2010年湖北高考数学理科试卷带详解 13页

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数 学(理工农医类)‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.‎ ‎1.若为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表 ‎ 示复数的点是 （ ）‎ A.E B.F ‎ C.G D.H ‎ 第1题图 ‎ ‎【测量目标】复平面，复数代数式的四则运算. ‎ ‎【考查方式】通过计算复数代数式，确定位于复平面中哪一点. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎ ‎【参考答案】D ‎ ‎【试题解析】由图知z=，所以，故选D.‎ ‎2.设集合A=，B=,则AB的子集的个数是 ( )‎ ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D.1‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】直接给出A，B集合，利用图象法判断它们交集中有2个元素，从而判断交集的子集个数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由题意知AB中有两个元素，所以AB的子集的个数是4个，故选A.‎ ‎ 第2题图 ‎ ‎3.在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】正弦定理，同角三角函数的基本关系.‎ ‎【考查方式】给出三角形中两边一角，由三角函数解三角形求出一角的余弦值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】由正弦定理得，解得，又因为，‎ 所以（步骤1）故，所以,故选C.（步骤2）‎ ‎4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是‎3”‎为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】随机事件的概率.‎ ‎【考查方式】将事件分明A,B两个事件，由求对立事件概率的方法求出答案.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】因为事件A，B中至少有一件发生与都不发生互为对立事件，故所求概率为 ‎，选C.‎ ‎5.已知和点满足.若存在实数使得成立，则= （ ）‎ A.2 B.3 C. 4 D. 5‎ ‎【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.‎ ‎【考查方式】由三角形内一点所构成的向量的关系，判断该点为重心，从而求出满足线性关系的m的值 ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】由知，点M为的重心，设点D为底边BC的中点，则=，所以有，故=3，选B.‎ ‎6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，600.采用系统抽样疗法抽取一个 ‎ 容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001‎ ‎ 到300在第I营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被 ‎ 抽中的人数依次为 （ ）‎ ‎ A． 26,16,8 B. 25,17,‎8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9‎ ‎【测量目标】系统抽样.‎ ‎【考查方式】给出了总体，利用系统抽样抽取样本并求出在三个营区中的抽取人数.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎ ‎【试题解析】由600名学生中抽取一个容量为50的样本抽取“比例”＝；‎ ‎（步骤1）因为随机抽得的号码为003，得系统抽样规则为：（，１，２，）；‎ 所以：第I营区（从001到300）抽取的号码为：003，015，，291，共25人；‎ 第II营区（从301到495）抽取的号码为：303，315，，495，共17人；‎ 第III营区抽取的人数为：50－25－17＝8人．故选Ｂ．（步骤2）‎ ‎7如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第7题图 ‎ ‎【测量目标】数列的极限与运算. ‎ ‎【考查方式】图形的面积构成了一个数列，利用数列的极限运算求出极限.‎ ‎【难易程度】中等 ‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：r，‎ 即 ‎（步骤1）则面积依次为：所以 ‎，故C正确.（步骤2）‎ ‎8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、‎ ‎ 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 ‎ 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 （ ）‎ ‎ A.152 B.126 C.90 D.54‎ ‎【测量目标】排列，组合及其应用.‎ ‎【考查方式】给出了5名同学所能从事的工作，根据排列组合算出不同的分配方案.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确.[来源:www.shulihua.net]‎ ‎9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】根据直线与双曲线有公共点求出b的取值范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆（步骤1），当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍）（步骤2），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.（步骤3）‎ ‎10．记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知的三边长为，定义它的倾斜度为 则“”是“为等边三角形”[来源:www.shulihua.net]‎ ‎ A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎【测量目标】充分必要条件.‎ ‎【考查方式】给出三角形倾斜度的定义，判断命题的充分必要性.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】若ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则=1（步骤1）；若ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，‎ 则，此时=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.（步骤2）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ‎11.在展开式中，系数为有理数的项共有 项.‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】给出二项式，根据二项式的展开式求出系数为有理数的项数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】6‎ ‎【试题解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.‎ ‎12己知，式中变量满足约束条件则的最大值为 .‎ ‎ 第12题图 ‎ ‎【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.‎ ‎【考查方式】给出了约束条件，判断可行域，求出目标函数的最大值.[来源:www.shulihua.net]】 ‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】5‎ ‎【试题解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2z，[来源:www.shulihua.net]‎ 当直线经过A（2，－1）时，z取到最大值,. ‎ ‎13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．‎ 第13题图 ‎ ‎【测量目标】柱，球的体积.‎ ‎【考查方式】给出了3个球和水的体积相加等于圆柱形容器的体积，由圆柱的体积公式以及圆的体积公式求出圆的半径. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎ ‎【参考答案】4‎ ‎【试题解析】设球半径为r，则由，解得r=4. ‎ ‎14．某射手射击所得环数的分布列如下： ‎ ‎ ξ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ p ‎ x ‎ 0.1‎ ‎ 0.3‎ ‎ y 已知的期望，则y的值为 ．‎ ‎【测量目标】数学期望，古典概型.‎ ‎【考查方式】给出了古典概型的概率和数学期望，算出未知数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】0.4‎ ‎【试题解析】由表格可知（步骤1）‎ 联合解得.（步骤2）‎ ‎15．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数．‎ ‎ 第15题图 ‎ ‎【测量目标】射影定理，几何、调和平均数.‎ ‎【考查方式】给出几何图形以及算数平均数的几何意义，判断几何、调和平均数所表示的线段.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】CD，DE ‎【试题解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数（步骤1），将OC=代入可得故，所以 ED=ODOE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.（步骤2）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[来源:学+‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合．‎ ‎【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性、最值.‎ ‎【考查方式】给出了两三角函数解析式，通过化简求出的最小正周期；求出新函数的解析式，通过化简求出函数的最值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）‎ ‎ =‎ ‎ 的最小正周期为.（步骤1）‎ ‎ （II）‎ 当时，取得最大值.（步骤2）‎ 取得最大值时，对应的的集合为.（步骤3）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎（I）求的值及的表达式；‎ ‎（II）隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值．‎ ‎【测量目标】函数模型的构建，利用导数求函数的最值以及导数在实际问题中的应用.‎ ‎【考查方式】给出实际问题，根据所给条件构建函数模型从而求出k的值，利用导数求的总费用的最小值，主要考查了运用数学知识解决实际问题的能力.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）设隔热层厚度为xcm，由题设每年能源消耗费用为 可由,得k=40，因此 而建造费用为（步骤1）‎ 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎（步骤2）‎ ‎（II）令，即.‎ 解得（舍去）.（步骤3）‎ 当时当5＜x＜10时，故x=5是的最小值点，对应的最小值为.‎ 当隔热层5cm厚时，总费用达到最小值70万元.（步骤4）‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎ 如图, 在四面体ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.‎ ‎（I） 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算的值；‎ ‎（II）求二面角的平面角的余弦值. ‎ ‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】立体几何的探索性问题，三垂线定理，二面角..‎ ‎【考查方式】给出了四面体及若干边角条件，由P为AC的中点探索是否有满足条件的定点,根据线面之间的关系以及三垂线定理，求出二面角的余弦值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC，‎ 又OAOC，故OA平面ONC OANC．（步骤1）取AN的中点Q PQNCPQ⊥OA．（步骤2）‎ 在等腰三角形AOB中，∠AOB＝，∠OAB＝∠OBA＝．在Rt△AON中，∠OBA＝ON＝．‎ 在△ONB中，∠ONB＝－＝＝∠NBONB＝ON＝AQ＝3．（步骤3）‎ ‎（II）由AC⊥NP∠OPN是二面角O－AC－B的平面角．‎ 在Rt△PON中，ON＝，PN＝‎ ‎（步骤4）‎ ‎ 第18题图 ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.‎ ‎（I）求曲线C的方程；‎ ‎（II）是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有 ‎＜0 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【测量目标】抛物线的定义、标准方程，圆锥曲线中的探索性问题.‎ ‎【考查方式】由题中已知条件得到抛物线的第二定义，从而求出曲线的方程;给出条件探索不等式是否成立，利用直线与曲线方程联立求解问题.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（I）设点是曲线C上任意一点，那么点P满足：‎ 化简得（步骤1） ‎ ‎（II）设过点M（（的直线与曲线C的交点为A，设的方 程为，由得，，于是①（步骤2）‎ 又，‎ ‎ ②（步骤3）‎ 又于是不等式②等价于 ‎③‎ ‎（步骤4）‎ 把①式代入不等式③有④（步骤5）‎ 对任意实数t，4的最小值是0，所以不等式对于一切t成立等价于，‎ 即 由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有,且m 的取值范围是（（步骤6）‎ 第19题组 ‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 已知数列满足: ,, ＜0；数列{}满足: =（n1）.‎ ‎（I）求数列，{}的通项公式;‎ ‎（II）证明:数列{}中的任意三项不可能成等差数列.‎ ‎【测量目标】已知数列关系求通项，反证法.‎ ‎【考查方式】给出了两个数列之间的关系，利用递推关系求出数列的通项公式，利用反证法证明命题的正确性.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（I）由＝＝＝‎ ‎．（步骤1）‎ ‎∵，∴＝＝‎ ‎＝1，又＜0，＝＞0．‎ ‎ ＝－＝[1]－[1]＝ [－]‎ ‎ ＝．（步骤2）‎ ‎（II）用反证法证明.‎ 假设数列{bn}存在三项（rbs>bt，则只可能有2bs=br+ bt成立.‎ ‎∴，（步骤3）‎ 两边同乘，化简得.‎ 由于r0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.‎ 故当x1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是.（步骤3）‎ ‎3）.当a时，有f(x)lnx(x)，令a=,有f(x)= (x)lnx,令x=，有ln＜即 ln(k+1)lnk＜ 上述n个不等式依次相加得到结果，即得到 ‎＞（步骤4）‎