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- 2021-05-13 发布
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阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B等于( )
A．{x|x>2} B．{x|00 B．∃x0∈R，|x0|>0
C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0
[答案] C
[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是( )
A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0
D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0
[答案] D
[解析] 特称命题的否定是全称命题．
6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( )
A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
[答案] B
[解析] ∵sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，>，∴不存在x∈R，使sinx＋cosx＝成立，故A错；令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f ′(x)＝ex－1，当x>0时，f ′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，∴x>0时，f(x)>0恒成立，即ex>x＋1对∀x∈(0，＋∞
)都成立，故B正确；在同一坐标系内作出y＝2x与y＝3x的图象知，C错误；当x＝时，sinx＝＝cosx，∴D错误，故选B.
(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( )
A．∀x∈R,3x>0
B．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ
C．∃m∈R，使f(x)＝mxm2＋2m是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D．命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1>3x”
[答案] D
[解析] 由指数函数性质知，对任意x∈R，都有3x>0，故A真；当α＝，β＝2π时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立；故B真；要使f(x)＝mxm2＋2m为幂函数，应有m＝1，∴f(x)＝x3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C真；D为假命题，“>”的否定应为“≤”．
7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a、b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋x(|b|2－|a|2)－a·b，当f(x)为一次函数时，a·b＝0且|b|2－|a|2≠0，∴a⊥b，当a⊥b时，f(x)未必是一次函数，因为此时可能有|a|＝|b|，故选B.
(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔m＝1，故选C.
8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示( )
A．{2,4}
B．{1,3}
C．{5}
D．{2,3,4,5}
[答案] C
[解析] 阴影部分在集合B中，不在集合A中，故阴影部分为B∩(∁UA)＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C.
9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
[答案] D
[解析] m∥α，n∥α时，m与n可平行，也可相交或异面，故A错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B错；当α∩β＝l，m⊄α，m⊄β，m∥l时，m∥α，m∥β，故C错，故选D.
10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f(x)＝x＋bcosx，其中b为常数．那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当b＝0时，f(x)＝x为奇函数，故满足充分性；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，∴－x＋bcosx＝－x－bcosx，从而2bcosx＝0，∵此式对任意x∈R都成立，∴b＝0，故满足必要性，选C.
11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题的是( )
A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点
C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ
D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
[答案] D
[解析] ∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y＝ln2x＋lnx的值域为[－，＋∞)，∴对∀a>0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当α＝，β＝2π时，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，故D为假命题．
12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )
A．M＝{(x，y)|y＝}
B．M＝{(x，y)|y＝cosx}
C．M＝{(x，y)|y＝x2－2x＋2}
D．M＝{(x，y)|y＝log2(x－1)}
[答案] B
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0知OA⊥OB，由理想集合的定义知，对函数y＝f(x)图象上任一点A，在图象上存在点B，使OA⊥OB，对于函数y＝，图象上点A(1,1)，图象上不存在点B，使OA⊥OB；对于函数y＝x2－2x＋2图象上的点A(1,1)，在其图象上也不存在点B，使OA⊥OB；对于函数y＝log2(x－1)图象上的点A(2,0)，在其图象上不存在点B，使OA⊥OB；而对于函数y＝cosx，无论在其图象上何处取点A，总能在其位于区间[－，]的图象上找到点B，使OA⊥OB，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________．
[答案] (－∞，－2)
[解析] 由条件知∴m<－2.
(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是________．
[答案] m≤－2或－1b3－3a，则a>b；其中正确的是________．
[答案] ①②③④
[解析] ∵bsinA＝acosB，∴sinBsinA＝sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB＝cosB，∵B∈(0，π)，∴B＝，故①正确；
∵|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴a与b同向或反向，∴存在实数λ，使b＝λa，故②正确；由于函数y＝sinx的图象与直线y＝x有且仅有一个交点，故③正确；∵(a3－3b)－(b3－3a)＝(a3－b3)＋3(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2＋3)>0，∵a2＋ab＋b2＋3>0，∴a－b>0，∴a>b，故④正确．
(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：
①“x<－1”是“x<－2”的充分不必要条件；
②(ex＋sinx)dx＝e－cos1；
③已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值为；
④若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为－；
⑤函数f(x)＝2sin(2x－)－1的对称中心为(＋，0)(k∈Z)
其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)
[答案] ②③④
[解析] x<－1⇒/ x<－2，x<－2⇒x<－1，故①错误；(ex＋sinx)dx＝(ex－cosx)|＝e－cos1，故②正确；∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴y＝＋＝(a＋b)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，等号在即a＝，b＝时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y＝3x的图象上，∴3a＝9，∴a＝2，∴tan＝－tan＝－，故④正确；f(x)＝2sin(2x－)－1的对称中心不落在x轴上，故⑤错．正确答案为②③④.
15．(2013·福建文，16)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝
f(x)满足：
(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1β，使得tanαf(cosθ)；
③在△ABC中，“A>”是“sinA>”的充要条件；
④若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f ′(1)＝3，其中所有正确命题的序号是________．
[答案] ①④
[解析] ①当α＝，β＝时，tanα<0sinθ>cosθ>，从而f(sinθ)成立，但sinA＝，∴③为假命题；
④由条件知f ′(1)＝，f(1)＝×1＋2＝，∴f(1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．
(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题：
①已知a，b都是正数，且>，则a0，b＋1>0，∵>，∴b(a＋1)>a(b＋1)，∴b>a，即a0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}，
(1)求A∩B；
(2)试求实数a的取值范围，使C⊆(A∩B)．
[解析] (1)依题意得：A＝{x|－21或x<－3}，
∴A∩B＝{x|10时，C＝{x|a0}，且C⊆(A∩B)，求实数p的取值范围．
[解析] (1)由条件知，x2－x－2>0，∴A＝{x|x<－1，或x>2}，由g(x)有意义得3－|x|≥0，所以B＝{x|－3≤x≤3}，∴A∩B＝{x|－3≤x<－1，或20)，∴C＝{x|－2－pm－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
[解析] 不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；
函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，
因此1≤m<2.
19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x－8>0且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解析] 由x2－4ax＋3a2<0及a<0得，3a0得，x<－4或x>2，
∴q：x<－4或x>2.∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，∴a≤－4.
(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p：实数x满足(x－a)(x－3a)<0，其中a>0，命题q：实数x满足≤0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵a＝1，∴不等式化为(x－1)(x－3)<0，∴11.
21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集．
(1)求A∩B；(2)若C⊆∁RA，求a的取值范围．
[解析] (1)由于－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，
当x＋1>0时，y≥2－1＝1；当x＋1<0时，y≤－2－1＝－3.
∴B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，
∴A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)∵∁RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，
由(ax－)(x＋4)≤0，知a≠0，
当a>0时，由(ax－)(x＋4)≤0，得C＝[－4，]，不满足C⊆∁RA；
当a<0时，由(ax－)(x＋4)≤0，得C＝(－∞，－4]∪[，＋∞)，
欲使C⊆∁RA，则≥2，
解得：－≤a<0或0
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