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- 2021-05-13 发布
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高考圆锥曲线试题精选
一、选择题:(每小题5分,计50分)
1、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
2.(2004全国卷Ⅰ文、理)椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的
直线与椭圆相交,一个交点为P,则= ( )
A. B. C. D.4
3.(2006辽宁文)方程的两个根可分别作为( )
A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率
C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率
4.(2006四川文、理)直线y=x-3与抛物线交于A、B两点,过A、B两点向
抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q ,则梯形APQB的面积为( )
(A)48. (B)56 (C)64 (D)72.
5.(2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A. B.
C . D.
6.(2004全国卷Ⅳ理)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合,则此椭圆方程为( )
A. B. C. D.
7.(2005湖北文、理)双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
8. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
9.(2002北京文)已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么
双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11. (2005上海文)若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是,则椭圆的标准方程是_________________________
12.(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为,
若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .
13.(2007上海文)以双曲线的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的
抛物线方程是 .
三、解答题:(15—18题各13分,19、20题各14分)
15.(2006北京文)椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且 (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C于两点, 且A、B关于点M对称,求直线l的方程..
16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为
(1)求双曲线C的方程; (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的
交点A和B,且(其中O为原点). 求k的取值范围.
17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点
C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
18.(2008辽宁文) 在平面直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,设点P的轨迹为. (Ⅰ)写出C的方程;
(Ⅱ)设直线与C交于A,B两点.k为何值时?此时的值是多少?
19. (2002广东、河南、江苏)A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
20.(2007福建理)如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且=。 (1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,
已知,,求的值。
“圆锥曲线与方程”单元测试(参考答案)
一、选择题:(每小题5分,计50分)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11.; 12. . 13..
三、解答题:(15—18题各13分,19、20题各14分)
15..解:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2=4, 所以椭圆C的方程为=1.
(Ⅱ)解法一:设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
因为A,B关于点M对称., 所以
解得, 所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)
(Ⅱ) 解法二:已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
① ②
由①-②得 ③
因为A、B关于点M对称,所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,
代入③得=,即直线l的斜率为,所以直线l的方程为y-1=(x+2),
即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)
16.解:(Ⅰ)设双曲线方程为
由已知得 故双曲线C的方程为
(Ⅱ)将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ①
设,则,
而
于是 ②
由①、②得
故k的取值范围为
17.解:(Ⅰ)设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为,
故所求切线方程为 即
因为点P(0,-4)在切线上,所以 所以切线方程为y=±2x-4.
(Ⅱ)设 由题设知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.
因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A,C的坐标满足方程组 消去y,得
由根与系数的关系知
同理可求得
当k=1时,等号成立.所以,四边形ABCD面积的最小值为32.
18.解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,
长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为.
(Ⅱ)设,其坐标满足
消去y并整理得, 故.
,即. 而,
于是.
所以时,,故.
当时,,.
,
而,
所以.
19.解:(1)依题意,可设直线方程为y=k(x-1)+2
代入x2-=1,整理得 (2-k)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0 ①
记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的两个不同的实数根,所以2-k2≠0,且x1+x2=
由N(1,2)是AB中点得(x1+x2)=1
∴ k(2-k)=2-k2,解得k=1,所易知 AB的方程为y=x+1.
(2)将k=1代入方程①得x2-2x-3=0,解出 x1=-1,x2=3,由y=x+1得y1=0,y2=4
即A、B的坐标分别为(-1,0)和(3,4)
由CD垂直平分AB,得直线CD的方程为y=-(x-1)+2,即 y=3-x ,代入双曲线方程,整理,
得 x2+6x-11=0 ②
记C(x3,y3),D(x4,y4),以及CD中点为M(x0,y0),则x3、x4是方程②的两个的实数根,所以
x3+x4=-6, x3x4=-11, 从而 x0=(x3+x4)=-3,y0=3-x0=6
|CD|= =
∴ |MC|=|MD|=|CD|=2, 又|MA|=|MB|=
即A、B、C、D四点到点M的距离相等,所以A、B、C、D四点共圆.
20.(Ⅰ)解法一:设点,则,由=得:
P
B
Q
M
F
O
A
x
y
,化简得.
(Ⅰ)解法二:由=得:,
,, .
所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.
(Ⅱ)设直线的方程为:.
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:,,
整理得:,,
∴==-2-=0.