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- 2022-03-30 发布
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圆中的多解问题一、知识要点1、圆是一种“完美”的图形,它既是轴对称图形又是中心对称图形,更具有旋转不变性。由圆的对称性引出的性质和定理在计算圆心角、圆周角、弦、弦心距、切线等知识时要结合图形考虑多解问题;2、 点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系是多解问题的重点;3、和圆有关的动态问题要考虑多解。二、例题精选例1:(1)一条弦分圆周为9:11,这条弦所对的圆周角的度数是 ;(2)半径为5的圆中有一条长为5的弦,这条弦所对的圆周角等于 度;(3)⊙O的半径为5㎝,弦AB∥CD,AB=6㎝,CD=8㎝,则AB与CD之间的距离是 ;(4)半径为1的圆中,弦AB,AC的长分别是,,则∠BAC等于 度;(5)在同一平面内,点P到⊙O的最长距离为8㎝,最短距离为2㎝,则⊙O的半径为 ; (6)圆内有一点P,过P的最短弦长4cm,最长弦长15cm,过P有 条整数弦;(7)半径为25和39的两圆相交,公共弦长30,则两圆的圆心距是 。⊙O的两条半径OA与OB互相垂直,点C是优弧AMB上一点,且求∠OAC度数。
解题思路:由于点C的位置没有确定,在画出一个点的位置时;要考虑第二个点C的位置。所以∠OAC的度数是150 或750 。例3:已知⊙0的直径AB=10,弦CD中的点C到AB的距离为3,点D到AB的距离离为4,则圆心O到弦CD的距离=_________。解题思路:由于弦CD的位置不确定,所以有如图(1)和(2)两种情况,过点O作OH⊥CD垂足为H,连接OC、OD,由垂径定理可知,CH=DH。 (1)点C、点D在直径AB的同侧,在中,在中,,过点H作于G,∴,∴,,在中。(2)点C、点D在直径AB的两侧时,
求得,,,不难得到∽,由,DF=4, ∴, MF=4,∴又因为∽, ∴。综上所述圆心O到弦CD的距离为或。 例4:如图,点A、B在直线MN上,AB=11cm,⊙A、⊙B的半径均为1cm,⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动,运动时间为t(秒)(t≥0)(1)试写出圆心A、B之间的距离d(cm)与时间t(秒)之间的函数表达式(2)若圆心A运动的同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系为r=1+t(t≥0),问点A出发多少秒时,两圆相切? 解题思路:(1)d只受AB位置的影响,所以得AB两种不同的位置关系,逐一解决
解:(略) (2)明确对象:圆与圆的位置关系;确定关键元素:圆心距和两圆半径确定位置关系:相切分为内切和外切,又由于AB位置的变化,故有四种不同的情况,即:由左至右分别是外切、内切、内切、外切,逐一求解解:(略)3秒(外切)、13(外切)秒,秒(内切)、11秒(内切)例5:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900 ,AC=6cm,BC=8cm,P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆。设点Q运动时间为t(s)。(1) 当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;(2) 已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙Q相切,求t的值。 解题思路:(1)证明直线与圆的位置关系,只要得出圆心到直线的距离等于圆的半径即可,既直线AB与⊙P相切;(2)因为点P在⊙O的内部,所以只要考虑两圆内切就可以了。t=1或4
三、能力训练1、圆的弦长确好等于该圆的半径,则这条弦所对的圆周角是 度。2、圆的半径等于2,圆内一条弦长 cm,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为 。 3、△ABC内接于⊙0,∠AOB=1000,则∠ACB=______度。4、PA、PC分别切⊙0于A、C两点,B为⊙0上与A、C不重合的点,若∠P=500,则∠ABC=___________度5、AB,AC是⊙0的两条弦,且∠BAC=480,M,N分别是AB,AC的中点,则∠MON= 度。 6、两圆相切,圆心距是10㎝,其中一圆的半径为4㎝,则另一圆的半径是 。7、⊙01的半径为2cm,⊙02的半径为5cm,两圆没有公共点,则两圆的圆心距的取值范围为________。8、已知⊙O的半径为3cm,点P是直线l上一点,OP长为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为( )A.相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能9、已知:在⊙O中,半径为5,圆内一点A,OA=2,直线l⊥直线OA于点B,且AB=3,则直线l与⊙O的关系是( ) A.相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切
10、半径为1cm和2cm两圆外切,那么与这两个圆都相切,且半径为3cm的圆的个数有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11.如图3,已知⊙O的半径为5,点到弦的距离为3,则⊙O上到弦所在直线的距离为2的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12、已知圆O的直径AB=10cm,CD为圆O的弦,且点C,D到AB的距离分别为3cm和4cm,则满足上述条件的CD共有( )A.8条 B.12条 C.16条 D.以上都不对 四、思维拓展13、平面上有三个点,则可以确定几个圆?有四个点呢?有五个点呢?若有n个点,则最多可以确定几个圆? 14、已知圆内接三角形ABC中,AB=AC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为6cm,求腰长AB。
15、已知⊙O的半径为1,以O为原点建立直角坐标系,直线y=x-5经过怎样平移,与圆相切16. 如图,直线AB经过圆O的圆心,与圆O交于A、B两点,点C在圆O上,且∠AOC=300,点P是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线PC与圆O相交于点Q,问点P在直线AB的什么位置时,QP=QO?这样的点P有几个?并相应地求出∠OCP的度数。 17、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D为BC边上的动点(不与B重合)。过点D作射线DE交AB于E,使∠BDE=∠A。(1)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数解析式并写出X的取值范围。(2)以D为圆心,DC长为半径作⊙D,如果⊙E是以E为圆心,AE的长为半径的圆,那么当⊙E与⊙D相切时,BD为多长? 18、在平面直角坐标系中,直线
(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为个单位长度.若,直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用) 答案1、30°或1500 2、1或3cm 3、500或1300 4、650或1150 5、480或1320 6、6或14cm7、d>7或O≤d<3 8、D 9、D 10、D 11、C 12、A13、分类:1、共线:0个;2、共圆:1个;3、不共线不共圆:4个14、或615、或16、2. 400 , 100017、(1)(2)
18、b的值为或,y=-x+,或y=-x-。