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  • 2021-05-13 发布

高考江苏数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1. 本试卷共4页,包含填空题(第1题—第14题)、解答题(第15题 - 第20题).本卷满分160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.‎ ‎2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.‎ ‎4. 如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.‎ ‎5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.‎ 数学Ⅰ 参考公式:‎ 圆柱的体积公式:,其中为圆柱的表面积,为高.‎ 圆柱的侧面积公式:,其中是圆柱底面的周长,为母线长.‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎(1)【2014年江苏,1,5分】已知集合,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得.‎ ‎(2)【2014年江苏,2,5分】已知复数(为虚数单位),则的实部为_______.‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】由题意,其实部为21.‎ ‎(3)【2014年江苏,3,5分】右图是一个算法流程图,则输出的的值是_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解.整数解为,因此输出的.‎ ‎(4)【2014年江苏,4,5分】从这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的 概率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法,其中乘积为6的有和两种取法,因此所求概率为.‎ ‎(5)【2014年江苏,5,5分】已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,即,,,因为,所以.‎ ‎(6)【2014年江苏,6,5分】为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】由题意在抽测的60株树木中,底部周长小于的株数为.‎ ‎(7)【2014年江苏,7,5分】在各项均为正数的等比数列中,若,,则的值是________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设公比为,因为,则由得,,解得,所以.‎ ‎(8)【2014年江苏,8,5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为,体积分别为,若它们的侧面积相等,且,则的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为,,则,,又,所以,则.‎ ‎(9)【2014年江苏,9,5分】在平面直角坐标系xOy中,直线被圆截得的弦长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为,半径为,点到直线的距离为 ‎,所求弦长为.‎ ‎(10)【2014年江苏,10,5分】已知函数,若对任意,都有成立,则实数m的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题意,解得.‎ ‎(11)【2014年江苏,11,5分】在平面直角坐标系xOy中,若曲线(为常数)过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线过点,则①,又,所以②,由①②解得,所以.‎ ‎(12)【2014年江苏,12,5分】如图,在平行四边形ABCD中,已知,, ‎ ‎,则的值是________.‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】由题意,,,‎ 所以,‎ 即,解得.‎ ‎(13)【2014年江苏,13,5分】已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.‎ 若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图象,可见,当时,, ‎ ‎,方程在上有10个零点,即函数和图象与直线 ‎ 在上有10个交点,由于函数的周期为3,因此直线与函数 的应该是4个交点,则有.‎ ‎(14)【2014年江苏,14,5分】若的内角满足,则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知及正弦定理可得, ,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)【2014年江苏,15,14分】已知,.‎ ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)求的值.‎ 解:(1)∵,∴,‎ ‎ .‎ ‎(2)∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎(16)【2014年江苏,16,14分】如图,在三棱锥中,分别为棱 的中点.已知.‎ ‎ (1)求证:直线PA∥平面DEF;‎ ‎ (2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 解:(1)∵为中点∴DE∥PA∵平面DEF,DE平面DEF∴PA∥平面DEF.‎ ‎(2)∵为中点,∴∵为中点,∴, ‎ ‎∴,∴,∴DE⊥EF,∵,∴,‎ ‎∵,∴DE⊥平面ABC,∵DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎(17)【2014年江苏,17,14分】如图,在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点B的坐标为,连结 并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.‎ ‎ (1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ ‎ (2)若,求椭圆离心率e的值.‎ 解:(1)∵,∴,∵,∴,∴,‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎(2)设焦点,∵关于x轴对称,∴,‎ ‎∵三点共线,∴,即①‎ ‎∵,∴,即②‎ ‎①②联立方程组,解得 ∴‎ C在椭圆上,∴,化简得,∴, 故离心率为.‎ ‎(18)【2014年江苏,18,16分】如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.‎ ‎ (1)求新桥BC的长;‎ ‎ (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?.‎ 解:解法一:‎ ‎(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60),C(170, 0),直线BC的斜率.‎ 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率.设点B的坐标为(a,b),‎ 则kBC=, k AB=,解得a=80,b=120. ‎ 所以BC=.因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).‎ 由条件知,直线BC的方程为,即,‎ 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以,即,解得.‎ 故当d=10时,最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:‎ ‎(1)如图,延长OA, CB交于点F.因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.‎ 因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.CF=,‎ 从而.因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=,又因为AB⊥BC,所以BF=AF ‎ cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,‎ OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO,‎ 故由(1)知,sin∠CFO =所以.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以,即,解得,‎ 故当d=10时,最大,即圆面积最大.所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ ‎(19)【2014年江苏,19,16分】已知函数其中e是自然对数的底数.‎ ‎ (1)证明:是上的偶函数;‎ ‎ (2)若关于x的不等式在上恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)已知正数a满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明 你的结论.‎ 解:(1),,∴是上的偶函数.‎ ‎(2)由题意,,即,∵,∴,‎ 即对恒成立.令,则对任意恒成立.‎ ‎∵,当且仅当时等号成立,∴.‎ ‎(3),当时∴在上单调增,令,,‎ ‎∵,∴,即在上单调减,‎ ‎∵存在,使得,∴,即.‎ ‎∵,设,则,.当时,,单调增;当时,,单调减,因此至多有两个零点,而,∴当时,,;‎ 当时,,;当时,,.‎ ‎(20)【2014年江苏,20,16分】设数列的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”.‎ ‎ (1)若数列的前n项和,证明:是“H数列”;‎ ‎ (2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求d的值;‎ ‎(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得成立.‎ 解:(1)当时,,当时,,‎ ‎∴时,,当时,,∴是“H数列”.‎ ‎(2),对,使,即,‎ 取得,,∵,∴,又,∴,∴.‎ ‎(3)设的公差为d,令,对,,,‎ 对,,则,且为等差数列.‎ 的前n项和,令,则.‎ 当时;当时;当时,由于n与奇偶性不同,即非负偶数,.‎ 因此对,都可找到,使成立,即为“H数列”.‎ 的前n项和,令,则 ‎∵对,是非负偶数,∴,即对,都可找到,使得成立,‎ 即为“H数列”,因此命题得证.‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试,21题有A、B、C、D 4个小题供选做,每位考生在4个选做题中选答2题.若考生选做了3题或4题,则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分,共40分.考试时间30分钟.考试结束后,请将答题卡交回.‎ ‎2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.‎ ‎4. 如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.‎ 数学Ⅱ ‎【选做】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答 的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(21-A)【2014年江苏,21-A,10分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,AB是圆O的直径,C、 D 是圆O 上位于AB异侧的两点.证明:∠OCB=∠D.‎ 解:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C, D是圆O上位于AB异侧 ‎ 的两点,故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.‎ ‎(21-B)【2014年江苏,21-B,10分】(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵,,向量,‎ 为实数,若,求的值.‎ 解:,,由得解得.‎ ‎(21-C)【2014年江苏,21-C,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线交于两点,求线段AB的长.‎ 解:直线l:代入抛物线方程并整理得,∴交点,,故.‎ ‎(21-D)【2014年江苏,21-D,10分】(选修4-5:不等式选讲)已知,,证明:.‎ 解:因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥,1+x2+y≥,所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.‎ ‎【必做】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内.‎ ‎(22)【2014年江苏,22,10分】盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.‎ ‎(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;‎ ‎(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为,随机变量X表示 ‎ 中的最大数,求X的概率分布和数学期望.‎ 解:(1)一次取2个球共有种可能情况,2个球颜色相同共有种可能情况,‎ ‎∴取出的2个球颜色相同的概率.‎ ‎(2)X的所有可能取值为,则;;‎ ‎.∴X的概率分布列为:‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故X的数学期望.‎ ‎(23)【2014年江苏,23,10分】已知函数,设为的导数,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)证明:对任意的,等式成立.‎ 解:(1)由已知,得,‎ 于是,所以,‎ 故.‎ ‎(2)由已知,得等式两边分别对x求导,得,‎ 即,类似可得,‎ ‎,.‎ 下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.‎ ‎(i)当n=1时,由上可知等式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k时等式成立, 即.‎ 因为 ‎,所以.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.‎ 令,可得().所以().‎