2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ) 21页

‎2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）函数的定义域为（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}‎ ‎2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（　　）‎ A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能确定 ‎3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（　　）‎ A．138 B．135 C．95 D．23‎ ‎6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　）‎ A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2‎ ‎7．（5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式 ‎＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）‎ ‎10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（　　）‎ A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．‎ ‎11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）‎ A．96 B．84 C．60 D．48‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　　．‎ ‎14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　　．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，AB=BC，‎ ‎．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　　．‎ ‎16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．‎ ‎18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．‎ ‎（Ⅰ）证明：AD⊥CE；‎ ‎（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．‎ ‎21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；‎ ‎（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．‎ ‎　‎ ‎2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）函数的定义域为（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}‎ ‎【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．‎ ‎【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．‎ 又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（　　）‎ A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能确定 ‎【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．‎ ‎【解答】解：大于2小于5的数有2个数，‎ ‎∴p1==；‎ 投掷一次正面朝上的概率为，‎ 两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，‎ ‎∴p1＞p2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．‎ ‎【解答】解：∵由，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A ‎　‎ ‎4．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0‎ ‎【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（　　）‎ A．138 B．135 C．95 D．23‎ ‎【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，‎ ‎∴d=3，a1=﹣4，‎ ‎∴S10=10a1+=95．‎ 故选C ‎　‎ ‎6．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln 的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　）‎ A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2‎ ‎【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．‎ ‎【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2‎ ‎∴答案为A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；‎ ‎（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．‎ ‎【解答】解：∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．‎ ‎∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）‎ ‎【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，‎ 然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，‎ 最后结合f（x）的单调性解出答案．‎ ‎【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，‎ 而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，‎ 又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，‎ 当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；‎ 当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；‎ 当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；‎ 当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；‎ 所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（　　）‎ A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．‎ ‎【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．‎ ‎【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r ‎，∴‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；‎ 法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．‎ ‎【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，‎ 所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，‎ 则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，‎ 所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，‎ 所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；‎ ‎（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，‎ 如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，‎ 故DA=，‎ 由勾股定理得A1D==故B1E=，‎ 如图作A1S⊥AB于中点S，‎ 易得A1S=，所以AB1==2，‎ 所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）‎ A．96 B．84 C．60 D．48‎ ‎【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．‎ ‎【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；‎ 种三种花有2A43种种法；‎ 种四种花有A44种种法．‎ 共有A42+2A43+A44=84．‎ 故选B ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　9　．‎ ‎【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．‎ ‎【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知抛物线y=ax2‎ ‎﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2　．‎ ‎【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，‎ ‎，则 与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0）‎ ‎，则以这三点围成的三角形的面积为 故答案为2‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　　．‎ ‎【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设AB=BC=1，，则，‎ ‎∴，．‎ 答案：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于　　．‎ ‎【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．‎ ‎【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，‎ OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角 ‎，‎ 结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，‎ 则，=‎ 故EM，AN所成角的余弦值故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（10分）（2008•全国卷Ⅰ）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，‎ 由正弦定理得 即sinAcosB=4cosAsinB，‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）由得 tanA=4tanB＞0‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 故当时，‎ tan（A﹣B）的最大值为．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．‎ ‎（Ⅰ）证明：AD⊥CE；‎ ‎（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．‎ ‎【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．‎ ‎（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，‎ ‎∵AB=AC，∴AF⊥BC．‎ 又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．‎ 再根据 ，可得∠CED=∠FDC．‎ 又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，‎ ‎∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．‎ ‎（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．‎ ‎∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，‎ 则∠CGE即为所求二面角的平面角．‎ 作CH⊥AB，H为垂足．‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，‎ 故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，‎ ‎∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．‎ ‎∵CE=，∴CH=EH=．‎ 直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；‎ 直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．‎ 由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，‎ 故△ACD为直角三角形，AD===，‎ 故CG===，DG==，‎ ‎，又 ，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 即二面角C﹣AD﹣E的大小．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2010•大纲版Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．‎ ‎（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx ‎∴‎ 解f′（x）＞0，‎ 即：2x2﹣3x+1＜0‎ 函数f（x）的单调递增区间是．‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，‎ ‎∵f（x）在上为减函数，‎ ‎∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．‎ 即a≤2x+恒成立．‎ 设，则 ‎∵x∈时，＞4，‎ ‎∴g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在上递减，‎ ‎∴g（x）＞g（）=3，‎ ‎∴a≤3．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ ‎（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．‎ ‎【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．‎ ‎（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：‎ ‎①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：‎ ‎②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）‎ ‎，‎ ‎∴乙只用两次的概率为．‎ 若乙验三次时，只有一种可能：‎ 先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为 ‎∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：‎ ‎（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，‎ ‎∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ ‎【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．‎ ‎（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．‎ ‎【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，‎ ‎∴渐近线的倾斜角为（0，），‎ ‎∴渐近线斜率为：，∴．‎ ‎∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，‎ ‎∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 可得：，而在直角三角形OAB中，‎ 注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，‎ 而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，‎ ‎∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．‎ 由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，‎ ‎∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∴4=•=•，即16=﹣112b2，‎ ‎∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；‎ ‎（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．‎ ‎【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而 进行证明．‎ ‎（2）由题意数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an），求出an+1=an﹣anlnan，然后利用归纳法进行证明；‎ ‎（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得ak+1=ak﹣b﹣ak，然后进行讨论求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，‎ ‎∴f′（x）=﹣lnx，‎ 当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0‎ 故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）‎ ‎（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，‎ a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，‎ ‎∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，‎ ‎∴f（x）在区间（0，1]是增函数，‎ a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，‎ ‎（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1成立，‎ 即0＜a1≤ak＜ak+1＜1，‎ 那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1，‎ 得f（ak）＜f（ak+1）＜f（1），‎ 而an+1=f（an），‎ 则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1，‎ 也就是说当n=k+1时，an＜an+1＜1也成立，‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1恒成立．‎ ‎（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得 ak+1=ak﹣aklnak=，‎ ‎1）若存在某i≤k2，满足ai≤b3，则由（Ⅱ）知：ak+1﹣b＜ai﹣b≥04，‎ ‎2）若对任意i≤k6，都有ai＞b，则ak+1=ak﹣aklnak==≥a1﹣b1﹣ka1ln=0，‎ 即ak+1＞b成立．‎ ‎　‎