高考数学二轮复习教学案专题01集合与常用逻辑用语教师版 15页

‎【2013考纲解读】‎ ‎1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.‎ ‎2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.‎ ‎3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等关系.‎ ‎4．理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.‎ ‎5．了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.‎ ‎6.理解命题的概念;了解“若,则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ ‎7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.‎ ‎8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎【知识络构建】‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1．集合 ‎(1)元素的特征：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于；‎ ‎(2)集合与集合之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含有包含和真包含，用符号⊆，表示．其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子集；‎ ‎(3)集合的运算：‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题；‎ ‎(2)四种命题之间的关系：四种命题是指对“若p，则q”形式的命题而言的，把这个命题作为原命题，则其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若非p，则非q”，逆否命题是“若非q，则非p”，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系是相互的。‎ ‎4．逻辑联结词 ‎(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；‎ ‎(2)带有逻辑联结词的命题真假：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假；命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，只要p，q有一为假，即为假命题；非 p和p为一真一假两个互为对立的命题；‎ ‎(3)“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是非p∧非q；命题p∧q的否定是非p∨非q.‎ ‎【高频考点突破】‎ 考点一 集合的关系和运算 ‎1．元素与集合的关系：元素x与集合A之间，要么x∈A， 要么x∉A，二者必居其一，这就是集合元素的确定性，集合的元素还具有互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用． ‎ ‎2．运算性质及重要结论 ‎ ‎(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. ‎ ‎(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. ‎ ‎(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.‎ ‎(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.‎ 例1、已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是 (　　) ‎ A．(－∞，－1]　　　B．[1，＋∞) ‎ C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) ‎ 解析：因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]． ‎ 答案；C ‎【解题方法】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路 ‎ ‎(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义． ‎ ‎(2)根据集合中元素的性质化简集合． ‎ ‎(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍. ‎ 考点二 命题真假的判断 ‎1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价．‎ ‎2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题p∧q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；非p和p为一真一假两个互为对立的命题．‎ ‎3．“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是非p∧非q；命题p∧q的否定是非p∨非q.‎ 例2. 原命题：若a＝1，则函数f(x)＝x3＋ax2＋ax＋1没有极值，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 (　　) ‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．4 ‎ 解析：先考虑原命题，当a＝1时，f(x)＝x3＋x2＋x＋1，f′(x)＝x2＋x＋＝(x＋)2＋>0，所以f(x)没有极值，故原命题为真，因而逆否命题也为真；其逆命题是“若函数f(x)＝x3＋ax2＋ax＋1没有极值，则a＝1”．由f(x)没有极值，故f′(x)≥0，即x2＋ax＋a≥0恒成立，这等价于Δ＝a2－4×1×a≤0⇔0≤a≤2，所以其逆命题是假命题，因而否命题也为假命题．‎ 答案；C ‎【变式】已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 (　　) ‎ A．4 B．2 C．1 D．0 ‎ ‎【解题方法】命题真假的判定方法 ‎(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假．‎ ‎(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无必然联系．‎ ‎(3)形如p或q、p且q、非p命题的真假根据真值表判定.‎ 考点三 充要条件的判断 对于p和q两个命题，若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p和q互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．‎ 例3、设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的 （ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【变式】设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋ y2≥4”的 (　　) ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 解析：因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．‎ 答案：A ‎【解题方法】对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点 ‎ ‎(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推 出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A； ‎ ‎(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明； ‎ ‎(3)要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的必要不充分条件，‎ 同理，如果p是q的必要不充分条件，那么非p是非q的充分不必要条件，如果p是q的充要条件，那么非p是非q的充要条件.‎ ‎【难点探究】‎ 难点一　集合的关系及其运算 例1、设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝x＜，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为(　　)‎ A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]‎ ‎【拓展】本题需要注意两个问题，一是两个集合的含义，二是要注意集合N中的不等式是一个复数模的实数不等式，不要根据实数的绝对值求解．高考考查集合一般是以集合的形式与表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等，在解题时要特别注意集合的含义．‎ ‎【变式1】若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－y≥0，x2＋y2≤4，x，y∈M}，则N中元素的个数为(　　)‎ A．9 B．6 C．4 D．2‎ 难点二　四种命题和充要条件的判断 例2 、(1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)‎ A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3‎ B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3‎ C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3‎ D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3‎ ‎(2)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充要条件 [Z|xx|k.Com]‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【拓展】一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于；进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．‎ 难点三　逻辑联结词、量词和命题的否定 例3. (1)若p是真命题，q是假命题，则(　　)‎ A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．非p是真命题 D．非q是真命题 ‎(2)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)‎ A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 ‎【拓展】(1)“或”“且”联结两个命题，这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命题的真假，其中“或”命题是一真即真，“且”命题是一假即假，“非”是对一个命题的否定，命题与其“非”命题一真一假；(2)否定一个命题就是否定这个命题的结论，即推翻这个命题，这与写出一个命题的否命题是不同的．一个命题的否命题，是否定条件和结论后的形式上的命题，如本题中我们把命题改写为“已知n为任意整数，若n能被2整除，则n 是偶数”，其否命题是“已知n为任意整数，若n不能被2整除，则n不是偶数”，显然这个命题是真命题，但这个命题的否定是假命题．‎ ‎【变式】有四个关于不等式的命题：‎ p1：∃x0∈R，x＋x0＋1>0；‎ p2：∃x0，y0∈R，x＋y0－4x0－2y0＋6<0；‎ p3：∀x，y∈R＋，≤；‎ p4：∀x，y∈R，x3＋y3≥x2y＋xy2.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1．解答集合有关问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键．其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决．‎ ‎2．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的．‎ ‎3．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．‎ ‎4．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．‎ ‎5．特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题．‎ ‎【历届高考真题】‎ ‎【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题浙江理1】设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x|-2x-3≤0}, 则A∩（CRB）=‎ A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4）‎ ‎2.【2012高考真题新课标理1】已知集合；‎ 则中所含元素的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时，可是1，综上共有10个，选D.‎ ‎3.【2012高考真题陕西理1】集合，，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.【2012高考真题山东理2】已知全集，集合，则为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以,选C.‎ ‎5.【2012高考真题辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则为 ‎(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}‎ ‎6.【2012高考真题江西理1】若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为( )‎ A．5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以当时，，此时。当时，，此时，所以集合共三个元素，选C.‎ ‎7.【2012高考真题湖南理1】设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=‎ A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}‎ ‎8【2012高考真题广东理2】设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 }，则CuM=‎ A．U B． {1,3,5} C．{3,5,6} D． {2,4,6}‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎9.【2012高考真题北京理1】已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=‎ A （-，-1）B （-1，-） C （-,3）D (3,+)‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：．故选D．‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理2】已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=‎ A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 ‎ ‎11.【2012高考真题四川理13】设全集，集合，，则___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎12.【2012高考真题上海理2】若集合，，则 。‎ ‎13.【2012高考真题天津理11】已知集合集合且则m =__________，n = __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，即，所以集合，因为，所以是方程的根，所以代入得，所以，此时不等式的解为，所以，即。‎ ‎14.【2012高考江苏1】（5分）已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由集合的并集意义得。‎ ‎15.【2012高考江苏26】（10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ ‎【2011年高考试题】‎ ‎1．(2011年高考北京卷理科1)已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是 A．(-∞, -1] B．[1, +∞） ‎ C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为P∪M=P，所以，故选C.‎ ‎2．(2011年高考福建卷理科1)i是虚数单位，若集合S=，则 A． B． C． D．‎ ‎3．(2011年高考辽宁卷理科2)已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若（ ）‎ ‎(A)M (B) N (C)I (D)‎ ‎【答案】 A ‎【解析】因为且M,N不相等，得N是M的真子集，故答案为M.‎ ‎4．(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2+y2=l}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为（ ）‎ ‎ A．0 B． 1 C．2 D．3‎ 二、填空题:‎ ‎1．(2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.‎ ‎2．(2011年高考江苏卷1)已知集合 则 ‎3.(2011年高考江苏卷14)设集合, ‎ ‎, 若 则实数m的取值范围是______________‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎1.（2010辽宁理数）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=‎ ‎（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为B∩A={9}，所以9∈A，所以选D。本题也可以用Venn图的方法帮助理解。‎ ‎2.（2010江西理数）2.若集合，，则=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3.（2010广东理数）1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A ∩  B=（ ）‎ A. {-1＜＜1} B. {-2＜＜1}‎ C. {-2＜＜2} D. {0＜＜1}‎ 答案： D. ‎ 解析：．‎ ‎4.（2010山东理数）1.已知全集U=R，集合M={x||x-1|2},则 ‎（A）{x|-13} (D){x|x-1或x3}‎ ‎5.（2010湖北理数）2．设集合，，则的子集的个数是 A．4 B．3 C ．2 D．1‎ ‎　‎