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- 2021-05-13 发布
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第二讲 填空题解题技法(B)
1．若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集是{x|00在[2，3]上有解，则k的范围为________．
3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴，y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
4．(2013·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
5．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
6．若a，b为正实数，且ab－(a＋b)＝1，则a＋b的最小值为________．
7．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)在等比数列{an}中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式a·a·a＝1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{bn}中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式________成立．
8．(2013·高考北京卷)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．
9．(2013·湖南省五市十校高三第一次联合检测)执行如图所示的程序框图，输出的结果是________．
10．(2013·高考陕西卷)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律， 第n个等式可为________.
11．已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
12．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，仍成等比数列，且公比为4100；类比以上结论，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有________也成等差数列，该等差数列的公差为________．
13．(2013·石家庄市高三模拟考试)已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y
取得最小值时，过点P引圆(x－)2＋(y＋)2＝的切线，则此切线段的长度为________．
14．(2013·高考大纲全国卷)记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
15．(2013·高考湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________．
16．某实验室至少需要某种化学药品10 kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3 kg，价格为12元；另一种是每袋2 kg，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．
答案：
1．【解析】由题意可知，0和2是方程－x2＋2x－mx＝0的两根，代入得m＝1.
【答案】1
2．【解析】设f(x)＝2x2－3x＋5，由于f(x)>k在[2，3]上有解，因此，k只需小于f(x)在区间[2，3]上的最大值即可．
由于f(x)＝2x2－3x＋5在[2，3]上为增函数，
得f(x)max＝f(3)＝2×32－3×3＋5＝14，
故所求的k的范围为k<14.
【答案】(－∞，14)
3．【解析】法一：因A(2，0)，B(0，1)且a＋2b＝2，
∴ab＝a·2b≤＝，当且仅当a＝2b，即a＝1，b＝时“＝”成立．
法二：依题意a＋2b＝2，a>0，b>0，
则a＋2b≥2，
得≤1，ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．
【答案】
4．【解析】当a＝1，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为3，当a＝3，b＝
2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为5，当a＝5，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为7，当a＝7，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为9，由于9>8成立，故输出a的值为9.
【答案】9
5．【解析】令f(x)＝x2＋mx＋4，
则∴m≤－5.
【答案】(－∞，－5]
6．【解析】由1＋(a＋b)＝ab≤()2⇒a＋b≥2(1＋)．
【答案】2(1＋)
7．【解析】通过类比，等比数列的商对应等差数列的差，应是(r－s)·bt＋(s－t)br＋(t－r)bs＝0，经验证等式成立．
【答案】(r－s)bt＋(s－t)br＋(t－r)bs＝0
8．【解析】
不等式组表示的区域D如图阴影部分所示．由图知点P(1，0)与平面区域D上的点的最短距离为点P(1，0)到直线y＝2x的距离d＝＝.
【答案】
9．【解析】共循环2 013次，由裂项求和得S＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
【答案】
10．【解析】从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
【答案】(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
11．【解析】∵xy＝x＋2y≥2，
∴()2－2≥0，
∴≥2或≤0(舍去)，
∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号．
由题意知m－2≤8，即m≤10.
【答案】10
12．【解析】等比数列项的积Tn类比等差数列项的和Sn，
所以商可以类比Sn的差，故S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，公差为300.
【答案】S20－S10，S30－S20，S40－S30 300
13．【解析】∵2x＋4y≥2＝4，且当x＝，y＝时取得最小值，∴点P为(，)
，其到圆心(，－)的距离为，又知圆的半径为，∴切线段的长度为.
【答案】
14．【解析】不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1，1)，B(0，4)，C(0，)．直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1，0)且斜率为a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，数形结合可得≤a≤4.
【答案】[，4]
15．【解析】程序框图的执行流程及中间结果如下：
第一步：a＝10，i＝1，a≠4，a不是奇数；a＝＝5，i＝2；第二步：a≠4，a是奇数，a＝3×5＋1＝16，i＝3；第三步：a≠4，a不是奇数，a＝＝8，i＝4；第四步；a≠4，a不是奇数，a＝＝4，i＝5；第五步，a＝4，这时跳出循环，输出i＝5.
【答案】5
16．【解析】设购买每袋3 kg的药品袋数为x，购买每袋2 kg的药品袋数为y，花费为z元，
由题意可得作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知(图略)，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2，2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．
【答案】44
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