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等比数列前n项和高考解答题试题精选
一.解答题(共30小题)
1.(2017•北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.
2.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
3.(2017•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
4.(2017•山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}通项公式;
(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.
5.(2017•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
6.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
7.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
8.(2016•新课标Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
9.(2016•山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
10.(2016•新课标Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;
(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.
11.(2016•新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{bn}的前n项和.
12.(2016•浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(Ⅰ)求通项公式an;
(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.
13.(2016•新课标Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
14.(2016•新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
15.(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
16.(2016•天津)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)nb}的前2n项和.
17.(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
18.(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
19.(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
20.(2015•安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
21.(2015•新课标Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和,己知an>0,an2+2an=4Sn+3
(I)求{an}的通项公式:
(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
22.(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
23.(2015•山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)•2,求数列{bn}的前n项和Tn.
24.(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
25.(2015•福建)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
26.(2015•北京)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?
27.(2015•天津)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
28.(2014•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
29.(2014•新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
30.(2014•北京)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,等比数列{bn}满足b1=4,b4=20.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
等比数列前n项和高考解答题试题精选
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2017•北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.
【解答】解:(Ⅰ)等差数列{an},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,
所以{an}的通项公式:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,
等比数列{bn}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).
∴q2=3,
{b2n﹣1}是等比数列,公比为3,首项为1.
b1+b3+b5+…+b2n﹣1==.
2.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【解答】解:(1)设等比数列{an}首项为a1,公比为q,
则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,则a1==,a2==,
由a1+a2=2,+=2,整理得:q2+4q+4=0,解得:q=﹣2,
则a1=﹣2,an=(﹣2)(﹣2)n﹣1=(﹣2)n,
∴{an}的通项公式an=(﹣2)n;
(2)由(1)可知:Sn===﹣(2+(﹣2)n+1),
则Sn+1=﹣(2+(﹣2)n+2),Sn+2=﹣(2+(﹣2)n+3),
由Sn+1+Sn+2=﹣(2+(﹣2)n+2)﹣(2+(﹣2)n+3)=﹣[4+(﹣2)×(﹣2)n+1+(﹣2)2×+(﹣2)n+1],
=﹣[4+2(﹣2)n+1]=2×[﹣(2+(﹣2)n+1)],
=2Sn,
即Sn+1+Sn+2=2Sn,
∴Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
3.(2017•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
【解答】解:(1)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.
n≥2时,a1+3a2+…+(2n﹣3)an﹣1=2(n﹣1).
∴(2n﹣1)an=2.∴an=.
当n=1时,a1=2,上式也成立.
∴an=.
(2)==﹣.
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=.
4.(2017•山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}通项公式;
(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.
【解答】解:(1)记正项等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=6,a1a2=a3,
所以(1+q)a1=6,q=q2a1,
解得:a1=q=2,
所以an=2n;
(2)因为{bn} 为各项非零的等差数列,
所以S2n+1=(2n+1)bn+1,
又因为S2n+1=bnbn+1,
所以bn=2n+1,=,
所以Tn=3•+5•+…+(2n+1)•,
Tn=3•+5•+…+(2n﹣1)•+(2n+1)•,
两式相减得:Tn=3•+2(++…+)﹣(2n+1)•,
即Tn=3•+(+++…+)﹣(2n+1)•,
即Tn=3+1++++…+)﹣(2n+1)•=3+﹣(2n+1)•
=5﹣.
5.(2017•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2,a3+b3=5,
可得﹣1+d+q=2,﹣1+2d+q2=5,
解得d=1,q=2或d=3,q=0(舍去),
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1,n∈N*;
(2)b1=1,T3=21,
可得1+q+q2=21,
解得q=4或﹣5,
当q=4时,b2=4,a2=2﹣4=﹣2,
d=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6;
当q=﹣5时,b2=﹣5,a2=2﹣(﹣5)=7,
d=7﹣(﹣1)=8,S3=﹣1+7+15=21.
6.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.
由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.
由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(II)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn,
由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,
上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1
==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8
得Tn=.
所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为.
7.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
【解答】(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得,而b1=2,所以q2+q﹣6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,.
由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8.
由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立①②,解得a1=1,d=3,
由此可得an=3n﹣2.
所以,{an}的通项公式为an=3n﹣2,{bn}的通项公式为.
(Ⅱ)解:设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n﹣2,有,,
上述两式相减,得=.
得.
所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n﹣4)2n+2+16.
8.(2016•新课标Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
∵a3+a4=4,a5+a7=6.
∴,
解得:,
∴an=;
(Ⅱ)∵bn=[an],
∴b1=b2=b3=1,
b4=b5=2,
b6=b7=b8=3,
b9=b10=4.
故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.
9.(2016•山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n,
∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5,
n=1时,a1=S1=11,∴an=6n+5;
∵an=bn+bn+1,
∴an﹣1=bn﹣1+bn,
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1.
∴2d=6,
∴d=3,
∵a1=b1+b2,
∴11=2b1+3,
∴b1=4,
∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;
(Ⅱ)cn========6(n+1)•2n,
∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①,
∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②,
①﹣②可得
﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1]
=12+6×﹣6(n+1)•2n+1
=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2,
∴Tn=3n•2n+2.
10.(2016•新课标Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(Ⅰ)求b1,b11,b101;
(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.
【解答】解:(Ⅰ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,7a4=28.
可得a4=4,则公差d=1.
an=n,
bn=[lgn],则b1=[lg1]=0,
b11=[lg11]=1,
b101=[lg101]=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:b1=b2=b3=…=b9=0,b10=b11=b12=…=b99=1.
b100=b101=b102=b103=…=b999=2,b10,00=3.
数列{bn}的前1000项和为:9×0+90×1+900×2+3=1893.
11.(2016•新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{bn}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.
当n=1时,a1b2+b2=b1.
∵b1=1,b2=,
∴a1=2,
又∵{an}是公差为3的等差数列,
∴an=3n﹣1,
(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn.
即3bn+1=bn.
即数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,
∴{bn}的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣.
12.(2016•浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(Ⅰ)求通项公式an;
(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,
解得a1=1,a2=3,
当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,
两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,
即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,
满足an+1=3an,
∴=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,
则通项公式an=3n﹣1.
(Ⅱ)an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,
设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,
则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,
当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,
则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,
此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=,
则Tn==.
13.(2016•新课标Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
【解答】解:(1)∵Sn=1+λan,λ≠0.
∴an≠0.
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1,
即(λ﹣1)an=λan﹣1,
∵λ≠0,an≠0.∴λ﹣1≠0.即λ≠1,
即=,(n≥2),
∴{an}是等比数列,公比q=,
当n=1时,S1=1+λa1=a1,
即a1=,
∴an=•()n﹣1.
(2)若S5=,
则若S5=1+λ[•()4]=,
即()5=﹣1=﹣,
则=﹣,得λ=﹣1.
14.(2016•新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
【解答】解:(1)根据题意,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0,
当n=1时,有a12﹣(2a2﹣1)a1﹣2a2=0,
而a1=1,则有1﹣(2a2﹣1)﹣2a2=0,解可得a2=,
当n=2时,有a22﹣(2a3﹣1)a2﹣2a3=0,
又由a2=,解可得a3=,
故a2=,a3=;
(2)根据题意,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0,
变形可得(an﹣2an+1)(an+1)=0,
即有an=2an+1或an=﹣1,
又由数列{an}各项都为正数,
则有an=2an+1,
故数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列,
则an=1×()n﹣1=n﹣1,
故an=n﹣1.
15.(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列,
{bn}是公比为q的等比数列,
由b2=3,b3=9,可得q==3,
bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1;
即有a1=b1=1,a14=b4=27,
则d==2,
则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,
则数列{cn}的前n项和为
(1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)=n•2n+
=n2+.
16.(2016•天津)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=
,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)nb}的前2n项和.
【解答】解:(1)设{an}的公比为q,则﹣=,即1﹣=,
解得q=2或q=﹣1.
若q=﹣1,则S6=0,与S6=63矛盾,不符合题意.∴q=2,
∴S6==63,∴a1=1.
∴an=2n﹣1.
(2)∵bn是log2an和log2an+1的等差中项,
∴bn=(log2an+log2an+1)=(log22n﹣1+log22n)=n﹣.
∴bn+1﹣bn=1.
∴{bn}是以为首项,以1为公差的等差数列.
设{(﹣1)nbn2}的前2n项和为Tn,则
Tn=(﹣b12+b22)+(﹣b32+b42)+…+(﹣b2n﹣12+b2n2)
=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n
==
=2n2.
17.(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
【解答】解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1(n≥2),
即an=2an﹣1(n≥2),
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1)
所以a1+4a1=2(2a1+1),
解得:a1=2.
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得=,
所以Tn=+++…+==1﹣.
18.(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,
当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,
此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即an=3n﹣1,
所以an=.
(Ⅱ)因为anbn=log3an,所以b1=,
当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,
所以T1=b1=;
当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),
所以3Tn=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n),
两式相减得:2Tn=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)=+﹣(n﹣1)×31﹣n=﹣,
所以Tn=﹣,经检验,n=1时也适合,
综上可得Tn=﹣.
19.(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得,
解得,或,
当时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1;
当时,an=(2n+79),bn=9•;
(2)当d>1时,由(1)知an=2n﹣1,bn=2n﹣1,
∴cn==,
∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,
∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,
∴Tn=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,
∴Tn=6﹣.
20.(2015•安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)∵数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
∴a1+a4=9,a1a4=a2a3=8.
解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍),
解得q=2,即数列{an}的通项公式an=2n﹣1;
(2)Sn==2n﹣1,
∴bn===﹣,
∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣.
21.(2015•新课标Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和,己知an>0,an2+2an=4Sn+3
(I)求{an}的通项公式:
(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
【解答】解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2(an+1﹣an)=4an+1,
即2(an+1+an)=an+12﹣an2=(an+1+an)(an+1﹣an),
∵an>0,∴an+1﹣an=2,
∵a12+2a1=4a1+3,
∴a1=﹣1(舍)或a1=3,
则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,
∴{an}的通项公式an=3+2(n﹣1)=2n+1:
(Ⅱ)∵an=2n+1,
∴bn===(﹣),
∴数列{bn}的前n项和Tn=(﹣+…+﹣)=(﹣)=.
22.(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
【解答】解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=2an,得.
由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2,
当n≥2时,b1+b2+b3+…+=bn﹣1,和原递推式作差得,
,整理得:,
∴;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
因此
,
两式作差得:,
(n∈N*).
23.(2015•山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)•2,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d,则a1>0,
∴an=a1+(n﹣1)d,an+1=a1+nd,
令cn=,
则cn==[﹣],
∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[﹣+﹣+…+﹣]
=[﹣]
=
=,
又∵数列{}的前n项和为,
∴,
∴a1=1或﹣1(舍),d=2,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)由(1)知bn=(an+1)•2=(2n﹣1+1)•22n﹣1=n•4n,
∴Tn=b1+b2+…+bn=1•41+2•42+…+n•4n,
∴4Tn=1•42+2•43+…+(n﹣1)•4n+n•4n+1,
两式相减,得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣,
∴Tn=.
24.(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.
【解答】解:(1)∵an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,
∴a3=q,a5=q2,a4=2q,
又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,
∴2×3q=2+3q+q2,
即q2﹣3q+2=0,
解得q=2或q=1(舍),
∴an=;
(2)由(1)知bn===,n∈N*,
记数列{bn}的前n项和为Tn,
则Tn=1+2•+3•+4•+…+(n﹣1)•+n•,
∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+(n﹣1)•+n•,
两式相减,得Tn=3++++…+﹣n•
=3+﹣n•
=3+1﹣﹣n•
=4﹣.
25.(2015•福建)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,则,
解得,
所以an=3+(n﹣1)=n+2;
(Ⅱ)bn=2+n=2n+n,
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+…+(210+10)
=(2+22+…+210)+(1+2+…+10)
=+=2101.
26.(2015•北京)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d.
∵a4﹣a3=2,所以d=2
∵a1+a2=10,所以2a1+d=10
∴a1=4,
∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)
(II)设等比数列{bn}的公比为q,
∵b2=a3=8,b3=a7=16,
∴
∴q=2,b1=4
∴=128,而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{an}中的第63项相等
27.(2015•天津)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意,q>0,
由已知有,消去d整理得:q4﹣2q2﹣8=0.
∵q>0,解得q=2,∴d=2,
∴数列{an}的通项公式为,n∈N*;
数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1,n∈N*.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有,
设{cn}的前n项和为Sn,则
,
,
两式作差得:=2n+1﹣3﹣(2n﹣1)×2n=﹣(2n﹣3)×2n﹣3.
∴.
28.(2014•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解答】解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,
由a2=3,a5=81,得
,解得.
∴;
(Ⅱ)∵,bn=log3an,
∴.
则数列{bn}的首项为b1=0,
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣(n﹣2)=1(n≥2),
可知数列{bn}是以1为公差的等差数列.
∴.
29.(2014•新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
【解答】解:(1)方程x2﹣5x+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,
故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,
故an=2+(n﹣2)×=n+1,
(2)设数列{}的前n项和为Sn,
Sn=,①
Sn=,②
①﹣②得Sn==,
解得Sn==2﹣.
30.(2014•北京)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,等比数列{bn}满足b1=4,b4=20.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
【解答】解:(1)∵{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,
∴3+3d=12,解得d=3,
∴an=3+(n﹣1)×3=3n.
∵等比数列{bn}满足b1=4,b4=20,
∴4q3=20,解得q=,
∴bn=4×()n﹣1.
(2)∵等比数列{bn}中,,
∴数列{bn}的前n项和Sn==.