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- 2021-05-13 发布
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2013中考数学分类复习 三角形
一、选择题
1. (2012宁夏区3分)一个等腰三角形两边的长分别为4和9,那么这个三角形的周长是【 】
A.13 B.17 C.22 D.17或22
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】求等腰三角形的周长,即是确定等腰三角形的腰与底的长;题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形:
①若4为腰长,9为底边长,由于4+4<9,则三角形不存在;
②9为腰长,则符合三角形的两边之和大于第三边。
∴这个三角形的周长为9+9+4=22。故选C。
2. (2012湖北荆门3分)如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为【 】
A. 2 B. 2 C. D. 3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质,角平分线的定义,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形,点P是∠ABC的平分线,∴∠EBP=∠QBF=30°,
∵BF=2,FQ⊥BP,∴BQ=BF•cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线,∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中,∵∠EBP=30°,∴PE=BP=。故选C。
3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为【 】
A.2 B.3 C. D.
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线分线段成比例,等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点,使得CF=BD,
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC(SAS)。∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。故选A。
4. (2012四川广安3分)已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则△ABC底角的度数为【 】
A.45° B.75° C.45°或75° D.60°
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】根据题意画出图形,注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析,然后利用等腰三角形与直角三角形的性质,即可求得答案:
如图1:AB=AC,
∵AD⊥BC,∴BD=CD=BC,∠ADB=90°。
∵AD=BC,∴AD=BD。 ∴∠B=45°。
即此时△ABC底角的度数为45°。
如图2,AC=BC,
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°。
∵AD=BC,∴AD=AC,∴∠C=30°。∴∠CAB=∠B=(1800-∠A)÷2=75°。
即此时△ABC底角的度数为75°。
综上所述,△ABC底角的度数为45°或75°。故选C。
5. (2012黑龙江龙东地区3分)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,
点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为【 】
A. 20 B. 12 C. 14 D. 13
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC,CD=BD=BC=4。
∵点E为AC的中点,
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=AC=5。
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。故选C。
6. (2011安徽芜湖,6,4分)如图,已知中,,
是高和的交点,,则线段的长度为( ).
A. B. 4 C. D.
B
7、(2011浙江衢州,1,3分)如图,平分于
点,点是射线 上的一个动点,若,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D. 4
第7题
(第7题)
8. (2012福建三明4分)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有【 】
A. 2个 B. 3个 C.4个 D.5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图,分OP=AP(1点),OA=AP(1点),OA=OP(2点)三种情况讨论。
∴以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有4个。故选C。
9. (2011四川南充市,10,3分)如图,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【答案】D
考点:锐角三角函数的定义;等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形;梯形中位线定理。
专题:证明题。
分析:①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知,==;然后由直角三角形中的正切函数,得tan∠AEC=,再由等量代换求得tan∠AEC=;
②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab(a=b时取等号)解答;
③、④通过作辅助线MN,构建直角梯形的中位线,根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答.
解答:解:∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°,
∴∠ACE=90°;
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=,
∴tan∠AEC=;故本选项正确;
②∵S△ABC=a2,S△CDE=b2,S梯形ABDE=(a+b)2,
∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab,
S△ABC+S△CDE=(a2+b2)≥ab(a=b时取等号),
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE;故本选项正确;
④过点M作MN垂直于BD,垂足为N.
∵点M是AE的中点,
则MN为梯形中位线,
∴N为中点,
∴△BMD为等腰三角形,
∴BM=DM;故本选项正确;
③又MN=(AB+ED)=(BC+CD),
∴∠BMD=90°,
即BM⊥DM;故本选项正确.
故选D.
二、填空题
1. (2012浙江宁波3分)如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB=
▲ 度.
【答案】40。
【考点】等腰三角形的性质,平角定义,三角形内角和定理,平行线的性质。
【分析】∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC。
∵∠ACD=110°,∴∠ACB=∠BAC=70°。∴∠B=∠40°,
∵AE∥BD,∴∠EAB=40°。
2. (2012湖北随州4分)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 ▲ .
【答案】6和4或5和5。
【考点】等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理。
故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5。
3. (2012湖北黄冈3分)如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠A=36° ,AB的垂直平分线交AC 于点E,垂
足为点D,连接BE,则∠EBC 的度数为 ▲ .
【答案】36°。
【考点】线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE。
∵∠A=36° ,∴∠ABE=∠A=36°。
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=。∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°。
4. (2012湖北襄阳3分)在等腰△ABC中,∠A=30°,AB=8,则AB边上的高CD的长是 ▲ .
【答案】4或或。
【考点】等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC,AB=BC和AC=BC时的图象,然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形,分别进行计算即可:
(1)如图,当AB=AC时,
∵∠A=30°,
∴CD=AC=×8=4。
(2)如图,当AB=BC时,则∠A=∠ACB=30°。
∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4。
(3)如图,当AC=BC时,则AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=。
综上所述,AB边上的高CD的长是4或或。
5. (2012四川广元3分) 已知等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是 ▲
【答案】50°,50°或80°,20°。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】分情况讨论:
(1)若等腰三角形的顶角为80°时,另外两个内角=(180°-80°)÷2=50°;
(2)若等腰三角形的底角为80°时,顶角为180°-80°-80°=20°。
∴等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是50°,50°或80°,20°。
6. (2012山东济宁3分)如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,则tan∠AEO= ▲ .
【答案】。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC。
∵BF⊥AC,∴∠ABF=∠ABC=30°。
∵AB=AC,AE=AC,∴AB=AE。
∵AO平分∠BAE,∴∠BAO=∠EAO。
∵在△BAO和△EAO中,AB=AE,∠BAO=∠EAO,AO=AO,
∴△BAO≌△EAO(SAS)。∴∠AEO=∠ABO=30°。∴tan∠AEO=tan30°=。
7. (2012黑龙江龙东地区3分)等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为 ▲ 。
【答案】8或或。
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。
【分析】由已知的是一边上的高,分底边上的高和腰上的高两种情况,当高为腰上高时,再分锐角三角形与钝角三角形两种情况:
(1)如图,当AD为底边上的高时,
∵ AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AD=3,AB=5,
根据勾股定理得:。
∴BC=2BD=8。
(2)如图,当CD为腰上的高时,
若等腰三角形为锐角三角形,
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,
根据勾股定理得:。
∴BD=AB-AD=5-4=1。
在Rt△BDC中,CD=3,BD=1,
根据勾股定理得:。
若等腰三角形为钝角三角形,
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,
根据勾股定理得:。
∴BD=AB+AD=5+4=9。
在Rt△BDC中,CD=3,BD=9,
根据勾股定理得:。
综上所述,等腰三角形的底边长为8或或。
三、解答题
1.(12分)(2011年达州)如图,△ABC的边BC在直线m上,AC⊥BC,且AC=BC,△DEF的边FE也在直线m上,边DF与边AC重合,且DF=EF.
(1)在图(1)中,请你通过观察、思考、猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)
(2)将△DEF沿直线m向左平移到图(2)的位置时,DE交AC于点G,连接AE,BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.
解:(6分)(1)AB=AE, AB⊥AE……………………2分
(2) 将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合),理由如下:……………………3分
∵AC⊥BC,DF⊥EF,B、F、C、E共线,∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°
又∵AC=BC,DF=EF,∴∠DFE=∠D=45°,
在△CEG中,∵∠ACE=90°,∴∠CGE=∠DEF=90°,
∴CG=CE,……………………4分
在△BCG和△ACE中
∵
∴△BCG≌△ACE(SAS)……………………5分
∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合(或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合)……………………6分
2(2006锦州).如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
解.(1)猜想:AF=BD且AF⊥BD.……1分
证明:设AF与DC交点为G.
∵FC=DC,AC=BC,∠BCD=∠BCA+∠ACD,
∠ACF=∠DCF+∠ACD,∠BCA=∠DCF=90°,
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.……4分
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA,
∴∠BDC+∠DGA=90°.
∴AF⊥BD.……7分
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论:AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一,只要符合要求即可.
画出图形得1分,写出结论得1分,此题共2分.如:
①CD边在△ABC的内部时; ②CF边在△ABC的内部时.
3、(2009年牡丹江)已知中,为边的中点,
绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、
当绕点旋转到于时(如图1),易证
当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
.解:图2成立;图3不成立. 2分
图2
A
D
B
C
E
M
N
F
证明图2:
过点作
则
再证
有
由信息可知
4分
图3不成立,的关系是:
2分
4. 如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,
BM^直线a于点M,CN^直线a于点N,连接PM、PN;
(1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证:△BPM@△CPE;k 求证:PM = PN;
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变。此时
PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变。请直接判断四边形MBCN
的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由。
a
A
B
C
P
M
N
A
B
C
M
N
a
P
A
B
C
P
N
M
a
图1
图2
图3
. (1) [证明] j 如图2,∵BM^直线a于点M,CN^直线a于点N,
∴ÐBMN=ÐCNM=90°,∴BM//CN,∴ÐMBP=ÐECP,
又∵P为BC边中点,∴BP=CP,又∵ÐBPM=ÐCPE,∴△BPM@△CPE,
k ∵△BPM@△CPE,∴PM=PE,∴PM=ME,∴在Rt△MNE中,PN=ME,
∴PM=PN;
(2) 成立,如图3,
[证明] 延长MP与NC的延长线相交于点E,∵BM^直线a于点M,CN^直线a于点N,
∴ÐBMN=ÐCNM=90°,∴ÐBMN+ÐCNM=180°,∴BM//CN,∴ÐMBP=ÐECP,
又∵P为BC中点,∴BP=CP,又∵ÐBPM=ÐCPE,∴△BPM@△CPE,∴PM=PE,
∴PM=ME,则在Rt△MNE中,PN=ME,∴PM=PN。
(3) 四边形MBCN是矩形,PM=PN成立。
5.(2011锦州) 如图(1)~(3),已知∠AOB的平分线OM上有一点P,∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D,连接CD交OP于点G,设∠AOB=α(0°<α<180°),∠CPD=β.
(1)如图(1),当α=β=90°时,试猜想PC与PD,∠PDC与∠AOB的数量关系(不用说明理由);
(2)如图(2),当α=60°,β=120°时,(1)中的两个猜想还成立吗?请说明理由.
(3)如图(3),当α+β=180°时,①你认为(1)中的两个猜想是否仍然成立,若成立请直接写出结论;若不成立,请说明理由.
②若=2,求的值.
(1)
(2)
(3)
解. (1)PC=PD,∠PDC=∠AOB.
(2)成立. 理由如下:(3分)
作PE⊥AO于E,PF⊥OB于F,如图.
(第25题)
∵ OP平分∠AOB,
∴ PE=PF.
在四边形EOFP中,
∵ ∠AOB=60°,∠PEO=∠PFO=90°,
∴ ∠EPF=120°,即∠EPC+∠CPF=120°.
又 ∠CPD=120°,即∠DPF+∠CPF=120°.
∴ ∠EPC=∠DPF.
∴ △EPC≌△FPD.
∴ PC=PD.(7分)
∴ ∠PDC==30°.
∵ ∠AOB=60°,
∴ ∠PDC=∠AOB.(8分)
(3)①成立.
②∵ ∠PDC=∠AOB,
∠POD=∠AOB,
∴ ∠PDC=∠POD.
又 ∠DPG=∠DPO,[来源:Zxxk.Com]
∴ △PGD∽△PDO.
∴ =.
又 =2,
∴ =.(12分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]
6(2012铁岭)已知△ABC是等边三角形.
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角 (0°< <180°),得到△ADE,BD和EC所在直线相交于点O.
①如图 ,当 =20°时,△ABD与△ACE是否全等? △ (填“是”或“否”),∠BOE= △ 度;
②当△ABC旋转到如图 所在位置时,求∠BOE的度数;
(2)如图 ,在AB和AC上分别截取点B′和C′,使AB= AB′,AC= AC′,连接B′C′,将
△AB′C′绕点A逆时针旋转角 (0°< <180°),得到△ADE ,
BD和EC所在直线相交于点O,请利用图 探索∠BOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.
解.(1)是 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
∠BOE=120° ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
(2)由已知得:△ABC和△ADE是全等的等边三角形
∴AB=AD=AC=AE
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转 得到的
∴∠BAD=∠CAE=
∴△BAD≌△CAE ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
∴∠ADB=∠AEC
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°
∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE
∴∠DAE+∠BOE=180°
又∵∠DAE=60°
∴∠BOE=120° ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分
(3)当0°< <30°时,∠BOE=60°
当30°< <180°时,∠BOE=120° ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分
7、(2012丹东)已知:点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段 BD、CE交于点M.
(1)如图1,若AB=AC,AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系?并说明理由;
②求∠BMC的大小(用α表示);
(2)如图2,若AB= BC=kAC,AD =ED=kAE
则线段BD与CE的数量关系为 ,∠BMC= (用α表示);
(3)在(2)的条件下,把△ABC绕点A逆时针旋转180°,在备用图中作出旋转后的图形(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),连接 EC并延长交BD于点M.
B
C
A
D
E
M
则∠BMC= (用α表示).
B
C
A
D
E
M
图2
图1
备用图
A
D
E
. 解:
(1) ①BD=CE …………1′
B
C
A
D
E
M
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE=α
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α
同理可得:∠BAC=180°-2α
∴∠DAE =∠BAC
∴∠DAE+∠BAE =∠BAC+∠BAE
即:∠BAD =∠CAE …………2′
图1
在△ABD与△ACE中
B
C
A
D
E
M
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE …………………………4′
② ∵△ABD≌△ACE
∴∠BDA =∠CEA
∵图2
∠BMC=∠MCD+∠MDC
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA
=∠EAD=180°-2α…………………………6′
E
A
C
D
B
M
(2)BD=kCE ……………………7′
……………………8′
(3)画图正确…………………10′
…………………12′
备用图
第25题图