2011年北京高考数学理科试题及答案 9页

绝密★启封并使用完毕前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合 P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数 A．i B．-i C． D． 3．在极坐标系中，圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标系是 A． B． C． (1,0) D．(1， ) 4．执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 A．-3 B．- C． D．2 5．如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．根据统计，一名工作组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，C 为 常数）。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 2 1 2 i i − =+ 4 3 5 5 i− − 4 3 5 5 i− + (1, )2 π (1, )2 π− π 1 2 1 3       ≥ < = Ax A c Ax x c xf , ,, )( 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8 B． C．10 D． 8．设 , ， , . 记 为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整 点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点， 则函数 的值域为 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9．在 中。若 b=5， ，tanA=2，则 sinA=____________；a=______________。 10．已知向量 a=（ ，1），b=（0，-1），c=（k， ）。若 a-2b 与 c 共线，则 k=_________________。 11．在等比数列{an}中，a1= ，a4=-4，则公比 q=_____________； ___________。 12．用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_________个。（用数字作答） 13．已知函数 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是____ 14．曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F¬2（1，0）的距离的积等于常数 的点的轨迹. 给出下列三个结论：① 曲线 C 过坐标原点；② 曲线 C 关于坐标原点对称；③若点 P 在曲线 C 上，则△F PF 的面积大于 a 。其中，所有正确结论的序号是____________。 三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 6 2 8 2 ( )0,0A ( )4,0B ( )4,4C t + ( )( ),4D t t R∈ ( )N t ( )N t { }9,10,11 { }9,10,12 { }9,11,12 { }10,11,12 ABC∆ 4B π∠ = 3 3 1 2 1 2 ... na a a+ + + = 3 2 , 2( ) ( 1) , 2 xf x x x x  ≥=   − < )1(2 >aa 1 2 2 1 2 15．（本小题共 13 分）已知函数 。 （Ⅰ）求 的最小正周期：（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值。 16．（本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， .(Ⅰ)求证： 平面 （Ⅱ）若 求 与 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长. 17．（本小题共 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模 ( ) 4cos sin( ) 16f x x x π= + − ( )f x ( )f x ,6 4 π π −   P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 2, 60AB BAD= ∠ =  BD ⊥ ;PAC ,PA AB= PB AC PBC PDC PA 糊，无法确认，在图中以 X 表示。 （Ⅰ）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 （注：方差 ，其中 为 ， ，…… 的平均数） 18．（本小题共 13 分）已知函数 。（Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的 ，都有 ≤ ，求 的取值范围。 19．（本小题共 14 分）椭圆 .过点（m,0）作圆 的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 ns x x x x x xn  = − + − + + −   x 1x 2x nx 2( ) ( ) x kf x x k e= − ( )f x (0, )x∈ +∞ ( )f x 1 e k 2 2: 14 xG y+ = 2 2 1x y+ = （I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将 表示为 m 的函数，并求 的最大值. 20．（本小题共 13 分）若数列 满足 ，数列 为 数列，记 = ．（Ⅰ）写出一个满足 ，且 〉0 的 数列 ； （Ⅱ）若 ，n=2000，证明：E 数列 是递增数列的充要条件是 =2011； （Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2），是否存在首项为 0 的 E 数列 ，使得 =0？如果存在，写出一 个满足条件的 E 数列 ；如果不存在，说明理由。 参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） AB AB 1 2,, ..., ( 2)n nA a a a n= ≥ 1 1 1( 1,2,..., 1)na a k n+ − = = − nA E ( )nS A 1 2 ... na a a+ + + 1 0sa a= = ( )sS A E nA 1 12a = nA na nA ( )nS A nA （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） （10）1 （11）—2 （12）14 （13）（0，1） （14）②③ 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为 所以 的最小正周期为 （Ⅱ）因为 于是，当 时， 取得最大值 2； 当 取得最小值—1. （16）（共 14 分）证明：（Ⅰ）因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AC⊥BD.又因为 PA⊥平面 ABCD.所以 PA⊥BD.所以 BD⊥平面 PAC. （Ⅱ）设 AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以 BO=1，AO=CO= . 如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O—xyz，则 P（0，— ，2），A（0，— ，0），B（1，0，0），C（0， ，0）. 所以 设 PB 与 AC 所成角为 ，则 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 设 P（0，－ ，t）（t>0），则 设平面 PBC 的法向量 ,则 所以 令 则 所以 同理，平面 PDC 的法向量 因为平面 PCB⊥平面 PDC, 所以 =0，即 解得 所以 PA= （17）（共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 1025 52 2 12 1 −−n 1)6sin(cos4)( −+= π xxxf 1)cos2 1sin2 3(cos4 −+= xxx 1cos22sin3 2 −+= xx xx 2cos2sin3 += )62sin(2 π+= x )(xf π .3 2 626,46 πππππ ≤+≤−≤≤− xx 所以 6,262 πππ ==+ xx 即 )(xf )(,6,662 xfxx 时即 πππ −=−=+ 3 3 3 3 ).0,32,0(),2,3,1( =−= ACPB θ 4 6 3222 6 |||| cos = × = ⋅ ⋅ ACPB ACPBθ ).0,3,1(−=BC 3 ),3,1( tBP −−= ),,( zyxm = 0,0 =⋅=⋅ mBPmBC    −+−− =+− 03 ,03 tzyx yx ,3=y .6,3 tzx == )6,3,3( tm = )6,3,3( tn −= nm ⋅ 0366 2 =+− t 6=t 6 ;4 35 4 10988 =+++=x 方差为 （Ⅱ）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是： 9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4×4=16 种可能的结果，这两名同学植树 总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出 的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）= 同理可得 所以随机变量 Y 的分布列为： Y 17 18 19 20 21 P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17× +18× +19× +20× +21× =19 （18）（共 13 分）解：（Ⅰ） 令 ，得 . 当 k>0 时， 的情况如下 x ( ) ( ,k) k + 0 — 0 + ↗ ↘ 0 ↗ 所以， 的单调递减区间是（ ）和 ；单高层区间是 当 k<0 时， 的情况如下 x ( ) ( ,k) k — 0 + 0 — ↘ 0 ↗ ↘ 所以， 的单调递减区间是（ ）和 ；单高层区间是 （Ⅱ）当 k>0 时，因为 ，所以不会有 当 k<0 时，由（Ⅰ）知 在（0，+ ）上的最大值是 .16 11])4 3510()4 359()4 358()4 358[(4 1 22222 =−+−+−+−=s .8 1 16 2 = ;4 1)18( ==YP ;4 1)19( ==YP .8 1)21(;4 1)20( ==== YPYP 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 .)(1)( 122 x ekxkxf −=′ ( ) 00 =′f kx ±= )()( xfxf ′与 k−∞− , k− k− ),( +∞k )(xf ′ )(xf 124 −ek )(xf k−∞− , ),( +∞k ),( kk− )()( xfxf ′与 k−∞− , k− k− ),( +∞k )(xf ′ )(xf 124 −ek )(xf k−∞− , ),( +∞k ),( kk − eekf k 1)1( 11 >=+ + .1)(),,0( exfx ≤+∞∈∀ )(xf ∞ .4)( 2 e kkf =− 所以 等价于 解得 . 故当 时，k 的取值范围是 （19）（共 14 分）解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以椭圆 G 的焦点坐标为 离心率为 （Ⅱ）由题意知， .当 时，切线 l 的方程 ，点 A、B 的坐标分别为 此时 当 m=－1 时，同理可得 当 时，设切线 l 的方程为 由 设 A、B 两点的坐标分别为 ，则 又由 l 与圆 所以 由于当 时， 所以 . 因为 且当 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2. （20）（共 13 分）解：（Ⅰ）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5） （Ⅱ）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列，所以 . 所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于 a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999，即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12，a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 是递增数列. 综上，结论得证。 exfx 1)(),,0( ≤+∞∈∀ .14)( 2 ee kkf ≤=−− 02 1 <≤− k .1)(),,0( exfx ≤+∞∈∀ ).0,2 1[− ,1,2 == ba .322 −−= bac )0,3(),0,3(− .2 3== a ce 1|| ≥m 1=m 1=x ),2 3,1(),2 3,1( − 3|| =AB 3|| =AB 1|| >m ),( mxky −= 0448)41( .14 ),( 22222 2 2 =−+−+    =+ −= mkmxkxk yx mxky 得 ),)(,( 2211 yxyx 2 22 212 2 21 41 44,41 8 k mkxxk mkxx + −=+=+ .1,1 1 ||,1 222 2 22 +== + =+ kkm k kmyx 即得相切 2 12 2 12 )()(|| yyxxAB −+−= ]41 )44(4 )41( 64)[1( 2 22 22 4 2 k mk k mkk + −−++= 2 .3 ||34 2 += m m 3±=m ,3|| =AB ),1[]1,(,3 ||34|| 2 +∞−−∞∈+= mm mAB ,2 || 3|| 34 3 ||34|| 2 ≤ + =+= mmm mAB 3±=m )1999,,2,1(11 ==−+ kaa kk nnn Akaa 即),1999,,2,1(011 =>=−+ （Ⅲ）令 因为 …… 所以 因为 所以 为偶数, 所以要使 为偶数, 即 4 整除 . 当 时，有 当 的项满足， 当 不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An， 使得 .1),1,,2,1(011 ±=−=>=−= + Akkk cnkaac 则 2111112 ccaacaa ++=++= ,1211 +++++= nn cccaa  13211 )3()2()1()( −++−+−+−+= nn ccncncnnaAS  )].1()2)(1()1)(1[(2 )1( 121 −−++−−+−−−−= ncncncnn  ).1,,1(1,1 −=−±= nkcc kk 为偶数所以 )1()2)(1()1)(1* 21 ncncnc −++−−+−−  2 )1(,0)( −= nnAS n 必须使 *)(144),1( Nmmnmnnn ∈+==− 或亦即 ,1,0,*)(14 241414 −===∈+= −−+ kkkn aaaAENmmn 的项满足数列时 14 =ka ),,2,1( mk = ;0)(,01 == nASa ;0)(,0,0),,,2,1(1 1144 ===== + nkk ASaamka 有时 nAENmmn 数列时,*)(14 ∈+= ,1,0 243314 −=== −−− kkk aaa )1(,)(3424 −∈+=+= mnNmmnmn 时或 .0)(,01 == nASa