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  • 2021-05-13 发布

145套中考试卷分类22直线与圆的位置关系解答题

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‎22.直线与圆的位置关系(解答题)‎ 三、解答题 ‎48.(2009桂林百色)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A 作直线MN,若∠MAC=∠ABC .‎ ‎(1)求证:MN是半圆的切线;‎ ‎(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC 于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F. ‎ 求证:FD=FG.‎ ‎(3)若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.‎ ‎【关键词】半圆、切线、面积 ‎【答案】‎ ‎25.证明(1):‎ ‎∵AB是直径 ‎ ∴∠ACB=90º ,‎ ‎∴∠CAB+∠ABC=90º ‎ ∵∠MAC=∠ABC ‎ ∴∠MAC+∠CAB=90º,即MA⊥AB ‎∴MN是半圆的切线.‎ ‎(2)证法1: ‎ ‎∵D是弧AC的中点, ‎ ‎∴∠DBC=∠2‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠CBG+∠CGB=90º ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴∠FDG+∠2=90º ‎∵∠DBC=∠2,‎ ‎∴∠FDG=∠CGB=∠FGD ‎∴FD=FG.‎ 证法2:连结AD,则∠1=∠2,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ADB=90º ‎∴∠1+∠DGF=90º 又∵DE⊥AB ‎ ‎∴∠2+∠FDG=90º ‎∴∠FDG=∠FGD, ‎ ‎∴FD=FG ‎(3)解法1:‎ 过点F作FH⊥DG于H,‎ 又∵DF=FG ‎ ‎∴S△FGH=S△DFG=×4.5=‎ ‎∵AB是直径,FH⊥DG ‎ ‎∴∠C=∠FHG=90º ‎∵∠HGF=∠CGB,‎ ‎∴△FGH∽△BGC ‎∴‎ ‎∴S△BCG=‎ 解法2:‎ ‎∵∠ADB=90º,DE⊥AB,‎ ‎∴∠3=∠2‎ ‎∵∠1=∠2, ‎ ‎∴∠1=∠3‎ ‎∴AF=DF=FG ‎∴S△ADG=2S△DFG=9‎ ‎∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB ‎∴△ADG∽△BCG ‎∴‎ ‎∴S△BCG=‎ 解法3:连结AD,过点F作FH⊥DG于H,‎ ‎∵S△FDG=DG×FH=×3FH=4.5‎ ‎∴FH=3‎ ‎∵H是DG的中点,FH∥AD ‎∴AD=2FH=6 ‎ ‎∴S△ADG=‎ ‎(以下与解法2同)‎ ‎49.(2009河池)如图1,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,,.‎ ‎(1)求∠AOC的度数;‎ ‎(2)在图1中,P为直径BA延长线上的一点,当CP与⊙O相切时,求PO的长;‎ ‎(3) 如图2,一动点M从A点出发,在⊙O上按逆时针方向运动,当时,求动点M所经过的弧长.‎ ‎【关键词】圆、切线、面积、弧长 ‎【答案】‎ ‎25.解:(1)∵ 在△ACO中,,OCOA ‎ ‎∴ △ACO是等边三角形 ‎ ‎∴ ∠AOC60° ‎ ‎(2)∵ CP与⊙O相切,OC是半径. ‎ ‎ ∴ CP⊥OC ‎∴ ∠P90°-∠AOC30° ‎ ‎∴ PO2CO8 .‎ ‎(3)如图2,‎ ‎① 作点关于直径的对称点,连结,OM1 .‎ 易得, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 当点运动到时,,‎ 此时点经过的弧长为.‎ ‎② 过点作∥交⊙O于点,连结,,易得.‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴ 当点运动到时,,此时点经过的弧长为 .‎ ‎③ 过点作∥交⊙O于点,连结,,易得 ‎∴ , ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴ 当点运动到时,,此时点经过的弧长为 .‎ ‎④ 当点运动到时,M与C重合,,‎ 此时点经过的弧长为 或 .‎ ‎50. (2009烟台市) 如图,AB,BC分别是的直径和弦,点D为上一点,弦DE交于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且,连接,交于点M,连接.‎ ‎ 求证:(1);‎ ‎ (2). ‎ H M B E O F G C A D ‎【关键词】圆的基本性质 ‎【答案】(1)证明:连接,‎ ‎. ‎ 切于点,,‎ ‎ , ‎ ‎,. ‎ ‎,即. ‎ ‎(2)连接.由(1)知.‎ 是的直径,‎ ‎. ‎ ‎.‎ 四边形内接于,. ‎ ‎.‎ 是的外角,. ‎ ‎.‎ ‎51. (2009年锦州)如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.  ‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系、切线定理、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】解:(1)连接OD.‎ ‎  ∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2.‎ ‎  又∵OA=OD ,∴∠1=∠3.‎ ‎  ∴∠2=∠3. ‎ ‎  ∴OD∥AE. ‎ ‎  ∵DE⊥AE,‎ ‎  ∴DE⊥OD. ‎ ‎  而D在⊙O上,‎ ‎  ∴DE是⊙O的切线.‎ ‎  (2)过D作DG⊥AB 于G. ‎ ‎  ∵DE⊥AE ,∠1=∠2.‎ ‎  ∴DG=DE=3 ,半径OD=5.‎ ‎  在Rt△ODG中,根据勾股定理: ,‎ ‎  ∴AG=AO+OG=5+4=9. ‎ ‎  ∵FB是⊙O的切线, AB是直径,‎ ‎  ∴FB⊥AB.而DG⊥AB,‎ ‎∴DG∥FB.‎ ‎△ADG∽△AFB,‎ ‎  ∴. ‎ ‎  ∴. ∴BF= . ‎ ‎52.(2009年安徽)如图,MP切⊙O于点M,直线PO交⊙O于点A、B,弦AC∥MP,求证:MO∥BC.‎ ‎【证】‎ ‎【关键词】圆、等圆、等圆等概念及圆的对称性/直线与圆的位置关系 ‎【答案】证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°‎ ‎∵MP为⊙O的切线,∴∠PMO=90°‎ ‎∵MP∥AC,∴∠P=∠CAB ‎∴∠MOP=∠B 故MO∥BC.‎ ‎53.(2009年莆田)(1)根据下列步骤画图并标明相应的字母:(直接在图1中画图)‎ ‎①以已知线段(图1)为直径画半圆;‎ ‎②在半圆上取不同于点的一点,连接;‎ ‎③过点画交半圆于点 ‎(2)尺规作图:(保留作图痕迹,不要求写作法、证明)‎ 已知:(图2).‎ 求作:的平分线.‎ ‎【关键词】尺规作图、角平分线 ‎(1)正确完成步骤,各得1分,字母标注完整得1分,满分4分.‎ ‎(2)说明:以点为圆心,以适当长为半径作弧交于两点 分别以点为圆心,以大于长为半径作弧,两弧相交于点.‎ ‎ ‎ 作射线 ‎20.(2009年莆田)已知,如图,是以线段为直径的的切线,交于点,过点作弦垂足为点,连接.‎ ‎(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:①________,②________ ‎ ‎,③________,④____________(不添加其它字母和辅助线,不必证明);‎ ‎(2)=,=,求的半径 ‎【关键词】圆、切线 ‎(1)‎ 等 ‎(2)解:是的直径 又 ‎ 又是的切线 在中,‎ ‎ .‎ ‎54.(2009年本溪)如图所示,AB是直径,弦于点,且交于点,若 ‎.‎ ‎(1)判断直线和的位置关系,并给出证明;‎ ‎(2)当时,求的长.‎ ‎【关键词】直线与圆的关系 ‎【答案】(1)直线和相切.‎ 证明:‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∵,‎ ‎∴.∴.‎ 即.∴直线和相切.(2)连接.‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴.‎ 在中,,‎ ‎∴.‎ ‎∵直径,‎ ‎∴.‎ 由(1),和相切,‎ ‎∴.∴.‎ 由(1)得,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴,解得. ‎ ‎55.(2009宁夏)23. 已知:如图,为的直径,交于点,交于点.‎ ‎(1)求的度数;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎【关键词】圆周角 ‎【答案】(1)解:是的直径,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ ‎.(2)证明:连结.‎ 是的直径,‎ ‎.‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ ‎56.(2009年潍坊)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.‎ ‎(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.‎ 解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,‎ ‎. ‎ 点在抛物线上,将的坐标代入 ‎,得: 解之,得:‎ 抛物线的解析式为:. ‎ ‎(2)‎ 抛物线的对称轴为,‎ ‎. ‎ 连结,‎ ‎,,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎. ‎ ‎(3)点在抛物线上. ‎ 设过点的直线为:,‎ 将点的坐标代入,得:,‎ 直线为:. ‎ 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,‎ 将代入,得:.‎ 点的坐标为, ‎ 当时,,‎ 所以,点在抛物线上. ‎ 说明:解答题各小题中只给出了1种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数.‎ ‎67.(2009年咸宁市)如图, 中,,以为直径的交于点,过点的切线交于.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,求的长.‎ ‎58.(09湖北宜昌)(09湖北宜昌)已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与 边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合), MN为折痕,点M,N分别在边BC, AD 上,连接AP,MP,AM, AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);‎ ‎(2)与 是否相等?请你说明理由;‎ ‎(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎(第2题)‎ ‎【关键词】矩形的性质与判定 ‎【答案】解:(1)如图; ‎ ‎(2)与不相等.‎ 假设,则由相似三角形的性质,得MN∥DC. ‎ ‎∵∠D=90°,∴DC⊥AD,∴MN⊥AD.‎ ‎∵据题意得,A与P关于MN对称,∴MN⊥AP.‎ ‎∵据题意,P与D不重合,‎ ‎∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾. ‎ ‎∴假设不成立.‎ ‎∴不成立. ‎ ‎(2) 解法2:与不相等.‎ 理由如下:‎ ‎∵P, A关于MN对称,∴MN垂直平分AP.‎ ‎∴cos∠FAN=. ‎ ‎∵∠D=90°, ∴cos∠PAD=.‎ ‎∵∠FAN=∠PAD,∴=.‎ ‎∵P不与D重合,P在边DC上;∴AD≠AP.‎ ‎∴≠;从而≠. ‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线,∴∠AMP=90°,‎ ‎∴∠CMP+∠AMB=90°.‎ ‎∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠CMP=∠BAM.‎ ‎∵MN垂直平分,∴MA=MP,‎ ‎∵∠B=∠C=90°, ∴△ABM≌△MCD. ‎ ‎∴MC=AB=4, 设PD=x,则CP=4-x,‎ ‎∴BM=PC=4-x. (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J.‎ ‎∵AD是⊙O的切线,∴∠JHD=90°.‎ ‎∴矩形HDCJ. (7分)‎ ‎∴OJ∥CP, ∴△MOJ∽△MPC, ‎ ‎∴OJ:CP=MO:MP=1:2,‎ ‎∴OJ=(4-x),OH=MP=4-OJ=(4+x). ‎ ‎∵MC2= MP2-CP2,∴(4+x)2-(4-x)2=16. ‎ 解得:x=1.即PD=1,PC=3,‎ ‎∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.‎ 由此画图(图形大致能示意即可). ‎ ‎(3)解法2:‎ 连接HO,并延长HO交BC于J点,连接AO. ‎ 由切线性质知,JH⊥AD,∵BC∥AD,∴HJ⊥BC,‎ ‎∴OJ⊥MC,∴MJ=JC. ‎ ‎∵AM,AH与⊙O相切于点M,H,‎ ‎∴∠AMO=∠AHO=90°,‎ ‎∵OM=OH, AO=AO,‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO. ‎ ‎∴设AM=x,则 AM=AH=x,‎ 由切线性质得,AM⊥PM,‎ ‎∴∠AMP=90°,∴∠BMA+∠CMP=90°.‎ ‎∵∠BMA+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMP ,‎ ‎∵∠B=∠MCP=90°,‎ ‎∵MN为AP的中垂线,∴AM=MP.‎ ‎∴△ABM≌△MCP . ‎ ‎∴四边形ABJH为矩形,得BJ=AH=x,‎ Rt△ABM中,BM=,‎ ‎∴MJ==JC,(9分)‎ ‎∴AB=MC.∴4=2(),∴ ‎ ‎∴AD=BC==7,‎ ‎∴PC==3. ‎ 由此画图(图形大致能示意即可).‎ ‎59.(09湖南怀化)如图10,直线经过⊙上的点,并且⊙交直线于、两点,连接,,.求证:(1); (2)∽. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、切线定理 ‎【答案】证明:‎ ‎(1)∵OE=OD,‎ ‎∴△ODE是等腰三角形,‎ 又EC=DC,‎ ‎∴C是底边DE上的中点,‎ ‎∴‎ ‎(2)∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=,‎ ‎∴∠B+∠BAC=,‎ 又∠DCA+∠ACO=,∠ACO=∠BAC,‎ ‎∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB, ‎ ‎∴△ACD∽△CBD. ‎ ‎60.(09湖南怀化)如图,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.‎ ‎(1)求与轴的另一个交点D的坐标;‎ ‎(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、圆的对称性、切线定理 ‎【答案】解 (1)易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根,‎ 所以,‎ 所 如图3,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则 由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,‎ 所以点D的坐标为(0,1)‎ ‎(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,‎ 所以点的坐标为,即 又,‎ 所以解得 ‎61.(2009年茂名市)已知:如图,直径为的与轴交于点点把分为三等份,连接并延长交轴于点 ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)若直线:把的面积分为二等份,求证:‎ ‎【关键词】与圆有关的全等三角形 ‎【答案】‎ ‎62.(2009年山东青岛市)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.‎ 为美化校园,学校准备在如图所示的三角形()空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.‎ 解:‎ 结论:‎ ‎【关键词】尺规作图、三角形、圆 ‎【答案】正确画出两条角平分线,确定圆心;‎ 确定半径;‎ 正确画出图并写出结论.‎ ‎63.(2009年达州)如图10,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.‎ ‎(1)求证:DF垂直平分AC;‎ ‎(2)求证:FC=CE;‎ ‎(3)若弦AD=5㎝,AC=8㎝,求⊙O的半径. ‎ ‎【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 ‎【答案】‎ ‎(1)∵DE是⊙O的切线,且DF过圆心O ‎∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ‎∴DF⊥AC ‎∴DF垂直平分AC ‎ ‎(2)由(1)知:AG=GC 又∵AD∥BC ‎∴∠DAG=∠FCG 又∵∠AGD=∠CGF ‎∴△AGD≌△CGF(ASA)‎ ‎∴AD=FC ‎∵AD∥BC且AC∥DE ‎∴四边形ACED是平行四边形 ‎∴AD=CE ‎∴FC=CE5分 ‎(3)连结AO; ∵AG=GC,AC=‎8cm,∴AG=‎‎4cm 在Rt△AGD中,由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=‎3cm ‎ 设圆的半径为r,则AO=r,OG=r-3‎ 在Rt△AOG中,由勾股定理得 AO2=OG2+AG2‎ 有:r2=(r-3)2+42解得 r=256 ‎ ‎∴⊙O的半径为‎256cm.‎ ‎64.(2009年陕西省)‎ 问题探究 ‎(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点P,并说明理由.‎ ‎(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,并说明理由.‎ 问题解决 如图③,现有一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板,且∠APB=∠CP’D=60°,请你在图③中画出符合要求的点P和P’,并求出△APB的面积(结果保留根号).‎ ‎【关键词】正方形对角线 等边三角形 圆周角性质 三角形面积 ‎【答案】解:(1)如图①,‎ 连接AC、BD交于点P,则∠APB=90°,‎ ‎∴点P为所求,‎ ‎(2)如图②,画法如下:‎ ‎1)以AB为边在正方形内作等边△ABP;‎ ‎2)作△ABP的外接圆⊙O,分别与AD、BC交于点E、F.‎ ‎∵在⊙O中,弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°,‎ ‎∴弧EF上的所有点均为所求的点P,‎ ‎(3)如图③,画法如下:‎ ‎1)连接AC;‎ ‎2)以AB为边作等边△ABE;‎ ‎3)作等边△ABE的外接圆⊙O,交AC于点P;‎ ‎4)在AC上截取AP’=CP.‎ 则点P、P’为所求.‎ ‎(评卷时,作图准确,无画法的不扣分)‎ 过点B作BG⊥AC,交AC于点G.‎ ‎∵在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,‎ ‎∴AC=.‎ ‎∴BG=.‎ 在Rt△ABG中,AB=4,‎ ‎∴AG=.‎ 在Rt△BPG中,∠BPA=60°,‎ ‎∴PG=,‎ ‎∴AP=AG+PG=.‎ ‎∴S△APB=‎ ‎65.(2009成都)已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线的同侧,分别过这两点作的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连结AD、AE、DE,且∠AED=90°。‎ ‎(1)如图①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD的长。‎ ‎(2)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。再探究:当A、D分别在直线两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明。‎ ‎【关键词】圆周角和圆心角 ‎【答案】‎ ‎(1)∵AB⊥于B,DC于C ‎∴∠ABE=∠ECD=90°‎ ‎∴∠BEA+∠AED+∠CED=180°且∠AED=90°‎ ‎∴∠CED=90°-∠BEA 又∠BEA=90°-∠BEA ‎∴∠BEA=∠CED ‎∴△ABE∽△ECD ‎∴‎ ‎∵BE:EC=1:3,BC=16‎ ‎∴BE=4,EC=12‎ 又∵AB=6,∴CD==8‎ 在Rt△AED中,由勾股定理,得 AD=(2)(i)猜想AB+CD=BC 证明:在Rt△AED中,∵∠ABE=90°,∴∠BAE=90°-∠AEB 又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°且∠AED=90°‎ ‎∴∠CED=90°-∠AEB ‎∴∠BAE=∠CED ‎∵DC⊥BC于点C ‎∴∠ECD=90°‎ 由已知有AE=ED ‎∴在Rt△ABE和Rt△ECD中 ‎∠ABE=∠ECD=90°,∠BAE=∠CED,AE=ED ‎∴Rt△ABE≌Rt△ECD ‎∴AB=EC,BE=CD,即AB+CD=BC ‎(ii)当A,D分别在直线两侧时,线段AB,BC,CD有如下等量关系:‎ AB-CD=BC(AB>CD)或CD-AB=BC(AB<CD)‎ ‎66.(2009湖北荆门市)如图,在□ABCD中,∠BAD为钝角,且AE⊥BC,AF⊥CD.‎ ‎(1)求证:A、E、C、F四点共圆;‎ ‎(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N.求证:BM=ND.‎ A D F C M E B N 第20题图 解:∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEC=∠AFC=90°.‎ ‎∴∠AEC+∠AFC=180°.∴A、E、C、F四点共圆;‎ ‎(2)由(1)可知,圆的直径是AC,设AC、BD相交于点O,‎ ‎∵ABCD是平行四边形,∴O为圆心.‎ ‎∴OM=ON.∴BM=DN. 8分 ‎ ‎ ‎57.(2009年滨州) 如图,为的切线,A为切点.直线与交于两点,‎ ‎,连接.求证:.‎ ‎【关键词】切线的性质定理及全等三角形的判定.‎ ‎【答案】证明:∵为的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.‎ 又∵,∴∠AOB=60°,又OA=OB,∴△AOB为等边三角形.‎ ‎∴AB=AO,∠ABO=60°.又BC为的直径,∴∠BAC=90°.在△ACB和△APO中,∠BAC=∠OAP,AB=AO,∠ABO=∠AOB,∴.‎ ‎46. (2009仙桃)如图,AB为⊙O的直径,D是⊙O上的一点,过O点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线于点C,F为CE上一点,且FD=FE.‎ ‎(1)请探究FD与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若⊙O的半径为2,BD=,求BC的长.‎ ‎【关键词】切线的性质定理及相似三角形的判定及性质..‎ ‎【答案】解:(1)FD与⊙O相切,理由如下:‎ 连接OD.∵OC⊥AB,∴∠AOC=90°,∴∠3+∠A=90°.∵FE=FD,‎ ‎∴∠1=∠2.又∵∠2=∠3,∴∠1=∠3,又∵OA=OD,∴∠A=∠4.‎ ‎∴∠1+∠4=90°,∴FD与⊙O相切.‎ ‎(2)∵⊙O的半径为2,∴OB=2,AB=4,又∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°.∵OC⊥AB,∴∠ADB=∠BOC=90°,又∵∠B=∠B,∴Rt△ABD∽Rt△CBO ‎∴,即,∴.‎ ‎68. (2009年台州市)如图,等腰中,,以点为圆心作圆与底边相切于点.‎ 求证:. ‎ ‎ ‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】证明:∵切⊙于点,            ‎ ‎∴. ∵,‎ ‎∴.‎ ‎69.(2009年宁波市)已知,如图,的直径AB与弦CD相交于,,的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)连结BC,若的半径为4,,求线段AD、CD的长.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】解:(1)直径平分,‎ ‎. ‎ 与相切,是的直径,‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎(2)连结,‎ 是的直径,‎ ‎,‎ 在中,‎ ‎,.‎ ‎. ‎ 于,‎ 在 ‎,.‎ ‎ .‎ ‎ 直径平分,‎ ‎.‎ ‎70. (2009年义乌)如图,AB是的的直径,BCAB于点B,连接OC交于点E,弦AD//OC,弦DFAB于点G。‎ ‎ (1)求证:点E是的中点;‎ ‎ (2)求证:CD是的切线;‎ ‎ (3)若,的半径为5,求DF的长。‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系及有关计算 ‎【答案】‎ ‎.(1)证明:‎ ‎,.‎ ‎,.‎ ‎(2)连接.‎ 由(1)知,‎ 在和中,,.‎ ‎.‎ ‎.‎ 又,,‎ 即是的切线.‎ ‎(3)在中,,设.‎ ‎,,‎ 又的半径为5,.‎ ‎,,‎ ‎,(舍去),.‎ ‎71.(2009丽水市) 如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.‎ ‎(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);‎ ‎(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;‎ ‎(3)若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】尺规作图、切线、相似 ‎【答案】‎ 解:(1)作出圆心O, 以点O为圆心,OA长为半径作圆. ‎ ‎(2)证明:‎ ‎∵CD⊥AC,‎ ‎∴∠ACD=90°. ‎ ‎∴AD是⊙O的直径 连结OC,‎ ‎∵∠A=∠B=30°,‎ ‎∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ‎ ‎∴∠ACO=∠A =30°, ‎ ‎∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. ‎ ‎∴BC⊥OC,‎ ‎∴BC是⊙O的切线. ‎ ‎(3)存在. ‎ ‎∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,‎ ‎∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.‎ 又∵在Rt△ACD中,DC=AD, ∴BD= . ‎ 解法一:①过点D作DP1// OC,则△P1D B∽△COB, ,‎ ‎∵BO=BD+OD=,‎ ‎∴P1D=×OC=× =. ‎ ‎ ②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴,‎ ‎∵BC=‎ ‎∴. ‎ 解法二:①当△B P1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°.在Rt△B P1D中,‎ DP1=. ‎ ‎②当△B D P2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°.‎ 在Rt△B P2D中,DP2=. ‎ ‎51.(2009恩施市)21.如图10,在等腰三角形中,,为上一点,以为圆心、长为半径的圆交于,交于.‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)若与相切于,,求的半径的长.‎ ‎【关键词】等腰三角形、切线 ‎【答案】‎ ‎(1)证明:连接OD,则OB=OD ‎∴∠OBD=∠ODB,‎ 又∵AB=AC ‎∴∠OBD=∠C ‎∴∠ODB=∠C ‎∴OD∥AC 又∵DE⊥AC ‎∴∠AED=90°,‎ ‎∴∠ODE=90°‎ ‎∴OD⊥DE ‎∴DE是的切线。‎ ‎(2)连接OF ‎ ∵与相切于,‎ ‎ ∴OF⊥AC ‎ 又 设的半径为r 则 ‎∴‎ 所以的半径的长为.‎ ‎72、(2009年鄂州)如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6‎ ‎(1)求边AD、BC的长。‎ ‎(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△‎ BCP相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由。‎ ‎【关键词】与圆有关的综合题 ‎【答案】(1)方法1:过D作DF⊥BC于F 在Rt△DFC中,DF=AB=8,FC=BC-AD=6‎ ‎∴DC2=62+82=100,即DC=10 ‎ 设AD= x,则DE=AD=x,EC=BC=x+6‎ ‎∴x+(x+6)=10 ∴x=2‎ ‎∴AD=2,BC=2+6=8 ‎ 方法2:连OD、OE、OC,‎ 由切线长定理可知∠DOC=90°,AD=DE,CB=CE 设AD=x,则BC=x+6‎ 由射影定理可得:OE2=DE·EC 即:x(x+6)=16 解得x1=2, x2=-8(舍去)‎ ‎∴AD=2, BC=2+6=8 ‎ ‎(2)存在符合条件的P点 设AP=y,则BP=8-y,△ADP与△BCP相似,有两种情况:‎ ① ‎△ADP∽△BCP时, ∴y=‎ ② ‎②△ADP∽△BPC时, ∴y=4 ‎ 故存在符合条件的点P,此时AP=或4.‎ ‎73.(2009年孝感)如图,⊙O是Rt的外接圆,,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA = PB.‎ ‎(1)求证:PB是⊙O的切线;‎ ‎(2)已知,,求⊙O的半径.‎ ‎【关键词】直线与圆的关系 ‎【答案】‎ ‎(1)证明:连接OB.‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠OAB=∠OBA.‎ ‎∵PA=PB,‎ ‎∴∠PAB=∠PBA.‎ ‎∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,‎ 即∠PAO=∠PBO ‎ 又∵PA是⊙O的切线,‎ ‎∴∠PAO=90°,‎ ‎∴∠PBO=90°,‎ ‎∴OB⊥PB . ‎ 又∵OB是⊙O半径,‎ ‎∴PB是⊙O的切线. ‎ 说明:还可连接OB、OP,利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB.‎ ‎(2)解:连接OP,交AB于点D.‎ ‎∵PA=PB,‎ ‎∴点P在线段AB的垂直平分线上.‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴点O在线段AB的垂直平分线上.‎ ‎∴OP垂直平分线段AB. ‎ ‎∴∠PAO=∠PDA =90°.‎ 又∵∠APO=∠DPA,‎ ‎∴△APO∽△DPA.‎ ‎∴,‎ ‎∴AP2 = PO·DP.‎ 又∵OD =BC =,‎ ‎∴PO(PO–OD)=AP2.‎ 即:PO2–PO=,解得 PO=2. ‎ 在Rt△APO中,,即⊙O的半径为1.‎ ‎74、(2009泰安)将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是由他抽象出的几何图形,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OD。‎ (1) 求证:DB∥CF。‎ (2) 当OD=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB。‎ ‎【关键词】切线、相似 ‎【答案】证明:(1)连接OF,如图 ‎∵AB且半圆O于F,‎ ‎∴OF⊥AB。‎ ‎∵CB⊥AB ,∴BC∥OF。‎ ‎∵BC=OD,OD=OF,‎ ‎∴BC=OF。‎ ‎∴四边形OBCF是平行四边形,‎ ‎∴DB∥CF。‎ ‎(2)‎ ‎∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,∠OFB=∠ABC=90°,‎ ‎∴∠A∠OBF∠BOF ‎∵∠OBF=∠BFC,∠BFC>∠A,‎ ‎∴∠OBF>∠A ‎∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。‎ ‎∴∠A与∠BOF是对应角。‎ ‎∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=.‎ ‎75.(2009年烟台市)如图,AB,BC分别是的直径和弦,点D为上一点,弦DE交于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且,连接,交于点M,连接.‎ 求证:(1);‎ ‎(2).‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】(1)证明:连接,‎ ‎. ‎ 切于点,,‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎,即.‎ ‎(2)连接.由(1)知.‎ 是的直径,‎ ‎. ‎ ‎.‎ 四边形内接于,. ‎ ‎.‎ 是的外角,. ‎ ‎.‎ ‎76. (2009年天津市)如图,已知为的直径,是的切线,为切点,‎ ‎(Ⅰ)求的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求的长(结果保留根号). ‎ ‎【关键词】切线长定理 ‎【答案】‎ ‎(Ⅰ)是的切线,‎ 为的直径,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 又、切于点.‎ ‎.为等边三角形.‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)如图,连接,则.‎ 在中,‎ ‎,‎ coscos.‎ 为等边三角形,‎ ‎..‎ ‎77.(2009年南宁市)23.如图11,、是半径为1的的两条切线,点、分别为切点,.‎ ‎(1)在不添加任何辅助线的情况下,写出图中所有的全等三角形;‎ ‎(2)求阴影部分的面积(结果保留)..‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】:解:(1)‎ 平分 由圆的对称性可知:‎ 在中,‎ ‎.‎ ‎78.(2009年清远)如图8,已知是的直径,过点作弦的平行线,交过点的切线于点,连结.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ P O A C B ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】(1)证明:‎ 是直径 是的切线,切点为 ‎(2)‎ ‎79.(2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).‎ ‎(1)当为何值时,⊙与相切;‎ ‎(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.‎ ‎【关键词】相切 ‎【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,‎ 则.‎ ‎∴∽.‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明:∵,,∴∥. ‎ 当时,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴当时,四边形为平行四边形.‎ ‎80.(2009年衡阳市)如图,AB是⊙O的直径,弦BC=‎2cm,∠ABC=60º.‎ ‎(1)求⊙O的直径;‎ ‎(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;‎ ‎(3)若动点E以‎2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以‎1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为,连结EF,当为何值时,△BEF为直角三角形.‎ ‎【关键词】圆、动态 ‎【答案】解:‎ ‎(1)∵AB是⊙O的直径(已知) ‎ ‎∴∠ACB=90º(直径所对的圆周角是直角)‎ ‎∵∠ABC=60º(已知)‎ ‎∴∠BAC=180º-∠ACB-∠ABC= 30º(三角形的内角和等于180º)‎ ‎∴AB=2BC=‎4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半)‎ 即⊙O的直径为‎4cm.‎ ‎(2)如图(1)CD切⊙O于点C,连结OC,则OC=OB=1/2·AB=‎2cm.‎ ‎∴CD⊥CO(圆的切线垂直于经过切点的半径)‎ ‎∴∠OCD=90º(垂直的定义)‎ ‎∵∠BAC= 30º(已求)‎ ‎∴∠COD=2∠BAC= 60º(在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)‎ ‎∴∠D=180º-∠COD-∠OCD= 30º(三角形的内角和等于180º)‎ ‎∴OD=2OC=‎4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半)‎ ‎∴BD=OD-OB=4-2=2(cm)‎ ‎∴当BD长为‎2cm,CD与⊙O相切.‎ ‎(3)根据题意得:‎ BE=(4-2t)cm,BF=tcm;‎ 如图(2)当EF⊥BC时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BAC ‎∴BE:BA=BF:BC 即:(4-2t):4=t:2‎ 解得:t=1‎ 如图10(3)当EF⊥BA时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BCA ‎∴BE:BC=BF:BA 即:(4-2t):2=t:4‎ 解得:t=1.6‎ ‎∴当t=1s或t=1.6s时,△BEF为直角三角形.‎ ‎81.(2009年日照)如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点 E. ‎ ‎ (1) 求∠AEC的度数; ‎ ‎(2)求证:四边形OBEC是菱形. ‎ C A ‎【关键词】等边三角形的判定,切线的性质,菱形的判定 ‎【答案】(1)解:在△AOC中,AC=2,‎ ‎∵ AO=OC=2,∴ △AOC是等边三角形.‎ ‎∴ ∠AOC=60°, ∴∠AEC=30°.‎ ‎(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l. ‎ ‎∴ OC∥BD. ‎ ‎∴ ∠ABD=∠AOC=60°.‎ ‎∵ AB为⊙O的直径,‎ ‎∴ △AEB为直角三角形,∠EAB=30°.‎ ‎∴∠EAB=∠AEC. ‎ ‎∴ 四边形OBEC 为平行四边形. ‎ 又∵ OB=OC=2. ‎ ‎∴ 四边形OBEC是菱形. ‎ ‎82.(2009年广西钦州)已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.‎ ‎(1)求证:BC=CD;‎ ‎(2)求证:∠ADE=∠ABD;‎ ‎(3)设AD=2,AE=1,求⊙O直径的长.‎ ‎【关键词】切线长定理、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵∠ABC=90°,‎ ‎∴OB⊥BC.‎ ‎∵OB是⊙O的半径,‎ ‎∴CB为⊙O的切线.‎ 又∵CD切⊙O于点D,‎ ‎∴BC=CD;‎ ‎(2)∵BE是⊙O的直径,‎ ‎∴∠BDE=90°.‎ ‎∴∠ADE+∠CDB =90°.‎ 又∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠CBD=90°.‎ 由(1)得BC=CD,‎ ‎∴∠CDB =∠CBD.‎ ‎∴∠ADE=∠ABD;‎ ‎(3)由(2)得,∠ADE=∠ABD,∠A=∠A.‎ ‎∴△ADE∽△ABD.‎ ‎∴=.‎ ‎∴=,‎ ‎∴BE=3,‎ ‎∴所求⊙O的直径长为3. ‎ ‎83.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB是一段圆弧,AC、BD是线段,且AC、BD分别与圆弧相切于点A、B,线段AB=‎180m,∠ABD=150°.‎ ‎(1)画出圆弧的圆心O;‎ ‎(2)求A到B这段弧形公路的长.‎ ‎【关键词】切线性质、等边三角形判定和性质、弧长计算、‎ ‎【答案】‎ 解:(1)如图,过A作AO⊥AC,过B作BO⊥BD,AO与BO相 交于O,O即圆心.‎ 说明:若不写作法,必须保留作图痕迹.其它作法略.‎ ‎(2)∵ AO、BO都是圆弧的半径,O是其圆心,‎ ‎∴ ∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.‎ ‎∴ △AOB为等边三角形.∴ AO=BO=AB=180.‎ ‎∴ (m).‎ ‎∴ A到B这段弧形公路的长为m.‎ ‎84. (2009年广西梧州)如图(8)所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在⊙O 上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.‎ ‎(1)求证:DC=BC;‎ ‎(2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值.‎ ‎(1)证明:连接OC ‎ ∵OA=OC ‎∴∠OAC=∠OCA ‎ ‎∵CE是⊙O的切线 ‎ ∴∠OCE=90° ‎ ‎ ∵AE⊥CE ‎∴∠AEC=∠OCE=90°‎ ‎∴OC∥AE ‎ ‎∴∠OCA=∠CAD ‎∴∠CAD=∠BAC ‎ ‎∴‎ ‎∴DC=BC. ‎ ‎(2)∵AB是⊙O的直径 ‎ ‎ ∴∠ACB=90°‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵∠CAE=∠BAC ∠AEC=∠ACB=90°‎ ‎ ∴△ACE∽△ABC ‎ ∴‎ ‎ ∴, ‎ ‎ ∵DC=BC=3‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎85.(2009年包头)如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)点是的中点,交于点,若,求的值.‎ ‎【关键词】圆、切线 解:(1),‎ 又,‎ ‎.‎ 又是的直径,‎ ‎,‎ ‎,即,‎ 而是的半径,‎ 是的切线.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 又,‎ ‎.‎ ‎(3)连接,‎ 点是的中点,,,‎ 而,,而,‎ ‎,,,‎ 又是的直径,,‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎86.(2009年长沙)在中,,是边上一点,以为直径的与边相切于点,连结并延长,与的延长线交于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,求的面积.‎ ‎【关键词】圆、切线、面积 ‎(1)证明:连结.‎ 切于,‎ ‎,‎ A E D O B C F 又即,‎ ‎,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)设半径为,由得.‎ ‎,即,‎ ‎,解之得(舍).‎ ‎.‎ ‎87.(2009年莆田)已知,如图,是以线段为直径的的切线,交于点,过点作弦垂足为点,连接.‎ ‎(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:①________,②________ ,③________,④____________(不添加其它字母和辅助线,不必证明);‎ ‎(2)=,=,求的半径 ‎【关键词】圆、切线 ‎(1)‎ 等 ‎(每写出一个正确结论得1分,满分4分.)‎ ‎(2)解:是的直径 又 ‎ 又是的切线 在中,‎ ‎.‎ ‎88.(2009年本溪)22.如图所示,AB是直径,弦于点,且交于点,若.‎ ‎(1)判断直线和的位置关系,并给出证明;‎ ‎(2)当时,求的长.‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】‎ ‎(1)直线和相切.证明:‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∵,‎ ‎∴.∴.‎ 即.∴直线和相切.(2)连接.‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴.‎ 在中,,‎ ‎∴.‎ ‎∵直径,‎ ‎∴.‎ 由(1),和相切,‎ ‎∴.∴.‎ 由(1)得,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴,解得. ‎ ‎89.(2009肇庆)25. 如图 9,的直径和是它的两条切线,切于E,交AM于D,‎ 交BN 于C.设. ‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求关于的关系式; ‎ ‎(3)求四边形的面积S,并证明:.‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】(1)证明:∵AB是直径,AM、BN是切线, ‎ ‎∴,∴.解:(2)过点D作 于F,则. ‎ 由(1),∴四边形为矩形. ‎ ‎∴,. ‎ ‎∵DE、DA,CE、CB都是切线, ‎ ‎∴根据切线长定理,得 ‎,. ‎ 在中,, ‎ ‎∴,化简,得.(3)由(1)、(2)得,四边形的面积,‎ 即.∵,当且仅当时,等号成立.‎ ‎∴,即.‎ ‎90.(2009临沂)如图,AC是的直径,PA,PB是的切线,A,B为切点,AB=6,PA=5.‎ 求(1)的半径;‎ ‎(2)的值.‎ ‎【关键词】圆的性质,切线,三角函数 ‎【答案】‎ 解:(1)连接.设交于.‎ 是的切线.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎,.‎ ‎.‎ 在和中,.‎ ‎,即的半径为.‎ ‎(2)在中,.‎ ‎.‎ ‎91.(2009年温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0为BC边上一点,以0为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连结DE. ’‎ ‎(1)当BD=3时,求线段DE的长;‎ ‎(2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F.求证:△FAE是等腰三角形.‎ ‎【关键词】直角三角形、圆的性质,相似的判定,切线的性质,等腰三角形的判定 ‎【答案】解:‎ ‎(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∵DB为直径,‎ ‎∴∠DEB=∠C=90°,‎ 又∵∠B=∠B ,‎ ‎∴△DBE∽△ABC ‎∴ 即 ‎∴DE=。‎ ‎(2)解法一:连结OE,‎ ‎∵EF为半圆O的切线,‎ ‎∴∠DEO+∠DEF=90°,‎ ‎∵∠AEF+∠DEF=90°,‎ ‎∴∠AEF=∠DEO,‎ ‎∵△DBE∽△ABC,‎ ‎∴∠A=∠EDB,‎ 又∵∠EDO=∠DEO,‎ ‎∴∠AEF=∠A,‎ ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ 解法二:连结OE,‎ ‎∵EF为半圆O的切线,‎ ‎∴∠AEF+∠OEB=90°,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴∠A+∠B=90°,‎ ‎∵OE=OB ‎∴∠OEB=∠B,‎ ‎∴∠AEF=∠A ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ ‎92.(2009年湖州)如图,在平面直角坐标系中,直线∶=分别与轴,轴相交于两点,点是轴的负半轴上的一个动点,以为圆心,3为半径作.‎ ‎(1)连结,若,试判断与轴的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)当为何值时,以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形?‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系,相切的判定,正三角形的性质,相似的性质 ‎【答案】‎ 解:(1)与轴相切.‎ 直线与轴交于,与轴交于,‎ ‎,‎ 由题意,.‎ 在中,,‎ 等于的半径,与轴相切. ‎ ‎(2)设与直线交于两点,连结.‎ 当圆心在线段上时,作于.‎ 为正三角形,.‎ ‎,‎ 即,‎ ‎,‎ ‎.‎ 当圆心在线段延长线上时,同理可得,‎ ‎,‎ ‎ 当或时,以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形.‎ ‎93.(2009年中山)在中,,‎ 以为直径作,‎ ‎(1)求圆心到的距离(用含的代数式来表示);‎ ‎(2)当取何值时,与相切.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】‎ ‎(1)分别过两点作,垂足分别为点,点,‎ 就是圆心到的距离.‎ 四边形是平行四边形,‎ ‎.‎ ‎94、(2009年兰州)如图,要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮,需先在这块铁皮上画出一个半圆,使它的圆心在线段AC上,‎ 且与AB、BC都相切.请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).‎ ‎【关键词】直线与圆位置关系、尺规作图 ‎【答案】作出角平分线得2分,作出半圆再得2分,小结1分,共5分。‎ 上图即为所求图形 ‎95、(2009年遂宁)如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF·AC,cos∠ABD=,AD=12.‎ ‎⑴求证:△ANM≌△ENM;‎ ‎⑵求证:FB是⊙O的切线;‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.‎ ‎【关键词】直线与圆位置关系、勾股定理、相似形 ‎【答案】⑴证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90o,又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,‎ ‎∴AM=ME,∠AMN=EMN,又∵MN=MN,∴△ANM≌△ENM ‎⑵∵AB2=AF·AC,∴,又∵∠BAC=∠FAB=90o,∴△ABF∽△ACB,∴∠ABF=∠C 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o,∴FB是⊙O的切线 ‎⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,∴AM=ME=EN=AN,∴四边形AMEN是菱形,∵cos∠ABD=,∠ADB=90o ‎∴,设BD=3x,则AB=5x,,由勾股定理而AD=12,∴x=3‎ ‎∴BD=9,AB=15,∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15,∴DE=BE-BD=6,∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE,∴△BND∽△BME,则,设ME=x,则ND=12-x,,解得x=‎ ‎∴S=ME·DE=×6=45‎ ‎96、(2009年济南)已知,如图②,是的直径,与相切于点连接交于点的延长线交于点连接、,求和的度数.‎ ‎【关键词】直线与圆位置关系、切线性质 ‎【答案】‎ ‎∵是的直径 ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵是的切线 ‎∴,‎ 又 ‎∴.‎ 在中,,‎ ‎,‎ 圆心到的距离为.‎ ‎(2),‎ 为的直径,且,‎ 当时,与相切于点,‎ 即,‎ 当时,与相切.‎ ‎97.(2009年漳州)如图,点在的直径的延长线上,点在上,,,‎ A O B D C ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎2‎ ‎(2)若的半径为3,求的长.(结果保留)‎ ‎1‎ ‎【关键词】切线的判定 ‎【答案】‎ ‎(1)证明:连结,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎, ‎ ‎,‎ ‎.‎ 是的切线.‎ ‎(2),‎ 的长=.‎ 答:的长为.‎ ‎98. (2009年北京市)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.‎ ‎(1)求证:AE与⊙O相切;‎ ‎(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径. ‎ ‎【关键词】圆的有关证明 ‎(1)证明:连续OM,则OM=OB.‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵BM平分∠ABC,‎ ‎∴∠1=∠3.‎ ‎∴∠2=∠3.‎ ‎∴OM∥BC.‎ ‎∴∠AMO=∠AEB.‎ 在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,‎ ‎∴AE⊥BC.‎ ‎∴∠AEB=90°,‎ ‎∴∠AMO=90°,‎ ‎∴OM⊥AE.‎ ‎∴OE与⊙O相切.‎ ‎(2) 在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,‎ ‎∴,∠ABC=∠C,‎ ‎∴BC=4,,‎ ‎∴BE=4,cos∠ABC=.‎ 在△ABE中,∠AEB=90°,‎ ‎∴‎ 设⊙O的半径为r,则AO=6-r.‎ ‎∵OM∥BC,‎ ‎∴△AOM∽△ABE,‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎【答案】‎ ‎99.(09湖南怀化)如图,直线经过⊙上的点,并且⊙交直线于、两点,连接,,.‎ 求证:(1); (2)∽. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、切线定理 ‎【答案】证明:‎ ‎(1)∵OE=OD,‎ ‎∴△ODE是等腰三角形,‎ 又EC=DC,‎ ‎∴C是底边DE上的中点,‎ ‎∴‎ ‎(2)∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=,‎ ‎∴∠B+∠BAC=,‎ 又∠DCA+∠ACO=,∠ACO=∠BAC,‎ ‎∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB, ‎ ‎∴△ACD∽△CBD. ‎ ‎100.(09湖南怀化)如图,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.‎ ‎(1)求与轴的另一个交点D的坐标;‎ ‎(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、圆的对称性、切线定理 ‎【答案】解 ‎ ‎(1)易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根,‎ 所以,‎ 所 如图,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则 由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,所以点D的坐标为(0,1)‎ ‎(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点的坐标为,即.‎ 又,‎ 所以解得 ‎101.(2009年湖北十堰市)如图,直线l切⊙O于点A,点P为直线l上一点,直线PO交⊙O于点C、B,点D在线段AP上,连结DB,且AD=DB.‎ ‎(1)求证:DB为⊙O的切线.‎ ‎(2)若AD=1,PB=BO,求弦AC的长.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】(1)证明: 连结OD ,‎ ‎ ∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD = 90°,‎ ‎∵ OA=OB,DA=DB,DO=DO, ∴ΔOAD≌ΔOBD ‎∴ ∠OBD=∠OAD = 90°, ∴PA为⊙O的切线 ‎(2)解:在RtΔOAP中, ∵ PB=OB=OA ∴ ∠OPA=30°‎ ‎∴ ∠POA=60°=2∠C , ∴PD=2BD=2DA=2‎ ‎∴ ∠OPA=∠C=30°‎ ‎∴ AC=AP=3‎ 说明:其它解法请参照上述评分说明给分.‎ ‎102.(2009年新疆乌鲁木齐市)如图2,在中,,以为直径的交于点,于点.‎ ‎(1)求证是的切线;‎ ‎(2)若,求图中阴影部分的面积.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系、锐角三角函数、直角三角形的有关计算 ‎【答案】(1)证明:连接.‎ ‎∵,∴,∵,∴.‎ ‎∴,∴.‎ 又,∴,点在上,∴是的切线.‎ ‎(2)连接.∵为直径,点在上,∴.‎ ‎∵,∴,∴.‎ 又∵在中,于点,∴.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴,,‎ ‎∴.‎ ‎103.(2009年厦门)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,P是△OAC的重心,且OP=,∠A=30°‎ ‎(1)求劣弧的长;‎ ‎(2)若∠ABD=120°,BD=1.求证:CD是是⊙O的切线. ‎ ‎【关键词】圆的性质的应用 ‎【答案】(1)解:延长OP交AC于E,‎ ‎ ∵ P是△OAC的重心,OP=,‎ ‎ ∴ OE=1, ……1分 ‎ 且 E是AC的中点.‎ ‎ ∵ OA=OC,∴ OE⊥AC.‎ ‎ 在Rt△OAE中,∵ ∠A=30°,OE=1,‎ ‎ ∴ OA=2. ……2分 ‎ ∴ ∠AOE=60°. ‎ ‎ ∴ ∠AOC=120°. ‎ ‎ ∴ =π. ‎ ‎(2)证明:连结BC.‎ ‎ ∵ E、O分别是线段AC、AB的中点,‎ ‎ ∴ BC∥OE,且BC=2OE=2=OB=OC. ‎ ‎ ∴ △OBC是等边三角形. ‎ ‎ 法1:∴ ∠OBC=60°.‎ ‎ ∵ ∠OBD=120°,∴ ∠CBD=60°=∠AOE. ‎ ‎ ∵ BD=1=OE,BC=OA,‎ ‎ ∴ △OAE ≌△BCD. ‎ ‎ ∴ ∠BCD=30°.‎ ‎ ∵ ∠OCB=60°,‎ ‎ ∴ ∠OCD=90°. ‎ ‎ ∴ CD是⊙O的切线. ‎ ‎ 法2:过B作BF∥DC交CO于F.‎ ‎ ∵ ∠BOC=60°,∠ABD=120°,‎ ‎ ∴ OC∥BD. ‎ ‎ ∴ 四边形BDCF是平行四边形. ‎ ‎ ∴ CF=BD=1.‎ ‎ ∵ OC=2,‎ ‎ ∴ F是OC的中点.‎ ‎ ∴ BF⊥OC. ‎ ‎ ∴ CD⊥OC. ‎ ‎ ∴ CD是⊙O的切线.‎ ‎104.(2009年桂林市、百色市)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,若 ‎∠MAC=∠ABC .‎ ‎(1)求证:MN是半圆的切线;‎ ‎(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC 于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F. ‎ 求证:FD=FG.‎ ‎(3)若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.‎ ‎【关键词】圆 ‎【答案】‎ 证明(1):‎ ‎∵AB是直径 ‎∴∠ACB=90º ,‎ ‎∴∠CAB+∠ABC=90º ‎∵∠MAC=∠ABC ‎∴∠MAC+∠CAB=90º,即MA⊥AB ‎∴MN是半圆的切线.‎ ‎(2)证法1: ‎ ‎∵D是弧AC的中点, ‎ ‎∴∠DBC=∠2‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠CBG+∠CGB=90º ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴∠FDG+∠2=90º ‎∵∠DBC=∠2,‎ ‎∴∠FDG=∠CGB=∠FGD ‎∴FD=FG 证法2:连结AD,则∠1=∠2‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ADB=90º ‎∴∠1+∠DGF=90º 又∵DE⊥AB ‎ ‎∴∠2+∠FDG=90º ‎∴∠FDG=∠FGD,‎ ‎ ∴FD=FG ‎(3)解法1:过点F作FH⊥DG于H,‎ 又∵DF=FG ‎ ‎∴S△FGH=S△DFG=×4.5=‎ ‎∵AB是直径,FH⊥DG ‎ ‎∴∠C=∠FHG=90º ‎∵∠HGF=∠CGB,‎ ‎∴△FGH∽△BGC ‎∴‎ ‎∴S△BCG=.‎ 解法2:∵∠ADB=90º,DE⊥AB,‎ ‎∴∠3=∠2‎ ‎∵∠1=∠2,‎ ‎∴∠1=∠3‎ ‎∴AF=DF=FG ‎∴S△ADG=2S△DFG=9‎ ‎∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB ‎∴△ADG∽△BCG ‎∴‎ ‎∴S△BCG=‎ 解法3:连结AD,过点F作FH⊥DG于H,‎ ‎∵S△FDG=DG×FH=×3FH=4.5‎ ‎∴FH=3‎ ‎∵H是DG的中点,FH∥AD ‎∴AD=2FH=6 ‎ ‎∴S△ADG=.‎ ‎(以下与解法2同)‎ ‎105.(2009年陕西省) 23.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,过点A作AP∥BC,交BO的延长线于点P.‎ ‎(1)求证:AP是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径R=5,BC=8,求线段AP的长.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 圆与相似三角形的综合 ‎【答案】解:(1)证明:过点A作AE⊥BC,交BC于点E.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AE平分BC.‎ ‎∴点O在AE上.‎ 又 ∵AP∥BC,‎ ‎∴AE⊥AP.‎ ‎∴AP为⊙O的切线.‎ ‎(2) ∵BE=BC=4.‎ ‎∴OE==3.‎ 又 ∵∠AOP=∠BOE,‎ ‎∴△OBE∽△OPA.‎ ‎∴.‎ 即 .‎ ‎∴AP=.‎ ‎106.(2009武汉)如图,中,,以为直径作交边于点,是边的中点,连接.‎ ‎(1)求证:直线是的切线;‎ ‎(2)连接交于点,若,求的值.‎ C E B A O F D ‎【关键词】直线与圆的位置关系 三角函数 ‎【答案】证明:(1)连接.‎ 是的直径,‎ ‎,‎ 点是的中点,‎ ‎.‎ ‎.‎ 直线是的切线.‎ C E B A O F D H ‎(2)作于点,‎ 由(1)知,,.‎ ‎,且.‎ ‎.‎ ‎,,.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎107.(2009年安顺)如图,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E。‎ (1) 求证:DE是⊙O的切线;‎ (2) 作DG⊥AB交⊙O于G,垂足为F,若∠A=30°,AB=8,求弦DG的长。‎ ‎【关键词】切线定理 ‎【答案】‎ 证明:连结OD.‎ ‎∵OA=OD, ‎ ‎∴∠A=∠ADO.‎ ‎∵BA=BC, ‎ ‎∴∠A=∠C. ‎ ‎∴∠ADO=∠C.‎ ‎∴DO∥BC. ‎ ‎∵DE⊥BC ‎ ‎∴DO⊥DE.‎ 又点D在⊙O 上 ‎ ‎∴DE是⊙O的切线 ‎ ‎(2)解:∠DOF =∠A+∠ADO = 60°‎ 在Rt⊿DOF中,OD = 4‎ DF = OD·sin∠DOF = 4·sin60°= 2 ‎ ‎∵直径AB⊥弦DG ∴DF = FG ‎ ‎∴DG = 2DF = 4. ‎ ‎108.(2009威海)如图,在直角坐标系中,点的坐标分别为,过三点的抛物线的对称轴为直线为对称轴上一动点.‎ (1) 求抛物线的解析式;‎ (2) 求当最小时点的坐标;‎ (3) 以点为圆心,以为半径作.‎ ‎①证明:当最小时,直线与相切.‎ ‎②写出直线与相切时,点的另一个坐标:___________.‎ ‎【关键词】待定系数法,直线与圆的位置关系 ‎【答案】(1)设抛物线的解析式为.‎ 将代入上式,得.‎ 解,得.‎ 抛物线的解析式为.‎ 即.‎ ‎(2)连接,交直线于点.‎ 点与点关于直线 对称,‎ ‎.‎ ‎.‎ 由“两点之间,线段最短”的原理可知:‎ 此时最小,点的位置即为所求.‎ 设直线的解析式为,‎ 由直线过点,,得 ‎ 解这个方程组,得 直线的解析式为.‎ 由(1)知:对称轴为,即.‎ 将代入,得.‎ 点的坐标为(1,2).‎ 说明:用相似三角形或三角函数求点的坐标也可,答案正确给2分.‎ ‎(3)①连接.设直线与轴的交点记为点.‎ 由(1)知:当最小时,点的坐标为(1,2).‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 与相切.‎ ‎②.‎ ‎109.(2009年湖南长沙)在中,,是边上一点,以为直径的与边相切于点,连结并延长,与的延长线交于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,求的面积.‎ ‎【答案】(1)证明:连结.‎ 切于,‎ ‎,‎ 又即,‎ ‎,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)设半径为,由得.‎ ‎,即,‎ ‎,解之得(舍).‎ ‎.‎ ‎110.(2009年内蒙古包头)‎ 如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)点是的中点,交于点,若,求的值.‎ ‎【解析】本题综合考查等腰三角形的性质及切线的判定, 及利用三角形相似的性质和判定,求等积式等。‎ ‎【答案】(1)∵OA=OC,∴,又∵‎ ‎∴ 又∵AB是⊙O的直径,∴‎ ‎∴即OC⊥CP,而OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线。‎ ‎(2)∵AC=PC, ∴ ∴,‎ 又∵ ∴ ∴ ‎ ‎∴‎ ‎(3)、连结MA、MB,∵点M是的中点, ∴ ∴‎ 而 ∴ 而 ‎ ‎∴∽, ∴,∴,‎ 又∵AB是⊙O的直径,,∴‎ ‎∵AB=4,∴,∴。‎ ‎111.(2009年淄博市)如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连接BD.‎ ‎(1)求BD 的长;‎ ‎(2)求∠ABE+2∠D的度数;‎ ‎(3)求的值.‎ 解: ‎ ‎(1)连接OC,并延长BO交AE于点H,‎ ‎∵AB是小圆的切线,C是切点,‎ ‎∴OC⊥AB,‎ ‎∴C是AB的中点. ‎ ‎∵AD是大圆的直径,‎ ‎∴O是AD的中点.‎ ‎∴OC是△ABD的中位线.‎ ‎∴BD=2OC=10. ‎ ‎(2) 连接AE,由(1)知C是AB的中点.‎ 同理F是BE的中点.‎ 由切线长定理得BC=BF.‎ ‎∴BA=BE. ‎ ‎∴∠BAE=∠E.‎ ‎∵∠E=∠D, ‎ ‎∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º. ‎ ‎(3) 连接BO,在Rt△OCB中,‎ ‎∵OB=13,OC=5,‎ ‎∴BC=12. ‎ 由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.‎ ‎∵∠BGO=∠AGB,‎ ‎∴△BGO∽△AGB. ‎ ‎∴. ‎ ‎112.(2009年贵州省黔东南州)如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证AC与⊙O相切.‎ ‎【关键词】切线的判定 ‎【答案】证明:‎ 连结OD,过点O作OE⊥AC于E点。‎ ‎∵AB切⊙O于D ‎∴OD⊥AB ‎∴∠ODB=∠OEC=90°‎ 又∵O是BC的中点 ‎∴OB=OC ‎∵AB=AC ‎∴∠B=∠C ‎∴△OBE≌△OCE ‎∴OE=OD,即OE是⊙O的半径 ‎∴AC与⊙O相切 ‎ ‎ ‎113、(2009辽宁朝阳)如图,是的外接圆,点在上,,点是垂足,,连接.‎ 求证:是的切线.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】‎ 证明:连接 又.‎ ‎,即是的切线 ‎114.(2009东营)如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点 E. ‎ ‎(1) 求∠AEC的度数; ‎ ‎(2)求证:四边形OBEC是菱形.‎ ‎ ‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】C (1)解:在△AOC中,AC=2,‎ ‎ ∵ AO=OC=2,‎ ‎∴ △AOC是等边三角形.‎ ‎∴ ∠AOC=60°, ‎ ‎∴∠AEC=30°.‎ ‎(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l. ‎ ‎∴ OC∥BD. ‎ ‎∴ ∠ABD=∠AOC=60°.‎ ‎∵ AB为⊙O的直径,‎ ‎∴ △AEB为直角三角形,∠EAB=30°. ‎ ‎ ∴∠EAB=∠AEC. ‎ ‎ ∴ 四边形OBEC 为平行四边形. ‎ ‎ 又∵ OB=OC=2. ‎ ‎ ∴ 四边形OBEC是菱形. ‎ ‎115、(2009贺州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于点D,取AC的中点E,连结DE、OE.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)如果⊙O的半径是cm,ED=‎2cm,求AB的长.‎ ‎【关键词】证明直线是圆的直线并进行计算 ‎【答案】证明:(1)连结OD. ‎ 由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB.‎ ‎∴∠1=∠2,∠B=∠3,又OB=OD.‎ ‎∴∠2=∠3.‎ 而OD=OC,OE=OE ‎∴△OCE≌△ODE.‎ ‎∴∠OCE=∠ODE.‎ 又∠C=90°,故∠ODE =90°.‎ ‎∴DE是⊙O的切线. ‎ ‎(2)在Rt△ODE中,由,DE=2‎ 得 又∵O、E分别是CB、CA的中点 ‎∴AB=2·‎ ‎∴所求AB的长是‎5cm.‎ ‎116.(2009年铁岭市)如图所示,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥‎ AB.AB=10,AC=6,E是AB延长线上一点,.判断直线DE与半圆O的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎【关键词】垂径定理及其逆定理;直线与圆的位置关系;切线定理;直角三角形的性质;相似三角形与圆 ‎【答案】直线与半圆相切. ‎ 证明:法一:‎ 连接,作于点.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴直线与半圆相切.‎ 法二:连接,作于点,作于点.‎ ‎∵,∴.‎ 在中,‎ ‎∵,,‎ ‎∴四边形是矩形,‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ 在中,.‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴直线与半圆相切.‎ ‎117.(2009龙岩)如图,已知点E在△ABC的边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于 点D,且AD平分∠BAC .‎ 求证:AC⊥BC.‎ ‎【关键词】切线定理 ‎【答案】证明:连接OD ‎ ‎∵OA = OD,∴∠1 =∠3;‎ ‎∵AD平分∠BAC,∴∠1 =∠2;‎ ‎∴∠2 =∠3;∴OD∥AC,‎ ‎∵BC是⊙O的切线 ‎∴OD⊥BC ∴AC⊥BC 。‎ ‎118.(2009年抚顺市)如图所示,AC与⊙O相切于点C,线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC交⊙O于点D,连接CD、OC,且OC交DB于点E.若∠‎ CDB=30°,.‎ ‎(1)求⊙O的半径长;‎ ‎(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留)‎ ‎119.(2009年梅州市)如图 ,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.点E是CD上的动点,以AE为直径的⊙O与AB交于点F,过点F作FG⊥BE于点G. ‎ ‎(1)当E是CD的中点时: ‎ ‎①tan∠EAB的值为______________; ‎ ‎② 证明:FG是⊙O的切线; ‎ ‎(2)试探究:BE能否与⊙O相切?若能,求出此时DE的长;若不能,请说明理由.‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】(1)① ‎ ‎②法一:在矩形中,,‎ ‎,又, ‎ ‎∴, ‎ 得, ‎ 连,则, ∴,‎ ‎, ∴, ‎ ‎∵, ∴, ‎ ‎∴是的切线 ‎ ‎(法二:提示:连,证四边形是平行四边形.参照法一给分.)‎ ‎(2)法一:若能与相切, ∵是的直径, ‎ ‎∴,则, ‎ 又, ∴, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴,设,则,得,‎ 整理得. ‎ ‎∵, ∴该方程无实数根. ‎ ‎∴点不存在,不能与相切. ‎ 法二: 若能与相切,因是的直径,则, ‎ 设,则,由勾股定理得:, ‎ 即, 整理得, ‎ ‎∵, ∴该方程无实数根. ‎ ‎∴点不存在,不能与相切.‎