高考数学考点归纳之 圆的方程 13页

高考数学考点归纳之圆的方程一、基础知识1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)❶圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)❷圆心：，半径：❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.❷(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.二、常用结论(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [典例]　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．[解析]　(1)根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法三：待定系数法设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为，由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.[答案]　(1)A　(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0[题组训练]1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)A.2＋y2＝　　　B.2＋y2＝C.2＋y2＝D.2＋y2＝解析：选C　法一：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．由题意得解得所以圆E的标准方程为2＋y2＝.法二：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.法三：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上． 又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|＝＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.2．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝83．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 [典例]　(1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．[解析]　(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.(2)设P(x，y)，圆心C(1,1)．因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.又因为＝(2－x,3－y)，＝(1－x,1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为2＋(y－2)2＝.[答案]　(1)A　(2)2＋(y－2)2＝[变透练清]1.若将本例(2)中点A(2,3)换成圆上的点B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)．当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点，所以⊥.又因为＝(1－x,4－y)，＝(1－x,1－y)．所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0. 所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋2＝；当点P与点B重合时，点P满足上述方程．综上所述，点P的轨迹方程为(x－1)2＋2＝.答案：(x－1)2＋2＝2．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.A级 1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　　B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：选B　直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　　)A．1B．2C.D．4解析：选B　由半径r＝＝＝2，得＝2.∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1)2＝5解析：选A　由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x－y＋4＝0的距离d＝＝，解得a＝1，d＝，∵直线与圆相切，∴r＝d＝，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.4．(2019·银川模拟)方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)A．一个椭圆B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤ －1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为(　　)A．(－2，－4)B.C．(－2，－4)或D．不确定解析：选A　∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为(　　)A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A　直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.7．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)． 半径r＝|AB|＝＝.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝28．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝＝.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋()2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.答案：x2＋(y－1)2＝210．(2019·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝911．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝4，所以|PA|＝2.所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得或所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.12．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．B级1．(2019·伊春三校联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1　　B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B　圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为C2，设C2(a，b)，则解得所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.2．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝23．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，∴x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时，圆心到直线l的距离d＝＝2，解得m＝±.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴