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- 2021-05-13 发布
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）
数
学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么
球的表面积公式
P( A + B) = P( A) + P(B)
S = 4p R2
如果事件相互独立，那么
其中 R 表示球的半径
P( A ?B) P( A) P( B)
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
p ，那么
V =
4
pR3
3
在 n 次独立重复试验中事件
A 恰好发生 k 次的概率
其中 R 表示球的半径
k k
n- k
⋯, n)
Pn ( k) = Cn p (1- p)
( k = 0,1,2,
第一部分
（选择题
共 60 分）
注意事项：
1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 (1 x)7
的展开式中 x2 的系数是（
）
A、 42
B
、 35
C
、 28
D
、 21
2、复数 (1
i )2
（
）
A、 1
2i
、 1
、 i
、 i
B
C
D
3、函数 f ( x)
x2
9
, x
3
在 x
3 处的极限是（
x
3
）
ln( x
2), x
3
6
、等于 0
、不存在
B
、等于
C
、等于
3
D
A
4、如图，正方形
ABCD 的边长为 1，延长
BA 至 E ，使 AE
1，连接 EC 、 ED 则 sin CED
（
）
A、 3 10
B
、 10
C
、
5
D
、
5
10
ax 1 (a
10
10
15
5、函数 y
0, a 1) 的图象可能是（
）
a
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a
b
成立的充分条件是（
）
| a |
| b |
A、 a
b
B
、 a // b
C
、 a
2b
D
、 a // b 且 | a | |b |
8、已知抛物线关于
x 轴对称，它的顶点在坐标原点
O ，并且经过点
M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为
3 ，则 | OM |
（
）
A、 2 2
B
、 2 3
C
、 4
D
、 2 5
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品
1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品
1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每
桶甲产品的利润是
300 元，每桶乙产品的利润是
400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗
A 、 B 原料都不超过
12 千克。通过合理安排生
）
产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（
A、 1800
元B
、 2400 元
C
、 2800
元
D
、 3100 元
10、如图，半径为
R 的半球 O 的底面圆 O 在平面
内，过点 O 作平面
的垂线交半球面于点
A ，过圆 O 的直径 CD 作平面
成 45
角的平面与半球面
相交，所得交线上到平面
的距离最大的点为
B ，该交线上的一点
P 满足
BOP 60
，则 A 、 P 两点间的球面距离为（
）
A、 R arccos
2
B
、
R
C
、 R arccos 3
D
、
R
4
4
3
3
11、方程 ay
b2 x2
c 中的 a, b, c
{ 3, 2,0,1,2,3} ，且 a, b, c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（
）
A、 60 条
B
、 62 条
C
、 71 条
D
、 80 条
12、设函数 f ( x)
2x
cos x ， { an } 是公差为
的等差数列，
f (a1)
f ( a2 )
f (a5 )
5 ，则 [ f (a3)] 2
a1a3 （
）
8
A、 0
B
、 1 2
C
、 1 2
D
、 13 2
16
8
16
第二部分
（非选择题
共 90 分）
注意事项：
（1）必须使用 0.5
毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用
0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试
题卷上无效。
（2）本部分共 10
个小题，共
90 分。
二、填空题（本大题共
4 个小题，每小题 4 分，共
16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。
）
13、设全集 U { a,b, c, d} ，集合 A { a, b} ， B
{ b, c, d} ，则
U
A
(
U
B
___________
。
(痧
)
)
14、如图，在正方体
ABCD
A1 BC11 D1 中， M 、 N 分别是 CD 、 CC1
的中
D1
C1 点 ， 则 异 面 直 线 A1 M 与 DN 所 成 角 的 大 小 是
____________。
A
B1
1
N
15 、椭圆 x2
y2
1
的左焦点为 F ，直线 x
m 与椭圆相交于点
A 、 B ，
当
FAB 的 周 长 最 大 时 ，
FAB 的 面 积 是
4
3
D
C
____________。
M
A
16
[ x]
x
[2]
2
[1.5]
1 [
0.3]
1
B
设
a
为 正 整 数 ， 数 列
{
xn
}
x1
a
为不超过实数
。
满 足
，
、记
的最大整数，例如，
，
，
xn [ a ]
xn 1
[
2
xn ]( n
N ) ，现有下列命题：
①当 a
5 时，数列 { xn} 的前 3 项依次为 5,3,2
；
②对数列
{ xn} 都存在正整数 k ，当 n k 时总有 xn
xk ；
③当 n
1时， xn
a
1 ；
④对某个正整数 k ，若 xk 1 xk ，则 xn [
a] 。
其中的真命题有 ____________ 。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共
6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
）
17、 ( 本小题满分
12 分 )
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）
A 和 B ，系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为
1 和 p 。
10
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49 ，求 p 的值；
50
（Ⅱ）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量
，求
的概率分布列及数学期望
E 。
18、 ( 本小题满分
12 分 )
函数 f ( x)
6cos 2
x
3 cos x 3(0) 在一个周期内的图象如图所示，
A 为图象的最高点，
B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且
ABC 为正三
2
角形。
（Ⅰ）求
的值及函数
f ( x) 的值域；
（Ⅱ）若 f ( x0 )
8 3
，且 x0 ( 10 , 2 ) ，求 f ( x0
1)
的值。
5
3
3
19、 ( 本小题满分
12 分 )
如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ，
APB 90
，
P
（Ⅰ）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
B AP
C 的大小。
20、( 本小题满分
12 分)
已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ， A
（Ⅰ）求 a1 ， a2 的值；
PAB 60 ， AB BC CA ，平面 PAB 平面 ABC 。
C
B 且 a2 an S2 Sn 对一切正整数 n 都成立。
（Ⅱ）设 a1 0 ，数列 {lg 10a1 } 的前 n 项和为 Tn ，当 n 为何值时， Tn 最大？并求出 Tn 的最大值。
an
21、 ( 本小题满分
12 分 )
如图，动点 M 到两定点 A(
1,0) 、 B(2,0) 构成
MAB ，且 MBA
2 MAB ，设动点 M 的轨迹为 C 。
（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；
y
（Ⅱ）设直线 y
2x m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹 C 相交
M
于点 Q、 R ，且 | PQ | | PR |，求
| PR |
的取值范围。
| PQ |
22 、 ( 本小题满分 14 分 )
x2an
A O
B x
已知 a 为正实数， n 为自然数， 抛物线 y
与
x 轴正半轴相交于点
A ，设 f (n) 为该抛物线在点
A 处的切线
在 y 轴上的截距。
2
（Ⅰ）用 a 和 n 表示 f (n) ；
（Ⅱ）求对所有
n 都有 f (n)
1
n3
成立的 a 的最小值；
f (n)
1
n3
1
n
1
与 27
f (1)
f ( n) 的大小，并说明理由。
（Ⅲ）当 0 a
1时，比较
k
1
f (k)
f (2k)4
f (0)
f (1)
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