停止后,设甲转盘中指针所指区域内的数字为x,乙转盘中指针所指区域内的数字为y(当指针指在边界线上时,重转一次,直到指针指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表格的方法,列出所有等可能情况,并求出点(x,y)落在坐标轴上的概率;
(2)直接写出点(x,y)落在以坐标原点为圆心,2为半径的圆内的概率.
解答:
解:(1)
…………3分
由树状图得:一共有6种等可能的情况,点(x,y)落在坐标轴上的有4种,…………4分
∴P(点(x,y)在坐标轴上)=;…………5分
(2)∵点(x,y)落在以坐标原点为圆心,2为半径的圆内的有(0,0),(0,﹣1),…………6分
∴P(点(x,y)在圆内)=.…………7分
22.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.
(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:AE=AD.
解答:
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,
∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB,…………1分
∴EF∥DC(内错角相等,两直线平行),…………2分
∵DC=EF,∴四边形EFCD是平行四边形;…………3分
(2)连接BE
∵BF=EF,∠EFB=60°,
∴△EFB是等边三角形,
∴EB=EF,∠EBF=60°
∵DC=EF,∴EB=DC,……………4分
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AB=AC,
∴∠EBF=∠ACB,…………5分
∴△AEB≌△ADC,…………6分
∴AE=AD.…………7分
23.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连接OC交⊙O于点E,弦AD∥OC,弦DF⊥AB于点G.
(1)求证:点E是的中点;(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)若sin∠BAD=,⊙O的半径为5,求DF的长.
解答:
(1)证明:连接OD;∵AD∥OC,
∴∠A=∠COB;…………1分
∵∠A=∠BOD,∴∠BOC=∠BOD;∴∠DOC=∠BOC;…………2分
∴,则点E是的中点;…………3分
(2)证明:如图所示:
由(1)知∠DOE=∠BOE,∵CO=CO,OD=OB,
∴△COD≌△COB;…………4分
∴∠CDO=∠B;
又∵BC⊥AB,∴∠CDO=∠B=90°;…………5分
∴CD是⊙O的切线;…………6分
(3)解:在△ADG中,∵sinA=,
设DG=4x,AD=5x;∵DF⊥AB,∴AG=3x;
又∵⊙O的半径为5,∴OG=5﹣3x;…………7分
∵OD2=DG2+OG2,∴52=(4x)2+(5﹣3x)2;
∴x1=,x2=0;(舍去)…………8分
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×.…………9分
24.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
解答:
解:(1)M(12,0),P(6,6).…………2分
(2)设抛物线解析式为:
y=a(x﹣6)2+6…………3分
∵抛物线y=a(x﹣6)2+6经过点(0,0)
∴0=a(0﹣6)2+6,即a=﹣…………4分
∴抛物线解析式为:y=﹣(x﹣6)2+6,即y=﹣x2+2x.…………5分
(3)设A(m,0),则B(12﹣m,0),C(12﹣m,﹣m2+2m)D(m,﹣m2+2m).……6分
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=(﹣m2+2m)+(12﹣2m)+(﹣m2+2m)…………7分
=﹣m2+2m+12=﹣(m﹣3)2+15.…………8分
∵此二次函数的图象开口向下.
∴当m=3米时,AD+DC+CB有最大值为15米.…………9分
25.(2013•宝山区一模)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上,OP=2,移动直角三角板,两边分别交射线OA,OB与点C,D
(1)如图,当点C、D都不与点O重合时,求证:PC=PD;
(2)联结CD,交OM于E,设CD=x,PE=y,求y与x之间的函数关系式;
(3)如图,若三角板的一条直角边与射线OB交于点D,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,F,且△PDF与△OCD相似,求OD的长.
解答:
(1)证明:作PH⊥OA于H,PN⊥OB于N,
则∠PHC=∠PND=90°,则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN,∠POB=45°,…………1分
∵在△PCH与△PDN中,
,
∴△PCH≌△PDN(ASA)…………2分
∴PC=PD;…………3分
(2)解:∵PC=PD,∴∠PDC=45°,∴∠POB=∠PDC,
∵∠DPE=∠OPD,∴△PDE∽△POD,…………4分
∴PE:PD=PD:PO,…………5分
又∵PD2=CD2,∴PE=x2,即y与x之间的函数关系式为y=x2;…………6分
(3)如图1,点C在AO上时,∵∠PDF>∠CDO,
令△PDF∽△OCD,
∴∠DFP=∠CDO,
∴CF=CD,…………7分
∵CO⊥DF
∴OF=OD…………8分
∴OD=DF=OP=2;…………9分