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- 2021-05-13 发布
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2012年高考数学二轮精品复习资料
专题二 函数与导数(教师版)
【考纲解读】
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;了解简单的分段函数,并能简单应用.
2.理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提高观察、分析、推理、创新的能力.
3.了解函数奇偶性的含义;会判断函数的奇偶性并会应用;掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.
4.掌握一次函数的图象和性质;掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系,理解“三个二次”的内在联系,讨论二次方程区间根的分布问题.
5.了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念、单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型.
6.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;理解对数函数的概念、单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型;了解指数函数且与对数函数且互为反函数.
7.了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况.
8.掌握解函数图象的两种基本方法:描点法、图象变换法;掌握图象变换的规律,能利用图象研究函数的性质.
9.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数;根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义;能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.
12.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次),会求在闭区间函数的最大值、最小值(多项式函数一般不超过三次);会用导数解决某些实际问题.
【考点预测】
1.对于函数的定义域、值域、图象,一直是高考的热点和重点之一,大题、小题都会考查,渗透面广.特别是分段函数的定义域、值域、解析式的求法是近几年高考的热点.
3.由指数函数、对数函数的图象入手,推知单调性,进行相关运算,同时与导数结合在一起的题目是每年必考的内容之一,要在审题、识图上多下功夫,学会分析数与形的结合,把常见的基本题型的解法技巧理解好、掌握好.
4.函数的单调性、最值是高考考查的重点,其考查的形式是全方位、多角度,与导数的有机结合体现了高考命题的趋势.
5.函数的奇偶性、周期性是高考考查的内容之一,其考查形式比较单一,但出题形式比较灵活,它主要出现在选择题、填空题部分,属基础类题目,复习时要立足课本,切实吃透其含义并能准确进行知识的应用.
6.应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用,仍将是高考压轴题.
【要点梳理】
1.求定义域、值域的方法有:配方法、不等式法、换元法、分离常数法等;求函数解析式的方法有:定义法、换元法、待定系数法、方程组法等;解决实际应用题的一般步骤是:分析实际问题,找出自变量,写出解析式,确定定义域,计算.
2.几种常见函数的数学模型:平均增长率问题;储蓄中的得利问题;通过观察与实验建立的函数关系;根据几何与物理概念建立的函数关系.
3.指数与对数函数模型是函数应用的基本模型,经常与导数在一起进行考查,应引起我们的高度重视.
4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,应熟练掌握.函数的零点、二分法、函数模型的应用是高考的常考点和热点,应认真研究、熟练掌握.
5.理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义,会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值,常与导数结合在一起考查,是高考的常考点.
6.对于幂指对函数的性质,只需立足课本,抓好基础,掌握其单调性、奇偶性,通过图象进行判断和应用,常与导数结合在一起考查.
7.导数的概念及运算是导数的基本内容,每年必考,一般不单独考查,它主要结合导数的应用进行考查.
8.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一,经常与解析几何结合在一起考查.
9.利用导数研究函数的单调性、极值、最值及解决生活中的优化问题是近几年高考必考的内容之一.
10.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.
11.求可导函数极值的一般步骤和方法:(1)求导数;(2)判断函数单调性;(3)确定极值点;(4)求出极值.
12.求可导函数最值的一般步骤和方法:(1)求函数极值;(2)计算区间端点函数值;(3)比较极值与端点函数值,最大者为最大值,最小者为最小值.
【考点在线】
考点一 函数的定义域
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题.
例1.已知函数的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
考点二 函数的性质(单调性、奇偶性和周期性)
函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
例2.(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中,既是偶函数又是区间上的增函数的是( )
A B C D
【答案】B
【解析】由偶函数可排除A,再由增函数排除C,D,故选B;
【名师点睛】此题考查复合函数的奇偶性和单调性,因为函数都是偶函数,所以,内层有它们的就是偶函数,但是,它们在的单调性相反,再加上外层函数的单调性就可以确定.
【备考提示】:熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.
练习2: (2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】本题考察函数性质,属容易题.因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.
例3.(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以8是该函数的周期;又因为,所以是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域为R,所以,且函数的图象关于对称, 因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,
,,所以,故选D.
【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、周期性,利用函数性质比较函数值的大小.
【备考提示】:函数的奇偶性、单调性、周期性,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.
练习3:(2011年高考全国卷文科10)设是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,=,则=( )
A.- B. C. D.
【答案】A
【解析】先利用周期性,再利用奇偶性得:
考点三 函数的图象
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.
例4.(2011年高考山东卷理科9文科10)函数的图象大致是( )
【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C正确.
【名师点睛】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.
【备考提示】:函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判断法等)是答好这类问题的关键.
练习4:(2010年高考山东卷文科11)函数的图像大致是( )
【解析】因为当x=2或4时,2x -=0,所以排除B、C;当x=-2时,2x -=,故排除D,所以选A.
考点四 导数的概念、运算及几何意义
了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例5.(2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
【答案】C
【解析】因为,切点为P(1,12),所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.
【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义.
【备考提示】:导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.
练习5:(2011年高考江西卷文科4)曲线在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】.
考点五 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
例6.设函数在及时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
【解析】(Ⅰ),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范围为.
【名师点睛】利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.
【备考提示】:导数的应用是导数的主要内容,是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.
练习6: 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
【解析】由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
考点六 函数的应用
建立函数模型,利用数学知识解决实际问题.
例7. (2011年高考山东卷文科21)
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.
【解析】(I)设容器的容积为V,
由题意知
故
由于
因此
所以建造费用
因此
(II)由(I)得
由于
当
令
所以
(1)当时,
所以是函数y的极小值点,也是最小值点。
(2)当即时,
当函数单调递减,
所以r=2是函数y的最小值点,
综上所述,当时,建造费用最小时
当时,建造费用最小时
【名师点睛】本题以立体几何为背景,考查函数的实际应用,题目新颖,考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法,考查同学们的计算能力、分析问题、解决问题的能力.
【备考提示】:近几年的高考, 函数与导数的综合应用一直是解答题中的较难题,导数在实际问题中的优化问题是导数的重点内容,注重基础知识的落实是根本.
练习7:(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】(1)由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为
S==,当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,应15cm.
(2)包装盒容积V==,
所以=,令得; 令得,
所以当时, 包装盒容积V取得最大值,此时的底面边长为,高为,包装盒的高与底面边长的比值为.
考点七(理科) 定积分
例8. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为( )
(A) (B)4 (C) (D)6
【答案】C
【解析】因为的解为,所以两图像交点为,于是面积故选C
【名师点睛】本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积,就是要求函数在某个区间内的定积分。
【备考提示】:定积分在高考中一般以选择或填空题的形式考查一个题,难度不大,所以在复习中注重基础知识的落实是解答好本类题目的关键.
练习8: (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=
。故选D.
【易错专区】
问题1:函数零点概念
例1.函数的零点为 .
解析:令=0,解得:或,所以该函数的零点为2
【名师点睛】:函数的零点就是方程的实数根,是一个实数,而不是点.
【备考提示】:准确理解概念是解答好本题的关键.
问题2:零点定理
例2.已知有且只有一根在区间(0,1)内,求的取值范围
【解析】:设,(1)当=0时方程的根为-1,不满足条件.
(2)当≠0∵有且只有一根在区间(0,1)内又=1>0
∴有两种可能情形①得<-2或者②得不存在
综上所得,<-2
【名师点睛】:对于一般,若,那么,函数在区间(a,b)上至少有一个零点,但不一定唯一.对于二次函数,若则在区间(a,b)上存在唯一的零点,一次函数有同样的结论成立.但方程=0在区间(a,b)上有且只有一根时,不仅是,也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时,就是这种情况.
由图可知=0在区间(a,b)上有且只有一根,但是
【考题回放】
1. (2011年高考海南卷文科10)在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,,,所以选C.
2.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在 图像上,,则下列点也在此图像上的是( )
(A)(,b) (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)
【答案】D
【解析】由题意,,即也在函数 图像上.
3.(2011年高考安徽卷文科10)函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则n的值可能是
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】A
【解析】代入验证,当时
,则
,由可知,,结合图像可知函数应在递增,在递减,即在取得最大值,由,知a存在.故选A.
4. (2011年高考福建卷文科8)已知函数f(x)=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】由题意知因为,所以.当时,无解;当时,,所以,解得.
5. (2011年高考海南卷文科12)已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
【答案】A
【解析】画出图象,不难得出选项A正确.
6. (2011年高考天津卷文科5)已知则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.
7. (2011年高考四川卷文科4)函数的图像关于直线y=x对称的图像大致是( )
解析:由,得,故函数的反函数为,其对应的函数图象为A.
8.(2011年高考湖南卷文科7)曲线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:,所以
9.(2011年高考湖南卷文科8)已知函数若有则的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:由题可知,,若有则,即,解得。
【解析】过和,由过可知在直线下方,故选B
11.(2011年高考辽宁卷文科6)若函数 为奇函数,则a=( )
(A) (B) (C) (D) 1
答案: A
解析:因为f(x)=为奇函数,所以f(-2)=-f(2),即,解得。本题也可以利用奇函数定义求解。
12.(2011年高考重庆卷文科3)曲线在点(1,2)处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
13. (2011年高考山东卷文科16)已知函数=当2<a<3<b<4时,函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
14.(2011年高考湖南卷文科12)已知为奇函数, .
答案:6
解析:,又为奇函数,所以.
15.(2011年高考陕西卷文科11)设 则 =______.
【答案】1
【解析】:.
16.(2011年高考辽宁卷文科16)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是___________.
答案:
解析:函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程f(x)=0有解,即-a =ex-2x有解,设g(x)= ex-2x,
因为g’(x)= ex-2,当x>ln2时g’(x)>0, 当x0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减
(2) 当a≠0时,由f(x)=0,
即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1
① 当a=1/2时,x1= x2, g(x)≥0恒成立,此时f(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
② 当01>0
x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减
x∈(1,1/a-1)时,g(x)>0,此时f(x)0,此时f(x)
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