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2011年最新高考+最新模拟——圆锥曲线
1. 【2010•浙江理数】设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题
2. 【2010•全国卷2理数】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.
3. 【2010•陕西文数】已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 （ ）
A. B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以
法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）
所以
4. 【2010•辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.
5. 【2010•辽宁文数】设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（ ）
A. B. 8 C. D. 16
【答案】B
【解析】利用抛物线定义，易证为正三角形，则
6. 【2010•辽宁理数】设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A . B. C. D.
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)
直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）.
7. 【2010•辽宁理数】设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=( )
A. B.8 C. D.16
【答案】B
【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8
8. 【2010•全国卷2文数】已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =( )
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
9. 【2010•浙江文数】设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±=0 D.±y=0
【答案】D
【解析】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题。
10. 【2010•重庆理数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】D
【解析】排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B。
11. 【2010•山东文数】已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
12. 【2010•四川理数】椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
Þ
又e∈(0,1)故e∈
13. 【2010•天津理数】已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。
依题意知，所以双曲线的方程为
14.【2010•广东文数】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
15. 【2010•福建文数】若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
16. 【2010•全国卷1文数】已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则（ ）
A.2 B.4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】法一：由余弦定理得
cos∠P=
4
法二：由焦点三角形面积公式得：
4
17.【2010•全国卷1理数】已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
18. 【2010•四川文数】椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.（0，] B.（0，] C.[，1） D.[，1）
【答案】D
【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
Þ
又e∈(0,1)
故e∈
19. 【2010•四川文数】抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4， 又交点到准线的距离就是p。
20. 【2010•湖北文数】若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.[,] B.[,3]
C.[-1,] D.[,3]
【答案】D
21. 【2010•山东理数】由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为[来源:Ww（ w. ]
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。
22. 【2010•安徽理数】双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.
【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.
23. 【2010•湖北理数】若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.
24.（2010福建理数）7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即
，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
25. 【2010•福建理数】以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。
26．【2010·海淀一模】直线与圆相交于，两点（其中是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心到直线的距离为，∴，即．因此所求距离为椭圆上点到焦点的距离，其最大值为．
27．【2010·江西省重点中学第二次联考】设是△ABC的一个内角，且，则表示（ ）
A．焦点在ｘ轴上的椭圆 B．焦点在ｙ轴上的椭圆
C．焦点在ｘ轴上的双曲线 D．焦点在ｙ轴上的双曲线
【答案】B
【解析】因为∈(0,π)，且，所以∈(,π)，且|sin|＞|cos|,所以∈(,)，从而cos＜0，从而表示焦点在ｙ轴上的椭圆。选B
28．【2010·曲靖一中届高考冲刺卷数学（六）】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的横坐标为（ ）
A、1 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题意半焦距c=，又，为此点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，由解得P(,).故选D。
29．【2010·湖南师大附中第二次月考】已知曲线C的参数方程是(为参数)，则曲线C上的点P到定点M(－2，0)的最大距离是 （ ）
A.9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】C
【解析】解法一：因为
，所以当时，，故选C.
解法二：将曲线C的参数方程化为普通方程，得，它表示焦点在x轴上的椭圆.由椭圆的几何性质可知，当点P位于椭圆的右顶点时，|PM|为最大，且最大值为5＋2＝7，故选C.
30．【2010·朝阳一模】已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设，于是有．
于是．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上，排除D．
31．【2010·宣武一模】若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．选C。
32．【2010·宣武一模】设圆的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离为，故圆方程．由被圆截得的弦长是及圆的半径为可知，圆心到直线的距离为，即．
33．【2010·滦县一中】双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令x=0，得y=±,即双曲线的顶点坐标为(0, ±)，又其渐近线方程为：y=±x，由点到直线的距离公式得：=，解得：m=3。
34．【2010·重庆南开中学第八次月考】过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若 则这样的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【解析】因为双曲线方程为x2－=1，过右焦点垂直于x轴的弦长，即通径为=4，又实轴长为2a=2<4，由对称性可知，过右焦点长度为4的弦与左右两支各有一个交点的弦有两条，与右支有两个交点的弦只有1条，故共有3条长度为4的弦。选B。
35．【2010·泰安市第一轮复习质检】已知双曲线的一条渐近线方程为， 则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，e=，选择A。
36.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=|FB|，则椭圆的离心率等于 （ ）
A
B
C
D
E
H
F
M
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设作准线与x轴交点为M，过A、B准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E。因为AB倾斜角为60，所以∠ABH=30，设AB=5，因为|FA|=|FB|，则BF=2,AF=3，AH== =,所以e=，选择B。
37.【2010·山东德州一模】已知分别是双曲线的两个焦点，和是以(为坐标原点)为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
x
y
F1
F2
O
O
A
B
【答案】D
【解析】如图，设F1F2=2c,由于是等边三角形，所以∠A F2 F1=300,所以A F1=c, A F2=,e= ,选择D
38.【2010·湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点）在其右支上，且满足，则的值是 （ ）
A．4020 B．4019 C．4020 D．4019
【答案】C
【解析】依题意，e=,，
，因为，所以，又，所以x1=2，
Xn=2n,选择C;
39.【2010·山东省济南市4月模拟】设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为（ ）
A．4，8 B．2，6 C．6，8 D．8，12
【答案】A
【解析】依题意，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，所以[|PM|+|PN|]max=2×3＋2=6[|PM|+|PN|]min=2×3-2=4,选择A;
40．【2010·四川南充高中5月适应性考试】抛物线上的点到直线距离的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作与直线直线平行的抛物线的切线，其斜率k=－2x=－，解得x=，从而切点坐标为(，－)，切线方程为y+=－(x－)，即4x+3y－=0，由两平行线间距离公式得点到直线的距离的最小值为d==。故选A。
41．【2010·北京市宣武区第二学期第二次质检】如图抛物线： 和圆: ，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为 ( )
A． B. C. D.P2
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|－|BF=x1+－=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=.故选A。
42．【2010·河北省衡水中学一模】AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】|AB|=x1+x2+p= x1+x2+1= 4，所以=，故选C。
43．【2010·成都石室中学 “三诊”】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义将点P到准线的距离转化为P到焦点F(,0)的距离，于是当点P位于点A(0,2)与F(,0)的连线与抛物线的交点处时，距离之和最小，最小值为=.故选A。
44．【2010·迁安一中五月考】直线与双曲线
的左右支分别交于点，与双曲线的右准线相交于P点，F为右焦点，若又,则实数的值为 ( )
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】记M、N在右准线的射影分别为M1、N1，由|FM|=2|FN|及第二定义知：|MM1|=2|NN1|，又△MM1P∽△NN1P，所以|MP|=2|NP|,从而=。故选A。
45．【2010·成都石室中学五月考前模拟】已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将P点到直线l1:x=－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，P到两直线的距离之和的最小值为=2,故选A。
46．【2010·湖北省襄樊五中5月调研】 “双曲线的方程为－=1 ”是“双曲线的离心率为”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由双曲线的方程为－=1e=，但e=不一定要求双曲线的方程必为－=1。故选A。
47.【2010·曲靖一中届高考冲刺卷数学(六)】若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为( )
A、2 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】抛物线的准线为x=2，即双曲线的右准线为x=2==，故c=4，所以离心率为e===.
48．【2010·甘肃省部分普通高中第二次联考】过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点A(a,0)的直线方程为y=－x+a，与两渐近线y=±x联立解得xB=,xC=，由，得－a=(－)，整理得b=2a，从而离心率e==.
49.【2010·山东省济南市4月模拟】已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线
左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以PF1⊥PF2，并且|PF2|=|PF1|，又|PF2|－|PF1|=2,即|PF1|=4a，|PF2|=6a，又在三角形PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，即16a2+36a2=4c2，所以e==.
50.【2010·湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训练(二))】下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则 ( )
A．e1＞e2＞e3 B． e1＜e2＜e3
C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2
【答案】D
【解析】在①中，|MF2|－|MF1|=c－c=2a，所以e1==+1；在②中，e2=；在③中易求得e3=+1；所以e1＝e3＞e2。故选D。
51.【2010·朝阳区第二学期统一考试(二)】已知椭圆＋=1(a>0,b>0)，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点. 若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为AB⊥BF，所以kAB·kBF=－1，即·(－)=－1，即b2=ac，所以a2－c2=ac，两边同除以a2，得e2+e－1=0，所以e=(舍负)，故选B。
52. 【2010·浙江四月五校联考】已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】一定关于原点对称，设，，，则，，。
53．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知两个正数a、b的等差中项为5，等比中项为4，则双曲线的离心率e等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】Ｄ
【解析】由题知，a+b=10，ab=16，所以或，从而e==或。
54．【2010·四川省绵阳南山中学五月模拟考试】 平面内到定点A(1,2)与到定直线2x+y－4=0的距离相等的点的轨迹是 ( )
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】A
【解析】因为点A(1,2)位于直线2x+y－4=0上，所以动点的轨迹为过A点与直线2x+y－4=0垂直的直线。故选A。
55．【2010·广东省茂名市二模】若圆O1方程为，圆O2方程为，则方程表示的轨迹是 ( )
A．线段O1O2的中垂线
B．过两圆内公切线交点且垂直线段O1O2的直线
C．两圆公共弦所在的直线
D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等
【答案】D
【解析】数式的几何意义为点P(x,y)到圆O1的切线长的平方，为P(x,y)到圆O2的切线长的平方，故切线长相等；又整理化简得：4x+3y－7=0为一条直线。故选D。
56．【2010·重庆四月模拟】双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是 ( )
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】可采用特殊值法，不妨设点A2为点P，则以PF1为直径的圆的方程为，A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，圆心距为正好等于两圆的半径之差，故两圆内切。
57．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知定点A(1，0)和定直线
上有两动点E，F且满足另有动点P，满足(O为坐标原点)，且动点P的轨迹方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，(均不为零)由∥，即.由∥.由.故选B.
58.【2010·福州三中五月模拟】若点P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率e=( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=4c2，又因为所以|PF1|=2|PF2|。由椭圆的定义知：|PF1|+|PF2|=2a，即3|PF2|=2a，即|PF2|=a，代入|PF1|2+|PF2|2=4c2，解得e==.
59.【2010·广西南宁市第二次适应性测试】设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P(－4，－4)的直线与x轴的交点为Q，则等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】D
【解析】易知F(0,－1)，又y'=－x，所以kPQ=2，所以直线l的方程为y+4=2(x+4)，令y=0，得Q(－2,0)，所以kQF==－，所以PQ⊥QF，即=90º。
60．【2010·河南省郑州市第二次质检】已知点F是双曲线(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，2) C．(1，1＋) D．(2，1＋)
【答案】B
【解析】由AB⊥x轴，所以△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF＜45º,于是|AF|＜|EF|，＜a＋c，于是c2－a2＜a2＋ac，即e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又双曲线的离心率e＞1，从而1＜e＜2。
61．【2010 ·四川省绵阳南山中学四月模拟】双曲线 (a>0,b>0)的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上情况都有可能
【答案】B
【解析】不失一般性设点P为双曲线右支上一点，连PF1，PF2，设PF1的中点为M，设M为以PF1为直径的圆的圆心，连MO，则|MO|=|PF2|==|PF1|－a，即两圆的圆心距等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，当点P位于左支上时，同理可证两圆相外切。故选B。
62. 【2010•上海文数】动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。
【答案】y2=8x
【解析】考查抛物线定义及标准方程定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x
63. 【2010•浙江理数】设抛物线的焦点为，点
.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。
【答案】
【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（
）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题
64. 【2010•全国卷2理数】已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．
【答案】2
【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，
∴2.
65. 【2010•全国卷2文数】已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________
【答案】2
【解析】设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）。
66. 【2010•江西理数】点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,,
67. 【2010•安徽文数】抛物线的焦点坐标是
【答案】
【解析】抛物线，所以，所以焦点.
【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.
68. 【2010•重庆文数】已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则____________ .
【答案】2
【解析】由抛物线的定义可知
故2
69. 【2010•北京文数】已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
【答案】()
70. 【2010•北京理数】已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
【答案】（，0）
71. 【2010•天津文数】已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。
【答案】
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知 ①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②
又 ③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。
72. 【2010•福建文数】若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。
【答案】1
【解析】由题意知，解得b=1。
73. 】2010•全国卷1文数】已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
【答案】
【解析】法一：如图，,
作轴于点D1,则由，得
,所以,
即,由椭圆的第二定义得
又由,得
法二：设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入
，
74. 【2010•湖北文数】已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线
与椭圆C的公共点个数_____。
【答案】
【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为
，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
75. 【2010•江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________
【答案】4
【解析】考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
76．【2010·山东德州一模】已知椭圆的左、右焦点分是椭圆上一点，是的中点，若(为坐标原点)，则等于 。
O
x
y
M
F1
F2
N
【答案】6
【解析】如图所示，|MF2|=2|ON|=2，所以|MF1|=2a－|MF2|=8－2=6
77．【2010·东城一模】点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为 ．
【答案】
【解析】，
．所以yp=.
78．【2010·海淀一模】已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，双曲线的半实轴长，半焦距分别为，，则
，问题转化为已知，求的取值范围．
设，则，．
∵，∴，即．
79．【2010·西城一模】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 ．
【答案】
【解析】，设，，又，故，
于是，当时，取到最小值．
80．【2010·东城一模】直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，要使原点在以为直径的圆外，只需原点到直线的距离大于半径即可，于是，，故．
81.[2010·石家庄市教学质量检测（二）]双曲线的渐近线方程为y=±2x，则n= ．
【答案】
【解析】依题意， ,解得n=；
82.【2010上·海市普陀区二模】已知椭圆的参数方程为（），则该椭圆的焦距为 .
【答案】6
【解析】依题意，a=5，b=4，c=3，该椭圆的焦距为6
83.【2010·宁波市四月模拟】）已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则 ．
【答案】
【解析】依题意，，解得
84.【2010·四川省绵阳南山中学高考模拟考试】双曲线上有一点P到左准线的距离为，则P到右焦点的距离为______．
【答案】
【解析】依题意，e = ,因为两准线的距离为，P到左准线的距离为，所以P到右准线的距离为，所以P到右焦点的距离为；
85.【2010·海淀一模】已知动点到定点的距离和它到定直线的距离相等，则点的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】由抛物线定义知，该轨迹为抛物线，其中P=4，焦点为(2，0)，对称轴为轴的抛物线，即．
86．【2010·巢湖市高三第一次教学质量检测试题】已知双曲线的一条渐近线方程为，则抛物线上一点到该抛物线焦点F的距离是 .
【答案】3
【解析】依题意，由双曲线的一条渐近线方程为知，a=1，所以抛物线方程为y2=4x，到该抛物线焦点F的距离是2+1=3；
87.【2010·河北省衡水中学一模】 如图，过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线与圆(x－1)2＋y2＝1于A，B，C，D四点，则｜AB｜·｜CD｜＝____________。
【答案】1
【解析】由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以｜AB｜·｜CD｜＝1。
88.【2010·广东省四月调研】已知点、分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为 。
【答案】
【解析】如图，∵，ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
∴，则，，，∴
89.【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知分别是圆锥曲线和的离心率，设则m的取值范围是 。
【答案】
【解析】由条件得：，则
得，所以．
90．【2010湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训练(二)】抛物线的准线方程是，则的值为 .
【答案】―
【解析】将抛物线化为标准方程：x2=y，因为其准线为y=1，所以a＜0，从而其准线方程为y=－=1，解得a=―。
91．【2010·河南省郑州市第二次质检】已知直线l过抛物线x2＝ay(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝_____________．
【答案】4
【解析】易知直线l被抛物线截得的弦长为抛物线的通径2p=a=4.
92．【2010·湖北省襄樊五中5月调研】从双曲线－=1的左焦点F引圆x2 + y2 = 3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则| MO | – | MT | 等于 。
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为F1，因为O为FF1中点，M为PF中点，所以MO为三角形PFF1的中位线，|MO|=|PF1|，又|MT|=|PT|－|PM|=|PF|－|FT|－|PF|=|PF|－|FT|，所以|MO|－|MT|=(|PF1|－|PF|)＋|FT|=|FT|－a，又a=，|FT|==。所以|MO|－|MT|=－。
93. 【2010•上海文数】已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以D>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3)
因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．
94. 【2010•湖南文数】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。
（I） 求考察区域边界曲线的方程：
（II） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
95. 【2010•浙江理数】已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.
【解析】本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
解： （Ⅰ）因为直线经过，所以,得，
又因为，所以，
故直线的方程为。
（Ⅱ）设。
由，消去得
则由，知，
且有。
由于，
故为的中点，
由，
可知
设是的中点，则，
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
96. 【2010 •辽宁文数】 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设直线的方程为
联立
解得
因为
即
得
故椭圆的方程为
97. 【2010 •辽宁理数】设椭圆C：
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 .
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为.
98. 【2010•江西理数】设椭圆，抛物线。
（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；
（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。
解：考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有
。
由点在抛物线上，，解得：
故，得重心坐标.
由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。
99. 【2010•安徽文数】椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
【解析】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.
解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为
【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.
100. 【2010•北京文数】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。
解：（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知
由 得
所以圆P的半径为
解得 所以点P的坐标是（0，）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以
设，则
当，即，且，取最大值2.
101. 【2010•北京理数】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
解：（I）因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为
（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.
则直线的方程为，直线的方程为
令得，.
于是得面积
又直线的方程为，，
点到直线的距离.
于是的面积
当时，得
又，
所以=，解得。
因为，所以
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即 ，解得
因为，所以
故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.
102. 【2010 •四川理数】已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（1）求E的方程；
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
解：(1)设P(x,y)，则
化简得x2－=1(y≠0)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2－=1联立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知3－k2≠0且△＞0
设B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)
因此M点的坐标为()
,同理可得
因此
＝
＝0
②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，
同理可得
因此＝0
综上＝0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F
103. 【2010 •天津文数】已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.
解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由，得。
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。
令，解得。
由，，
，
整理得。故。所以。
综上，或
104. 【2010 •天津理数】已知椭圆的离心率
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分
解：（1）由，得，再由，得
由题意可知，
解方程组 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理，得
由得
设线段AB是中点为M，则M的坐标为
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由
整理得
综上
105. 【2010 •广东理数】 一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；
（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。
故，即。
（2）设，则由知，。
将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即
。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即。
106. 【2010 •江苏卷】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
联立方程组，解得：，
所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
107. 【2010 •福建理数】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为
108．【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率；
(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
解： (Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
.
所以椭圆的标准方程为. 离心率
(Ⅱ）,设由得
化简得，即
故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为
109．【2010·江西省重点中学】第二次联考】已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。
（1）求轨迹W的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）对于的任意一确定的位置，在直线上是否存在一点Q，使得，并说明理由。
解：（1）依题意可知 ∴，∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设其方程为 则 ∴，∴轨迹W的方程为
（2）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，设的方程为，由得，又设，则
由①②③解得，∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即，故所求直线的方程为：；
（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点
若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线相交；若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
由（2）知且，又为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，则
设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径的距离为d，则
∴
∵ ∴ 即，即直线与圆S相交。综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；
故对于的任意一确定的位置，与直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得
110．【2010·北京海淀第二学期期中练习】已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上.
（I）求椭圆C的方程；
（II）过椭圆C的左焦点的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.
解：（I）设椭圆C的方程为，由题意可得，
又，因为椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得，所以故椭圆C的方程为
（II）解法一： 当直线l轴时，计算得到：
，不符合题意。当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：，由
显然，则
又
=
即,又圆O的半径
所以
化简，得
解得（舍）,所以，故圆O的方程为：
（II）解法二：设直线的方程为，
由,因为，
则
所以
所以,
化简得到，解得（舍）,
又圆O的半径为 ,所以，故圆O的方程为：;
111．【2010·福建漳州一中年五月质检】已知椭圆，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论。
O
x
y
A
B
C
M
F
解：（Ⅰ）解法一：设，,，则，
两式相减，得：，又，，
∴，
又∵，∴，∴
解法二：设直线AB的方程为y=kx+n，代入椭圆方程得 ，设，,，则，∴，，
∴，又∴，∴
（Ⅱ）设C(xC，yC)，直线AB的方程为y=k(x-c)(k≠0)，代入椭圆方程，得 ，若OACB是平行四边形，则 ，∴，，∵C在椭圆上 ∴ ∴，∴ ，∴ ∴ ，∵ ，a∈[2，+∞] ，∴ ，∴且，∴当且时，存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形；当或时，不存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形。
112．【2010·石家庄市质检(二)】已知抛物线方程x2=4y，过点(t，－4)作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．
(I)求证直线AB过定点(0，4)；
(II)求OAB(O为坐标原点)面积的最小值．
解：(Ⅰ)设切点为 又 ， 则切线的方程为： , 即, 切线的方程为：即,由(t,―4)是、交点可知： ， ， ∴过A、B的直线方程为， 即, 所以直线过定点(0，4)．
(Ⅱ)由 ,得 ．则, 因为 ＝，当且仅当t＝０时，
113．【2010·湖南师大附中第二次月】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点．
(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；
(Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．
解：(Ⅰ) 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，，即，故抛物线C的方程是．
(Ⅱ)设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为. 令，得.则，. 所以. ，设抛物线C的方程为
，因为圆心M在抛物线C上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值．故存在一条抛物线，使|AB|为定值4.
114．【2010·海淀一模】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．
⑴求椭圆的方程；
⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
解：⑴设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，．∴．∴，又，，故椭圆的方程为．
⑵当直线轴，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去y得．显然成立，设，，则，．
又
即，又圆的半径．
所以，
化简，得，即，解得．所以，
．
故圆的方程为：．
⑵另解：设直线的方程为，由，消去得，恒成立，设，，则，．
所以．
又圆的半径为．
所以，解得，
所以．故圆的方程为：．
115．【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率；
(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得
.
所以椭圆的标准方程为. 离心率
(Ⅱ),设由得
化简得，即
故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为
116．【2010·广东省四月调研】已知定点A(0,－1)，点B在ks5u
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ks5u
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圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．
Y
X
(I)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值。
(II)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．ks5u
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解：(I)由题意得，∴
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.设椭圆方程为 ，
则，∴点的轨迹方程为
曲线化为，
则曲线是圆心在，半径为1的圆。ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，ks5u
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ks5u
ks5u
短轴上的顶点为结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则，∴的最小值为 。
(II))设，由得：，
化简得，即 ，
而
∵点在圆内，∴
∴，
∴，∴的取值范围为．
117．【2010·丰台一模】在直角坐标系中，点到点，
的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．
解：⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为．
⑵将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 ①
设，，则， ②
且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．
将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．
显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点．
118．【2010·河南省郑州市第二次质检】已知圆M：(x－m)2＋(y－n)2＝γ2及定点N(1，0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足＝2，·
＝0．
(Ⅰ)若m＝－1，n＝0，r＝4，求点G的轨迹C的方程；
(Ⅱ)若动圆M和(Ⅰ)中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
解：(Ⅰ) 点为的中点，又，或点与点重合．
∴，又
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，∴的轨迹方程是
(Ⅱ)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为， 故直线的方程为：，设，中点，
则，两式相减得：．
注意到，且 ，则 ， ②
又点在直线上，，代入②式得：．
因为弦的中点在⑴所给椭圆内，故，这与矛盾，
所以所求这组正实数不存在．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则此时，代入①式得，这与是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在．
119．【2010·东城一模】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．
解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ①
联立消去得：，
由得，
又不合题意，
所以直线的斜率的取值范围是或．
⑶设点，则，直线的方程为，
令，得，将代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，
所以直线与轴相交于定点．
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