2018中考总复习圆的切线专题 10页

题型专项(八)　与切线有关的证明与计算 类型 1　与全等三角形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2016·梧州)如图，过⊙O 上的两点 A，B 分别作切线，交于 BO，AO 的延长线于点 C， D，连接 CD，交⊙O 于点 E，F，过圆心 O 作 OM⊥CD，垂足为点 M. 求证：(1)△ACO≌△BDO； (2)CE＝DF. 证明：(1)∵AC，BD 分别是⊙O 的切线， ∴∠A＝∠B＝90°. 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△ACO≌△BDO. (2)∵△ACO≌△BDO， ∴OC＝OD. 又∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OM⊥EF，点 O 是圆心， ∴EM＝FM. ∴CM－EM＝DM－FM. ∴CE＝DF. 2．(2016·玉林模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连接 OC. (1)求证：△CDQ 是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求 BP∶PO 的值． 解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°. ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°. ∵CD 是⊙O 的切线，CO 是半径， ∴CD⊥CO. ∴∠DCQ＝∠BCO＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q. 故△CDQ 是等腰三角形． (2)设⊙O 的半径为 1，则 AB＝2，OC＝1，BC＝ 3. ∵等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等， ∴CQ＝CB＝ 3. ∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3. ∴AP＝1 2AQ＝1＋ 3 2 . ∴BP＝AB－AP＝3－ 3 2 . ∴PO＝AP－AO＝ 3－1 2 . ∴BP∶PO＝ 3. 3．(2016·柳州)如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点 P 是线段 CA 的延长线上一点， 点 E 在弧上且满足 PE2＝PA·PC，连接 CE，AE，OE 交 CA 于点 D. (1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE 为⊙O 的切线； (3)若∠B＝30°，AP＝1 2AC，求证：DO＝DP. 证明：(1)∵PE2＝PA·PC， ∴PE PC＝PA PE. 又∵∠APE＝∠EPC， ∴△PAE∽△PEC. (2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE. ∵∠PCE＝1 2∠AOE， ∴∠PEA＝1 2∠AOE.∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°， ∴∠AOE＋2∠OEA＝180°， 即 2∠PEA＋2∠OEA＝180°. ∴∠PEA＋∠OEA＝90°. ∴PE 为⊙O 的切线． (3)设⊙O 的半径为 r，则 AB＝2r. ∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝ 3r. 过点 O 作 OF⊥AC 于点 F， ∴OF＝ 3 2 r.∵AP＝1 2AC， ∴AP＝r 2.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝ 3 2 r. 在△ODF 与△PDE 中， {∠ODF＝∠PDE， ∠OFD＝∠PED， OF＝PE， ∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP. 类型 2　与相似三角形有关 4．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙O 于点 F，连接 DF，∠CAE＝∠ADF. (1)判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求 CP 的长． 解：(1)AB 是⊙O 切线． 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE＋∠CEA＝90°. ∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°. ∴AB 是⊙O 切线． (2)连接 CF. ∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝∠PCF. ∴∠PCF＝∠PAC. 又∵∠CPF＝∠APC， ∴△PCF∽△PAC.∴PC PA＝PF PC. ∴PC2＝PF·PA.设 PF＝a，则 PC＝2a. ∴4a2＝a(a＋5)． ∴a＝5 3. ∴PC＝2a＝10 3 . 5．(2015·北海)如图，AB，CD 为⊙O 的直径，弦 AE∥CD，连接 BE 交 CD 于点 F，过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P，使∠PED＝∠C. (1)求证：PE 是⊙O 的切线； (2)求证：ED 平分∠BEP； (3)若⊙O 的半径为 5，CF＝2EF，求 PD 的长． 解：(1)证明：连接 OE. ∵CD 是圆 O 的直径， ∴∠CED＝90°. ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠OEC. 又∵∠PED＝∠C， ∴∠PED＝∠OEC. ∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°. ∴OE⊥EP. 又∵点 E 在圆上， ∴PE 是⊙O 的切线． (2)证明：∵AB，CD 为⊙O 的直径， ∴∠AEB＝∠CED＝90°. ∴∠AEC＝∠DEB(同角的余角相等)． 又∵∠PED＝∠C，AE∥CD， ∴∠PED＝∠DEB， 即 ED 平分∠BEP. (3)设 EF＝x，则 CF＝2x. ∵⊙O 的半径为 5， ∴OF＝2x－5. 在 Rt△OEF 中，OE2＝EF2＋OF2，即 52＝x2＋(2x－5)2，解得 x＝4， ∴EF＝4. ∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8. ∴DF＝CD－CF＝10－8＝2. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°. ∵AB＝10，BE＝8， ∴AE＝6. ∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°， ∴△EFP∽△AEB. ∴PF BE＝EF AE，即PF 8 ＝4 6. ∴PF＝16 3 . ∴PD＝PF－DF＝16 3 －2＝10 3 . 6．(2014·桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，∠PAC＝∠B， AD 为⊙O 的直径，过点 C 作 CG⊥AD 于点 E，交 AB 于点 F，交⊙O 于点 G. (1)判断直线 PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)求证：AG2＝AF·AB； (3)若⊙O 的直径为 10，AC＝2 5，AB＝4 5，求△AFG 的面积． 解：(1)PA 与⊙O 相切． 理由：连接 CD. ∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°. ∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B， ∴∠PAC＝∠D. ∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即 DA⊥PA. ∵点 A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切． (2)证明：连接 BG. ∵AD 为⊙O 的直径，CG⊥AD， ∴AC ︵ ＝AG ︵ .∴∠AGF＝∠ABG. ∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG. ∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB. (3)连接 BD. ∵AD 是直径，∴∠ABD＝90°. ∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝2 5，AB＝4 5， ∴AF＝AG2 AB ＝ 5. ∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°. ∵∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD. ∴AE AB＝AF AD，即AE 4 5 ＝ 5 10，解得 AE＝2. ∴EF＝ AF2－AE2＝1. ∵EG＝ AG2－AE2＝4， ∴FG＝EG－EF＝4－1＝3. ∴S△AFG＝1 2FG·AE＝1 2×3×2＝3. 类型 3　与锐角三角函数有关　　　　　 7．(2014·梧州)如图，已知⊙O 是以 BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP∥AC，且与 BC 的 垂线交于点 P，OP 交 AB 于点 D，BC，PA 的延长线交于点 E. (1)求证：PA 是⊙O 的切线； (2)若 sin∠E＝3 5，PA＝6，求 AC 的长． 解：(1)证明：连接 OA. ∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP. 又∵OA＝OB，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP. ∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA. ∴PA 是⊙O 的切线． (2)∵PB⊥CB，∴PB 是⊙O 的切线． 又∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB＝6. 又∵sinE＝PB EP＝AO EO＝3 5，∴AO＝3. 在 Rt△OPB 中，OP＝ 62＋32＝3 5. ∵BC 为⊙O 直径，∴∠CAB＝90°. ∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP. ∴△ACB∽△BOP.∴AC BO＝CB OP. ∴AC＝CB·BO OP ＝ 18 3 5 ＝6 5 5 . 8．(2015·来宾)已知⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆，OD∥BC 交⊙O 于点 D，交 AC 于点 E，连接 AD，BD，BD 交 AC 于点 F. (1)求证：BD 平分∠ABC； (2)延长 AC 到点 P，使 PF＝PB，求证：PB 是⊙O 的切线； (3)如果 AB＝10，cos∠ABC＝3 5，求 AD. 解：(1)证明：∵OD∥BC， ∴∠ODB＝∠CBD. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB. ∴∠CBD＝∠OBD. ∴BD 平分∠ABC. (2)证明：∵⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆， ∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°. ∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB. 由(1)知∠OBD＝∠CBF， ∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线． (3)∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10， ∴cos∠ABC＝BC AB＝BC 10 ＝3 5. ∴BC＝6，AC＝ AB2－BC2＝8. ∵OD∥BC， ∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°. ∴AE AC＝OE BC＝AO AB，AE 8 ＝OE 6 ＝ 5 10. ∴AE＝4，OE＝3. ∴DE＝OD－OE＝5－3＝2. ∴AD＝ AE2＋DE2＝ 42＋22＝2 5. 9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA⊥AC，连接 OP，弦 CB∥OP，直 线 PB 交直线 AC 于点 D，BD＝2PA. (1)证明：直线 PB 是⊙O 的切线； (2)探究线段 PO 与线段 BC 之间的数量关系，并加以证明； (3)求 sin∠OPA 的值． 解：(1)证明：连接 OB. ∵BC∥OP，OB＝OC， ∴∠BCO＝∠POA， ∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO. ∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA， ∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠PAO＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线． (2)2PO＝3BC.(写 PO＝3 2BC 亦可) 证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA. ∵BD＝2PA，∴BD＝2PB. ∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO. ∴BC PO＝BD PD＝2 3.∴2PO＝3BC. (3)∵CB∥OP，∴△DBC∽△DPO. ∴DC DO＝BD PD＝2 3，即 DC＝2 3OD. ∴OC＝1 3OD.∴DC＝2OC. 设 OA＝x，PA＝y.则 OD＝3x，OB＝x，BD＝2y. 在 Rt△OBD 中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即 2x2＝y2. ∵x＞0，y＞0，∴y＝ 2x，OP＝ x2＋y2＝ 3x. ∴sin∠OPA＝OA OP＝ x 3x ＝ 1 3 ＝ 3 3 . 类型 4　与特殊四边形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．(2016·玉林)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在圆上，且四边形 AOCD 是平行四边形， 过点 D 作⊙O 的切线，分别交 OA 延长线与 OC 延长线于点 E，F，连接 BF. (1)求证：BF 是⊙O 的切线； (2)已知圆的半径为 1，求 EF 的长． 解：(1)证明：连接 OD. ∵EF 为⊙O 的切线， ∴∠ODF＝90°. ∵四边形 AOCD 为平行四边形， ∴AO＝DC，AO∥DC. 又∵DO＝OC＝OA， ∴DO＝OC＝DC. ∴△DOC 为等边三角形． ∴∠DOC＝∠ODC＝60°. ∵DC∥AO， ∴∠AOD＝∠ODC＝60°. ∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°. 在△DOF 和△BCF 中， {DO＝BO， ∠DOF＝∠BOF， OF＝OF， ∴△DOF≌△BOF. ∴∠ODF＝∠OBF＝90°. ∴BF 是⊙O 的切线． (2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°， ∴∠OFD＝30°. ∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E， ∴∠E＝∠OFD＝30°. ∴OF＝OE. 又∵OD⊥EF， ∴DE＝DF. 在 Rt△ODF 中，∠OFD＝30°. ∴OF＝2OD. ∴DF＝ OF2－OD2＝ 22－12＝ 3. ∴EF＝2DF＝2 3. 11．(2016·宁波)如图，已知⊙O 的直径 AB＝10，弦 AC＝6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求 DE 的长． 解：(1)证明：连接 OD. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠DAB. ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠DAO. ∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE. ∴DE 是⊙O 切线． (2)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F. ∴AF＝CF＝3. ∴OF＝ OA2－AF2＝ 52－32＝4. ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形 OFED 是矩形． ∴DE＝OF＝4. 12．(2015·桂林)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB＝4，PC，PD 是⊙O 的两条 切线，C，D 为切点． (1)如图 1，求⊙O 的半径； (2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连接 PE，求 PE 的长度； (3)如图 2，若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B，C)，以点 M 为直角顶点，在 BC 的上方作 ∠AMN＝90°，交直线 CP 于点 N，求证：AM＝MN. 解：(1)连接 OD，OC. ∵PC，PD 是⊙O 的两条切线，C，D 为切点， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC＝90°，OD＝OC. ∴四边形 DOCP 是正方形． ∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴DO＝CO＝DC·sin45°＝4× 2 2 ＝2 2. (2)连接 EO，OP. ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE⊥BC，∠OCE＝45°， 则∠EOP＝90°. ∴EO＝EC＝2，OP＝ 2CO＝4. ∴PE＝ OE2＋OP2＝2 5. (3)证明：在 AB 上截取 BF＝BM. ∵AB＝BC，BF＝BM， ∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°. ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM＋∠AMF＝45°. ∴∠FAM＝∠NMC. ∵由(1)得 PD＝PC，∠DPC＝90°， ∴∠DCP＝45°. ∴∠MCN＝135°. ∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°， 在△AFM 和△MCN 中，{∠FAM＝∠CMN， AF＝MC， ∠AFM＝∠MCN， ∴△AFM≌△MCN(ASA)． ∴AM＝MN.