高考数学考点归纳之指数式 10页

高考数学考点归纳之指数式、对数式的运算一、基础知识(1)根式的性质①()n＝a(a使有意义)．②当n是奇数时，＝；当n是偶数时，＝|a|＝(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b就叫做以a为底N的对数，记作：logaN＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数；②1的对数是；③底数的对数等于.(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．二、常用结论1．换底公式的变形(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；(3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0)．2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．3．对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N>0)．[典例]　化简下列各式：(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；(2)a·b－2·÷(4a·b－3).[解]　(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)＝－ab－3÷(ab)＝－a·b＝－·＝－.[解题技法]　指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．[题组训练] 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)A．(－2)－2＝4　　　　　　B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝解析：选D　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．化简4a·b÷的结果为(　　)A．－B．－C．－D．－6ab解析：选C　原式＝－6ab＝－6ab－1＝－.3．计算：－－2＋＋(0.002)＝________.解析：原式＝－2＋＋＝－＋＋10＝10.答案：10[典例]　计算下列各式：(1)；(2)log23·log38＋()log34. [解]　(1)原式＝＝＝1.(2)原式＝·＋3＝3＋3＝3＋2＝5.[题组训练]1．(log29)·(log34)＝(　　)A．　　　　　　　　　　B．C．2D．4解析：选D　法一：原式＝·＝＝4.法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.2．计算：÷100＝________.解析：原式＝lg×100＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－203．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.答案：－74．计算：log5[4－(3)－7]＝________.解析：原式＝log5[2－(3)－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.答案：1 1．设＝log23，则3x－3－x的值为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选B　由＝log23，得3x＝2，∴3x－3－x＝2－＝.2．化简(－6ab)÷的结果为(　　)A．－4aB．4aC．11aD．4ab解析：选B　原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.3．(log29)(log32)＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：选B　原式＝(2log23)(log32)＋loga＝2×1＋logaa＝3.4．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)A．aB．aC．aD．a解析：选C　＝＝＝＝a＝a. 5．如果2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ(a>0，且a≠1)，那么的值为(　　)A.B．4C．1D．4或1解析：选B　由2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得loga(P－2Q)2＝loga(PQ)．由对数运算性质得(P－2Q)2＝PQ，即P2－5PQ＋4Q2＝0，所以P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得＝4.6．若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于(　　)A．1B．0或C.D．log23解析：选D　由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，由对数的运算性质得2(2x＋5)＝(2x＋1)2，即(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.7．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是(　　)A．2B．3C．4D．5解析：选D　∵log3<0，由题意得f(f(1))＋f＝f(log21)＋3＋1＝f(0)＋3＋1＝30＋1＋2＋1＝5.8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A.B．10C．20D．100解析：选A　由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.因为＋＝2，所以logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝.9．已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.解析：由4a＝2，得a＝，又因为lgx＝a＝，所以x＝10＝.答案：10．计算：9＝________.解析：9＝9×9＝3×＝.答案：11．化简：＝________.解析：原式＝＝a·b＝.答案：12．已知指数函数y＝f(x)，对数函数y＝g(x)和幂函数y＝h(x)的图象都过点P，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________.解析：令f(x)＝ax(a>0,且a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且b≠1)，h(x)＝xc，则f＝a＝2，g＝logb＝－logb2＝2，h＝c＝2，∴a＝4，b＝，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4⇒x1＝1，同理，x2＝，x3＝.∴x1＋x2＋x3＝. 答案：13．化简下列各式：(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；(2)÷；(3).解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.(2)原式＝÷＝÷＝a÷a＝a＝a.(3)法一：原式＝＝＝.法二：原式＝＝＝.