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- 2021-05-13 发布
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22.直线与圆的位置关系(解答题)
三、解答题
48.(2009桂林百色)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A
作直线MN,若∠MAC=∠ABC .
(1)求证:MN是半圆的切线;
(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC 于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.
求证:FD=FG.
(3)若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.
【关键词】半圆、切线、面积
【答案】
25.证明(1):
∵AB是直径
∴∠ACB=90º ,
∴∠CAB+∠ABC=90º
∵∠MAC=∠ABC
∴∠MAC+∠CAB=90º,即MA⊥AB
∴MN是半圆的切线.
(2)证法1:
∵D是弧AC的中点,
∴∠DBC=∠2
∵AB是直径,
∴∠CBG+∠CGB=90º
∵DE⊥AB,
∴∠FDG+∠2=90º
∵∠DBC=∠2,
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD
∴FD=FG.
证法2:连结AD,则∠1=∠2,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90º
∴∠1+∠DGF=90º
又∵DE⊥AB
∴∠2+∠FDG=90º
∴∠FDG=∠FGD,
∴FD=FG
(3)解法1:
过点F作FH⊥DG于H,
又∵DF=FG
∴S△FGH=S△DFG=×4.5=
∵AB是直径,FH⊥DG
∴∠C=∠FHG=90º
∵∠HGF=∠CGB,
∴△FGH∽△BGC
∴
∴S△BCG=
解法2:
∵∠ADB=90º,DE⊥AB,
∴∠3=∠2
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3
∴AF=DF=FG
∴S△ADG=2S△DFG=9
∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB
∴△ADG∽△BCG
∴
∴S△BCG=
解法3:连结AD,过点F作FH⊥DG于H,
∵S△FDG=DG×FH=×3FH=4.5
∴FH=3
∵H是DG的中点,FH∥AD
∴AD=2FH=6
∴S△ADG=
(以下与解法2同)
49.(2009河池)如图1,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,,.
(1)求∠AOC的度数;
(2)在图1中,P为直径BA延长线上的一点,当CP与⊙O相切时,求PO的长;
(3) 如图2,一动点M从A点出发,在⊙O上按逆时针方向运动,当时,求动点M所经过的弧长.
【关键词】圆、切线、面积、弧长
【答案】
25.解:(1)∵ 在△ACO中,,OCOA
∴ △ACO是等边三角形
∴ ∠AOC60°
(2)∵ CP与⊙O相切,OC是半径.
∴ CP⊥OC
∴ ∠P90°-∠AOC30°
∴ PO2CO8 .
(3)如图2,
① 作点关于直径的对称点,连结,OM1 .
易得,
∴
∴ 当点运动到时,,
此时点经过的弧长为.
② 过点作∥交⊙O于点,连结,,易得.
∴
∴ 或
∴ 当点运动到时,,此时点经过的弧长为 .
③ 过点作∥交⊙O于点,连结,,易得
∴ ,
∴ 或
∴ 当点运动到时,,此时点经过的弧长为 .
④ 当点运动到时,M与C重合,,
此时点经过的弧长为 或 .
50. (2009烟台市) 如图,AB,BC分别是的直径和弦,点D为上一点,弦DE交于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且,连接,交于点M,连接.
求证:(1);
(2).
H
M
B
E
O
F
G
C
A
D
【关键词】圆的基本性质
【答案】(1)证明:连接,
.
切于点,,
,
,.
,即.
(2)连接.由(1)知.
是的直径,
.
.
四边形内接于,.
.
是的外角,.
.
51. (2009年锦州)如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
【关键词】直线与圆的位置关系、切线定理、相似三角形有关的计算和证明
【答案】解:(1)连接OD.
∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2.
又∵OA=OD ,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AE,
∴DE⊥OD.
而D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线.
(2)过D作DG⊥AB 于G.
∵DE⊥AE ,∠1=∠2.
∴DG=DE=3 ,半径OD=5.
在Rt△ODG中,根据勾股定理: ,
∴AG=AO+OG=5+4=9.
∵FB是⊙O的切线, AB是直径,
∴FB⊥AB.而DG⊥AB,
∴DG∥FB.
△ADG∽△AFB,
∴.
∴. ∴BF= .
52.(2009年安徽)如图,MP切⊙O于点M,直线PO交⊙O于点A、B,弦AC∥MP,求证:MO∥BC.
【证】
【关键词】圆、等圆、等圆等概念及圆的对称性/直线与圆的位置关系
【答案】证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
∵MP为⊙O的切线,∴∠PMO=90°
∵MP∥AC,∴∠P=∠CAB
∴∠MOP=∠B
故MO∥BC.
53.(2009年莆田)(1)根据下列步骤画图并标明相应的字母:(直接在图1中画图)
①以已知线段(图1)为直径画半圆;
②在半圆上取不同于点的一点,连接;
③过点画交半圆于点
(2)尺规作图:(保留作图痕迹,不要求写作法、证明)
已知:(图2).
求作:的平分线.
【关键词】尺规作图、角平分线
(1)正确完成步骤,各得1分,字母标注完整得1分,满分4分.
(2)说明:以点为圆心,以适当长为半径作弧交于两点
分别以点为圆心,以大于长为半径作弧,两弧相交于点.
作射线
20.(2009年莆田)已知,如图,是以线段为直径的的切线,交于点,过点作弦垂足为点,连接.
(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:①________,②________
,③________,④____________(不添加其它字母和辅助线,不必证明);
(2)=,=,求的半径
【关键词】圆、切线
(1)
等
(2)解:是的直径
又
又是的切线
在中,
.
54.(2009年本溪)如图所示,AB是直径,弦于点,且交于点,若
.
(1)判断直线和的位置关系,并给出证明;
(2)当时,求的长.
【关键词】直线与圆的关系
【答案】(1)直线和相切.
证明:
∵,,
∴.∵,
∴.∴.
即.∴直线和相切.(2)连接.
∵AB是直径,
∴.
在中,,
∴.
∵直径,
∴.
由(1),和相切,
∴.∴.
由(1)得,
∴.∴.
∴,解得.
55.(2009宁夏)23. 已知:如图,为的直径,交于点,交于点.
(1)求的度数;
(2)求证:.
【关键词】圆周角
【答案】(1)解:是的直径,
.
又,
.
又,
.
.(2)证明:连结.
是的直径,
.
.
又,
.
56.(2009年潍坊)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.
(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.
解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,
点的坐标分别为
抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,
.
点在抛物线上,将的坐标代入
,得: 解之,得:
抛物线的解析式为:.
(2)
抛物线的对称轴为,
.
连结,
,,
又,
,
.
(3)点在抛物线上.
设过点的直线为:,
将点的坐标代入,得:,
直线为:.
过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,
将代入,得:.
点的坐标为,
当时,,
所以,点在抛物线上.
说明:解答题各小题中只给出了1种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数.
67.(2009年咸宁市)如图, 中,,以为直径的交于点,过点的切线交于.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
58.(09湖北宜昌)(09湖北宜昌)已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与
边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合), MN为折痕,点M,N分别在边BC, AD
上,连接AP,MP,AM, AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.
(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)与 是否相等?请你说明理由;
(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考)
图1 图2 图3
(第2题)
【关键词】矩形的性质与判定
【答案】解:(1)如图;
(2)与不相等.
假设,则由相似三角形的性质,得MN∥DC.
∵∠D=90°,∴DC⊥AD,∴MN⊥AD.
∵据题意得,A与P关于MN对称,∴MN⊥AP.
∵据题意,P与D不重合,
∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾.
∴假设不成立.
∴不成立.
(2) 解法2:与不相等.
理由如下:
∵P, A关于MN对称,∴MN垂直平分AP.
∴cos∠FAN=.
∵∠D=90°, ∴cos∠PAD=.
∵∠FAN=∠PAD,∴=.
∵P不与D重合,P在边DC上;∴AD≠AP.
∴≠;从而≠.
(3)∵AM是⊙O的切线,∴∠AMP=90°,
∴∠CMP+∠AMB=90°.
∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠CMP=∠BAM.
∵MN垂直平分,∴MA=MP,
∵∠B=∠C=90°, ∴△ABM≌△MCD.
∴MC=AB=4, 设PD=x,则CP=4-x,
∴BM=PC=4-x. (5分)
连结HO并延长交BC于J.
∵AD是⊙O的切线,∴∠JHD=90°.
∴矩形HDCJ. (7分)
∴OJ∥CP, ∴△MOJ∽△MPC,
∴OJ:CP=MO:MP=1:2,
∴OJ=(4-x),OH=MP=4-OJ=(4+x).
∵MC2= MP2-CP2,∴(4+x)2-(4-x)2=16.
解得:x=1.即PD=1,PC=3,
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.
由此画图(图形大致能示意即可).
(3)解法2:
连接HO,并延长HO交BC于J点,连接AO.
由切线性质知,JH⊥AD,∵BC∥AD,∴HJ⊥BC,
∴OJ⊥MC,∴MJ=JC.
∵AM,AH与⊙O相切于点M,H,
∴∠AMO=∠AHO=90°,
∵OM=OH, AO=AO,
∴Rt△AMO≌Rt△AHO.
∴设AM=x,则 AM=AH=x,
由切线性质得,AM⊥PM,
∴∠AMP=90°,∴∠BMA+∠CMP=90°.
∵∠BMA+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMP ,
∵∠B=∠MCP=90°,
∵MN为AP的中垂线,∴AM=MP.
∴△ABM≌△MCP .
∴四边形ABJH为矩形,得BJ=AH=x,
Rt△ABM中,BM=,
∴MJ==JC,(9分)
∴AB=MC.∴4=2(),∴
∴AD=BC==7,
∴PC==3.
由此画图(图形大致能示意即可).
59.(09湖南怀化)如图10,直线经过⊙上的点,并且⊙交直线于、两点,连接,,.求证:(1); (2)∽.
【关键词】圆的基本性质、切线定理
【答案】证明:
(1)∵OE=OD,
∴△ODE是等腰三角形,
又EC=DC,
∴C是底边DE上的中点,
∴
(2)∵AB是直径,
∴∠ACB=,
∴∠B+∠BAC=,
又∠DCA+∠ACO=,∠ACO=∠BAC,
∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB,
∴△ACD∽△CBD.
60.(09湖南怀化)如图,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
(1)求与轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.
【关键词】圆的基本性质、圆的对称性、切线定理
【答案】解 (1)易求得点的坐标为
由题设可知是方程即 的两根,
所以,
所
如图3,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则
由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,
所以点D的坐标为(0,1)
(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,
所以点的坐标为,即
又,
所以解得
61.(2009年茂名市)已知:如图,直径为的与轴交于点点把分为三等份,连接并延长交轴于点
(1)求证:;
(2)若直线:把的面积分为二等份,求证:
【关键词】与圆有关的全等三角形
【答案】
62.(2009年山东青岛市)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
为美化校园,学校准备在如图所示的三角形()空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.
解:
结论:
【关键词】尺规作图、三角形、圆
【答案】正确画出两条角平分线,确定圆心;
确定半径;
正确画出图并写出结论.
63.(2009年达州)如图10,⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H,DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
(1)求证:DF垂直平分AC;
(2)求证:FC=CE;
(3)若弦AD=5㎝,AC=8㎝,求⊙O的半径.
【关键词】圆,平行四边形,勾股定理
【答案】
(1)∵DE是⊙O的切线,且DF过圆心O
∴DF⊥DE
又∵AC∥DE
∴DF⊥AC
∴DF垂直平分AC
(2)由(1)知:AG=GC
又∵AD∥BC
∴∠DAG=∠FCG
又∵∠AGD=∠CGF
∴△AGD≌△CGF(ASA)
∴AD=FC
∵AD∥BC且AC∥DE
∴四边形ACED是平行四边形
∴AD=CE
∴FC=CE5分
(3)连结AO; ∵AG=GC,AC=8cm,∴AG=4cm
在Rt△AGD中,由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm
设圆的半径为r,则AO=r,OG=r-3
在Rt△AOG中,由勾股定理得 AO2=OG2+AG2
有:r2=(r-3)2+42解得 r=256
∴⊙O的半径为256cm.
64.(2009年陕西省)
问题探究
(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点P,并说明理由.
(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,并说明理由.
问题解决
如图③,现有一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板,且∠APB=∠CP’D=60°,请你在图③中画出符合要求的点P和P’,并求出△APB的面积(结果保留根号).
【关键词】正方形对角线 等边三角形 圆周角性质 三角形面积
【答案】解:(1)如图①,
连接AC、BD交于点P,则∠APB=90°,
∴点P为所求,
(2)如图②,画法如下:
1)以AB为边在正方形内作等边△ABP;
2)作△ABP的外接圆⊙O,分别与AD、BC交于点E、F.
∵在⊙O中,弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°,
∴弧EF上的所有点均为所求的点P,
(3)如图③,画法如下:
1)连接AC;
2)以AB为边作等边△ABE;
3)作等边△ABE的外接圆⊙O,交AC于点P;
4)在AC上截取AP’=CP.
则点P、P’为所求.
(评卷时,作图准确,无画法的不扣分)
过点B作BG⊥AC,交AC于点G.
∵在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,
∴AC=.
∴BG=.
在Rt△ABG中,AB=4,
∴AG=.
在Rt△BPG中,∠BPA=60°,
∴PG=,
∴AP=AG+PG=.
∴S△APB=
65.(2009成都)已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线的同侧,分别过这两点作的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连结AD、AE、DE,且∠AED=90°。
(1)如图①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD的长。
(2)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。再探究:当A、D分别在直线两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明。
【关键词】圆周角和圆心角
【答案】
(1)∵AB⊥于B,DC于C
∴∠ABE=∠ECD=90°
∴∠BEA+∠AED+∠CED=180°且∠AED=90°
∴∠CED=90°-∠BEA
又∠BEA=90°-∠BEA
∴∠BEA=∠CED
∴△ABE∽△ECD
∴
∵BE:EC=1:3,BC=16
∴BE=4,EC=12
又∵AB=6,∴CD==8
在Rt△AED中,由勾股定理,得
AD=(2)(i)猜想AB+CD=BC
证明:在Rt△AED中,∵∠ABE=90°,∴∠BAE=90°-∠AEB
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°且∠AED=90°
∴∠CED=90°-∠AEB
∴∠BAE=∠CED
∵DC⊥BC于点C
∴∠ECD=90°
由已知有AE=ED
∴在Rt△ABE和Rt△ECD中
∠ABE=∠ECD=90°,∠BAE=∠CED,AE=ED
∴Rt△ABE≌Rt△ECD
∴AB=EC,BE=CD,即AB+CD=BC
(ii)当A,D分别在直线两侧时,线段AB,BC,CD有如下等量关系:
AB-CD=BC(AB>CD)或CD-AB=BC(AB<CD)
66.(2009湖北荆门市)如图,在□ABCD中,∠BAD为钝角,且AE⊥BC,AF⊥CD.
(1)求证:A、E、C、F四点共圆;
(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N.求证:BM=ND.
A
D
F
C
M
E
B
N
第20题图
解:∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEC=∠AFC=90°.
∴∠AEC+∠AFC=180°.∴A、E、C、F四点共圆;
(2)由(1)可知,圆的直径是AC,设AC、BD相交于点O,
∵ABCD是平行四边形,∴O为圆心.
∴OM=ON.∴BM=DN. 8分
57.(2009年滨州) 如图,为的切线,A为切点.直线与交于两点,
,连接.求证:.
【关键词】切线的性质定理及全等三角形的判定.
【答案】证明:∵为的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.
又∵,∴∠AOB=60°,又OA=OB,∴△AOB为等边三角形.
∴AB=AO,∠ABO=60°.又BC为的直径,∴∠BAC=90°.在△ACB和△APO中,∠BAC=∠OAP,AB=AO,∠ABO=∠AOB,∴.
46. (2009仙桃)如图,AB为⊙O的直径,D是⊙O上的一点,过O点作AB的垂线交AD于点E,交BD的延长线于点C,F为CE上一点,且FD=FE.
(1)请探究FD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,BD=,求BC的长.
【关键词】切线的性质定理及相似三角形的判定及性质..
【答案】解:(1)FD与⊙O相切,理由如下:
连接OD.∵OC⊥AB,∴∠AOC=90°,∴∠3+∠A=90°.∵FE=FD,
∴∠1=∠2.又∵∠2=∠3,∴∠1=∠3,又∵OA=OD,∴∠A=∠4.
∴∠1+∠4=90°,∴FD与⊙O相切.
(2)∵⊙O的半径为2,∴OB=2,AB=4,又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.∵OC⊥AB,∴∠ADB=∠BOC=90°,又∵∠B=∠B,∴Rt△ABD∽Rt△CBO
∴,即,∴.
68. (2009年台州市)如图,等腰中,,以点为圆心作圆与底边相切于点.
求证:.
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】证明:∵切⊙于点,
∴. ∵,
∴.
69.(2009年宁波市)已知,如图,的直径AB与弦CD相交于,,的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证:;
(2)连结BC,若的半径为4,,求线段AD、CD的长.
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】解:(1)直径平分,
.
与相切,是的直径,
.
.
(2)连结,
是的直径,
,
在中,
,.
.
于,
在
,.
.
直径平分,
.
70. (2009年义乌)如图,AB是的的直径,BCAB于点B,连接OC交于点E,弦AD//OC,弦DFAB于点G。
(1)求证:点E是的中点;
(2)求证:CD是的切线;
(3)若,的半径为5,求DF的长。
【关键词】直线与圆的位置关系及有关计算
【答案】
.(1)证明:
,.
,.
(2)连接.
由(1)知,
在和中,,.
.
.
又,,
即是的切线.
(3)在中,,设.
,,
又的半径为5,.
,,
,(舍去),.
71.(2009丽水市) 如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);
(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;
(3)若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.
【关键词】尺规作图、切线、相似
【答案】
解:(1)作出圆心O, 以点O为圆心,OA长为半径作圆.
(2)证明:
∵CD⊥AC,
∴∠ACD=90°.
∴AD是⊙O的直径
连结OC,
∵∠A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A =30°,
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°.
∴BC⊥OC,
∴BC是⊙O的切线.
(3)存在.
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中,DC=AD, ∴BD= .
解法一:①过点D作DP1// OC,则△P1D B∽△COB, ,
∵BO=BD+OD=,
∴P1D=×OC=× =.
②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴,
∵BC=
∴.
解法二:①当△B P1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°.在Rt△B P1D中,
DP1=.
②当△B D P2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°.
在Rt△B P2D中,DP2=.
51.(2009恩施市)21.如图10,在等腰三角形中,,为上一点,以为圆心、长为半径的圆交于,交于.
(1)求证:是的切线;
(2)若与相切于,,求的半径的长.
【关键词】等腰三角形、切线
【答案】
(1)证明:连接OD,则OB=OD
∴∠OBD=∠ODB,
又∵AB=AC
∴∠OBD=∠C
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC
又∵DE⊥AC
∴∠AED=90°,
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE是的切线。
(2)连接OF
∵与相切于,
∴OF⊥AC
又
设的半径为r
则
∴
所以的半径的长为.
72、(2009年鄂州)如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6
(1)求边AD、BC的长。
(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△
BCP相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由。
【关键词】与圆有关的综合题
【答案】(1)方法1:过D作DF⊥BC于F
在Rt△DFC中,DF=AB=8,FC=BC-AD=6
∴DC2=62+82=100,即DC=10
设AD= x,则DE=AD=x,EC=BC=x+6
∴x+(x+6)=10 ∴x=2
∴AD=2,BC=2+6=8
方法2:连OD、OE、OC,
由切线长定理可知∠DOC=90°,AD=DE,CB=CE
设AD=x,则BC=x+6
由射影定理可得:OE2=DE·EC
即:x(x+6)=16 解得x1=2, x2=-8(舍去)
∴AD=2, BC=2+6=8
(2)存在符合条件的P点
设AP=y,则BP=8-y,△ADP与△BCP相似,有两种情况:
① △ADP∽△BCP时, ∴y=
② ②△ADP∽△BPC时, ∴y=4
故存在符合条件的点P,此时AP=或4.
73.(2009年孝感)如图,⊙O是Rt的外接圆,,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA = PB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)已知,,求⊙O的半径.
【关键词】直线与圆的关系
【答案】
(1)证明:连接OB.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,
即∠PAO=∠PBO
又∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,
∴∠PBO=90°,
∴OB⊥PB .
又∵OB是⊙O半径,
∴PB是⊙O的切线.
说明:还可连接OB、OP,利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB.
(2)解:连接OP,交AB于点D.
∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
∵OA=OB,
∴点O在线段AB的垂直平分线上.
∴OP垂直平分线段AB.
∴∠PAO=∠PDA =90°.
又∵∠APO=∠DPA,
∴△APO∽△DPA.
∴,
∴AP2 = PO·DP.
又∵OD =BC =,
∴PO(PO–OD)=AP2.
即:PO2–PO=,解得 PO=2.
在Rt△APO中,,即⊙O的半径为1.
74、(2009泰安)将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是由他抽象出的几何图形,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OD。
(1) 求证:DB∥CF。
(2) 当OD=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB。
【关键词】切线、相似
【答案】证明:(1)连接OF,如图
∵AB且半圆O于F,
∴OF⊥AB。
∵CB⊥AB ,∴BC∥OF。
∵BC=OD,OD=OF,
∴BC=OF。
∴四边形OBCF是平行四边形,
∴DB∥CF。
(2)
∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,∠OFB=∠ABC=90°,
∴∠A∠OBF∠BOF
∵∠OBF=∠BFC,∠BFC>∠A,
∴∠OBF>∠A
∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。
∴∠A与∠BOF是对应角。
∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=.
75.(2009年烟台市)如图,AB,BC分别是的直径和弦,点D为上一点,弦DE交于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且,连接,交于点M,连接.
求证:(1);
(2).
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】(1)证明:连接,
.
切于点,,
,
,.
,即.
(2)连接.由(1)知.
是的直径,
.
.
四边形内接于,.
.
是的外角,.
.
76. (2009年天津市)如图,已知为的直径,是的切线,为切点,
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,求的长(结果保留根号).
【关键词】切线长定理
【答案】
(Ⅰ)是的切线,
为的直径,
.
.
,
.
又、切于点.
.为等边三角形.
.
(Ⅱ)如图,连接,则.
在中,
,
coscos.
为等边三角形,
..
77.(2009年南宁市)23.如图11,、是半径为1的的两条切线,点、分别为切点,.
(1)在不添加任何辅助线的情况下,写出图中所有的全等三角形;
(2)求阴影部分的面积(结果保留)..
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】:解:(1)
平分
由圆的对称性可知:
在中,
.
78.(2009年清远)如图8,已知是的直径,过点作弦的平行线,交过点的切线于点,连结.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
P
O
A
C
B
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】(1)证明:
是直径
是的切线,切点为
(2)
79.(2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).
(1)当为何值时,⊙与相切;
(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.
【关键词】相切
【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,
则.
∴∽.
∴.
∵,,
∴.∴.
(2)证明:∵,,∴∥.
当时,.
∴.
∴.
∴.
∵∽,
∴.
∴,
∴.
∴.
∴当时,四边形为平行四边形.
80.(2009年衡阳市)如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.
(1)求⊙O的直径;
(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;
(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为,连结EF,当为何值时,△BEF为直角三角形.
【关键词】圆、动态
【答案】解:
(1)∵AB是⊙O的直径(已知)
∴∠ACB=90º(直径所对的圆周角是直角)
∵∠ABC=60º(已知)
∴∠BAC=180º-∠ACB-∠ABC= 30º(三角形的内角和等于180º)
∴AB=2BC=4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半)
即⊙O的直径为4cm.
(2)如图(1)CD切⊙O于点C,连结OC,则OC=OB=1/2·AB=2cm.
∴CD⊥CO(圆的切线垂直于经过切点的半径)
∴∠OCD=90º(垂直的定义)
∵∠BAC= 30º(已求)
∴∠COD=2∠BAC= 60º(在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)
∴∠D=180º-∠COD-∠OCD= 30º(三角形的内角和等于180º)
∴OD=2OC=4cm(直角三角形中,30º锐角所对的直角边等于斜边的一半)
∴BD=OD-OB=4-2=2(cm)
∴当BD长为2cm,CD与⊙O相切.
(3)根据题意得:
BE=(4-2t)cm,BF=tcm;
如图(2)当EF⊥BC时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BAC
∴BE:BA=BF:BC
即:(4-2t):4=t:2
解得:t=1
如图10(3)当EF⊥BA时,△BEF为直角三角形,此时△BEF∽△BCA
∴BE:BC=BF:BA
即:(4-2t):2=t:4
解得:t=1.6
∴当t=1s或t=1.6s时,△BEF为直角三角形.
81.(2009年日照)如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点 E.
(1) 求∠AEC的度数;
(2)求证:四边形OBEC是菱形.
C
A
【关键词】等边三角形的判定,切线的性质,菱形的判定
【答案】(1)解:在△AOC中,AC=2,
∵ AO=OC=2,∴ △AOC是等边三角形.
∴ ∠AOC=60°, ∴∠AEC=30°.
(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.
∴ OC∥BD.
∴ ∠ABD=∠AOC=60°.
∵ AB为⊙O的直径,
∴ △AEB为直角三角形,∠EAB=30°.
∴∠EAB=∠AEC.
∴ 四边形OBEC 为平行四边形.
又∵ OB=OC=2.
∴ 四边形OBEC是菱形.
82.(2009年广西钦州)已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.
(1)求证:BC=CD;
(2)求证:∠ADE=∠ABD;
(3)设AD=2,AE=1,求⊙O直径的长.
【关键词】切线长定理、相似三角形.
【答案】
解:(1)∵∠ABC=90°,
∴OB⊥BC.
∵OB是⊙O的半径,
∴CB为⊙O的切线.
又∵CD切⊙O于点D,
∴BC=CD;
(2)∵BE是⊙O的直径,
∴∠BDE=90°.
∴∠ADE+∠CDB =90°.
又∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠CBD=90°.
由(1)得BC=CD,
∴∠CDB =∠CBD.
∴∠ADE=∠ABD;
(3)由(2)得,∠ADE=∠ABD,∠A=∠A.
∴△ADE∽△ABD.
∴=.
∴=,
∴BE=3,
∴所求⊙O的直径长为3.
83.图中的粗线CD表示某条公路的一段,其中AmB是一段圆弧,AC、BD是线段,且AC、BD分别与圆弧相切于点A、B,线段AB=180m,∠ABD=150°.
(1)画出圆弧的圆心O;
(2)求A到B这段弧形公路的长.
【关键词】切线性质、等边三角形判定和性质、弧长计算、
【答案】
解:(1)如图,过A作AO⊥AC,过B作BO⊥BD,AO与BO相
交于O,O即圆心.
说明:若不写作法,必须保留作图痕迹.其它作法略.
(2)∵ AO、BO都是圆弧的半径,O是其圆心,
∴ ∠OBA=∠OAB=150°-90°=60°.
∴ △AOB为等边三角形.∴ AO=BO=AB=180.
∴ (m).
∴ A到B这段弧形公路的长为m.
84. (2009年广西梧州)如图(8)所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在⊙O 上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.
(1)求证:DC=BC;
(2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值.
(1)证明:连接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵CE是⊙O的切线
∴∠OCE=90°
∵AE⊥CE
∴∠AEC=∠OCE=90°
∴OC∥AE
∴∠OCA=∠CAD
∴∠CAD=∠BAC
∴
∴DC=BC.
(2)∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴
∵∠CAE=∠BAC ∠AEC=∠ACB=90°
∴△ACE∽△ABC
∴
∴,
∵DC=BC=3
∴
∴.
85.(2009年包头)如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:;
(3)点是的中点,交于点,若,求的值.
【关键词】圆、切线
解:(1),
又,
.
又是的直径,
,
,即,
而是的半径,
是的切线.
(2),
,
又,
.
(3)连接,
点是的中点,,,
而,,而,
,,,
又是的直径,,
.
,.
86.(2009年长沙)在中,,是边上一点,以为直径的与边相切于点,连结并延长,与的延长线交于点.
(1)求证:;
(2)若,求的面积.
【关键词】圆、切线、面积
(1)证明:连结.
切于,
,
A
E
D
O
B
C
F
又即,
,
.
又,
,
,
.
(2)设半径为,由得.
,即,
,解之得(舍).
.
87.(2009年莆田)已知,如图,是以线段为直径的的切线,交于点,过点作弦垂足为点,连接.
(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论:①________,②________ ,③________,④____________(不添加其它字母和辅助线,不必证明);
(2)=,=,求的半径
【关键词】圆、切线
(1)
等
(每写出一个正确结论得1分,满分4分.)
(2)解:是的直径
又
又是的切线
在中,
.
88.(2009年本溪)22.如图所示,AB是直径,弦于点,且交于点,若.
(1)判断直线和的位置关系,并给出证明;
(2)当时,求的长.
【关键词】切线
【答案】
(1)直线和相切.证明:
∵,,
∴.∵,
∴.∴.
即.∴直线和相切.(2)连接.
∵AB是直径,
∴.
在中,,
∴.
∵直径,
∴.
由(1),和相切,
∴.∴.
由(1)得,
∴.∴.
∴,解得.
89.(2009肇庆)25. 如图 9,的直径和是它的两条切线,切于E,交AM于D,
交BN 于C.设.
(1)求证:;
(2)求关于的关系式;
(3)求四边形的面积S,并证明:.
【关键词】切线
【答案】(1)证明:∵AB是直径,AM、BN是切线,
∴,∴.解:(2)过点D作 于F,则.
由(1),∴四边形为矩形.
∴,.
∵DE、DA,CE、CB都是切线,
∴根据切线长定理,得
,.
在中,,
∴,化简,得.(3)由(1)、(2)得,四边形的面积,
即.∵,当且仅当时,等号成立.
∴,即.
90.(2009临沂)如图,AC是的直径,PA,PB是的切线,A,B为切点,AB=6,PA=5.
求(1)的半径;
(2)的值.
【关键词】圆的性质,切线,三角函数
【答案】
解:(1)连接.设交于.
是的切线.
,
,.
,.
.
在和中,.
,即的半径为.
(2)在中,.
.
91.(2009年温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0为BC边上一点,以0为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连结DE. ’
(1)当BD=3时,求线段DE的长;
(2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F.求证:△FAE是等腰三角形.
【关键词】直角三角形、圆的性质,相似的判定,切线的性质,等腰三角形的判定
【答案】解:
(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∵DB为直径,
∴∠DEB=∠C=90°,
又∵∠B=∠B ,
∴△DBE∽△ABC
∴ 即
∴DE=。
(2)解法一:连结OE,
∵EF为半圆O的切线,
∴∠DEO+∠DEF=90°,
∵∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠AEF=∠DEO,
∵△DBE∽△ABC,
∴∠A=∠EDB,
又∵∠EDO=∠DEO,
∴∠AEF=∠A,
∴△FAE是等腰三角形。
解法二:连结OE,
∵EF为半圆O的切线,
∴∠AEF+∠OEB=90°,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵OE=OB
∴∠OEB=∠B,
∴∠AEF=∠A
∴△FAE是等腰三角形。
92.(2009年湖州)如图,在平面直角坐标系中,直线∶=分别与轴,轴相交于两点,点是轴的负半轴上的一个动点,以为圆心,3为半径作.
(1)连结,若,试判断与轴的位置关系,并说明理由;
(2)当为何值时,以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形?
【关键词】直线与圆的位置关系,相切的判定,正三角形的性质,相似的性质
【答案】
解:(1)与轴相切.
直线与轴交于,与轴交于,
,
由题意,.
在中,,
等于的半径,与轴相切.
(2)设与直线交于两点,连结.
当圆心在线段上时,作于.
为正三角形,.
,
即,
,
.
当圆心在线段延长线上时,同理可得,
,
当或时,以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形.
93.(2009年中山)在中,,
以为直径作,
(1)求圆心到的距离(用含的代数式来表示);
(2)当取何值时,与相切.
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】
(1)分别过两点作,垂足分别为点,点,
就是圆心到的距离.
四边形是平行四边形,
.
94、(2009年兰州)如图,要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮,需先在这块铁皮上画出一个半圆,使它的圆心在线段AC上,
且与AB、BC都相切.请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).
【关键词】直线与圆位置关系、尺规作图
【答案】作出角平分线得2分,作出半圆再得2分,小结1分,共5分。
上图即为所求图形
95、(2009年遂宁)如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF·AC,cos∠ABD=,AD=12.
⑴求证:△ANM≌△ENM;
⑵求证:FB是⊙O的切线;
⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
【关键词】直线与圆位置关系、勾股定理、相似形
【答案】⑴证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90o,又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=EMN,又∵MN=MN,∴△ANM≌△ENM
⑵∵AB2=AF·AC,∴,又∵∠BAC=∠FAB=90o,∴△ABF∽△ACB,∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o,∴FB是⊙O的切线
⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,∴AM=ME=EN=AN,∴四边形AMEN是菱形,∵cos∠ABD=,∠ADB=90o
∴,设BD=3x,则AB=5x,,由勾股定理而AD=12,∴x=3
∴BD=9,AB=15,∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15,∴DE=BE-BD=6,∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE,∴△BND∽△BME,则,设ME=x,则ND=12-x,,解得x=
∴S=ME·DE=×6=45
96、(2009年济南)已知,如图②,是的直径,与相切于点连接交于点的延长线交于点连接、,求和的度数.
【关键词】直线与圆位置关系、切线性质
【答案】
∵是的直径
∴,
∵
∴
∵是的切线
∴,
又
∴.
在中,,
,
圆心到的距离为.
(2),
为的直径,且,
当时,与相切于点,
即,
当时,与相切.
97.(2009年漳州)如图,点在的直径的延长线上,点在上,,,
A
O
B
D
C
(1)求证:是的切线;
2
(2)若的半径为3,求的长.(结果保留)
1
【关键词】切线的判定
【答案】
(1)证明:连结,
,
,
,
,
.
是的切线.
(2),
的长=.
答:的长为.
98. (2009年北京市)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径.
【关键词】圆的有关证明
(1)证明:连续OM,则OM=OB.
∴∠1=∠2.
∵BM平分∠ABC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OM∥BC.
∴∠AMO=∠AEB.
在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,
∴AE⊥BC.
∴∠AEB=90°,
∴∠AMO=90°,
∴OM⊥AE.
∴OE与⊙O相切.
(2) 在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,
∴,∠ABC=∠C,
∴BC=4,,
∴BE=4,cos∠ABC=.
在△ABE中,∠AEB=90°,
∴
设⊙O的半径为r,则AO=6-r.
∵OM∥BC,
∴△AOM∽△ABE,
∴,
∴,解得.
∴⊙O的半径为.
【答案】
99.(09湖南怀化)如图,直线经过⊙上的点,并且⊙交直线于、两点,连接,,.
求证:(1); (2)∽.
【关键词】圆的基本性质、切线定理
【答案】证明:
(1)∵OE=OD,
∴△ODE是等腰三角形,
又EC=DC,
∴C是底边DE上的中点,
∴
(2)∵AB是直径,
∴∠ACB=,
∴∠B+∠BAC=,
又∠DCA+∠ACO=,∠ACO=∠BAC,
∴∠DCA=∠B.又∠ADC=∠CDB,
∴△ACD∽△CBD.
100.(09湖南怀化)如图,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
(1)求与轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.
【关键词】圆的基本性质、圆的对称性、切线定理
【答案】解
(1)易求得点的坐标为
由题设可知是方程即 的两根,
所以,
所
如图,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则
由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,所以点D的坐标为(0,1)
(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点的坐标为,即.
又,
所以解得
101.(2009年湖北十堰市)如图,直线l切⊙O于点A,点P为直线l上一点,直线PO交⊙O于点C、B,点D在线段AP上,连结DB,且AD=DB.
(1)求证:DB为⊙O的切线.
(2)若AD=1,PB=BO,求弦AC的长.
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】(1)证明: 连结OD ,
∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD = 90°,
∵ OA=OB,DA=DB,DO=DO, ∴ΔOAD≌ΔOBD
∴ ∠OBD=∠OAD = 90°, ∴PA为⊙O的切线
(2)解:在RtΔOAP中, ∵ PB=OB=OA ∴ ∠OPA=30°
∴ ∠POA=60°=2∠C , ∴PD=2BD=2DA=2
∴ ∠OPA=∠C=30°
∴ AC=AP=3
说明:其它解法请参照上述评分说明给分.
102.(2009年新疆乌鲁木齐市)如图2,在中,,以为直径的交于点,于点.
(1)求证是的切线;
(2)若,求图中阴影部分的面积.
【关键词】直线与圆的位置关系、锐角三角函数、直角三角形的有关计算
【答案】(1)证明:连接.
∵,∴,∵,∴.
∴,∴.
又,∴,点在上,∴是的切线.
(2)连接.∵为直径,点在上,∴.
∵,∴,∴.
又∵在中,于点,∴.
,
,
∴,,
∴.
103.(2009年厦门)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,P是△OAC的重心,且OP=,∠A=30°
(1)求劣弧的长;
(2)若∠ABD=120°,BD=1.求证:CD是是⊙O的切线.
【关键词】圆的性质的应用
【答案】(1)解:延长OP交AC于E,
∵ P是△OAC的重心,OP=,
∴ OE=1, ……1分
且 E是AC的中点.
∵ OA=OC,∴ OE⊥AC.
在Rt△OAE中,∵ ∠A=30°,OE=1,
∴ OA=2. ……2分
∴ ∠AOE=60°.
∴ ∠AOC=120°.
∴ =π.
(2)证明:连结BC.
∵ E、O分别是线段AC、AB的中点,
∴ BC∥OE,且BC=2OE=2=OB=OC.
∴ △OBC是等边三角形.
法1:∴ ∠OBC=60°.
∵ ∠OBD=120°,∴ ∠CBD=60°=∠AOE.
∵ BD=1=OE,BC=OA,
∴ △OAE ≌△BCD.
∴ ∠BCD=30°.
∵ ∠OCB=60°,
∴ ∠OCD=90°.
∴ CD是⊙O的切线.
法2:过B作BF∥DC交CO于F.
∵ ∠BOC=60°,∠ABD=120°,
∴ OC∥BD.
∴ 四边形BDCF是平行四边形.
∴ CF=BD=1.
∵ OC=2,
∴ F是OC的中点.
∴ BF⊥OC.
∴ CD⊥OC.
∴ CD是⊙O的切线.
104.(2009年桂林市、百色市)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,若
∠MAC=∠ABC .
(1)求证:MN是半圆的切线;
(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC 于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.
求证:FD=FG.
(3)若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.
【关键词】圆
【答案】
证明(1):
∵AB是直径
∴∠ACB=90º ,
∴∠CAB+∠ABC=90º
∵∠MAC=∠ABC
∴∠MAC+∠CAB=90º,即MA⊥AB
∴MN是半圆的切线.
(2)证法1:
∵D是弧AC的中点,
∴∠DBC=∠2
∵AB是直径,
∴∠CBG+∠CGB=90º
∵DE⊥AB,
∴∠FDG+∠2=90º
∵∠DBC=∠2,
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD
∴FD=FG
证法2:连结AD,则∠1=∠2
∵AB是直径,
∴∠ADB=90º
∴∠1+∠DGF=90º
又∵DE⊥AB
∴∠2+∠FDG=90º
∴∠FDG=∠FGD,
∴FD=FG
(3)解法1:过点F作FH⊥DG于H,
又∵DF=FG
∴S△FGH=S△DFG=×4.5=
∵AB是直径,FH⊥DG
∴∠C=∠FHG=90º
∵∠HGF=∠CGB,
∴△FGH∽△BGC
∴
∴S△BCG=.
解法2:∵∠ADB=90º,DE⊥AB,
∴∠3=∠2
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3
∴AF=DF=FG
∴S△ADG=2S△DFG=9
∵∠ADG=∠BCG,∠DGA=∠CGB
∴△ADG∽△BCG
∴
∴S△BCG=
解法3:连结AD,过点F作FH⊥DG于H,
∵S△FDG=DG×FH=×3FH=4.5
∴FH=3
∵H是DG的中点,FH∥AD
∴AD=2FH=6
∴S△ADG=.
(以下与解法2同)
105.(2009年陕西省) 23.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,过点A作AP∥BC,交BO的延长线于点P.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径R=5,BC=8,求线段AP的长.
【关键词】直线与圆的位置关系 圆与相似三角形的综合
【答案】解:(1)证明:过点A作AE⊥BC,交BC于点E.
∵AB=AC,
∴AE平分BC.
∴点O在AE上.
又 ∵AP∥BC,
∴AE⊥AP.
∴AP为⊙O的切线.
(2) ∵BE=BC=4.
∴OE==3.
又 ∵∠AOP=∠BOE,
∴△OBE∽△OPA.
∴.
即 .
∴AP=.
106.(2009武汉)如图,中,,以为直径作交边于点,是边的中点,连接.
(1)求证:直线是的切线;
(2)连接交于点,若,求的值.
C
E
B
A
O
F
D
【关键词】直线与圆的位置关系 三角函数
【答案】证明:(1)连接.
是的直径,
,
点是的中点,
.
.
直线是的切线.
C
E
B
A
O
F
D
H
(2)作于点,
由(1)知,,.
,且.
.
,,.
.
.
.
107.(2009年安顺)如图,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E。
(1) 求证:DE是⊙O的切线;
(2) 作DG⊥AB交⊙O于G,垂足为F,若∠A=30°,AB=8,求弦DG的长。
【关键词】切线定理
【答案】
证明:连结OD.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO.
∵BA=BC,
∴∠A=∠C.
∴∠ADO=∠C.
∴DO∥BC.
∵DE⊥BC
∴DO⊥DE.
又点D在⊙O 上
∴DE是⊙O的切线
(2)解:∠DOF =∠A+∠ADO = 60°
在Rt⊿DOF中,OD = 4
DF = OD·sin∠DOF = 4·sin60°= 2
∵直径AB⊥弦DG ∴DF = FG
∴DG = 2DF = 4.
108.(2009威海)如图,在直角坐标系中,点的坐标分别为,过三点的抛物线的对称轴为直线为对称轴上一动点.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 求当最小时点的坐标;
(3) 以点为圆心,以为半径作.
①证明:当最小时,直线与相切.
②写出直线与相切时,点的另一个坐标:___________.
【关键词】待定系数法,直线与圆的位置关系
【答案】(1)设抛物线的解析式为.
将代入上式,得.
解,得.
抛物线的解析式为.
即.
(2)连接,交直线于点.
点与点关于直线 对称,
.
.
由“两点之间,线段最短”的原理可知:
此时最小,点的位置即为所求.
设直线的解析式为,
由直线过点,,得
解这个方程组,得
直线的解析式为.
由(1)知:对称轴为,即.
将代入,得.
点的坐标为(1,2).
说明:用相似三角形或三角函数求点的坐标也可,答案正确给2分.
(3)①连接.设直线与轴的交点记为点.
由(1)知:当最小时,点的坐标为(1,2).
.
.
.
.
与相切.
②.
109.(2009年湖南长沙)在中,,是边上一点,以为直径的与边相切于点,连结并延长,与的延长线交于点.
(1)求证:;
(2)若,求的面积.
【答案】(1)证明:连结.
切于,
,
又即,
,
.
又,
,
,
.
(2)设半径为,由得.
,即,
,解之得(舍).
.
110.(2009年内蒙古包头)
如图,已知是的直径,点在上,过点的直线与的延长线交于点,,.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:;
(3)点是的中点,交于点,若,求的值.
【解析】本题综合考查等腰三角形的性质及切线的判定, 及利用三角形相似的性质和判定,求等积式等。
【答案】(1)∵OA=OC,∴,又∵
∴ 又∵AB是⊙O的直径,∴
∴即OC⊥CP,而OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线。
(2)∵AC=PC, ∴ ∴,
又∵ ∴ ∴
∴
(3)、连结MA、MB,∵点M是的中点, ∴ ∴
而 ∴ 而
∴∽, ∴,∴,
又∵AB是⊙O的直径,,∴
∵AB=4,∴,∴。
111.(2009年淄博市)如图,两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5,AD是大圆的直径.大圆的弦AB,BE分别与小圆相切于点C,F.AD,BE相交于点G,连接BD.
(1)求BD 的长;
(2)求∠ABE+2∠D的度数;
(3)求的值.
解:
(1)连接OC,并延长BO交AE于点H,
∵AB是小圆的切线,C是切点,
∴OC⊥AB,
∴C是AB的中点.
∵AD是大圆的直径,
∴O是AD的中点.
∴OC是△ABD的中位线.
∴BD=2OC=10.
(2) 连接AE,由(1)知C是AB的中点.
同理F是BE的中点.
由切线长定理得BC=BF.
∴BA=BE.
∴∠BAE=∠E.
∵∠E=∠D,
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º.
(3) 连接BO,在Rt△OCB中,
∵OB=13,OC=5,
∴BC=12.
由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.
∵∠BGO=∠AGB,
∴△BGO∽△AGB.
∴.
112.(2009年贵州省黔东南州)如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证AC与⊙O相切.
【关键词】切线的判定
【答案】证明:
连结OD,过点O作OE⊥AC于E点。
∵AB切⊙O于D
∴OD⊥AB
∴∠ODB=∠OEC=90°
又∵O是BC的中点
∴OB=OC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴△OBE≌△OCE
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径
∴AC与⊙O相切
113、(2009辽宁朝阳)如图,是的外接圆,点在上,,点是垂足,,连接.
求证:是的切线.
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】
证明:连接
又.
,即是的切线
114.(2009东营)如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点 E.
(1) 求∠AEC的度数;
(2)求证:四边形OBEC是菱形.
【关键词】圆的切线
【答案】C
(1)解:在△AOC中,AC=2,
∵ AO=OC=2,
∴ △AOC是等边三角形.
∴ ∠AOC=60°,
∴∠AEC=30°.
(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.
∴ OC∥BD.
∴ ∠ABD=∠AOC=60°.
∵ AB为⊙O的直径,
∴ △AEB为直角三角形,∠EAB=30°.
∴∠EAB=∠AEC.
∴ 四边形OBEC 为平行四边形.
又∵ OB=OC=2.
∴ 四边形OBEC是菱形.
115、(2009贺州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于点D,取AC的中点E,连结DE、OE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径是cm,ED=2cm,求AB的长.
【关键词】证明直线是圆的直线并进行计算
【答案】证明:(1)连结OD.
由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB.
∴∠1=∠2,∠B=∠3,又OB=OD.
∴∠2=∠3.
而OD=OC,OE=OE
∴△OCE≌△ODE.
∴∠OCE=∠ODE.
又∠C=90°,故∠ODE =90°.
∴DE是⊙O的切线.
(2)在Rt△ODE中,由,DE=2
得
又∵O、E分别是CB、CA的中点
∴AB=2·
∴所求AB的长是5cm.
116.(2009年铁岭市)如图所示,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥
AB.AB=10,AC=6,E是AB延长线上一点,.判断直线DE与半圆O的位置关系,并证明你的结论.
【关键词】垂径定理及其逆定理;直线与圆的位置关系;切线定理;直角三角形的性质;相似三角形与圆
【答案】直线与半圆相切.
证明:法一:
连接,作于点.
∵,∴.
∵.
∴,
∴.
∵,∴.
∴,
∴,
∴
∴直线与半圆相切.
法二:连接,作于点,作于点.
∵,∴.
在中,
∵,,
∴四边形是矩形,
∴.
∵,,
在中,.
∵,
∴
∴.
∴直线与半圆相切.
117.(2009龙岩)如图,已知点E在△ABC的边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于
点D,且AD平分∠BAC .
求证:AC⊥BC.
【关键词】切线定理
【答案】证明:连接OD
∵OA = OD,∴∠1 =∠3;
∵AD平分∠BAC,∴∠1 =∠2;
∴∠2 =∠3;∴OD∥AC,
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC ∴AC⊥BC 。
118.(2009年抚顺市)如图所示,AC与⊙O相切于点C,线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC交⊙O于点D,连接CD、OC,且OC交DB于点E.若∠
CDB=30°,.
(1)求⊙O的半径长;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留)
119.(2009年梅州市)如图 ,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.点E是CD上的动点,以AE为直径的⊙O与AB交于点F,过点F作FG⊥BE于点G.
(1)当E是CD的中点时:
①tan∠EAB的值为______________;
② 证明:FG是⊙O的切线;
(2)试探究:BE能否与⊙O相切?若能,求出此时DE的长;若不能,请说明理由.
【关键词】圆的切线
【答案】(1)①
②法一:在矩形中,,
,又,
∴,
得,
连,则, ∴,
, ∴,
∵, ∴,
∴是的切线
(法二:提示:连,证四边形是平行四边形.参照法一给分.)
(2)法一:若能与相切, ∵是的直径,
∴,则,
又, ∴,
∴,
∴,设,则,得,
整理得.
∵, ∴该方程无实数根.
∴点不存在,不能与相切.
法二: 若能与相切,因是的直径,则,
设,则,由勾股定理得:,
即, 整理得,
∵, ∴该方程无实数根.
∴点不存在,不能与相切.