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- 2021-05-13 发布
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中考数学专题复习六 几何(圆)
【教学笔记】
一、 与圆有关的计算问题(重点)
1、 扇形面积的计算
扇形:扇形面积公式
:圆心角 :扇形对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积
圆锥侧面展开图:
(1)=
(2)圆锥的体积:
2、 弧长的计算:弧长公式 ;
3、 角度的计算
二、 圆的基本性质(重点)
1、 切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.
2、 圆周角定理:一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半;
推论:(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
(2)相等的圆周角所对的弧也相等。
(3)半圆(直径)所对的圆周角是直角。
(4)90°的圆周角所对的弦是直径。
注意:在圆中,同一条弦所对的圆周角有无数个。
3、 垂径定理定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
(4)在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
三、 圆与函数图象的综合
与圆有关的计算问题
【例1】(2016•资阳)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是( )
A.2﹣π B.4﹣π C.2﹣π D.π
【解答】解:∵D为AB的中点,∴BC=BD=AB,∴∠A=30°,∠B=60°.∵AC=2,
∴BC=AC•tan30°=2•=2,∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π.
故选A.
【例2】(2014•资阳)如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是( )
A.﹣2 B. ﹣2 C.﹣ D.﹣
解答:连接OC,
∵∠AOB=120°,C为弧AB中点,∴∠AOC=∠BOC=60°,∵OA=OC=OB=2,
∴△AOC、△BOC是等边三角形,∴AC=BC=OA=2,
∴△AOC的边AC上的高是=,△BOC边BC上的高为,
∴阴影部分的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2,故选A.
【例3】(2013•资阳)钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是( )
A.
π
B.
π
C.
π
D.
π
解答:
从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°,
则分针在钟面上扫过的面积是:=π.故选:A.
【例4】(2015成都)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为( )
A.2, B.,p C., D.,
【课后练习】
1、 (2015南充)如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B的切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=40°,则∠ACB的大小是( B )
A.40° B.60° C.70° D.80°
2、 (2015达州)如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是( B )
A.12π B.24π C.6π D.36π
3、 (2015内江)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.45°
解析:连接BD,∵∠DAB=180°-∠C=50°,AB是直径,∴∠ADB=90°,∠ABD=90°-∠DAB=40°,∵PD是切线,∴∠ADP=∠B=40°.故选A.
1、 (2015自贡)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=,则阴影部分的面积为
A.2π B.π C. D.
解析:∠BOD=60°
2、 (2015凉山州)如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为( )
A.80° B.100° C.110° D.130°
3、 (2015凉山州)将圆心角为90°,面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面,则所围成的圆锥的底面半径 ( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4、 (2015泸州)如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为( )
A.65° B.130° C.50° D.100°
5、 (2015眉山)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=450,则∠B的度数为( )
A.300 B.350 C.400 D 450
6、 (2015巴中)如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( )
A.25° B.50° C.60° D.30°
7、 (2015攀枝花)如图,已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E,且AC=2,AE=,CE=1,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
1、 (2015甘孜州)如图,已知扇形AOB的半径为2,圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.π﹣2 B.π﹣4 C.4π﹣2 D.4π﹣4
2、 (2015达州)已知正六边形ABCDEF的边心距为cm,则正六边形的半径为 cm.
3、 (2015自贡)如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使AC=3BC,CD与⊙O相切于D点.若CD=,则劣弧AD的长为 .
4、 (2015遂宁)在半径为5cm的⊙O中,45°的圆心角所对的弧长为 cm.
5、 (2015宜宾)如图,AB为⊙O的直径,延长AB至点D,使BD=OB,DC切⊙O于点C,点B是的中点,弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2,则CF= .
6、 (2015泸州)用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是 .
7、 (2015眉山)已知⊙O的内接正六边形周长为12cm,则这个圆的半经是_________cm.
8、 (2015广安)如图,A.B.C三点在⊙O上,且∠AOB=70°,则∠C= 度.
9、 24.(2015巴中)圆心角为60°,半径为4cm的扇形的弧长为 cm.
10、 (2015甘孜州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,则∠ABC的大小为 度.
一、 圆的基本性质
【例1】(2016•资阳)如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结BD.
(1)求证:∠A=∠BDC;
(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长.
【解答】解:(1)如图,连接OD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠A+∠ABD=90°,
又∵CD与⊙O相切于点D,∴∠CDB+∠ODB=90°,
∵OD=OB,∴∠ABD=∠ODB,∴∠A=∠BDC;
(2)∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM,
又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,∴MN==.
【例2】(2015•资阳)如图11,在△ABC中,BC是以AB为直径的⊙O的切线,且⊙O与AC相交于点D,E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接AE,若∠C=45°,求sin∠CAE的值.
解答:解:(1)连接OD,BD,∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD.
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°.
∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD,
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO.
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°,∴∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2) 作EF⊥CD于F,设EF=x
∵∠C=45°,∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形,∴CF=EF=x,
∴BE=CE=x,∴AB=BC=2x,在RT△ABE中,AE==x,
∴sin∠CAE==.
【例3】(2014•资阳)如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.
(1)求证:△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.
解答: (1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,
∵AC为⊙O的切线,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAE=90°,∴∠B=∠CAD,
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,而∠ODB=∠CDE,∴∠B=∠CDE,∴∠CAD=∠CDE,
而∠ECD=∠DCA,∴△CDE∽△CAD;
(2)解:∵AB=2,∴OA=1,
在Rt△AOC中,AC=2,∴OC==3,∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,
∵△CDE∽△CAD,∴=,即=,∴CE=.
【例4】(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.
解答:
(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,则AE=AC=
×2=1,
∵翻折后点D与圆心O重合,∴OE=r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,即r2=12+(r)2,解得r=;
(2)连接BC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=25°,∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,
根据翻折的性质,所对的圆周角等于所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.
【课后练习】
1、 (2015达州)如图,AB为半圆O的在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③,④OD:OC=DE:EC,⑤,正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析:如图,连接OE,
∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC。
∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。
在Rt△ADO和Rt△EDO中,OD=OD,DA=DE,∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL)
∴∠AOD=∠EOD。同理Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC。又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°。结论⑤正确。
∴∠DOC=∠DEO=90°。又∠EDO=∠ODC,∴△EDO∽△ODC。∴,即OD2=DC•DE。结论①正确。
而,结论④错误。由OD不一定等于OC,结论③错误。∴正确的选项有①②⑤。故选A。
1、 (2015遂宁)如图,在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【解析】连接OA,∵AB=6cm,OC⊥AB于点C,∴AC=AB=×6=3cm,
∵⊙O的半径为5cm,∴OC===4cm,
故选B.
2、 (2015广元)如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E.则下列结论一定错误的是( )
A.CE=DE B.AE=OE C. D.△OCE≌△ODE
3、 (2015广元)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心.
其中正确结论是_②③④_ (只需填写序号).
4、 (2015成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC.⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交于点H,连接BD、FH.(1)求证:△ABC≌△EBF;(2)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=1,求HG•HB的值.
1、 (2015遂宁)如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点D,AM⊥CD于点M,BN⊥CD于N.(1)求证:∠ADC=∠ABD;(2)求证:AD2=AM•AB;(3)若AM=,sin∠ABD=,求线段BN的长.
解答: (1)证明:连接OD, ∵直线CD切⊙O于点D,∴∠CDO=90°,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,
∵OB=OD, ∴∠3=∠4,∴∠ADC=∠ABD;
(2)证明:∵AM⊥CD,∴∠AMD=∠ADB=90°,∵∠1=∠4,∴△ADM∽△ABD,
∴, ∴AD2=AMAB;
(3)解:∵sin∠ABD=, ∴sin∠1=, ∵AM=, ∴AD=6, ∴AB=10, ∴BD==8,
∵BN⊥CD, ∴∠BND=90°, ∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°, ∴∠DBN=∠1, ∴sin∠NBD=, ∴DN=, ∴BN==.
2、 (2015宜宾)如图,CE是⊙O的直径,BD切⊙O于点D,DE∥BO,CE的延长线交BD于点A.(1)求证:直线BC是⊙O的切线;(2)若AE=2,tan∠DEO=,求AO的长.
1、 (2015泸州)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的弦,且AB∥CD,过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E,AD与BC交于点F.(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;(2)若AE=6,CD=5,求OF的长.
解答:(1)证明:∵AE与⊙O相切于点A, ∴∠EAC=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC,
∵AB∥CD, ∴四边形ABCE是平行四边形;
(2)解:如图,连接AO,交BC于点H,双向延长OF分别交AB,CD与点N,M, ∵AE是⊙O的切线,
由切割线定理得,AE2=EC•DE, ∵AE=6,CD=5,
∴62=CE(CE+5),解得:CE=4,(已舍去负数),
由圆的对称性,知四边形ABDC是等腰梯形,且AB=AC=BD=CE=4,
又根据对称性和垂径定理,得AO垂直平分BC,MN垂直平分AB,DC,
设OF=x,OH=Y,FH=z, ∵AB=4,BC=6,CD=5, ∴BF=BC﹣FH=3﹣z,DF=CF=BC+FH=3+z,
易得△OFH∽△DMF∽△BFN, ∴,,
即,① ②, ①+②得:, ①÷②得:,
解得, ∵x2=y2+z2, ∴, ∴x=, ∴OF=.
1、 (2015绵阳)如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接DC,DA,OA,OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证:△BOC≌△CDA;(2)若AB=2,求阴影部分的面积.
【解析】
(1)证明:∵O是△ABC的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,由AD∥CO,AD=CO,∴∠4=∠5,∴∠4=∠6,
∴△BOC≌△CDA(AAS)
由(1)得,BC=AC,∠3=∠4=∠6,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC
∴△ABC是等边三角形,∴O是△ABC的内心也是外心,∴OA=OB=OC
设E为BD与AC的交点,BE垂直平分AC.在Rt△OCE中,CE=AC=AB=1,∠OCE=30º,
∴OA=OB=OC=.∵∠AOC=120º,∴.
2、 (2015广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点.过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F.且CE=CB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;(3)如果CD=15,BE=10,sinA=.求⊙O的半径.
解:(1)证明:连接OB∵OB=OA,CE=CB,∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 °∴∠OBA+∠ABC=90 °
∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线.
(2)连接OF,AF,BF, ∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等边三角形, ∴∠AOF=60 °∴∠ABF=∠AOF=30 °
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,∴EG=BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE,∴sin∠ECG=sin∠A=, ∴CE==13
∴CG==12,
又CD=15,CE=13, ∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE得=,∴AD=CG=,∴⊙O的半径为2AD=.
1、 (2015广安)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若,且OC=4,求PA的长和tanD的值.
解:(1)证明:连接OB,则OA=OB,∵OP⊥AB, ∴AC=BC,
∴OP是AB的垂直平分线, ∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中,
∵PA=PBPO=POOA=OB, ∴△PAO≌△PBO(SSS)
∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,
∵2+OC2=213, ∴AE=2OA=413,OB=OA=213, 在Rt△APO中,
∵AC⊥OP, ∴AC2=OC•PC,
解得:PC=9, ∴OP=PC+OC=13,
在Rt△APO中,由勾股定理得:AP=OP2-OA2=313, ∴PB=PA=∵PB为⊙O的切线,B为切点, ∴∠PBO=90°,
∴∠PAO=90°, 即PA⊥OA, ∴PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,∵OCAC=23,且OC=4, ∴AC=6, ∴AB=12,
在Rt△ACO中, 由勾股定理得:AO=AC13, ∵AC=BC,OA=OE,
∴OC=12BE,OC∥BE, ∴BE=2OC=8,BE∥OP, ∴△DBE∽△DPO, ∴BDPD=BEOP,
即BD313+BD=813, 解得:BD=24135, 在Rt△OBD中, tanD=OBBD=21324135=512.
2、 (2015巴中)如图,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE、AE、CD,若∠AEC=∠ODC.(1)求证:直线CD为⊙O的切线;(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.
解:(1)证明:连接OC,
∵∠CEA=∠CBA,∠AEC=∠ODC,∴∠CBA=∠ODC,
又∵∠CFD=∠BFO,∴∠DCB=∠BOF,
∵CO=BO,∴∠OCF=∠B,
∵∠B+∠BOF=90°,∴∠OCF+∠DCB=90°,∴直线CD为⊙O的切线;
(2)解:连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠DCO=∠ACB,
又∵∠D=∠B,∴△OCD∽△ACB,
∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,∴AC=3,∴=,即=,解得;DC=.
一、 圆与函数图象的综合
【例1】(2015•资阳)如图4,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动,设∠APB=y(单位:度),那么y与点P运动的时间x(单位:秒)的关系图是 ( )
解答:(1)当点P沿O→C运动时,当点P在点O的位置时,y=90°,当点P在点C的位置时,
∵OA=OC,∴y=45°,∴y由90°逐渐减小到45°;
(2)当点P沿C→D运动时,根据圆周角定理,可得y≡90°÷2=45°;
(3)当点P沿D→O运动时,当点P在点D的位置时,y=45°,当点P在点0的位置时,y=90°,∴y由45°逐渐增加到90°.故选:B.
【例2】(2013年四川巴中)如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P交y轴的正半轴于点C.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线所对应的函数解析式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式;
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
解:(1)∵A(4,0),B(-1,0),
∴AB=5,半径是PC=PB=PA= 。∴OP= 。
在△CPO中,由勾股定理得: 。∴C(0,2)。
设经过A、B、C三点抛物线解析式是 ,
把C(0,2)代入得: ,∴ 。∴ 。
∴经过A、B、C三点抛物线解析式是 ,
(2)∵ ,∴M 。
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,
把C(0,2),M 代入得: ,解得 。
∴直线MC对应函数表达式是 。
(3)MC与⊙P的位置关系是相切。证明如下:设直线MC交x轴于D,
当y=0时, ,∴ ,OD= 。∴D( ,0)。
在△COD中,由勾股定理得: ,
又 , ,∴CD 2 +PC 2 =PD 2 。∴∠PCD=90 0 ,即PC⊥DC。
∵PC为半径,∴MC与⊙P的位置关系是相切。
【课后作业】
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. 如图,已知A,B,C在⊙O上,下列选项中与∠AOB相等的是( )
A. 2∠C B. 4∠B
C. 4∠A D. ∠B+∠C
2.如图,已知AB是△ABC外接圆的直径,∠A=35°,则∠B的度数是( )
A.35° B. 45°
C.55° D.65°
3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是( )
A.CM=DM B.CB=DB
C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD
4.如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是( )
A. 6 B.5
C. 4 D.3
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
5. 已知⊙的半径为6,圆心到直线的距离为8,则直线与⊙的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
6. 圆锥底面圆的半径为3cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为( )
A.3cm B.6cm
C.9cm D.12cm
7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E,则AD的长为( )
A. 2.5 B. 1.6
C. 1.5 D. 1
8. 如图,直线与x轴、y分别相交与A、B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P′的个数是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
第7题图 第8题图
二、填空题:(每小题3分,共24分)
9.如图,为的直径,为的弦,,则的度数为 .
10.如图,在△ABC中∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为 .
11.如图,的一边是⊙O的直径,请你添加一个条件,使是⊙O的切线,你所添加的条件为 .
第9题图 第10题图 第11题图
12. 如果圆锥的底面周长是20π,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°,则圆锥的母线长是 .
13.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为 .
14. 如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为 .
15. 如图,⊙A、⊙B、⊙C两两外切,它们的半径都是a,顺次连接三个圆心得到△ABC,则图中阴影部分的面积之和是 .
16.如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥,垂足为B,连接PA.设PA=,PB=y,则(-y)的最大值是 .
第14题图 第15题图 第16题图
三、解答题(本大题共8个小题,满分52分):
17. (本题4分)如图,圆弧形桥拱的跨度米,拱高米,试求拱桥的半径.
18.(本题4分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,BC=6,AC=8,求sin∠ABD的值.
19.(满分6分)如图,已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D .
⑴.求证:AC=BD;
⑵.若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
20.(本题6分)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.
⑴.求证:DE⊥AC;
⑵.若AB=3DE,求tan∠ACB的值.
21. (本题6分) 如图,AB是⊙O的直径,点E是上的一点,
∠DBC=∠BED.
⑴.求证:BC是⊙O的切线;
⑵.已知AD=3,CD=2,求BC的长.
22. (本题8分)已知:如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连结PD.
⑴.求证:PD是⊙O的切线.
⑵.求证:
⑶.若PD=4,,求直径AB的长.
23. (本题8分)已知:AB是⊙O的直径,直线CP切⊙O于点C,过点B作BD⊥CP于D.
⑴.求证:△ACB∽△CDB;
⑵.若⊙O的半径为1,∠BCP=30°,求图中阴影部分的面积.
24. (本题10分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),圆M经过原点O及点A、B.
⑴.求圆M的半径及圆心M的坐标;
⑵.过点B作圆M的切线,求直线的解析式;
⑶.BOA的平分线交AB于点N,交圆M于点E,求点N的坐标和线段OE的长.
A
B
E
M
N
O
x
y
【参考答案】
1~8: ACDB CBBB; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14.3;15.; 16.2; 17. 米;18. 。 19. (1).证明过程略;(2). ; 20. (1).证明过程略;(2). ; 21.(1)AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°,从而得出∠BAD=∠DBC,即∠ABC=90°,即可证明BC是⊙O的切线;(2)可证明△ABC∽△BDC,则=,即可得出BC=; 22.(1)连接OD、OC,证△PDO≌△PCO,求出∠PDO=90°即可;(2)求出∠A=∠ADO=∠PDB,根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD,得出比例式,即可得出答案;(3)根据相似得出比例式,代入即可求出答案AB=6;23. (1)证明过程略;(2); 24. ⑴. , ⑵.可证;(3). 。