黑龙江哈三中第一次高考模拟理科数学试题 13页

‎2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷（理工类）‎ 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎ （2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；‎ ‎ （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． ‎ 第I卷 （选择题, 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1. 集合，，,则集合的元素个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 若表示两个不同的平面，表示两条不同的直线，则的一个充分条件是 A. B. C. D.‎ ‎4. 若，则的值为 A. B. C. D. ‎ 开始 输入N 输出S 结束 是 否 ‎5. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的 ‎ 的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若变量满足约束条件，则目标函数 ‎ 的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎7. 直线截圆所得劣弧所对 ‎ 圆心角为 ‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 等比数列中，若，则 ‎ 的值是 A. B. C. D.‎ ‎10. 在二项式的展开式中只有第五项的二项式 ‎ 系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 设、、是双曲线上不同的三个点，且、连线经 ‎ 过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该曲线在 点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点.则 的范围是 ‎ A． B. C. D. ‎ 哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷（理工类）‎ 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）‎ ‎13. 已知，由不等式， ,‎ ‎ ，归纳得到推广结论：‎ ‎ ，则实数 ‎14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有 两名同学拿对自己衣服的不同情况有种.(具体数字作答) ‎ ‎15. 已知,动点满足,则的最大值 为 ‎16. 在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角, 且 ‎ ‎ ，则实数范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 数列满足，等比数列满足.‎ ‎ （I）求数列，的通项公式；‎ ‎ （II）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出 前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组 ‎，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数 O ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎0.08‎ ‎0.01‎ ‎0.03‎ ‎0.05‎ ‎0.07‎ 为60.‎ ‎ （I）请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎ （II）若大学决定在成绩高的第，‎ ‎，组中用分层抽样的方法抽 取名学生进行面试.‎ ① 若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；‎ ‎②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的 中点.‎ ‎ （I）若，求证：平面平面；‎ ‎ （II）若平面平面，且，点在线段上，试 ‎ 确定点的位置，使二面角大小为,并求出的值.‎ ‎ 20.（本小题满分12分）‎ ‎ 若点是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线 ‎ ‎ 交于两点.‎ ‎ （I）求证：为定值；‎ ‎（II）若点与点不重合，问的面积是否存在最大值?若存在，求出最大 ‎ 值； 若不存在，请说明理由.‎ ‎ 21.（本小题满分12分）‎ ‎ 设，函数．‎ ‎ （Ⅰ）当时，求在内的极值；‎ ‎ （Ⅱ）设函数，当有两个极值点，（）‎ ‎ 时，总有，求实数的值．（其中是函数的导函数．）‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是的⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接、 ‎ 分别交⊙于、两点，连接交于点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：、、、四点共圆. ‎ O B A C E F D G ‎ （Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为 ‎ ‎ 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎ （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若，且，求证：.‎ ‎2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案 数学（理工类）‎ 一、选择题 ‎1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（I），所以数列为等差数列，‎ 则；-----------------------------------------------3分 ‎，所以，‎ 则；-------------------------------------------------------------------6分 ‎（II），‎ 则 两式相减得----------9分 整理得.-----------------------------------------------12分 ‎18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为，所以总人数为：，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人 O ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎0.08‎ ‎0.01‎ ‎0.03‎ ‎0.05‎ ‎0.07‎ ‎---------------------------------------------------------------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）设事件甲同学面试成功，则 ‎……………..8分 ‎（Ⅲ）由题意得，‎ ‎， ,‎ ‎, ‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………………..12分 ‎19. （I），为的中点，，又底面为菱形，， ,又平面，又平面,平面平面;-----------------------------6分 ‎（II）平面平面,平面平面,‎ 平面.以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则,设(),‎ 所以，平面的一个法向量是，‎ 设平面的一个法向量为，所以 取，-----------------------------------------9分 由二面角大小为，可得：‎ ‎，解得，此时--------------------------------12分 ‎20. 解：（I）因为点在抛物线上，‎ ‎ 所以，有，那么抛物线---------------------------------------2分 ‎ 若直线的斜率不存在，直线:，此时 ‎-------------------------------------------3分 ‎ 若直线的斜率存在，设直线:，点，‎ ‎，‎ 有，---------------5分 ‎ 那么，为定值.--------------------------------------------------------------------------7分 ‎（II） 若直线的斜率不存在，直线:，此时 若直线的斜率存在时，‎ ‎------------------9分 点到直线:的距离------------------------------10分 ‎，令，有，‎ 则没有最大值.---------------------------------------------------------12分 ‎21. 解：（Ⅰ）当时，，则，‎ 令，则，显然在上单 调递减.‎ 又因为，故时，总有，‎ 所以在上单调递减.---------------------------------------------3分 又因为，‎ 所以当时，，从而，这时单调递增，‎ 当时，，从而，这时单调递减,‎ ‎　　当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎１‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 极大 所以在上的极大值是.-----------------------------5分 ‎（Ⅱ）由题可知，则.‎ ‎ 根据题意方程有两个不等实数根，，且，‎ ‎ 所以，即，且.因为，所有.‎ ‎ 由，其中，‎ ‎ 可得 ‎ 又因为，，将其代入上式得：‎ ‎ ，整理得.--------------------------------------------------------8分 ‎ 即不等式对任意恒成立 (1) 当时，不等式恒成立，即；‎ (1) 当时，恒成立，即 令，显然是上的减函数，‎ 所以当时，，所以；‎ ‎(3)当时，恒成立，即 由（2）可知，当时，，所以；‎ ‎ 综上所述，.-------------------------------------12分 ‎22. （Ⅰ）连接，则，，‎ 所以，所以，所以四点共圆.‎ ‎………………………………..5分 ‎（Ⅱ）因为，则，又为三等分，所以，，‎ 又因为，所以，…………………….10分 ‎23.（I）直线的普通方程为：；‎ ‎ 曲线的直角坐标方程为---------------------------4分 ‎（II）设点，则 所以的取值范围是.--------------------------10分 ‎24. （I）不等式的解集是------------------------------5分 ‎（II）要证，只需证，只需证 而，从而原不等式成立.----------------------------------------10分