• 411.50 KB
  • 2021-05-13 发布

等比数列前n项和高考解答题试题精选

  • 32页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
等比数列前n项和高考解答题试题精选 ‎ ‎ 一.解答题(共30小题)‎ ‎1.(2017•北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.‎ ‎ ‎ ‎2.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.‎ ‎ ‎ ‎3.(2017•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎4.(2017•山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.‎ ‎(1)求数列{an}通项公式;‎ ‎(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.‎ ‎5.(2017•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.‎ ‎(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若T3=21,求S3.‎ ‎6.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).‎ ‎7.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).‎ ‎8.(2016•新课标Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎9.(2016•山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎10.(2016•新课标Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.‎ ‎(Ⅰ)求b1,b11,b101;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.‎ ‎ ‎ ‎11.(2016•新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎12.(2016•浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎13.(2016•新课标Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎ ‎ ‎14.(2016•新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎15.(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎16.(2016•天津)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=,S6=63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)nb}的前2n项和.‎ ‎ ‎ ‎17.(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎ ‎ ‎18.(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎19.(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式 ‎(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎20.(2015•安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎21.(2015•新课标Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和,己知an>0,an2+2an=4Sn+3‎ ‎(I)求{an}的通项公式:‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎22.(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)‎ ‎(Ⅰ)求an与bn;‎ ‎(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎23.(2015•山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(an+1)•2,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎24.(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 ‎(1)求q的值和{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎25.(2015•福建)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.‎ ‎ ‎ ‎26.(2015•北京)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ ‎ ‎ ‎27.(2015•天津)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎28.(2014•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(Ⅰ)求an;‎ ‎(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎ ‎ ‎29.(2014•新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎30.(2014•北京)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,等比数列{bn}满足b1=4,b4=20.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ 等比数列前n项和高考解答题试题精选 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.解答题(共30小题)‎ ‎1.(2017•北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)等差数列{an},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,‎ 所以{an}的通项公式:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,‎ 等比数列{bn}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).‎ ‎∴q2=3,‎ ‎{b2n﹣1}是等比数列,公比为3,首项为1.‎ b1+b3+b5+…+b2n﹣1==.‎ ‎ ‎ ‎2.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.‎ ‎【解答】解:(1)设等比数列{an}首项为a1,公比为q,‎ 则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,则a1==,a2==,‎ 由a1+a2=2,+=2,整理得:q2+4q+4=0,解得:q=﹣2,‎ 则a1=﹣2,an=(﹣2)(﹣2)n﹣1=(﹣2)n,‎ ‎∴{an}的通项公式an=(﹣2)n;‎ ‎(2)由(1)可知:Sn===﹣(2+(﹣2)n+1),‎ 则Sn+1=﹣(2+(﹣2)n+2),Sn+2=﹣(2+(﹣2)n+3),‎ 由Sn+1+Sn+2=﹣(2+(﹣2)n+2)﹣(2+(﹣2)n+3)=﹣[4+(﹣2)×(﹣2)n+1+(﹣2)2×+(﹣2)n+1],‎ ‎=﹣[4+2(﹣2)n+1]=2×[﹣(2+(﹣2)n+1)],‎ ‎=2Sn,‎ 即Sn+1+Sn+2=2Sn,‎ ‎∴Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.‎ ‎ ‎ ‎3.(2017•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(1)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.‎ n≥2时,a1+3a2+…+(2n﹣3)an﹣1=2(n﹣1).‎ ‎∴(2n﹣1)an=2.∴an=.‎ 当n=1时,a1=2,上式也成立.‎ ‎∴an=.‎ ‎(2)==﹣.‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=.‎ ‎ ‎ ‎4.(2017•山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.‎ ‎(1)求数列{an}通项公式;‎ ‎(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)记正项等比数列{an}的公比为q,‎ 因为a1+a2=6,a1a2=a3,‎ 所以(1+q)a1=6,q=q2a1,‎ 解得:a1=q=2,‎ 所以an=2n;‎ ‎(2)因为{bn} 为各项非零的等差数列,‎ 所以S2n+1=(2n+1)bn+1,‎ 又因为S2n+1=bnbn+1,‎ 所以bn=2n+1,=,‎ 所以Tn=3•+5•+…+(2n+1)•,‎ Tn=3•+5•+…+(2n﹣1)•+(2n+1)•,‎ 两式相减得:Tn=3•+2(++…+)﹣(2n+1)•,‎ 即Tn=3•+(+++…+)﹣(2n+1)•,‎ 即Tn=3+1++++…+)﹣(2n+1)•=3+﹣(2n+1)•‎ ‎=5﹣.‎ ‎ ‎ ‎5.(2017•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.‎ ‎(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若T3=21,求S3.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,‎ a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2,a3+b3=5,‎ 可得﹣1+d+q=2,﹣1+2d+q2=5,‎ 解得d=1,q=2或d=3,q=0(舍去),‎ 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1,n∈N*;‎ ‎(2)b1=1,T3=21,‎ 可得1+q+q2=21,‎ 解得q=4或﹣5,‎ 当q=4时,b2=4,a2=2﹣4=﹣2,‎ d=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6;‎ 当q=﹣5时,b2=﹣5,a2=2﹣(﹣5)=7,‎ d=7﹣(﹣1)=8,S3=﹣1+7+15=21.‎ ‎ ‎ ‎6.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.‎ 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.‎ 又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.‎ 由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.‎ 由S11=11b4,可得a1+5d=16②,‎ 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.‎ 所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.‎ ‎(II)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn,‎ 由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n,‎ 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,‎ ‎4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,‎ 上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1‎ ‎==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8‎ 得Tn=.‎ 所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为.‎ ‎ ‎ ‎7.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得,而b1=2,所以q2+q﹣6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,.‎ 由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8.‎ 由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立①②,解得a1=1,d=3,‎ 由此可得an=3n﹣2.‎ 所以,{an}的通项公式为an=3n﹣2,{bn}的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)解:设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n﹣2,有,,‎ 上述两式相减,得=.‎ 得.‎ 所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n﹣4)2n+2+16.‎ ‎ ‎ ‎8.(2016•新课标Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∵a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ ‎∴an=;‎ ‎(Ⅱ)∵bn=[an],‎ ‎∴b1=b2=b3=1,‎ b4=b5=2,‎ b6=b7=b8=3,‎ b9=b10=4.‎ 故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.‎ ‎ ‎ ‎9.(2016•山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n,‎ ‎∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5,‎ n=1时,a1=S1=11,∴an=6n+5;‎ ‎∵an=bn+bn+1,‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn,‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1.‎ ‎∴2d=6,‎ ‎∴d=3,‎ ‎∵a1=b1+b2,‎ ‎∴11=2b1+3,‎ ‎∴b1=4,‎ ‎∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;‎ ‎(Ⅱ)cn========6(n+1)•2n,‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①,‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②,‎ ‎①﹣②可得 ‎﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1]‎ ‎=12+6×﹣6(n+1)•2n+1‎ ‎=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2,‎ ‎∴Tn=3n•2n+2.‎ ‎ ‎ ‎10.(2016•新课标Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.‎ ‎(Ⅰ)求b1,b11,b101;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,7a4=28.‎ 可得a4=4,则公差d=1.‎ an=n,‎ bn=[lgn],则b1=[lg1]=0,‎ b11=[lg11]=1,‎ b101=[lg101]=2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:b1=b2=b3=…=b9=0,b10=b11=b12=…=b99=1.‎ b100=b101=b102=b103=…=b999=2,b10,00=3.‎ 数列{bn}的前1000项和为:9×0+90×1+900×2+3=1893.‎ ‎ ‎ ‎11.(2016•新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.‎ 当n=1时,a1b2+b2=b1.‎ ‎∵b1=1,b2=,‎ ‎∴a1=2,‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列,‎ ‎∴an=3n﹣1,‎ ‎(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn.‎ 即3bn+1=bn.‎ 即数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣.‎ ‎ ‎ ‎12.(2016•浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,‎ 解得a1=1,a2=3,‎ 当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,‎ 两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,‎ 即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,‎ 满足an+1=3an,‎ ‎∴=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,‎ 则通项公式an=3n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,‎ 设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,‎ 则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,‎ 当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,‎ 则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,‎ 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=,‎ 则Tn==.‎ ‎ ‎ ‎13.(2016•新课标Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎【解答】解:(1)∵Sn=1+λan,λ≠0.‎ ‎∴an≠0.‎ 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1,‎ 即(λ﹣1)an=λan﹣1,‎ ‎∵λ≠0,an≠0.∴λ﹣1≠0.即λ≠1,‎ 即=,(n≥2),‎ ‎∴{an}是等比数列,公比q=,‎ 当n=1时,S1=1+λa1=a1,‎ 即a1=,‎ ‎∴an=•()n﹣1.‎ ‎(2)若S5=,‎ 则若S5=1+λ[•()4]=,‎ 即()5=﹣1=﹣,‎ 则=﹣,得λ=﹣1.‎ ‎ ‎ ‎14.(2016•新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0,‎ 当n=1时,有a12﹣(2a2﹣1)a1﹣2a2=0,‎ 而a1=1,则有1﹣(2a2﹣1)﹣2a2=0,解可得a2=,‎ 当n=2时,有a22﹣(2a3﹣1)a2﹣2a3=0,‎ 又由a2=,解可得a3=,‎ 故a2=,a3=;‎ ‎(2)根据题意,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0,‎ 变形可得(an﹣2an+1)(an+1)=0,‎ 即有an=2an+1或an=﹣1,‎ 又由数列{an}各项都为正数,‎ 则有an=2an+1,‎ 故数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列,‎ 则an=1×()n﹣1=n﹣1,‎ 故an=n﹣1.‎ ‎ ‎ ‎15.(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列,‎ ‎{bn}是公比为q的等比数列,‎ 由b2=3,b3=9,可得q==3,‎ bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1;‎ 即有a1=b1=1,a14=b4=27,‎ 则d==2,‎ 则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;‎ ‎(2)cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,‎ 则数列{cn}的前n项和为 ‎(1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)=n•2n+‎ ‎=n2+.‎ ‎ ‎ ‎16.(2016•天津)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=‎ ‎,S6=63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)nb}的前2n项和.‎ ‎【解答】解:(1)设{an}的公比为q,则﹣=,即1﹣=,‎ 解得q=2或q=﹣1.‎ 若q=﹣1,则S6=0,与S6=63矛盾,不符合题意.∴q=2,‎ ‎∴S6==63,∴a1=1.‎ ‎∴an=2n﹣1.‎ ‎(2)∵bn是log2an和log2an+1的等差中项,‎ ‎∴bn=(log2an+log2an+1)=(log22n﹣1+log22n)=n﹣.‎ ‎∴bn+1﹣bn=1.‎ ‎∴{bn}是以为首项,以1为公差的等差数列.‎ 设{(﹣1)nbn2}的前2n项和为Tn,则 Tn=(﹣b12+b22)+(﹣b32+b42)+…+(﹣b2n﹣12+b2n2)‎ ‎=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ‎==‎ ‎=2n2.‎ ‎ ‎ ‎17.(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1(n≥2),‎ 即an=2an﹣1(n≥2),‎ 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.‎ 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1)‎ 所以a1+4a1=2(2a1+1),‎ 解得:a1=2.‎ 所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 故an=2n.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得=,‎ 所以Tn=+++…+==1﹣.‎ ‎ ‎ ‎18.(2015•山东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn},满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,‎ 当n>1时,2Sn﹣1=3n﹣1+3,‎ 此时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即an=3n﹣1,‎ 所以an=.‎ ‎(Ⅱ)因为anbn=log3an,所以b1=,‎ 当n>1时,bn=31﹣n•log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,‎ 所以T1=b1=;‎ 当n>1时,Tn=b1+b2+…+bn=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),‎ 所以3Tn=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n),‎ 两式相减得:2Tn=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)=+﹣(n﹣1)×31﹣n=﹣,‎ 所以Tn=﹣,经检验,n=1时也适合,‎ 综上可得Tn=﹣.‎ ‎ ‎ ‎19.(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式 ‎(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得,‎ 解得,或,‎ 当时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1;‎ 当时,an=(2n+79),bn=9•;‎ ‎(2)当d>1时,由(1)知an=2n﹣1,bn=2n﹣1,‎ ‎∴cn==,‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,‎ ‎∴Tn=6﹣.‎ ‎ ‎ ‎20.(2015•安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)∵数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.‎ ‎∴a1+a4=9,a1a4=a2a3=8.‎ 解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍),‎ 解得q=2,即数列{an}的通项公式an=2n﹣1;‎ ‎(2)Sn==2n﹣1,‎ ‎∴bn===﹣,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣.‎ ‎ ‎ ‎21.(2015•新课标Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和,己知an>0,an2+2an=4Sn+3‎ ‎(I)求{an}的通项公式:‎ ‎(Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(I)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2(an+1﹣an)=4an+1,‎ 即2(an+1+an)=an+12﹣an2=(an+1+an)(an+1﹣an),‎ ‎∵an>0,∴an+1﹣an=2,‎ ‎∵a12+2a1=4a1+3,‎ ‎∴a1=﹣1(舍)或a1=3,‎ 则{an}是首项为3,公差d=2的等差数列,‎ ‎∴{an}的通项公式an=3+2(n﹣1)=2n+1:‎ ‎(Ⅱ)∵an=2n+1,‎ ‎∴bn===(﹣),‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=(﹣+…+﹣)=(﹣)=.‎ ‎ ‎ ‎22.(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)‎ ‎(Ⅰ)求an与bn;‎ ‎(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=2an,得.‎ 由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2,‎ 当n≥2时,b1+b2+b3+…+=bn﹣1,和原递推式作差得,‎ ‎,整理得:,‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 因此 ‎,‎ 两式作差得:,‎ ‎(n∈N*).‎ ‎ ‎ ‎23.(2015•山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{}的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(an+1)•2,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d,则a1>0,‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d,an+1=a1+nd,‎ 令cn=,‎ 则cn==[﹣],‎ ‎∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[﹣+﹣+…+﹣]‎ ‎=[﹣]‎ ‎=‎ ‎=,‎ 又∵数列{}的前n项和为,‎ ‎∴,‎ ‎∴a1=1或﹣1(舍),d=2,‎ ‎∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;‎ ‎(2)由(1)知bn=(an+1)•2=(2n﹣1+1)•22n﹣1=n•4n,‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=1•41+2•42+…+n•4n,‎ ‎∴4Tn=1•42+2•43+…+(n﹣1)•4n+n•4n+1,‎ 两式相减,得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣,‎ ‎∴Tn=.‎ ‎ ‎ ‎24.(2015•天津)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列 ‎(1)求q的值和{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(1)∵an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,‎ ‎∴a3=q,a5=q2,a4=2q,‎ 又∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列,‎ ‎∴2×3q=2+3q+q2,‎ 即q2﹣3q+2=0,‎ 解得q=2或q=1(舍),‎ ‎∴an=;‎ ‎(2)由(1)知bn===,n∈N*,‎ 记数列{bn}的前n项和为Tn,‎ 则Tn=1+2•+3•+4•+…+(n﹣1)•+n•,‎ ‎∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+(n﹣1)•+n•,‎ 两式相减,得Tn=3++++…+﹣n•‎ ‎=3+﹣n•‎ ‎=3+1﹣﹣n•‎ ‎=4﹣.‎ ‎ ‎ ‎25.(2015•福建)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设公差为d,则,‎ 解得,‎ 所以an=3+(n﹣1)=n+2;‎ ‎(Ⅱ)bn=2+n=2n+n,‎ 所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+…+(210+10)‎ ‎=(2+22+…+210)+(1+2+…+10)‎ ‎=+=2101.‎ ‎ ‎ ‎26.(2015•北京)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d.‎ ‎∵a4﹣a3=2,所以d=2‎ ‎∵a1+a2=10,所以2a1+d=10‎ ‎∴a1=4,‎ ‎∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)‎ ‎(II)设等比数列{bn}的公比为q,‎ ‎∵b2=a3=8,b3=a7=16,‎ ‎∴‎ ‎∴q=2,b1=4‎ ‎∴=128,而128=2n+2‎ ‎∴n=63‎ ‎∴b6与数列{an}中的第63项相等 ‎ ‎ ‎27.(2015•天津)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意,q>0,‎ 由已知有,消去d整理得:q4﹣2q2﹣8=0.‎ ‎∵q>0,解得q=2,∴d=2,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为,n∈N*;‎ 数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1,n∈N*.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)有,‎ 设{cn}的前n项和为Sn,则 ‎,‎ ‎,‎ 两式作差得:=2n+1﹣3﹣(2n﹣1)×2n=﹣(2n﹣3)×2n﹣3.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎28.(2014•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(Ⅰ)求an;‎ ‎(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,‎ 由a2=3,a5=81,得 ‎,解得.‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)∵,bn=log3an,‎ ‎∴.‎ 则数列{bn}的首项为b1=0,‎ 由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣(n﹣2)=1(n≥2),‎ 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎29.(2014•新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(1)方程x2﹣5x+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,‎ 故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,‎ 故an=2+(n﹣2)×=n+1,‎ ‎(2)设数列{}的前n项和为Sn,‎ Sn=,①‎ Sn=,②‎ ‎①﹣②得Sn==,‎ 解得Sn==2﹣.‎ ‎ ‎ ‎30.(2014•北京)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,等比数列{bn}满足b1=4,b4=20.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(1)∵{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,‎ ‎∴3+3d=12,解得d=3,‎ ‎∴an=3+(n﹣1)×3=3n.‎ ‎∵等比数列{bn}满足b1=4,b4=20,‎ ‎∴4q3=20,解得q=,‎ ‎∴bn=4×()n﹣1.‎ ‎(2)∵等比数列{bn}中,,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn==.‎ ‎ ‎