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- 2021-05-13 发布
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学科:数学
教学内容:导数与微分知识拓展(二)
5.什么是泰勒公式?怎样求函数的泰勒公式?
对于一些较复杂的函数,为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算,我们往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它们的函数值,因此我们经常用多项式近似代替一般函数,那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?如果一个函数能用多项式近似代替,这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢?
首先讨论若p(x)是一个n次多项式
……
由此可知,将n次多项式函数p(x)按着
的幂展开,它的多项式的系数由多项式p(x)所确定,即
对于任意的函数(不必是多项式函数),只要函数f(x)在点存在直到n阶导数,总能写出一个相应的n次多项式
多项式称为f(x)在的n次泰勒多项式.若用n次泰勒多项式近似代替f(x),所产生的误差怎样表示呢?一般地,我们有:
若函数f(x)在含有点的某开区间(a,b)内有直到n+1阶导数,则对任意的点x∈(a,b),有
其中称为拉格朗日余项,记作,即
上面的公式称为泰勒(Taglor)公式,也称为具有高阶导数的中值定理,在这里令n=1,
即是拉格朗日中值定理.
在上式中,若用泰勒多项式近似代替f(x),所产生的误差是
特别地,若在(a,b)上有界,设M>0,对,有则误差可表示:
从上面可以求出,要求f(x)的泰勒公式,只要求出泰勒多项式的系数,而因此只须求f(x)在的直到n阶的导数即可.
思路启迪 x+1可以写成x-(-1),故只需求出f(x)有-1点的各级导数即可.
这个公式称为马克劳林(Maclaurin)公式.
例2 将f(x)=ln(1+x)展开为x的幂式(即马克劳林公式).
思路启迪首先求出f(x)在0点的各阶导数,然后代入公式即可.
规范解法当x>-1时,f(x)是连续函数,并有连续的各阶导数:
例4利用ln(1+x)展开式的前五项计算ln1.2之值.
6.怎样判别曲线的凹凸性及拐点?
由导数的符号,可知函数f(x)的单调性,但还不能完全反映它的变化规律,如函数与(图3-17)在(0,+∞)都是单调增加的,但增加的方式却不同,是向上弯曲的,而是向下弯曲的.因此,研究函数图像时,考察它们的弯曲方向是很有必要的.
由图3-18(a)、图3-18(b)我们可以直观地看到,当动点P沿着曲线滑动时,曲线上的切线随着点P而变化.当每一点的切线位于曲线下方时,曲线是向上弯曲的,此时称曲线是向下凹的;当每一点切线位于曲线的上方时,曲线是向下弯曲的,此时称曲线是向上凸的.
如果一条曲线y=f(x)在区间(a,b)上是向下凹或是向上凸的,我们就说曲线y=f(x)在(a,b)上具有凸凹性,曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点.
下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法.
设f(x)在的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数,曲线y=f(x)在点的切线为
因而切线上横坐标为x的点的纵坐标为:
曲线上横坐标为x的点的纵坐标为:
AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图3—19).
(1)当时,则在点的充分小邻域内也大于0,因此AC>O,于是C在A之上,换句话说,在M的充分小邻域内,曲线弧落在切线之上,故曲线在M点附近是向下凹的.
(2)当则在点的充分小邻域内也小于0,因此AC<0,即点C在A之下,换句话说,在点M的充分小邻域内,曲线弧落在切线之下,故曲线在M点附近是向上凸的.
(3)当时,可能是正数也可能是负数.
①若x由小于变为大于,不变号,则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸的;②若x由小于变为大于,变号,则在点M处曲线将从切线的一侧穿过切线进入另一侧,即曲线在点M附近两侧,其中一侧是向下凹的,则另一侧是向上凸的.此时,点M
是曲线向下凹与向上凸的分界点,即是拐点.
从上面(3)中的②可以看出,若是使得的点,则可能是拐点.
根据以上的讨论,我们可以给出判别曲线y=f(x)凸凹性的步骤:
(1)求出y=f(x)的定义域D.
(2)求出,并求出方程的根等.
(3)用等点将D分成若干个区域,在每个区间上判别的符号.若,则在此区间上的曲线是向下凹的;若,则在此小区间上是向上凸的(此步骤通常列表完成).
x
(-∞,0)
0
+
0
-
0
+
f(x)
向下凹
1
向上凸
向下凹
拐点
(0,1)
由上表可知,曲线在(-∞,0)与是向下凹的,在是向上凸的,拐点是(0,1)和,如图3-21.
7.怎样求曲线的渐近线?
我们知道双曲线的渐近线有两条:.在作双曲线的图象时,如果能先把两条渐近线作出来,再画曲线的图象,就较准确地画出它的图象.因此如果一条曲线存在渐近线,先把它的渐近线求出来,对于准确描绘函数y=f(x)的图象是非常必要的.
一般地,当曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线y=f(x)无限地运离原点时,若动点P到某一定直线的距离无限地趋于0(如图3-22),则称直线的曲线y=f(x)的渐近线.
下面我们将分三种情况讨论曲线的渐近线.
(1)垂直渐近线.
若或则直线是曲线y=f(x)的垂直渐近线(垂直于x轴).
思路启迪求曲线的垂直线渐近线,首先找出使分母为零的点,然后检查函数在这些点两侧附近函数的变化趋势,若当无限接近该点时,函数趋于∞,则即为垂直渐近线.
故直线x=-3与x=4都是曲线的垂直渐近线.
(2)水平渐近线.
则直线y=b为曲线y=f(x)的渐近线,称为水平渐近线.
思路启迪曲线y=f(x)是否存在水平渐近线,就是看当x→+∞(或x→+∞)时,f(x)是否有有限极限b,若有有限极限b,则y=b即为该曲线的水平渐近线.否则,就不存在水平渐近线.
所以y=0是曲线的水平渐近线.
点评由以上的几个例题可以看到,对于有理分式函数R(x)来说,当分子的最高指数不超过分母的最高指数时,曲线y=R(x)有水平渐近线,当分子的最高指数大于分母的最高指数时,曲线y=R(x)不存在水平渐近线.
(3)斜渐近线.
如图3-22,设曲线y=f(x)的渐近线方程是y=kx+b,下面我们来确定常数k和b.
设曲线y=f(x)上任意点P(x,f(x))到直线y=kx+b的距离是|PM|,则由点到直线的距离公式有:
直线y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线,当且仅当当且仅当当且仅当.
若k知道,则b可由上式求出,怎样求k?
于是,直线y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线当且仅当
因此,若上面两个极限都存在,则曲线y=f(x)有斜渐近线y=kx+b;若上面两个极限至少有一个不存在,则曲线y=f(x)不存在斜渐近线.
思路启迪检验一条曲线y=f(x)是否存在斜渐近线,首先应检验是否为有限数值,若为有限值k,则再检验是否为有限值b,若b为有限值,则曲线y=f(x)存在斜渐近线y=kx+b.
所以,x=1是曲线的垂直渐近线.
即x-4y-5=0是曲线的斜渐近线.
例5求曲线y=arctanx的渐近线.
.
则x=0(即y轴)是曲线的垂直渐近线.
所以y=2x+1是曲线的斜渐近线.
8.怎样作函数的图象?
在中学数学中,我们利用描点法描绘了一些简单函数的图象.但是,描点法有缺陷,因为描点法中我们所选的点不可能很多,而一些关键性的点,如极值点、拐点等可能漏掉;而曲线的重要性态如单调性,凸凹性也没有掌握.因此,描点法所描绘的函数图象往往与真实的图象相差甚远.现在,我们已经掌握了借助于导数的符号,可以确定函数图象在哪个区间上升,在哪个区间下降,什么地方是极值点;借助于二阶导数的符号,可以确定函数图象在哪个区间向下凹,在那个区间向上凸,在什么地方是拐点.而我们知道了函数图象的升降、凸凹以及极值点和拐点后,由此也可以掌握函数的性态,并由此可以把函数的图象画得比较准确.
一般地,利用导数描点绘函数的图象可按照下列的步骤来进行?
(1)确定函数的定义域.
(2)观察函数y=f(x)是否具有某些特性(如奇偶性、周期性).
(3)求出函数y=f(x)的渐近线(如果有的话)
(4)求出函数
(5)求出方程及的全部实根,并用这些根把函数的定义域分成若干个区间(列表).
(6)判别曲线在第5步所分成区间内的单调性、凸凹性,并确定极值点与拐点(列表).
(7)确定一些特殊点,如与坐标轴的交点及某些易算出的点(x,f(x))等.
(8)画出渐近线,并根据以上所讨论的函数的性态描绘出曲线的图象.
规范解法(1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)渐近线:
因所以y=-2是水平渐近线;又因,所以x=0是垂直渐近线.
(4)描出几个特殊点:A(-1,-2),B(1,6),C(2,1),.
(5)描绘函数的图象(如图3-23).
[注:表中的符号“”表示递减向下凹,“”表示递减向上凸,“”表示递增向下凹,“”表示递增向上凸.]
规范解法定义域(-∞,1)∪(1,+∞).
所以x=1是曲线的垂直渐近线.
列表如下:
描绘出函数的图象(如图3-24).