中考数学专题训练二三角全等的条件 浙教版 19页

三角全等的条件 一、选择题（共6小题）‎ ‎1．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（　　）‎ A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC ‎2．（铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）‎ A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D ‎3．（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）‎ A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC ‎4．（来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是 ‎（　　）‎ A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C ‎5．（台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）‎ A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF ‎6．（台州）已知△A1B‎1C1，△A2B‎2C2的周长相等，现有两个判断：‎ ‎①若A1B1=A2B2，A‎1C1=A‎2C2，则△A1B‎1C1≌△A2B‎2C2；‎ ‎②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B‎1C1≌△A2B‎2C2，‎ 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）‎ A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 ‎　‎ 二、填空题（共11小题）‎ ‎7．（临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　　　　　　．（答案不唯一，只需填一个）‎ ‎8．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　　　　　　．（只需写一个，不添加辅助线）‎ ‎9．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　　　　　　（只写一个条件即可）．‎ ‎10．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是　　　　　　．‎ ‎11．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　．（只需写出一个）‎ ‎12．（庆阳）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是　　　　　　．‎ ‎13．（青海）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是　　　　　　（不添加任何辅助线）．‎ ‎14．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=　　　　　　．‎ ‎15．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　　　　　　（添加一个条件即可）．‎ ‎16．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件　　　　　　，使得△EAB≌△BCD．‎ ‎17．（昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　　　　　　，就得△ABC≌△DEF．‎ ‎　‎ 三、解答题（共13小题）‎ ‎18．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：‎ ‎（1）DF=AE；‎ ‎（2）DF⊥AC．‎ ‎19．（青岛）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．‎ ‎20．（嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，‎ ‎（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．‎ ‎（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．‎ ‎21．（兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．‎ ‎（1）求证：AD=BC；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．‎ ‎22．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；‎ ‎③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．‎ ‎23．（泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．‎ ‎24．（防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．‎ 求证：△ABC≌△AED．‎ ‎25．（随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．‎ 提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．‎ ‎26．（宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，‎ 求证：△ABC≌△CDE．‎ ‎27．（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．‎ ‎（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；‎ ‎（2）证明推论AAS．‎ 要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．‎ ‎28．（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．‎ ‎（1）你添加的条件是　　　　　　．‎ ‎（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．‎ ‎29．（仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．‎ ‎30．（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．‎ ‎　‎ 浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：三角全等的条件 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共6小题）‎ ‎1．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（　　）‎ A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC ‎【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，‎ ‎∴OD为△ABE的中位线，‎ ‎∴OD=OC，‎ ‎∵在△AOD和△EOD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△EOD（SAS）；‎ ‎∵在△AOD和△BOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△BOC（SAS）；‎ ‎∵△AOD≌△EOD，‎ ‎∴△BOC≌△EOD；‎ 故B、C、D均正确．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）‎ A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D ‎【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；‎ D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）‎ A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC ‎【解答】解：∵AE=CF，‎ ‎∴AE+EF=CF+EF，‎ ‎∴AF=CE，‎ A、∵在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；‎ B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；‎ C、∵在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；‎ D、∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∵在△ADF和△CBE中 ‎∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是 ‎（　　）‎ A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C ‎【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，‎ A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；‎ B、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；‎ C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；‎ D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）‎ A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF ‎【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，‎ 理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，‎ ‎∴△ACD≌△AED，‎ 即△ACD和△ADE全等，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（台州）已知△A1B‎1C1，△A2B‎2C2的周长相等，现有两个判断：‎ ‎①若A1B1=A2B2，A‎1C1=A‎2C2，则△A1B‎1C1≌△A2B‎2C2；‎ ‎②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B‎1C1≌△A2B‎2C2，‎ 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）‎ A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 ‎【解答】解：∵△A1B‎1C1，△A2B‎2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A‎1C1=A‎2C2，‎ ‎∴B‎1C1=B‎2C2，‎ ‎∴△A1B‎1C1≌△A2B‎2C2（SSS），∴①正确；‎ ‎∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，‎ ‎∴△A1B‎1C1∽△A2B‎2C2‎ ‎∵△A1B‎1C1，△A2B‎2C2的周长相等，‎ ‎∴△A1B‎1C1≌△A2B‎2C2‎ ‎∴②正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共11小题）‎ ‎7．（临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　AC=CD　．（答案不唯一，只需填一个）‎ ‎【解答】解：添加条件：AC=CD，‎ ‎∵∠BCE=∠ACD，‎ ‎∴∠ACB=∠DCE，‎ 在△ABC和△DEC中，‎ ‎∴△ABC≌△DEC（SAS），‎ 故答案为：AC=CD（答案不唯一）．‎ ‎　‎ ‎8．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AC=DF　．（只需写一个，不添加辅助线）‎ ‎【解答】解：AC=DF，‎ 理由是：∵BF=CE，‎ ‎∴BF+FC=CE+FC，‎ ‎∴BC=EF，‎ ‎∵AC∥DF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ 在△ABC和△DEF中 ‎∴△ABC≌△DEF（SAS），‎ 故答案为：AC=DF．‎ ‎　‎ ‎9．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　∠B=∠C（答案不唯一）　（只写一个条件即可）．‎ ‎【解答】解：添加∠B=∠C．‎ 在△ABE和△ACD中，∵，‎ ‎∴△ABE≌△ACD（AAS）．‎ 故答案可为：∠B=∠C．‎ ‎　‎ ‎10．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是　AC=AB　．‎ ‎【解答】解：添加条件：AB=AC，‎ ‎∵在△ABD和△ACE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（ASA），‎ 故答案为：AB=AC．‎ ‎　‎ ‎11．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　CA=FD　．（只需写出一个）‎ ‎【解答】解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．‎ 故答案可为CA=FD．‎ ‎　‎ ‎12．（庆阳）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是　AE=AB　．‎ ‎【解答】解：添加条件AE=AB，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，‎ ‎∴∠BAC=∠EAD，‎ 在△BCA和△EDA中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAC≌△EAD（SAS）．‎ 故答案为：AE=AB．‎ ‎　‎ ‎13．（青海）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是　∠A=∠D　（不添加任何辅助线）．‎ ‎【解答】解：添加条件：∠A=∠D；‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，‎ 即∠ACB=∠DCE，‎ 在△ABC和△DEC中，‎ ‎∴△ABC≌△DEC（AAS）．‎ ‎　‎ ‎14．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=　6　．‎ ‎【解答】解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．‎ 在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，‎ ‎∴，．‎ ‎∴DE=，CE=．‎ 则AE=x﹣，‎ 在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2=，‎ ‎∵AB=BC，BH⊥AC，‎ ‎∴AH=AC=，‎ ‎∵tan∠BAC=，‎ ‎∴BH=‎ 在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，‎ ‎∴．‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴=‎ 解得：x1=，x2=（舍去）．‎ ‎∴AC=6．‎ ‎　‎ ‎15．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　∠B=∠C或AE=AD　（添加一个条件即可）．‎ ‎【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．‎ 故答案为：∠B=∠C或AE=AD．‎ ‎　‎ ‎16．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件　AE=CB　，使得△EAB≌△BCD．‎ ‎【解答】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，‎ ‎∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，‎ 若利用“HL”，可添加EB=BD，‎ 若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，‎ 若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．‎ 综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．‎ 故答案为：AE=CB．‎ ‎　‎ ‎17．（昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　BC=EF　，就得△ABC≌△DEF．‎ ‎【解答】解：补充条件BC=EF，‎ ‎∵AF=DC，‎ ‎∴AF+FC=CD+FC，‎ 即AC=DF，‎ ‎∵BC∥EF，‎ ‎∴∠EFC=∠BCF，‎ ‎∵在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS）．‎ 故答案为：BC=EF．‎ ‎　‎ 三、解答题（共13小题）‎ ‎18．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：‎ ‎（1）DF=AE；‎ ‎（2）DF⊥AC．‎ ‎【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．‎ ‎∵四边形BCDE是平行四边形，‎ ‎∴ED∥BC，ED=BC．‎ ‎∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，‎ ‎∴AG=BG，DG⊥AB．‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴∠BAD=∠ABD．‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．‎ 又BF=BC，‎ ‎∴BF=DE．‎ ‎∴在△AED与△DFB中，，‎ ‎∴△AED≌△DFB（SAS），‎ ‎∴AE=DF，即DF=AE；‎ ‎（2）设AC与FD交于点O．‎ ‎∵由（1）知，△AED≌△DFB，‎ ‎∴∠AED=∠DFB，‎ ‎∴∠DEO=∠DFG．‎ ‎∵∠DFG+∠FDG=90°，‎ ‎∴∠DEO+∠EDO=90°，‎ ‎∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．‎ ‎　‎ ‎19．（青岛）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△CAE；‎ ‎（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠ACD，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴∠EAC=∠ACD，‎ ‎∴∠B=∠EAC，‎ ‎∵AD是BC边上的中线，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∵CE⊥AE，‎ ‎∴∠ADC=∠CEA=90°‎ 在△ABD和△CAE中 ‎∴△ABD≌△CAE（AAS）；‎ ‎（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，‎ ‎∵AD⊥BC，AE∥BC，‎ ‎∴AD⊥AE，‎ 又∵CE⊥AE，‎ ‎∴四边形ADCE是矩形，‎ ‎∴AC=DE，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AB=DE．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=DC，‎ ‎∵四边形ADCE是矩形，‎ ‎∴AE∥CD，AE=DC，‎ ‎∴AE∥BD，AE=BD，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DE且AB=DE．‎ ‎　‎ ‎20．（嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，‎ ‎（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．‎ ‎（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．‎ ‎【解答】解：（1）由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；‎ ‎（2）选择∠DAG=∠AED，证明如下：‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，‎ ‎∵AF=DE，‎ 在△DAE与△ABF中，‎ ‎，‎ ‎∴△DAE≌△ABF（HL），‎ ‎∴∠ADE=∠BAF，‎ ‎∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，‎ ‎∴∠DAG=∠AED．‎ ‎　‎ ‎21．（兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．‎ ‎（1）求证：AD=BC；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．‎ ‎【解答】证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，‎ ‎∵AB∥CD ‎∴四边形ABMC为平行四边形，‎ ‎∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，‎ 在△ACD和△BDC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BDC（SAS），‎ ‎∴AD=BC；‎ ‎（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，‎ ‎∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，‎ ‎∴HE∥AD，且HE=AD，FG∥AD，且FG=，‎ ‎∴四边形HFGE为平行四边形，‎ 由（1）知，AD=BC，‎ ‎∴HE=EG，‎ ‎∴▱HFGE为菱形，‎ ‎∴EF与GH互相垂直平分．‎ ‎　‎ ‎22．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；‎ ‎③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABC与△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS）；‎ ‎（2）解：设BE=x，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABE=60°，‎ ‎∴AE=tan60°•x=x，‎ ‎∵△ABC≌△ADC，‎ ‎∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，‎ ‎∵∠BCA=45°，‎ ‎∴∠BCA=∠DCA=45°，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=45°，‎ ‎∴CE=BE=x，‎ ‎∴x+x=4，‎ ‎∴x=2﹣2，‎ ‎∴BE=2﹣2．‎ ‎　‎ ‎23．（泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．‎ ‎【解答】证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠CAB=∠DAE，‎ 在△BAC和△DAE中，，‎ ‎∴△BAC≌△DAE（SAS），‎ ‎∴BC=DE．‎ ‎　‎ ‎24．（防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．‎ 求证：△ABC≌△AED．‎ ‎【解答】证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，‎ 即∠BAC=∠EAD，‎ ‎∵在△ABC和△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△AED（AAS）．‎ ‎　‎ ‎25．（随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．‎ 提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．‎ ‎【解答】解：不能；‎ 选择条件：①AB=DE；‎ ‎∵BF=CE，‎ ‎∴BF+BE=CE+BE，‎ 即EF=CB，‎ 在△ABC和△DFE中，‎ ‎∴△ABC≌△DFE（SAS）．‎ ‎　‎ ‎26．（宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，‎ 求证：△ABC≌△CDE．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥CE，‎ ‎∴∠BAC=∠DCE，‎ 在△ABC和△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△CDE（ASA）．‎ ‎　‎ ‎27．（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．‎ ‎（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；‎ ‎（2）证明推论AAS．‎ 要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．‎ ‎【解答】解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．‎ ‎（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．‎ 求证：△ABC≌△DEF．‎ 证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），‎ ‎∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．‎ 又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），‎ ‎∴∠B=∠E．‎ ‎∵在△ABC与△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA）．‎ ‎　‎ ‎28．（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．‎ ‎（1）你添加的条件是　∠C=∠E　．‎ ‎（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，‎ ‎∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，‎ 若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，‎ 若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，‎ 综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；‎ 故答案为：∠C=∠E；‎ ‎（2）选∠C=∠E为条件．‎ 理由如下：在△ABC和△ADE中，，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（AAS）．‎ ‎　‎ ‎29．（仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．‎ ‎【解答】解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．‎ 选择△AEM≌△ACN，‎ 理由如下：‎ ‎∵△ADE≌△ABC，‎ ‎∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，‎ ‎∴∠EAM=∠CAN，‎ ‎∵在△AEM和△ACN中，‎ ‎∴△AEM≌△ACN（ASA）．‎ ‎　‎ ‎30．（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．‎ ‎【解答】解：△ACD≌△BCE．‎ 证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，‎ ‎∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，‎ 即∠ACD=∠BCE．‎ ‎∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，‎ ‎∴CA=CB，CD=CE，‎ 在△ACD和△BCE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ACD≌△BCE．‎ ‎　‎