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  • 2021-05-13 发布

黑龙江哈三中第一次高考模拟理科数学试题

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‎2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(理工类)‎ 考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;‎ ‎ (2)选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚;‎ ‎ (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效;‎ ‎(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. ‎ 第I卷 (选择题, 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1. 集合,,,则集合的元素个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 若表示两个不同的平面,表示两条不同的直线,则的一个充分条件是 A. B. C. D.‎ ‎4. 若,则的值为 A. B. C. D. ‎ 开始 输入N 输出S 结束 是 否 ‎5. 若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是,则输入的 ‎ 的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若变量满足约束条件,则目标函数 ‎ 的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎7. 直线截圆所得劣弧所对 ‎ 圆心角为 ‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 如图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 等比数列中,若,则 ‎ 的值是 A. B. C. D.‎ ‎10. 在二项式的展开式中只有第五项的二项式 ‎ 系数最大,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 设、、是双曲线上不同的三个点,且、连线经 ‎ 过坐标原点,若直线、的斜率之积为,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎12. 在平面直角坐标系中,已知是函数的图象上的动点,该曲线在 点处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点.则 的范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(理工类)‎ 第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.)‎ ‎13. 已知,由不等式, ,‎ ‎ ,归纳得到推广结论:‎ ‎ ,则实数 ‎14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有 两名同学拿对自己衣服的不同情况有种.(具体数字作答) ‎ ‎15. 已知,动点满足,则的最大值 为 ‎16. 在中,内角所对的边长分别为,已知角为锐角, 且 ‎ ‎ ,则实数范围为 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 数列满足,等比数列满足.‎ ‎ (I)求数列,的通项公式;‎ ‎ (II)设,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算,排出 前名学生,并对这名学生按成绩分组,第一组,第二组,第三组 ‎,第四组,第五组,如图为频率分布直方图的一部分,其中 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数 O ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎0.08‎ ‎0.01‎ ‎0.03‎ ‎0.05‎ ‎0.07‎ 为60.‎ ‎ (I)请在图中补全频率分布直方图;‎ ‎ (II)若大学决定在成绩高的第,‎ ‎,组中用分层抽样的方法抽 取名学生进行面试.‎ ① 若大学本次面试中有、、三位考官,规定获得两位考官的认可即面试 成功,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为、,,求甲同学面试成功的概率;‎ ‎②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试,第组中有名学生被考官面试,求的分布列和数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在四棱锥中,底面为菱形,,为的 中点.‎ ‎ (I)若,求证:平面平面;‎ ‎ (II)若平面平面,且,点在线段上,试 ‎ 确定点的位置,使二面角大小为,并求出的值.‎ ‎ 20.(本小题满分12分)‎ ‎ 若点是抛物线上一点,经过点的直线与抛物线 ‎ ‎ 交于两点.‎ ‎ (I)求证:为定值;‎ ‎(II)若点与点不重合,问的面积是否存在最大值?若存在,求出最大 ‎ 值; 若不存在,请说明理由.‎ ‎ 21.(本小题满分12分)‎ ‎ 设,函数.‎ ‎ (Ⅰ)当时,求在内的极值;‎ ‎ (Ⅱ)设函数,当有两个极值点,()‎ ‎ 时,总有,求实数的值.(其中是函数的导函数.)‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,是的⊙直径,与⊙相切于,为线段上一点,连接、 ‎ 分别交⊙于、两点,连接交于点.‎ ‎ (Ⅰ)求证:、、、四点共圆. ‎ O B A C E F D G ‎ (Ⅱ)若为的三等分点且靠近,,,求线段的长.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为 ‎ ‎ 极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎ (Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎ (Ⅱ)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)解不等式;‎ ‎ (Ⅱ)若,且,求证:.‎ ‎2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案 数学(理工类)‎ 一、选择题 ‎1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(I),所以数列为等差数列,‎ 则;-----------------------------------------------3分 ‎,所以,‎ 则;-------------------------------------------------------------------6分 ‎(II),‎ 则 两式相减得----------9分 整理得.-----------------------------------------------12分 ‎18.解:(Ⅰ)因为第四组的人数为,所以总人数为:,由直方图可知,第五组人数为:人,又为公差,所以第一组人数为:45人,第二组人数为:75人,第三组人数为:90人 O ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ ‎0.08‎ ‎0.01‎ ‎0.03‎ ‎0.05‎ ‎0.07‎ ‎---------------------------------------------------------------------------------------------------4分 ‎(Ⅱ)设事件甲同学面试成功,则 ‎……………..8分 ‎(Ⅲ)由题意得,‎ ‎, ,‎ ‎, ‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………………..12分 ‎19. (I),为的中点,,又底面为菱形,, ,又平面,又平面,平面平面;-----------------------------6分 ‎(II)平面平面,平面平面,‎ 平面.以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则,设(),‎ 所以,平面的一个法向量是,‎ 设平面的一个法向量为,所以 取,-----------------------------------------9分 由二面角大小为,可得:‎ ‎,解得,此时--------------------------------12分 ‎20. 解:(I)因为点在抛物线上,‎ ‎ 所以,有,那么抛物线---------------------------------------2分 ‎ 若直线的斜率不存在,直线:,此时 ‎-------------------------------------------3分 ‎ 若直线的斜率存在,设直线:,点,‎ ‎,‎ 有,---------------5分 ‎ 那么,为定值.--------------------------------------------------------------------------7分 ‎(II) 若直线的斜率不存在,直线:,此时 若直线的斜率存在时,‎ ‎------------------9分 点到直线:的距离------------------------------10分 ‎,令,有,‎ 则没有最大值.---------------------------------------------------------12分 ‎21. 解:(Ⅰ)当时,,则,‎ 令,则,显然在上单 调递减.‎ 又因为,故时,总有,‎ 所以在上单调递减.---------------------------------------------3分 又因为,‎ 所以当时,,从而,这时单调递增,‎ 当时,,从而,这时单调递减,‎ ‎  当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大 所以在上的极大值是.-----------------------------5分 ‎(Ⅱ)由题可知,则.‎ ‎ 根据题意方程有两个不等实数根,,且,‎ ‎ 所以,即,且.因为,所有.‎ ‎ 由,其中,‎ ‎ 可得 ‎ 又因为,,将其代入上式得:‎ ‎ ,整理得.--------------------------------------------------------8分 ‎ 即不等式对任意恒成立 (1) 当时,不等式恒成立,即;‎ (1) 当时,恒成立,即 令,显然是上的减函数,‎ 所以当时,,所以;‎ ‎(3)当时,恒成立,即 由(2)可知,当时,,所以;‎ ‎ 综上所述,.-------------------------------------12分 ‎22. (Ⅰ)连接,则,,‎ 所以,所以,所以四点共圆.‎ ‎………………………………..5分 ‎(Ⅱ)因为,则,又为三等分,所以,,‎ 又因为,所以,…………………….10分 ‎23.(I)直线的普通方程为:;‎ ‎ 曲线的直角坐标方程为---------------------------4分 ‎(II)设点,则 所以的取值范围是.--------------------------10分 ‎24. (I)不等式的解集是------------------------------5分 ‎(II)要证,只需证,只需证 而,从而原不等式成立.----------------------------------------10分