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  • 2022-03-30 发布

高考数学考点归纳之 集 合

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高考数学考点归纳之集合一、基础知识1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(3)元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为.(4)五个特定的集合及其关系图:N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集:如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作AB或BA.AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等:如果A⊆B,并且B⊆A,则A=B.两集合相等:A=B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性,B中任意一个元素也符合A中元素的特性.                   (4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作∅.∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}.3.集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论(1)子集的性质:A⊆A,∅⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.(2)交集的性质:A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(3)并集的性质:A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A.(4)补集的性质:A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.(6)等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B.考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为(  )A.3          B.2C.1D.0 (2)已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2019+b2019的值为(  )A.1B.0C.-1D.±1[解析] (1)因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.(2)由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2019+b2019=(-1)2019+02019=-1.[答案] (1)B (2)C[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.[题组训练]1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为(  )A.1B.2C.3D.4解析:选A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于(  )A.B.C.0D.0或解析:选D 若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意.当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=, 所以a的值为0或.3.(2018·厦门模拟)已知P={x|20时,因为A={x|-10},B={x|-2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为(  )A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤2}[解析] (1)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.(2)依题意得A={x|x<-1或x>4},因此∁RA={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2}.[答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m的取值范围是(  )A.(-4,3)B.[-3,4]C.(-3,4)D.(-∞,4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A={1,2,3,4},B={a+1,2a},若A∩B={4},则a=(  ) A.3B.2C.2或3D.3或1[解析] (1)集合A={x|x<-3或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故选B.(2)∵A∩B={4},∴a+1=4或2a=4.若a+1=4,则a=3,此时B={4,6},符合题意;若2a=4,则a=2,此时B={3,4},不符合题意.综上,a=3,故选A.[答案] (1)B (2)A[题组训练]1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=(  )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}解析:选C 因为集合B={x|-10,所以该方程有两个不相等的实根,所以A∩B中含有2个元素.答案:212.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a 的取值范围是__________.解析:由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A⊆B,在数轴上标出集合A,B,如图所示,则a>4.答案:(4,+∞)13.设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2