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- 2021-05-13 发布
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中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题
基本题型:一、两线段和的最小值:
已知两点A、B与直线,直线上有一动点P,求PA+PB的最小值。
求出A点关于直线的对称点,连接交直线于点P,则点P为所求最小值所取的点,。
本题可转化为求的周长的最小值。
拓展:已知两点A、B与两直线与, 动点P在上,动点Q在上,求AP+PQ+QB的最小值。
求出A点关于直线的对称点,再求出B点关于直线的对称点,连接分别交直线于点P、交直线于点Q,则P、Q为所求最小值所取的点,。
本题可转化为求四边形的周长的最小值。
二、两线段差的最大值:
已知两点A、B与直线(AB与不平行且在同侧),动点P在上,求。
连接并延长交直线于点P,则点P为所求最大值时所取的点,。
所需知识点:
一、 中点公式:
已知两点,则线段PQ的中点M为。
拓展:三角形的重心(三中线交点)公式:
已知的顶点分别为,则的重心G为。
二、 直线的斜率:
直线的斜率是指直线与轴正方向所成角的正切值。时,;时,。已知两点,则直线PQ的斜率: 。
三、 平面内两直线之间的位置关系:
两直线分别为:,。
(一)∥。(二)与相交。特别是。
四、 求已知点关于已知直线的对称点:
已知点与直线,求点关于直线的对称点。
过点作直线的垂线。则,又因为过点,将代入,既可求出。将与联立得,既可求出垂足点的坐标。因为为线段的中点,所以利用中点公式可求得为。
典型例题课后练习:
例一(09深中四月月考):已知:抛物线与轴交于A(1,0),B(5,0)两点,与轴交于点M,抛物线的顶点为P,且。
(1)求P点的坐标及抛物线的解析式; (5)
(2)求的面积(O为坐标原点); (2)
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,
使的周长最短?若存在,请求出Q
点的坐标;若不存在,请说明理由。 (2)
例二(05深圳中考题)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴相交于点E,点B(-1,0),P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)
(1)(2分)求点A、E的坐标;
(2)(2分)若y=过点A、E,求抛物线的解析式。
(3)(5分)连结PB、PD,设L为△PBD的周长,当L取最小值时,求点P的坐标及L的最小值,并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由。
A
B
C
O
D
E
y
x
例三(2009衢州卷):如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上.
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
课后练习:
1、如图,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,点P是BC边的中垂线MN上任一点,则PC+PD的最小值为 .
第16题图
第14题图
D
A
B
C
P
M
N
2、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_____________.
3、先阅读下面材料,然后解答问题:(本小题满分10分)
【材料一】:如图⑴,直线l上有、两个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点、的距离之和最小,很明显点P的位置可取在和之间的任何地方,此时距离之和为到的距离.
如图⑵,直线l上依次有、、三个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点、、的距离之和最小,不难判断,点P的位置应取在点处,此时距离之和为到的距离. (想一想,这是为什么?)
不难知道,如果直线l上依次有、、、四个点,同样要确定一点P,使它到各点的距离之和最小,则点P应取在点和之间的任何地方;如果直线l上依次有、、、、五个点,则相应点P的位置应取在点的位置.
图⑴
图⑵
【材料二】:数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为.
【问题一】:若已知直线l上依次有点、、、……、共25个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 ;
若已知直线l上依次有点、、、……、共50个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 .
【问题二】:现要求的最小值,
根据问题一的解答思路,可知当x值为 时,上式有最小值为 .
4、已知抛物线(a≠0)的顶点在直线上,且过点A(4,0).
⑴求这个抛物线的解析式;
⑵设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
⑶设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使的值最大,请直接写出点D的坐标.
5、如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,),且P(,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.
图12
图11