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- 2021-05-13 发布
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高考数学知识梳理复习题8第2讲 二项分布与超几何分布
★ 知 识 梳理 ★
1.条件概率:称为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
特别提醒: ①0P(B|A)1; ②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒:
①如果事件A、B是相互独立事件,那么,A与、与B、与都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B,则有P(A·B)= P(A)·P(B)
推广:如果事件A1,A2,…An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。即:P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
3.独立重复试验: 在同样的条件下,重复地、各次之间____________的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有____________结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
答案: 相互独立地进行, 两种
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式:________________________
答案:Pn(k)=CPk(1-P)n-k,其中,k=0,1,2,…,n.
5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是,(k=0,1,2,…,n,).
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
由于恰好是二项展开式
中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从____________,
记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并记=b(k;n,p).
答案:二项分布
6. 两点分布:
X 0 1
P 1-p p
特别提醒: 若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
7. 超几何分布:
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则其中,。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列, 称X服从____________
答案: 超几何分布。
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点:理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,能理解n次独立重复实验的模型及二项分布.
2.难点:能利用超几何分布, 二项分布及n次独立重复实验解决一些简单的实际问题
3.重难点:.
(1) “互斥”与“独立”混同
问题1: 甲投篮命中率为O.8,乙投篮命中率为0.7,每人投3次,两人恰好都命中2次的概率是多少?
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中两次”为事件B,则两人都恰好投中两次为事件
A+B,P(A+B)=P(A)+P(B):
点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑,将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.
正确解答:设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中两次”为事件B,且A,B相互独立,则两人都恰好投中两次为事件A·B,于是P(A·B)=P(A)×P(B)= .
(2)“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黄色球的概率.
错解 记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
点拨:本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率;而P(B/A)表示在缩减的样本空间SA中,作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。
正确答案:P(C)= P(AB)=P(A)P(B/A)=。
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一: 条件概率,相互独立事件和独立重复试验
题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数,每位数字都可从0~9中任选,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
⑴按第一次不对的情况下,第二次按对的概率; ⑵任意按最后一位数字,按两次恰好按对的概率;
⑶若他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率
[解题思路]:
⑴这是一个一般概率还是条件概率?应选择哪个概率公式?
⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件?为何要按两次?隐含什么含义?第一次按与第二次按有什么关系?应选择哪个概率公式?
⑶“最后一位是偶数”的情形有几种?“不超过2次就按对”包括哪些事件?这些事件相互之间是什么关系?应选择用哪个概率公式?
解析:设事件表示第次按对密码
⑴
⑵事件表示恰好按两次按对密码,则
⑶设事件表示最后一位按偶数,事件表示不超过2次按对密码,因为事件与事件为互斥事件,由概率的加法公式得:
【名师指引】
⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化,事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率,从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法
⑵将条件概率的计算公式进行变形,可得概率的乘法公式
【新题导练】
2. 设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规定一、二等品为合格品.从中任取1
件,求 (1) 取得一等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品的概率.
解: 设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则
(1)因为100 件产品中有 70 件一等品,
(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以
方法二:
题型2。相互独立事件和独立重复试验
[例2] (2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定.他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张.投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响.规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目投资.
(Ⅰ)求此公司一致决定对该项目投资的概率;(Ⅱ)求此公司决定对该项目投资的概率;
[解题思路]: 注意相互独立事件和独立重复试验恰有次发生的区别
解析:(Ⅰ)此公司一致决定对该项目投资的概率P= ()3=
(Ⅱ)此公司决定对该项目投资的概率为P=C32()2()+C33()3=
答: (Ⅰ)此公司一致决定对该项目投资的概率为(Ⅱ)此公司决定对该项目投资的概率为.
【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有次发生与指定第次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为,后者的概率为
【新题导练】
1. (湖南卷16).(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:至少有1人面试合格的概率;
解: 用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=.
至少有1人面试合格的概率是
2.(山东卷18)
甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,
答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ε分布列;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
解: (Ⅰ)由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且
所以ε的分布列为
ε
0
1
2
3
P
(Ⅱ)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、
D互斥,又
由互斥事件的概率公式得
考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二(十)班共50名同学,其中35名男生,15名女生,随机从中取出5名同学参加学生代表大会,所取出的5名学生代表中,女生人数X的频率分布如何?
[解题思路]:5名学生代表中,女生人数有6种情况.
解析:从50名学生中随机取5人共有种方法,没有女生的取法是,恰有1名女生的取法是,恰有2名女生的取法是,恰有3名女生的取法是,恰有4名女生的取法是,恰有5名女生的取法是,
因此取出的5名学生代表中,女生人数X的频率分布为:
X
0
1
2
3
4
5
P
[例4] 若随机事件A在1次试验中发生的概率是,用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。(1)求方差的最大值;(2)求的最大值。
[解题思路]:
(1)由两点分布,分布列易写出,而要求方差的最大值需求得的表达式,转化为二次函数的最值问题;
(2)得到后自然会联想均值不等式求最值。
解析:(1)的分布列如表:所以,
所以时,有最大值。
(2)由,当且仅当即时取等号,所以的最大值是。
【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同m值时的概率P(X=m).
【新题导练】
1.在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?
解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得
2.假定一批产品共100件,其中有4件不合格品,随机取出的6件产品中,不合格品数X的概率分布如何?
解: 从100件产品中随机取6件产品共有种方法,都是合格品的取法是,恰有1件不合格品的取法是,恰有2件不合格品的取法是,恰有3件不合格品的取法是,恰有4件不合格品的取法是。
因此取出的6件产品中,不合格品数X的概率分布为:
X
0
1
2
3
4
P
考点三: 独立重复试验与二项分布
题型1: 独立重复试验与二项分布的应用
[例6] 一口袋内装有5个黄球,3个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止,停止时取球的次数是一个随机变量,则=______________。(填计算式)
[解题思路]:这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题,同学们很容易由二项分布原理得到,这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”,此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。
解析:
[例7] 某人对一目标进行射击,每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击几次?
[解题思路]:“至多”,“至少”问题往往考虑逆向思维法
解析:解:设要使至少命中1次的概率不小于0.75,应射击次 记事件=“射击一次,击中目标”,则.
∵射击次相当于次独立重复试验, ∴事件至少发生1次的概率为.
由题意,令,∴,∴,∴至少取5.
【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征,更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。
【新题导练】
1. 广东深圳外国语学校2008—2009学年高三月考理
某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_______。
答案:
2.广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, ……1分.
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分
同理可得
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,……13分.
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,数列满足:如果为数列的前n项和,那么的概率为
A. B. C. D.
答案:B
2. (广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( )
A. B. C. D.
答案:A
3.(江苏省启东中学2008年高三综合测试)一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为,则此射手每次射击命中的概率为( )
A. B. C. D.
答案:B
4.(2008福建卷5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A. B. C. D.
答案:B
5.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( )
答案:A
6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则此射手的命中率为 .
答案:
综合拔高训练
7.广东深圳外国语学校2008—2009学年高三月考理科数学试题
一袋中装有4个白球,2个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现3次停止,设停止时,取球次数为随机变量,则 ________.
答案:
8.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次,甲射中的概率为,乙射中的概率为,求:
(1)人都射中目标的概率;
(2)人中恰有人射中目标的概率;
(3)人至少有人射中目标的概率;
(4)人至多有人射中目标的概率?
解:记“甲射击次,击中目标”为事件,“乙射击次,击中目标”为事件,则与,与,与,与为相互独立事件,
(1)人都射中的概率为:,∴人都射中目标的概率是.
(2)“人各射击次,恰有人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件发生)根据题意,事件与互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为:
∴人中恰有人射中目标的概率是.
(3)(法1):2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为
.
(法2):“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,
2个都未击中目标的概率是,
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为.
(4)(法1):“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”,
故所求概率为:
.
(法2):“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”,
故所求概率为
9.广东省佛山市三水中学2009届高三统考 (数学理)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名,问这2人使用相同版本教材的概率是多少?
(2)若随机选出的2名教师都使用人教版教材,现设使用人教A版教材的教师人数为,求随机变量的分布列
17.解:(1)50名教师中随机选出2名的方法数为,
选出的2人所使用版本相同的方法数为 =190+105+10+45=350,
2人所使用版本相同的概率为
(2),,
随机变量的分布列是
0
1
2
P
10.广东省深圳外国语学校2009届高三统测(数学理)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(Ⅰ)求甲、乙两人考试均合格的概率;(Ⅱ)求甲答对试题数的概率分布.
解:(Ⅰ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则
P(A)==,P(B)=.
因为事件A、B相互独立,
∴甲、乙两人考试均合格的概率为 答:甲、乙两人考试均合格的概率为.
(Ⅱ)依题意,=0,1,2,3,………………7分
, ,
,
甲答对试题数ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
2
3
P
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