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  • 2021-05-13 发布

中考数学压轴题解题策略7线段和差最值的存在性问题解题策略

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线段和差最值的存在性问题解题策略 专题攻略 两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1).‎ 三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).‎ 两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′.‎ 解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题.‎ 图1 图2 图3‎ 例题解析 例❶ 如图1-1,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上的一个动点,如果△PAC的周长最小,求点P的坐标.‎ 图1-1‎ ‎【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A与点B对称,连结BC,那么在△PBC中,PB+PC总是大于BC的.如图1-3,当点P落在BC上时,PB+PC最小,因此PA+PC最小,△PAC的周长也最小.‎ 由y=x2-2x-3,可知OB=OC=3,OD=1.所以DB=DP=2,因此P(1,-2).‎ 图1-2 图1-3‎ 例❷如图,抛物线与y轴交于点A,B是OA的中点.一个动点G从点B出发,先经过x轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A.如果动点 G走过的路程最短,请找出点M、N的位置,并求最短路程.‎ 图2-1‎ ‎【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′,作点B关于x轴对称的点B′,连结A′B′与x轴交于点M,与抛物线的对称轴交于点N.‎ 在Rt△AA′B′中,AA′=8,AB′=6,所以A′B′=10,即点G走过的最短路程为10.根据相似比可以计算得到OM=,MH=,NH=1.所以M(, 0),N(4, 1).‎ 图2-2‎ 例❸ 如图3-1,抛物线与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上的一个动点,求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P的坐标.‎ 图3-1‎ ‎【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求|PA-PB|的最小值与最大值.‎ 由抛物线的解析式可以得到A(0, 2),B(3, 6).设P(x, 0).‎ 绝对值|PA-PB|的最小值当然是0了,此时PA=PB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2).解方程x2+22=(x-3)2+62,得.此时P.‎ 在△PAB中,根据两边之差小于第三边,那么|PA-PB|总是小于AB了.如图3-3,当点P在BA的延长线上时,|PA-PB|取得最大值,最大值AB=5.此时P.‎ 图3-2 图3-3‎ 例❹ 如图4-1,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,求PK+QK的最小值.‎ 图4-1‎ ‎【解析】如图4-2,点Q关于直线BD的对称点为Q′,在△KPQ′中,PK+QK总是大于PQ′的.如图4-3,当点K落在PQ′上时,PK+QK的最小值为PQ′.如图4-4,PQ′的最小值为Q′H,Q′H就是菱形ABCD的高,Q′H=.‎ 这道题目应用了两个典型的最值结论:两点之间,线段最短;垂线段最短.‎ 图4-2 图4-3 图4-4‎ 例❺ 如图5-1,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点,求PE+PF的最小值.‎ 图5-1‎ ‎【解析】E、F、P三个点都不确定,怎么办?BE=1,AF=2是确定的,那么我们可以求PB+PA-3的最小值,先求PB+PA的最小值(如图5-2).‎ 如图5-3,PB+PA的最小值为AB′,AB′=6.所以PE+PF的最小值等于3.‎ 图5-2 图5-3‎ 例❻ 如图6-1,已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+1, 0),求a为何值时,四边形ABEF周长最小?请说明理由.‎ 图6-1‎ ‎【解析】在四边形ABEF中,AB、EF为定值,求AE+BF的最小值,先把这两条线段经过平移,使得两条线段有公共端点.‎ 如图6-2,将线段BF向左平移两个单位,得到线段ME.‎ 如图6-3,作点A关于x轴的对称点A′,MA′与x轴的交点E,满足AE+ME最小.‎ 由△A′OE∽△BHF,得.解方程,得.‎ 图6-2 图6-3‎ 例❼ 如图7-1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1.点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上,当点A在x轴上运动时,点C也随之在y轴上运动.在整个运动过程中,求点B到原点的最大距离.‎ 图7-1‎ ‎【解析】如果把OB放在某一个三角形中,这个三角形的另外两条边的大小是确定的,那么根据两边之和大于第三边,可知第三边OB的最大值就是另两边的和.‎ 显然△OBC是不符合条件的,因为OC边的大小不确定.‎ 如图7-2,如果选AC的中点D,那么BD、OD都是定值,OD=1,BD=.‎ 在△OBD中,总是有OB<OD+BD.‎ 如图7-3,当点D落在OB上时,OB最大,最大值为.‎ 图7-2 图7-3 ‎ 例❽ 如图8-1,已知A(-2,0)、B(4, 0)、.设F为线段BD上一点(不含端点),连结AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?‎ 图8-1‎ ‎【解析】点B(4, 0)、的坐标隐含了∠DBA=30°,不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半.‎ 如果把动点M在两条线段上的速度统一起来,问题就转化了.‎ 如图8-2,在Rt△DEF中,FD=2FE.如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时,那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E.因此当AF+FE最小时,点M用时最少.‎ 如图8-3,当AE⊥DE时,AF+FE最小,此时F.‎ 图8-2 图8-3‎ 例❾ 如图9-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.点E是BC边上的点,连结AE,过点E作AE的垂线交AB边于点F,求AF的最小值.‎ 图9-1‎ ‎【解析】如图9-2,设AF的中点为D,那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取决于DE的最小值.‎ 如图9-3,当DE⊥BC时,DE最小.设DA=DE=m,此时DB=.‎ 由AB=DA+DB,得.解得.此时AF=.‎ 图9-2 图9-3‎ 例❿ 如图10-1,已知点P是抛物线上的一个点,点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2),连结PD、PE,求PD+PE的最小值.‎ 图10-1‎ ‎【解析】点P不在一条笔直的河流上,没有办法套用“牛喝水”的模型.‎ 设P,那么PD2=.所以PD=.‎ 如图10-2,的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y=-1的距离PH.所以PD=PH.因此PD+PE就转化为PH+PE.‎ 如图10-3,当P、E、H三点共线,即PH⊥x轴时,PH+PE的最小值为3.‎ 高中数学会学到,抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合,在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质,最好铺垫一个小题,求证PD=PH. ‎ 图10-2 图10-3‎